Fundamentos de acústica

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Fundamentos de acústica"

José María Alvarado Godoy
hace 6 años
Vistas:

1 Tema 1 Fundamentos de acústica 1.1 Introducción Definición del sonido El sonido es una vibración mecánica que se transmite a través de un medio elástico, capaz de producir una sensación auditiva debido al cambio de presión que ejerce sobre el oído En el aire se propaga como pequeñas fluctuaciones de la presión atmosférica, por encima y por debajo del valor estático Presión acústica (sonora) p p = P P 0 [ Pa = N/m 2 ] P : Presión atmosférica total P 0 : Presión atmosférica estática (= 1, N/m 2 al nivel del mar y 0 C)

2 1.1 Introducción Ondas sonoras Una onda sonora es una variación periódica de la presión acústica T : periodo f: frecuencia ω: frecuencia angular λ: longitud de onda c: velocidad del sonido Página 2

3 1.1 Introducción Tonos puros Ondas sonoras que en un punto del espacio varían según la fórmula Sonidos periódicos p (t) = A sen (2πf t) Ondas sonoras que, mediante el análisis de Fourier, se expresan como una suma de tonos puros p = N A n sen (2πnf 0 t) n=1 Presión acústica eficaz p ef Valor cuadrático medio de la presión acústica en un punto a lo largo de un periodo T [ ] 1/2 1 T p ef = p 2 (t) dt T 0 Para tonos puros [ 1/2 1 T p ef = (A sen (2πf t)) dt] 2 = A T 2 0 Página 3

4 1.1 Introducción Nivel de presión sonora Los sonidos audibles cubren un rango de presiones eficaces muy amplio. Para poder manejar ese rango tan amplio se introduce el nivel de presión sonora SP L = 20 log p ef p ref p ref = N/m 2 Rango audible 0 db SPL 120 db SPL 16 Hz 20 khz Página 4

5 1.2 La ecuación de onda acústica 1.2 La ecuación de onda acústica Se obtiene de ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos y de la termodinámica Conservación de la masa En un volumen arbitrario ρ dv = V S ρ u n ds Aplicando el teorema de Gauss ρ dv = (ρ u) dv V Como el volumen de integración es arbitrario ρ V = (ρ u) Ley de conservación de la masa en la forma diferencial Página 5

6 1.2 La ecuación de onda acústica Ecuación de Euler Por la segunda ley de Newton, en un volumen de gas arbitrario pero pequeño, en el que la velocidad de las partículas se puede considerar constante en todo él V ρ d u dt dv = S P n ds u es función del tiempo y de la posición d u dt = u + ( u ) u Substituyendo y aplicando el teorema de Gauss ( ) u ρ + ( u ) u dv = P dv V Al ser el volumen de integración arbitrario ( ) u ρ + ( u ) u = P Ecuación de Euler del movimiento en un fluido V Página 6

7 1.2 La ecuación de onda acústica Relación entre presión y densidad Por la ley de los gases ideales P = ρrt donde R es la constante de los gases ideales y T es la temperatura absoluta del gas En una onda sonora el cambio de presión es adiabático: el periodo de oscilación es corto y no hay tiempo para intercambios de calor Por la ley de los gases adiabáticos P = Kρ γ donde K es una constante y γ es el coeficiente adiabático Página 7

8 1.2 La ecuación de onda acústica Linealización Para una onda sonora P = P 0 + p, p << P 0 ρ = ρ 0 + ρ, ρ << ρ 0 u = u, u 0 = 0 Ecuación linealizada de conservación de la masa ρ = ρ 0 u Ecuación linealizada de Euler ρ 0 u = p Ecuación lineal de estado p = c 2 ρ [ c 2 = γrt ] Página 8

9 1.2 La ecuación de onda acústica La ecuación de onda Derivando las ecuaciones linealizadas de conservación de la masa y de Euler 2 ρ 2 = ρ 0 u ρ 0 u = 2 p Combinando estas ecuaciones 2 p 2 ρ 2 = 0 Aplicando la ecuación lineal de estado 2 p 1 c 2 2 p 2 = 0 Ecuación de onda sonora homogénea de presiones Página 9

10 1.2 La ecuación de onda acústica Ecuación de energía Multiplicando las ecuaciones linealizadas de conservación de la masa y de Euler p ρ u uρ 0 = pρ 0 u = u p Combinando estas ecuaciones (p u) = p ρ 0 ρ ρ 0 u u Aplicando la ecuación lineal de estado Ecuación de energía D + I = 0 D = 1 2 ρ 0 u Densidad de energía sonora p 2 ρ 0 c 2 I = p u Intensidad sonora [potencia por unidad de área] Página 10

11 1.2 La ecuación de onda acústica Ondas planas Cuando sólo existe dependencia de una coordenada cartesiana, x, y del tiempo; la ecuación de onda se reduce a 2 p x p c 2 2 = 0 La solución general de esta ecuación es p (x, t) = f (x ct) + g (x + ct) f (x ct) representa una onda plana que viaja en la dirección positiva de x con velocidad c g (x + ct) representa una onda plana viajando en la dirección negativa de x con velocidad c La ecuación linealizada de Euler es La solución es u x = ρ 0 u x f (x ct) ρ 0 c = p x g (x + ct) ρ 0 c Página 11

12 1.2 La ecuación de onda acústica Ondas esféricas Cuando sólo existe dependencia con la distancia radial a un punto, r, y el tiempo; la ecuación de onda se reduce a 1 r 2 (pr) r 2 1 c 2 2 p 2 = 0 La solución general de esta ecuación es p (r, t) = f (r ct) r + g (r + ct) r f (r ct) /r representa una onda esférica que se aleja del centro con velocidad c g (r + ct) /r representa una onda esférica que se aproxima al centro con velocidad c La ecuación linealizada de Euler es ρ 0 u r = p r Página 12

13 1.3 Representación compleja 1.3 Representación compleja Para ondas armónicas p ( r, t) = Re [ p ( r) e j ω t] u i ( r, t) = Re [ û i ( r) e j ω t] p ( r) y û i ( r) son amplitudes complejas Para ondas armónicas planas p (x) = Â e j k x + B e j k x û x (x) = Â ρ 0 c e j k x Para ondas armónicas esféricas B ρ 0 c ej k x p (r) = Â r e j k r + B r ej k r û r (r) = ( ) Â e j k r jkr ρ 0 c r ( 1 1 ) B e j k r jkr ρ 0 c r Página 13

14 1.3 Representación compleja Operando con la representación compleja La derivada respecto del tiempo es p = Re [ jω p e j ωt] La integral respecto del tiempo es [ ] p e jω p dt = Re j ωt El valor medio del producto de dos ondas es p 1 p 2 = 1 T T 0 p 1 p 2 dt = 1 2 Re [ p 1 p 2 ] El valor eficaz es p ef = p 2 = 1 2 Re [ p p ] = p 2 Página 14

15 1.4 Ecuación de Helmholtz 1.4 Ecuación de Helmholtz Es una versión particular de la ecuación de onda homogénea para las amplitudes complejas de las ondas armónicas Se obtiene introduciendo la representación compleja en la ecuación de onda homogénea 2 Re [ p e jωt] 1 c Re [ p e jωt] = 0 Re [ 2 p e jωt + k 2 p e jωt] = 0 2 p + k 2 p = 0 La ecuación linealizada de Euler para las amplitudes complejas de ondas armónicas es j ω ρ 0 û = p Página 15

16 1.5 Otras magnitudes acústicas 1.5 Otras magnitudes acústicas Impedancia acústica específica Por analogía con los sistema eléctricos Ẑ s = p û Esta cantidad indica como es la oposición que un sistema acústico presenta al movimiento de sus partículas cuando se le aplica una presión Para ondas planas propagándose en la dirección positiva Ẑ s = p û x = ρ 0 c Para ondas esféricas propagándonse al infinito Ẑ s = p ( ) j kr = ρ 0 c û r j kr + 1 Obsérvese como si kr >> 1 las dos expresiones coinciden Página 16

17 1.5 Otras magnitudes acústicas Velocidad volumétrica U Es la derivada respecto al tiempo del volumen que atraviesa una superficie Para ondas planas en el interior de un tubo de sección S interesa considerar la superficie S U = dv dt = S dx dt = S u x Si las ondas son armónicas planas Û = S û x Para ondas esféricas interesa considerar la superficie de una esfera Û = S r û r = 4πr 2 û r Página 17

18 1.5 Otras magnitudes acústicas Intensidad acústica Es el flujo de potencia por unidad de área I = p u [ W/m 2] Para ondas armónicas, se define la intensidad acústica media como I ef = 1 [ p 2 Re û ] = [ ] n p 2 Re Ẑ s = n 1 ] 2 û 2 Re [Ẑs Para ondas armónicas planas y esféricas, se define la intensidad acústica eficaz como I ef = I ef = p2 ef ρ 0 c El nivel de intensidad sonora es I ref = W/m 2 NI = 10 log (I ef /I ref ) Página 18

Documentos relacionados

PROBLEMAS DE ONDAS. Función de onda, Autor: José Antonio Diego Vives. Documento bajo licencia Creative Commons (BY-SA)

PROBLEMAS DE ONDAS. Función de onda, energía. Autor: José Antonio Diego Vives Documento bajo licencia Creative Commons (BY-SA) Problema 1 Escribir la función de una onda armónica que avanza hacia x negativas,