Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Transcripción

1 NIVRSIDAD NACIONAL D COLOMBIA SD MDLLÍN FACLTAD D CINCIAS-SCLA D FÍSICA FÍSICA D OSCILACIONS ONDAS Y ÓPTICA MÓDLO # 10: ONDAS MCÁNICAS NRGÍA- Diego Lis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Mñoz H. Profesores, scela de Física de la niversidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1 Temas Introdcción Densidad de energía en ondas mecánicas Potencia e intensidad n análisis sobre el transporte y la conservación de la energía en ondas mecánicas nergía en ondas viajeras nergía en ondas estacionarias Introdcción n na onda lo qe se transmite es energía. n na onda mecánica la energía se propaga a través de la vibración de la materia y s velocidad de propagación depende de las propiedades elásticas del medio y de la inercia del mismo. Para los cálclos energéticos en las ondas mecánicas hay ciertos inconvenientes si se toma el modelo de partícla para el elemento del medio, ya qe sele llevar a grandes confsiones. l modelo qe se adoptará es el de n elemento diferencial del medio contino de longitd dx y sección transversal constante de área A. Se hará el análisis bien detallado para el caso de las ondas transversales en na cerda y los resltados se generalizarán para todas las ondas mecánicas a través de la generalización de la ley de Hooke. Densidad de energía en ondas mecánicas Densidad de energía cinética La energía cinética de n elemento de cerda de longitd dx y de masa dm = ρadx dm, Figra 1, es igal a: 1 y d = dm t

2 y aqí corresponde a la velocidad de vibración del elemento dx, A es el área de la sección transversal de t la cerda y s ρ la densidad volmétrica. Con base en esto la expresión anterior toma la sigiente forma, Figra 1 d 1 y = ρ Adx t 1 = ρy t [1] donde corresponde a la densidad de energía cinética de la cerda (y en general de n medio material a través del cal se propaga na onda). Se mide en J.m -3. La ecación [1] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. n el caso de las ondas en los hilos o filamentos (cerdas my delgadas) y en los resortes es de mayor so la densidad lineal de energía cinética w. Como, μ ρ = A se obtiene qe la ecación [1] se transforma en, 1 w = μy t [1A] y se mide en J.m -1.

3 Densidad de energía potencial l elemento de cerda cando pasa la onda a través de él es estirado por la acción de la ferza de tensión cya magnitd es F, la cal es ejercida por la porción de la cerda izqierda (para na onda viajando hacia valores crecientes de x) y almacena na cantidad d de energía potencial debido al trabajo realizado por dicha ferza, d = Fdξ 3 donde dξ corresponde a la deformación sfrida por la cerda qe medía dx y pasó a medir dx + dy, es decir, d = F dx + dy - dx d = Fdx 1+ y x - dx haciendo la aproximación binomial, d = Fdx 1 + 1y x - dx 1 y d = Fdx x y dividiendo pro el volmen del elemento diferencial de cerda se obtiene, d 1 F y = Adx A x = A 1 F y x en donde es la densidad volmétrica de energía potencial y se mide en J.m -3. Ahora, como para la cerda el parámetro de elasticidad β es, F β = A se obtiene para la s densidad volmétrica de energía potencial,

4 1 y = β [] x La ecación [] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. n el caso de las ondas en los hilos o filamentos (cerdas my delgadas) y en los resortes es de mayor so la densidad lineal de energía potencial w. Como, 4 μ ρ = A se obtiene qe la ecación [] se transforma en, 1 w = Fy x [A] y se mide en J.m -1. Observar qe la densidad de energía potencial es proporcional al cadrado de la pendiente, por lo qe el elemento de cerda qe está en na cresta o en n valle tiene na densidad de energía potencial igal a CRO, lo cal confnde ya qe en el modelo de partícla oscilando armónicamente debería tener la máxima energía potencial. s aqí en donde no se debe sar el modelo de partícla sino de elemento contino, y así se entiende qe s densidad energía potencial es nla porqe no está deformado. l elemento qe está pasando por la posición de eqilibrio tiene máxima densidad de energía potencial (es el qe está más deformado). Densidad de energía mecánica La energía mecánica es igal a la sma de la energía cinética y la energía potencial. Por lo tanto la densidad volmétrica de energía mecánica para na onda mecánica es, 1 y 1 y = ρ β [3] t x Para el caso de cerdas y resortes es preferible hablar de densidad lineal de energía mecánica, 1 y 1 y w = μ F [3A] t x Potencia e intensidad Potencia transmitida Si se spone na onda viajando hacia valores crecientes de x (de izqierda a derecha) la potencia qe entrega el elemento de cerda de la izqierda al de la derecha, Figra, es igal a,

5 5 Figra P = F V = Fsenα V y y y Para peqeñas amplitdes, P Ftanα Vy y y P = F [4] x t sta es la potencia transmitida por na onda mecánica qe se propaga a través de na cerda y se mide en Watts. s decir la expresión [4] sirve para calclar la energía mecánica transmitida a través de la cerda por cada nidad de tiempo: en 1 segndo cántos Joles se transmiten. Intensidad La intensidad se define como la energía qe flye a través de na sperficie en la nidad de tiempo. s decir, es potencia por nidad de área, P I = A Por lo tanto según la ecación [4], F y y I = A x t Ahora, como para la cerda el parámetro de elasticidad β es,

6 F β = A se obtiene para la intensidad, y y I = β [5] x t 6 La ecación [5] es de validez general para todas las ondas mecánicas tratadas en estas notas. La intensidad se mide en W.m -. n análisis sobre el transporte y la conservación de la energía en ondas mecánicas La variación instantánea de la densidad de energía mecánica en medio contino a través del cal se propaga na onda es, 1 y 1 y = ρ β t t t x y y y y = ρ + β t t t x xt Pero según la ecación de onda de orden, y y V x t y por lo tanto, y y y y = ρv + β t x t x xt y y y y = V ρ + β t x t x xt y como para na onda mecánica, V = β ρ se obtiene,

7 y y y y = β + β t x t x xt y y = β t x x t y según la ecación [5], 7 t = I x t I - = 0 x qe es la ecación de conservación de la energía en el proceso de transporte de energía a través del medio contino. Por ejemplo, la variación neta de energía la mecánica acmlada en n tramo de cerda entre dos posiciones x 1 y x es, x x x Adx = A dx = A dx = P x - P x1 x1 x1 x1 d 1 P t dt t A x haciendo n balance entre los instantes t y t+t se obtiene, t t + Δt Δt 1 P x - P x = P x P x Δt 1 final = inicial P x P x1 Δt "La energía mecánica final, transcrrido n tiempo t, es IGAL a la energía mecánica inicial MAS la energía mecánica qe se transfiere a la sección del medio contino comprendida entre x 1 y x en el intervalo de tiempo t. P(x) es la energía, por nidad de tiempo, qe flye por a través de sección transversal A bicada en el pnto x, es decir la POTNCIA TRANSMITIDA en la dirección x. Se pede dedcir entonces qe la energía mecánica en na porción de medio contino VARÍA CON L TIMPO, lo cal NO significa qe no se conserve: es simplemente qe se está TRANSMITINDO. nergía en ondas viajeras Densidades de energía n la cinemática de la onda viajera, se mostró qe estas cmplen la ecación diferencial de onda de orden 1,

8 y y -V x t por lo tanto reemplazando en la ecación [1], 1 1 y = ρy t = ρ -V x 8 1 y = ρv x Como para ondas mecánicas se cmple, β V = ρ Se obtiene, 1 y = β x es decir según la ecación [], = [6] y por ende, = + = [7] y = β [7A] x y = ρ [7B] t Las expresiones [6] y [7] SÓLO las cmplen las ondas viajeras. No las cmplen las ondas estacionarias: recordar qe las ondas estacionarias NO cmplen la ecación diferencial de orden 1. n las ondas viajeras la densidad de energía potencial y la densidad de energía cinética son igales. sto es na aparente contradicción pesto qe no hay na aparente conversión de energía cinética en energía potencial. Por ejemplo, en la cerda el pedacito qe está en na cresta o en n valle tienen densidad de energía tanto cinética como potencial nlas y el pedacito qe está pasando por la posición de eqilibrio posee máximas estas dos densidades. Sin embargo, esto no debe ser motivo de preocpación pesto qe en

9 el caso de la onda viajera n elemento del medio está cediendo la energía al elemento contigo y así scesivamente. Hay fljo de energía: la aparente pérdida de energía en asencia de ferzas de rozamiento se debe a qe está ella flyendo. STO F LO Q S ANALIZÓ en la sección anterior. Intensidad La intensidad se calcla con la expresión [5], y y I = β x t 9 y por lo tanto se tendrá para la onda viajera, y y y y I = β = β V x t x x I = y Vβ x Reemplazando [7A], I = V [8] Y se mide en W.m -. l signo MNOS si se qiere se pede obviar y s significado es: Si la onda se propaga hacia valores crecientes de x (sea por ejemplo hacia la derecha) la velocidad de propagación es POSITIVA y la intensidad es NGATIVA entendiéndose qe el segmento de medio contino de la izqierda cede al de la derecha. Si la onda se propaga hacia valores decrecientes de x (hacia la izqierda) la velocidad de propagación es NGATIVA y la intensidad es POSITIVA entendiéndose qe el segmento de medio contino de la izqierda gana energía (esta es cedida por el segmento de la derecha). l signo pes en la expresión [8] indica es el sentido en qe se cede la energía, por lo tanto se obviará con esa salvedad, I = V [8A] Ondas viajeras armónicas Densidades de energía Si la onda qe se propaga por el medio material es armónica plana en el sentido positivo de la x, la elongación y la velocidad de vibración de los elementos del medio son respectivamente, y = Asen kx - ωt + φ o

10 v = -ωacos kx - ωt + φ y o por lo tanto la densidad de energía cinética de n elemento dx de medio contino es según la ecación [1], = 1 ρ - ωacos kx - ωt + φ o 1 = ρω A cos kx - ωt + φo 10 como en la onda es viajera, =, la densidad de energía potencial de n elemento será, 1 = ρω A cos kx - ωt + φo además la densidad de energía mecánica es, = ρω A cos kx - ωt + φ o [9] La energía mecánica de n elemento dx por ejemplo en na cerda NO se conserva. l elemento cyo centro de masa está instantáneamente en la posición de eqilibrio, tiene máxima deformación y máxima rapidez, por tanto tendrá máxima densidad de energía potencial y máxima densidad de energía cinética. l elemento cyo centro de masa está instantáneamente en na cresta o en n valle, tendrá pendiente cero (no está deformado) y rapidez cero, por lo tanto tendrá densidad de energía potencial nla y densidad de energía cinética nla. n definitiva no hay conversión de energía cinética en potencial y viceversa. Podría pensarse como n caso de violación de la conservación de la energía, sin embargo, la energía mecánica no permanece constante es debido a qe la energía está flyendo (se está propagando): RCORDAR de nevo la discsión qe se hizo atrás. n la sigiente simlación se ilstra la variación de las energías cinética, potencial y mecánica de todos los elementos de na cerda por la qe se propaga na onda transversal. Se detalla la variación de estas energías en no de los elementos. Simlación: Analizar la simlación de SimlPhysics correspondiente al Ondas > nergía en ondas > nergía en ondas viajeras. Para acceder a ella hacer clic con el mose en el ítem señalado en la Figra 3. Se despliega la simlación de la Figra 4. n ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resltados.

11 11 Figra 3 Figra 4 n la sigiente simlación se ilstra la variación de la energía cinética y la potencial en na partícla qe oscila armónicamente. Se observa la constancia en la energía mecánica y la conversión permanente de energía cinética en potencial y viceversa. Simlación: Analizar la simlación de SimlPhysics correspondiente al Oscilaciones > nergía en el MAS > nergía vs tiempo en el MAS. Para acceder a ella hacer clic con el mose en el ítem señalado en la Figra 5. Se despliega la simlación de la Figra 6. n ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resltados.

12 1 Figra 5 Figra 6 Potencia e intensidad La intensidad de la onda viajera se calcla con la ecación [8A], I = V n el caso de na onda armónica plana, reemplazando [9], I = ρω A V cos kx - ωt + φ o

13 y en promedio, 1 I = ρω A V [10] en donde A es a amplitd de la onda y V s velocidad de propagación. Dependencia de la intensidad de la geometría del frente de onda 13 Despreciando la disipación de energía cando la onda se propaga, se tendrá, intensidad promedio Area del frente de onda = constante Frente de onda plana Como el área del frente de onda plano permanece constante cando la onda viaja, se conclye qe s intensidad se mantiene constante, I = constante [11] Frente de onda cilíndrico Como el área del frente de onda cilíndrico amenta proporcionalmente con el radio de éste, (área frente onda = RL), se conclye qe: πr L I πr L = I 1 1 I I R = [1] R 1 1 Frente de onda esférico Como el área del frente de onda esférico amenta proporcionalmente con el cadrado del radio, (área frente onda = 4R ), se conclye qe: I 4πR = I 4πR 1 1 I I R = [13] 1 R1 esta expresión se conoce con el nombre de ley del inverso cadrado.

14 nergía en ondas estacionarias Densidades de energía Las ondas estacionarias no satisfacen la ecación de onda de orden -Vy x = y t, y por lo tanto no cmplen qe =, como es el caso de ondas viajeras. Ondas estacionarias armónicas 14 Densidades de energía Si se consideran ondas estacionarias armónicas como por ejemplo las qe se presentan en na cerda con ss extremos fijos, la elongación es igal a, y n = Ansenk nx cosωn t por tanto, las densidades de energía cinética y potencial son según las ecaciones [1] y [], = ρωnansen knx sen ωnt = βk nancos knx cos ωnt Como en ondas mecánicas se cmple qe, V = β ρ Y como, k V = ω n n se obtiene, = + = ρω A sen k x sen ω t + cos k x cos ω t n n n n n n Se debe observar qe si se toma n elemento de cerda dx, la energía cinética de la partícla qe lo representa, (es decir, s centro de masa) no es igal a la energía potencial como si lo es en el caso de na onda viajera. Para los elementos cyos centros de masa están bicados en n nodo la energía cinética es nla siendo s energía toda potencial. Scede lo opesto para los elementos cyos centros de masa están bicados en los vientres. s decir en las ondas estacionarias se da la conservación de la energía en cada elemento: hay conversión de energía cinética en potencial en cada elemento del medio: recordar qe esta onda no viaja por lo tanto NO propaga la energía. sto se ilstra en la sigiente simlación.

15 Simlación: Analizar la simlación de SimlPhysics correspondiente al Ondas > nergía en ondas > nergía en ondas estacionarias. Para acceder a ella hacer clic con el mose en el ítem señalado en la Figra 7. Se despliega la simlación de la Figra 8. n ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resltados. 15 Figra 7 Figra 8 Densidad de energía mecánica promedio Tomando el ejemplo de la cerda con extremos fijos y promediando en x se obtiene, 1 1 = ρωna n sen ωnt + cos ωnt

16 = ρωna n nv ω = πf y f n = se obtiene, L Y como n n π ρv A L n = n [14] 16 expresión qe corresponde al promedio de la energía mecánica del armónico n. Intensidad La intensidad según la ecación [8A] para na onda qe viaja es, I = V Como la onda estacionaria se compone de dos ondas viajeras qe tiene todo ss parámetros igales pero se propagan en direcciones opestas se tiene, I = I onda incidente + I onda reflejada = -V + V = 0 y por lo tanto la intensidad NTA en la onda estacionaria es cero como era de esperarse ya qe NO porpaga energía. FIN