Tema 10: Movimiento ondulatorio*
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- Eduardo Domínguez Castro
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1 Tema 10: Movimiento ondulatorio* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez 1
2 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas. Ondas estacionarias 2
3 Introducción: ondas mecánicas Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia Ondas en el agua, ondas de sonido Clasificación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio. Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio transmiten energía 3
4 Ondas mecánicas La formación y propagación de una onda mecánica requiere: Una fuente de perturbación Ej: Piedra que cae en el agua Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua 4
5 Ondas transversales y longitudinales Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio: Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua) 5
6 Ondas transversales y longitudinales Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio: Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua) Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle) 6
7 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas. Ondas estacionarias. 7
8 Función de onda Pulso que viaja en una cuerda: 8
9 Función de onda t 0 t Pulso que viaja en una cuerda: y y P x P vt P y( x, t 0) f ( x) v y( x, t) f ( x vt) x x x vt f ( x vt) f ( x ) P P P 9 x Función de onda P
10 Función de onda y( x, t) f ( x vt) Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante t El signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama) Para un t 0 fijo y(x,t 0 ) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso 10
11 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas. Ondas estacionarias. 11
12 Ondas sinusoidales Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón): Tren de ondas sinusoidales o armónicas Cada partícula de la cuerda describe un MAS Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas 12
13 Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud Longitud de onda (l): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (v y ): y Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio A x 13
14 Ondas sinusoidales: frecuencia y velocidad Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada partícula del medio: 1 f y T T t Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia l: v T CUIDADO: No confundir v (letra griega nu) con v (letra latina uve). 14
15 Ondas sinusoidales: representación matemática y x En t=0: k y( x,0) Asenkx 2 Número de onda (m -1 ) Constante de fase Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada l y cuyo valor en x=0 es Asen(d) 15
16 Ondas sinusoidales: representación matemática En un instante t: Donde: y( x, t) y( x vt,0) Signo +: onda que viaja hacia x decreciente Signo -: onda que viaja hacia x creciente kv Entonces: Asenkx kvt 2 2 T T Frecuencia angular y( x, t) Asen( kx t ) 16
17 Ondas sinusoidales: resumen y( x, t) Asen( kx t ) Amplitud: A Longitud de onda: 2 k número de onda Frecuencia: 1 2 f 2f frecuencia angular T T Velocidad de la onda: v f T k 17
18 Ecuación de onda lineal y( x, t) Asen( kx t ) y 2 2 vy Acos( kx t ) 1 y 1 y t k x t y 2 ay Asen( kx t ) t y k y y kacos( kx t ) x t x y y 1 y 2 k Asen( kx t ) x x v t 18
19 Ecuación de onda lineal 2 2 y 1 y x v t Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal Ondas armónicas son una posible solución Solución general: onda viajera y( x, t) f ( x vt) 19
20 Ecuación de onda lineal 2 2 y 1 y x v t Demostración: Fase: x vt y f f x x y f f v t t y( x, t) f ( x vt) Es solución de la ecuación de ondas lineal y f f x x y f f t t v v
21 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas. Ondas estacionarias. 21
22 Velocidad de las ondas Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a l pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal. Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las propiedades del medio a través del que se mueven Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad 22
23 Velocidad de las ondas: onda en una cuerda Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, F t ) la onda viaja a mayor velocidad Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta F v t dm dl densidad de masa lineal Para una cuerda homogénea: m L m L 23
24 Velocidad de las ondas: ondas sonoras Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple: (propiedad elástica del medio) v (propiedad inercial del medio) Ondas de sonido en un fluido B v Módulo de compresibilidad: Densidad de masa B P VV 24
25 Velocidad de las ondas: ondas sonoras Medio v (m/s) v B Hidrógeno (0º C) 1286 Aire (20º C) 343 Aire (0º C) 331 Agua (20ºC) 1482 Agua (0º C) 1402 En un gas: B T Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago 8 c310 m/s >> v Desprecio el retraso de la luz v 0.33 km/s km xt d vt 0.33 xt s km s 3 25
26 Velocidad de las ondas: observaciones La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma La velocidad de la onda depende del medio La longitud de onda se obtiene de: Ejemplo: sonar de los delfines v 1482 m/s f 10 1/s v f 5 f 10 Hz Agua a 20º C cm 26
27 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas. Ondas estacionarias. 27
28 Onda en una cuerda: energía transmitida Una onda que se propaga en un medio transporta energía: Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede levantar una masa Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerda Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino 28
29 Onda en una cuerda: energía transmitida y( x, t) Asen( kx t) Potencia: P Ft vt Fv t t sen Ondas lineales A<<l sen tan y y Válido para cualquier P Fv t t tan Ft t x forma de onda P F kacos( kx t) Acos( kx t) 2 v t v P x t v A kx t (, ) cos ( ) 29
30 Onda en una cuerda: energía transmitida Potencia promedio: T T (, ) cos ( ) 1 1 Pm P x t dt v A kx t dt T T Pm v A Es la mitad de la potencia instantánea máxima 2 2 P A, : general para ondas sinusoidales m
31 Onda en una cuerda: energía transmitida Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo: La energía viaja a la velocidad de la onda x E P t P v m m m Em A x 31
32 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total Transmisión Superposición de ondas. Ondas estacionarias 32
33 Reflexión y transmisión de ondas Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinito Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios. Fenómenos relacionados: Reflexión: onda que regresa Ejemplo: eco Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio Ejemplo: luz en el agua 33
34 Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo fijo Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido 34
35 Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre Pulso reflejado con la misma forma que el incidente 35
36 Reflexión y transmisión de ondas Reflexión-transmisión: onda en una cuerda Cuerda pesada unida a otra más ligera Onda reflejada no se invierte Cuerda ligera unida a otra más pesada Onda reflejada es invertida 36
37 Reflexión y transmisión de ondas Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante Ejemplo: oído interno de los peces Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante Ejemplo: radiocomunicación 37
38 Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas Principio de superposición Interferencia de ondas armónicas Ondas estacionarias 38
39 Superposición de ondas En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente Ejemplo: varias personas hablando a la vez Principio de superposición: Cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones provocadas por cada onda Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas 39
40 Superposición de ondas Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen 41
41 Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas y Asen( kx t) 1 y Asen( kx t ) 2 y y 2Acos( )sen( kx t ) ( Donde hemos usado: sen asen b2cos( )sen( ) ) a b a b 2 2 Onda resultante con la misma f y l La amplitud depende de d (diferencia de fase) 42
42 Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas y1 y2 2Acos( 2)sen( kx t 2) A Si d=0, cos(d/2)=1 y A =2A; interferencia constructiva Onda 1 Onda 2 Onda resultante Si d=p, cos(d/2)=0 y A =0; interferencia destructiva Onda 2 Onda resultante Onda 1 43
43 Superposición de ondas: Ondas estacionarias (I) Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia, viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas: y Asen( kx t) 1 y Asen( kx t) 2 y y1 y2 2Asen( kx)cos( t) ( De nuevo, usamos: sen asen b2cos( )sen( ) ) Nodos: a b a b 2 2 sen( kx) 0 kx n x n 2 Vientres: 1 1 sen( kx) 1 kx n x n
44 Superposición de ondas: Ondas estacionarias (II) Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda estacionaria en un periodo completo: y y P F F ( 2Asen( kx)sen( t))( k2acos( kx)cos( t)) t t t x P FkA 2 sen(2 kx)sen(2 t) t T T P P x t dt sen(2 ) sen(2 ) dt (, ) t m F ka kx t T 0 0 P m F ka kx 2 sen(2 ) 1 sen(4 ) sen(0) 0 No se propaga t T T 45
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