Los potenciales electromagnéticos

Transcripción

1 Los oteniales eletomagnétios Los oteniales eletomagnétios Tema 8 Eletomagnetismo Los oteniales eletomagnétios. Tansfomaiones de ontaste. Euaión de ondas aa los oteniales. Soluiones etadadas. Camos de adiaión. adiaión de sistemas senillos: el diolo elétio y el diolo magnétio. Camos estátios Cagas en eoso ~E(~) = ρ(~ 0 )(~ ~ 0 ) ~ ~E = ρ V ~ ~ 0 3 d 3 ~ 0 Coientes estaionaias ~B(~) = 0 ~J(~ 0 ) (~ ~ 0 )d 3 ~ ~ 0 B ~ = 0 J ~ ~ ~ Poteniales 0 3 ~E = ~ V ~B = ~ ~A Camos vaiables en t Euaiones de Maxwell en el vaío ~ ~E = ρ ~ E ~ = B ~ De la ley de Faaday ~ E ~ = ~ A ~ ~ ~B = 0 ~J + 0 ~E ~ ~E = ~ V ~A ~ ~B =0 Ã ~E + A ~! =0 Los amos y las fuentes De las euaiones de Maxwell que ontienen las fuentes odíamos halla los amos dietamente a ati de las fuentes. Esto es omliado ~ ~E = ρ ~ ~ E B 0 ε ~ 0 = 0 J ~ Se tata entones de halla unas euaiones que nos emitan la obtenión de los oteniales a ati de las fuentes Los oteniales y las fuentes Sustituyendo en las euaiones y 4 2 V + (~ ~ ρ A)= Ã 2 ~ 2 ~! A A 2 2 ~ ~ ~A + V 2 = 0 J ~ Obtenemos 4 euaiones difeeniales aoladas que nos emiten detemina los oteniales a ati de las fuentes

2 Tansfomaiones de ontaste Son aquellas tansfomaiones sobe los oteniales que dejan invaiantes los amos Sabemos que el otaional del gadiente es eo, luego si en vez del otenial ~A utilizamos ~A 0 = A ~ + Λ ~ obtendemos el mismo amo magnétio. Peo queemos obtene también el mismo amo elétio, luego la funión Λ(~, t) ha de imone alguna ondiión adiional sobe el otenial esala: ~E = ~ V 0 ~ A 0 = V ~ 0 ( A ~ + Λ) ~ = ~ V 0 + Λ + A ~ ~A 0 = ~ A + ~ Λ V 0 = V Λ Tansfomaiones de ontaste Se tata de alia la inetidumbe en los oteniales aa simlifia las euaiones de los oteniales: 2 V + ( ~ ~A) = ρ Ã 2 ~ 2 ~! A A 2 2 ~ ~ ~A + V 2 = 0 J ~ ~ Podemos esoge ~A =0? ~ ~A = V 2 Contaste de Coulomb Sea un otenial veto on divegenia no nula, ~ ~A = F (~, t) Sea la funión Λ soluión de la euaión de Poisson El nuevo otenial ~A 0 = A ~ + Λ ~ umliá 2 Λ = F Contaste de Coulomb Las euaiones se simlifian a 2 V = ρ Ã 2 A ~ 2 ~! A 2 2 ~ V 2 = 0 J ~ La imea euaión es la euaión de Poisson, uya soluión es: V (~, t) = ρ(~ 0,t) ~ ~ 0 d3 ~ 0 ~ ~A 0 = ~ ~A + 2 Λ = F F =0 Poblema de la simultaneidad! Contaste de Coulomb eesibamos la euaión 2 omo 2 ~ 2 A ~ A 2 = 2 0 J ~ + ~ V 2 Esibamos la oiente en dos omonentes, ~J = J ~ t + J ~ l ~ ~J ~ ~ t =0 Jl =0 Hallando la deivada temoal de la euaión de Poisson, 2 V = ρ = ~ Jl ~ 2 A ~ 2 A ~ 2 = 2 0 J ~ + 0 ~J l = 0 ~J t Contaste de Loentz Suongamos que ~ ~A + V 2 = F (~, t) Veamos qué funión Λ neesitamos aa que diha suma sea eo. Tomando ~A 0 = ~A + ~ Λ V 0 = V Λ obtenemos ~ ~A V 0 = ~ ~A + V Λ 2 Λ Λ 2 Λ 2 2 = F 2

3 Contaste de Loentz Tomando o tanto ~ ~A + 2 V =0 Se obtienen 4 euaiones de onda desaoladas aa los oteniales 2 ~ A 2 2 ~ A 2 = 0 ~ J 2 V 2 2 V 2 = ρ Poteniales etadados En el aso estátio las euaiones en el ontaste de Loentz se eduen a euaiones de Poisson, uya soluión ya onoemos: V (~) = ρ(~ 0 ) d3 ~ 0 ~J(~ ~A(~) = 0 0 ) d3 ~ 0 on = ~ = ~ ~ 0 Cuando los tiemos vaían on el tiemo, la genealizaión natual es toma:a V (~, t) = ρ(~ 0,t 0 ) d3 ~ 0 A(~, ~ 0 J(~ ~ 0,t 0 ) t) = d3 ~ 0 t 0 = t tiemo etadado Poteniales etadados Si son soluiones deben de umli la euaión de ondas inhomogenea. El gadiente del otenial es ~ V = ~ ρ + ρ~ d 3 ~ 0 La densidad deende de la osiión a tavés del tiemo etadado ~ ρ = ρ t ~ 0 = ρ~ = ρ ~ luego el gadiente del otenial es ~ V = " ρ ~ 2 ρ ~ d 3 3 ~ 0 Poteniales etadados La lalaiana es la divegenia del gadiente: 2 V = ( " ~ 2 ~ ρ + ρ ~ Ã! ~ 2 " ~ 3 ~ ρ + ρ ~ Nuevamente, hay que deiva a tavés del tiemo etadado: ~ ρ = ρ~ = ρ ~ Ã!) ~ 3 d 3 ~ 0 Poteniales etadados La lalaiana del otenial es o tanto: 2 V = ρ 2 δ( ) ~ d 3 ~ 0 = 2 V 2 2 ρ(~, t) luego las soluiones aa los oteniales son, efetivamente V (~, t) = ρ(~ 0,t 0 ) d3 ~ 0 A(~, ~ t) = 0 J(~ ~ 0,t 0 ) d3 ~ 0 Se denominan oteniales etadados ya que se alulan en el tiemo etadado t 0 = t / ½ 0, si t 0, Ejemlo: Un hilo infinito tansota una oiente I(t) = I 0 si t>0 Halla los amos elétio y magnétio. Elegimos el hilo sobe el eje z de foma que, o simetía, sólo hay omonente z del otenial veto + A(, t) = 0 I(z 0,t 0 ) 2 dz0 + z02 uando se establee la oiente, obviamente, se establee en todo el hilo. Un tiemo / osteio, el unto amo eibe esa infomaión. Dado un tiemo t finito, el unto amo no tiene infomaión de la existenia de oiente aa un valo de z 0 > 2 t 2 2 dado que la luz tada en llega al unto amo un tiemo t = 2 + z 02 / A(, t) = 0I0 2 t dz z 02 " ~A(, t) = 0I0 2π ln t + 2 t 2 2 ~u z 3

4 El amo elétio es y el magnétio, ~E(, t) = ~A = 0I 0 2π 2 t 2 2 ~uz ~B(, t) = ~ ~ A = Az ~uφ = 0I0 2π t 2 t 2 2 ~uφ Cuando t tiende a infinito la oiente seá estaionaia y eueamos el esultado onoido, E=0 y ~B(, t) = 0I0 2π ~uφ El amo elétio De los oteniales etadados odemos deiva los amos V (~, t) = ρ(~ 0,t 0 ) d3 ~ 0 ~ 0 J(~ ~ 0,t 0 ) A(~, t) = d3 ~ 0 El gadiente del otenial esala ya lo habíamos deivado ~ V = " ρ ~ 2 ρ ~ 3 d 3 ~ 0 y la deivada temoal del otenial veto es inmediata, luego el amo elétio es ~E(~, t) = " ρ ~ 2 + ρ ~ 3 ~J(~ 0,t 0 ) 2 d 3 ~ 0 El amo magnétio El amo magnétio es simlemente ~B(~, t) = ~ ~ A(~, t) = 0 " ~ J(~ ~ 0,t 0 ) + ~ ~ J(~ 0,t 0 ) d 3 ~ 0 J y x = Jy 0 0 x = J y t 2 (x x0 ) x 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) = J x x 0 y Euaiones de Jefimenko Camos eanos, amos intemedios, amos lejanos ~E(~, t) = " ρ(~ 0,t 0 ) 2 ~u + ρ(~0,t 0 ) ~J(~ 0 ~u,t 0 ) 2 d 3 ~ 0 ~ ~ J = ~J ~u ~ = ~ 3 = ~u 2 ~ ~ J = ~ J ~u 2 " ~B(~, t) = 0 ~J(~ 0,t 0 ) + 2 ~J(~ 0,t 0 ) ~u d 3 ~ 0 " ~B(~, t) = 0 J(~ ~ 0,t 0 ) + 2 ~J(~ 0,t 0 ) ~u d 3 ~ 0 Poteniales de una aga untual En eletostátia V (~) = Paa una aga untual, ρ(~ 0 )=qδ(~ 0 ~ q) Si la aga se mueve, ρ(~ 0,t)=qδ(~ 0 ~ q(t)) Luego los oteniales son: V (~, t) = q ~ ~ q(t) ρ(~ 0 ) ~ ~ 0 d3 ~ 0 V (~) = q ~ ~ q ~J(~ 0,t)=ρ(~ 0,t)~v q(t) ~A(~, t) = 0 q~v q(t) ~ ~ q(t) Son oetos los oteniales? Estamos diiendo que aa una desiión oeta hay que tene el uenta la veloidad finita de la luz (i.e. el unto amo eibe infomaión del ambio en el unto fuente on un ieto etaso). Luego nuestas soluiones no son oetas. Cuál es la foma oeta de oede? Si la aga se deslaza, hemos de utiliza el adioveto que nos india el deslazamiento de la aga alulado en el tiemo etadado ρ(~ 0,t 0 )=qδ(~ 0 ~ q (t 0 )) = qδ(~ 0 ~ q (t ~ ~ 0 /)) 4

5 Poteniales de una aga Hagamos el ambio de vaiable: ~ 00 = ~ 0 ~ q(t 0 ) Si deivamos, dx 00 = dx 0 0 ẋ q x 0 dx0 + 0 y 0 dy0 + 0 z 0 dz0 dx 00 = dx 0 ẋq x x 0 ~ ~ 0 dx0 + y y0 ~ ~ 0 dy0 + z z0 ~ ~ 0 dz0 El elemento de volumen d 3 ~ 00 = d 3 ~ 0 J (~ 00 ) La integal en la delta queda δ(~ 00 ) d 3 ~ 00 ~ ~ 00 ~ q(t 0 ) J (~ 00 ) = ~ ~ q(t 0 ) J (0) = ~ ~ q(t 0 ) ~v ~u / El otenial esala queda V (~, t) = q ~v q ~u / on ~ = ~ ~ q (t 0 ) Tomando ~J(~ 0,t 0 )=qρ(~ 0,t 0 )~v q (t 0 ) ~A(~, t) = 0 q~v q (t 0 ) ~v q ~u / Ejeiio: Halla los oteniales eletomagnétios de una aga untual en movimiento unifome En el denominado de ambos oteniales aaee el fato ( ~v q ~u /) = ~v q ~/ siendo ~ = ~ ~ q (t 0 ) Si la veloidad del eletón es onstante, ~ q (t 0 )=~v 0 t 0 = ~v 0 t ~ ~ q(t 0 ) Desafotunadamente esto es una euaión imlíita de no fáil soluión. Veamos ómo deseja t en funión de t. De la definiión de t = ~ ~v 0 t 0 = (t t 0 ) Elevando al uadado, 2 2~ ~v 0 t 0 + v 2 0t 02 = 2 (t 2 2tt ) Esto nos emite esibi el tiemo etadado en témino de antidades onoidas, omo la veloidad de la atíula, el tiemo y el veto osiión que detemina el unto amo ( 2 v 2 0)t 02 2( 2 t ~ ~v 0)t t 2 2 =0 t 0 = t ~v0 ~/2 ± (t ~v 0 ~/ 2 ) 2 ( v 2 0 /2 )(t 2 2 / 2 ) v 2 0 /2 Si la veloidad de la atíula es eo (o muy equeña), tendemos t 0 = t ± t 2 t / 2 = t ± El signo menos se oesonde on el tiemo etadado on el más on el avanzado, luego el oeto es el menos. Dado que ~ = ~ ~v 0 t 0 y su módulo = (t t 0 ) ~u = ~ ~v 0t 0 (t t 0 ) ~ ~v 0 = (t t0 ) (~ ~v 0t 0 )~v 0 = t ~ ~v 0 t 0 v Sustituyendo el tiemo etadado, ~ ~v0 = (t ~v 0 ~/ 2 ) 2 (t 2 2 / 2 )/γ q 2 donde hemos utilizado la notaión γ =/ v0 2/2 La exesión final aa los oteniales es V (~, t) = γq/ γ2 (t ~v 0 ~/ 2 ) 2 (t 2 2 / 2 ) ~A(~, t) = 0 γq~v 0/ γ2 (t ~v 0 ~/ 2 ) 2 (t 2 2 / 2 ) Podemos simlifia esta exesión suoniendo que el eletón se mueve en la dieión z (o a lo lago de ualquie eje oodenado) γ 2 t 2 2 v0zt 2 + v2 0z 2 4 t 2 + x2 + y 2 + z 2 2 γ 2 t 2 2 v0zt 2 + v2 0z 2 4 t 2 + t2 v z 2 v2 0z x2 + y 2 2 γ 2 2 v0zt + t2 v0 2 + z x2 + y 2 = x2 + y 2 + γ 2 (z v 0t) La exesión simlifiada aa los oteniales es V (~, t) = γq x 2 + y 2 + γ 2 (z v 0 t) 2 ~A(~, t) = 0 γq~v 0 x2 + y 2 + γ 2 (z v 0 t) 2 Es osible llega a la misma exesión a ati una tansfomaión elativista del uadiveto otenial A =(V/, A) ~ desde un ieto sistema S en el ual la aga q esté en eoso a oto sistema en el que la aga se deslaza on veloidad unifome ~v 0 = v 0~u z. En el sistema S los oteniales seán el de una aga q en eoso: V 0 = q 0 ~A 0 =0 5

6 Ejeiio: Detemina los amos elétio y magnétio de una aga untual en movimiento unifome De las exesiones geneales de los oteniales de una aga untual: V (~, t) = q ~v q ~u / ~A(~, t) = 0 q~v q (t 0 ) ~v q ~u / Los amos se deteminan a ati de las elaiones ~E = V ~ ~A = V ~ V t t0 ~ 0 ~A ~B = ~ ~A = ~ ~A + ~ t 0 ~A t0 ealizando todas las deivadas de foma uidadosa,* se obtiene la siguiente exesión aa los amos: q (~u ~v/)( v ~E(~, 2 / 2 ) t) = 2 ( ~u ~v/) 3 + q ~u [(~u ~v/) ~a] ( ~u ~v/) 3 ~B(~, t) =~u ~ E(~, t)/ Paa agas no elativistas, los amos de adiaión son ~E ad = q~u (~u ~a) ~B ad = 0q~u ~a De estos amos se obtiene la exesión aa la otenia adiada deduida o Lamo en 897 (lo veemos en el 2º aial): P = 2q 2 a *Seión (. 294 a 298) del Vandelinde. En el Jakson, a. 4, se tata en foma ovaiante on un álulo menos laboioso. adiaión de un diolo elétio Al tata un sistema de agas y oientes loalizadas que vaían on el tiemo, odemos analiza sin édida de genealidad sus omonentes de Fouie. Esibamos ρ(~ 0,t)=ρ ω(~ 0 )e iωt ~ J(~ 0,t)= ~ J ω(~ 0 )e iωt Sustituyendo en la exesión de los oteniales V ω(~)e iωt = ρω(~ 0 )e iω(t ~ ~0 /) d 3 ~ 0 ~ ~ 0 ~A ω(~)e iωt = 0 J ~ ω(~ 0 )e iω(t ~ ~0 /) d 3 ~ 0 ~ ~ 0 En geneal, estas integales son intatables. El oblema se divide en tes egiones de intees: En la zona eana, k ~ ~ 0 (o ~ ~ 0 λ), e ik ~ ~0. En la zona lejana (adiaión), À 0 y À λ, o lo que el denominado se toma indeendiente de la vaiable de integaión En la zona intemedia,, y λ son todos del mismo oden. La adiaión diola elétia es el témino de adiaión más senillo, en la que el otenial veto vale ~A ω(~) = 0 e ik ~J ω(~ 0 )d 3 ~ 0 A ati de la euaión de ontinuidad odemos esibi esta integal en téminos del momento diola. Teniendo en uenta que ~ (x J)=J ~ x + x ~ ~J = J x + iωxρ J ~ = ~ (~ J) ~ iω~ρ el otenial veto es: ~A ω(~) = iω0 e ik ~ El otenial esala uede obtenese de foma tivial de la ondiión de Loentz: V ω = ik e ik ~u ~ Camos de un diolo osilante Si queemos mantene la deendenia en (i.e. los téminos de adiaión) sólo odemos deiva la exonenial. Luego ~B = ~ ~ A = 0 El amo elétio lo odemos halla a ati de los oteniales: ~ V = 0 eik ω2 (~u ~)~u ~E = 0 ω2 eik Podemos omoba que se umle ω 2 e ik ~u ~ [(~u ~)~u ~] = 0 A ~ = iω ~A = 0 eik ω2 ~ eik ω2 ~u (~u ~) ~E = ~u ~ B Si nuesto diolo osila en la dieión z, el amo magnétio tiene omonente φ y el amo elétio omonente θ, onfome la figua: ~B = 0 La otenia media (segundo aial) es ooional al oduto de los amos: dp media dω ω 2 e ik 0 sin θ~uφ ~E = 0 eik ω2 0 sin θ~uθ ~E = ~B ~u = 2 0ω 4 32π 2 3 sin2 θ 6

7 La fueza de Loentz y el momento anónio La fueza de Loentz es d~ dt = q( ~E + ~v ~B) En funión de los oteniales, " d~ dt = q ~ V ~A + ~v ( ~ ~A) De la elaión vetoial ~ (~v ~A) =(~v ~ ) ~ A +( ~ A ~ )~v + ~ A ~ ~v + ~v ~ ~ A y dado que la veloidad no deende de la osiión ~v ~ ~ A = ~ (~v ~A) (~v ~ ) ~ A La fueza de Loentz es, en funión de los oteniales: d~ dt = q V ~ A + (~v ~ ~A) (~v ~ ) ~A eaguando, d dt (~ + q A)= ~ (qv ~ q~v ~A) Luego ~P = ~ + q ~A es el momento anónio. Es la foma de intodui un amo eletomagnétio en Meánia Cuántia 7