Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte Física del Estado Sólido II

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María José Ávila Martínez
hace 7 años
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1 Dinámica de electrones Bloch y Propiedades de Transporte Física del Estado Sólido II Rubén Pérez Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada Universidad Autónoma de Madrid Curso

2 Índice 1.1 Transporte con electrones libres: colisiones, conductividad térmica y Efecto Hall 1.2 Dinámica Semiclásica de electrones Bloch 1.3 Ecuación de Boltzmann y Aproximación del tiempo de relajación 1.4 Conductividad Eléctrica DC 1.5 Efectos termoeléctricos (Dinámica en presencia de gradientes de temperatura y potencial eléctrico) 1.6 Transporte en presencia de campos magneticos. Superficies de Fermi. Efecto Hall y Magnetoresistencia. 1.7 Mecanismos microscópicos de dispersión (defectos, fonones). Dependencia de la resistividad con la temperatura. 1.8 Transporte en sistemas nanométricos: Cuantización de la conductancia. Efecto Hall Cuántico.

3 1.1 Transporte con electrones libres: conductividad eléctrica, colisiones, conductividad térmica y Efecto Hall

4 Modelo de Drude: Teoría cinética del gas de electrones de conducción Electrones de conducción: Los electrones de valencia (Z) se desprenden de los átomos que forman el metal y se mueven libremente por el mismo. Densidad electrónica n (ρ:densidad del metal; m at :masa atómica) n = N V = Z ρ m at V N = 1 n = 4πr s 3 ( ) 3 1/3 3 ; rs = 4πn

5 Modelo de Drude: Suposiciones básicas 1. Los electrones no interaccionan con otros electrones (Aproximación de electrones independientes) ni con los iones de la red ( Aprox. de electrones libres) excepto por el hecho de que estan confinados en el volumen del cristal. 2. En presencia de campos externos (Ē, H), los electrones siguen las leyes de Newton ( d p = F = e Ē + p ) dt mc H 3. Conducción eléctrica infinita!!: tenemos que considerar la presencia de colisiones que mantienen en equilibrio el sistema. d p dt = eē p(t) = eēt (t ) 4. Colisiones: eventos instantaneos que alteran la velocidad del electron (mecanismos microscópicos??) 5. Un electron experimenta una colisión con una probabilidad 1 por unidad de τ tiempo.τ: tiempo de relajación. 6. Los electrones alcanzan el equilibrio térmico con su entorno a través de las colisiones. Las colisiones mantienen el equilibrio termodinámico local: después de una colisión, el e sale con una velocidad independiente de la que tenia antes de la colisión, dirigida al azar y con un valor consistente con la temperatura en el lugar en el que se produjo la colisión (cuanto más caliente sea una region, mayor será la velocidad de salida después de la colisión)

6 Resistividad (ρ) y Conductividad (σ) eléctrica. Densidad de corriente Ley de Ohm V = IR. R depende de la geometría resistividad electrica ρ: Ē = ρ j (en general, tensor) Densidad de corriente: vector, paralelo al flujo de carga, cuyo módulo nos da la carga que atraviesa la unidad de superficie normal al flujo por unidad de tiempo ( j = I A R = ρl para un conductor de longitud L y sección A.) A En nuestro gas de electrones: j = ne v Ē = 0: < j>= ne < v>= ne v avg = 0 (los electrones se mueven en cualquier dirección con igual probabilidad) Ē 0: v(t) = v 0 eēt/m ( v 0: velocidad después de la última colisión) Otro argumento: v avg =< v 0 > eē <t > m = eē τ m j = σē; σ = 1 ρ = ne2 τ m las colisiones generan una fuerza disipativa!! Un electron en t habra sufrido una colisión en t + dt con una probabilidad dt/τ p(t + dt) = (1 dt [ τ ) p(t) + F(t)dt + O(dt) 2] + dt F(t)dt τ }{{} han tenido colisión p(t + dt) p(t) = ( ) dt p(t) + F(t)dt + O(dt) 2 τ d p(t) dt = p(t) τ + F

7 Resistividades eléctricas y Tiempos de relajación

8 Conductividad térmica (κ). Ley de Wiedemann-Franz Suponemos que los electrones son responsables de la conducción térmica (los metales son mejores conductores que los aislantes) densidad de corriente térmica: jq = κ T (vector al flujo de calor y cuyo módulo nos da la energía termica por unidad de tiempo que cruza la unidad de area al flujo) Si mantenemos una diferencia de temperatura entre dos puntos, en el estado estacionario habra una corriente térmica fluyendo entre ellos: Después de cada colisión un e emerge con una velocidad apropiada a la temperatura local.

9 Conductividad térmica (κ) Argumento sencillo para el cálculo de la conductividad térmica κ = 1 3 v 2 τc v ε(t [x ]): energía térmica promedio de un e que ha tenido su última colisión en x El e que llega a x desde el lado de alta temperatura, en promedio, ha tenido su ultima colisión en x vτ j q (x) = 1 2 nv e que vienen del lado de alta temperatura {}}{ ε(t [x vτ]) ε(t [x + vτ]) }{{} e que vienen del lado de baja temperatura Si la variación de temperatura en el recorrido libre medio l = vτ es pequeña, podemos desarrollar alrededor de x j q (x) = nv 2 τ dε ( dt ) = dt dx }{{} 1D 3D jq = 1 3 v 2 τc v ( T ) donde en el paso 1D 3D hemos reemplazado v por v x y utilizado: <v 2 x >=<v 2 x >=<v 2 x >= 1 3 v 2 n dε dt = N dε V dt = 1 de V dt = cv calor específico electrónico

10 Conductividad térmica. Ley de Wiedemann-Franz (1853): κ σt c v = π2 2 ( kb T ε F 1 κ σ = cv mv 2 3 ne 2 independiente de τ!! Si aplicamos las ideas del gas de electrones clásico c v = 3 2 nk B y 1 2 mv 2 = 3 2 k BT : κ σt = 3 2 ( ) 2 kb = watt-ohm/k 2 e Cancelación de dos errores: La contribucion electrónica al c v a temperatura ambiente es 100 veces más pequeña que la predicción clásica v 2 media de los electrones es 100 veces mayor. Sommerfeld: electrones libres con estadística Fermi-Dirac!! ) nk B, vf 2 = 2ε F m κ σt = π2 3 ( ) 2 kb = watt-ohm/k 2 e

11 Efecto Hall: electrones en campos Ē y H cruzados (I) Dos cantidades relevantes: Magnetoresistencia: ρ(h) = Ex j x Coeficiente Hall: R H = Ey j x H Fuerza de Lorentz F = q (Ē + p mc H ) d p(t) dt = p(t) τ que actua sobre cada electron (q = e) ( e Ē + p ) mc H En estado estacionario, usando ω c = eh mc, = σ 0 E x = ω cτj y + j x σ 0 E y = ω cτj x + j y ( ωcτ El campo Hall E y esta determinado por j y = 0 = E y = σ 0 R H = 1 nec = 1 nqc ) ( ) H j x = j x nec R H nos da acceso al signo de la carga y a la densidad de los portadores!!

12 Efecto Hall: electrones en campos Ē y H cruzados (II) 1/R H nec para Al como función de ω cτ (un único portador con carga positiva!!) j y = 0 = j x = σ 0 E x : la resistencia no depende de H. Experimentos: cambios drámaticos en muchos materiales ω c: frecuencia ciclotron (freq. angular de la órbita clásica) ω cτ es una buena medida de la intensidad del campo magnético: ω cτ : los e pueden completar sólo una parte pequeña de la orbita entre colisiones. ( H deforma poco las órbitas electrónicas) ω cτ : los e completan muchas orbitas entre colisiones. ( H cambia drásticamente las órbitas electrónicas)

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