Apéndice I Capa límite

Transcripción

1 Apéndice I Capa límite Capa límite. Aproimadamente hasta antes de 860, el interés de la ingeniería por la mecánica de flidos se limitaba casi eclsivamente al fljo del aga. La complejidad de los fljos viscosos, en particlar de los fljos trblentos, restringió en gran medida los avances en la dinámica de flidos hasta qe el ingeniero alemán Ldwig Prandtl observó en 904 qe mchos fljos peden separarse en dos regiones principales. La región próima a la sperficie está formada por na delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos en la qe pede simplificarse mcho el modelo matemático. Fera de esta capa límite, se peden despreciar los efectos de la viscosidad, peden emplearse las ecaciones matemáticas más sencillas para fljos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos del diseño de trbinas de gas compresores. El modelo de la capa límite no sólo permitió na formlación mcho más simplificada de las ecaciones de Navier-Stokes en la región próima a la sperficie del cerpo, sino qe llevó a nevos avances en la teoría del fljo de flidos no viscosos, qe peden aplicarse fera de la capa límite. Gran parte del desarrollo moderno de la mecánica de flidos, posibilitado por

2 el concepto de capa límite, se ha debido a investigadores como el ingeniero aeronático estadonidense de origen húngaro Theodore von Kármán, el matemático alemán Richard von Mises el físico meteorólogo británico Geoffre Ingram Talor. En los antecedentes históricos esta datado qe a partir de 860, aproimadamente, se comenzó el trabajo con otros flidos, debido al desarrollo de la indstria el srgimiento de nevas necesidades en los procesos; lo cal conlleva al conocimiento del comportamiento de dichos flidos qe comparados con el aga o el aire son más viscosos. Sin embargo ofrecen gran resistencia a n objeto qe se meva en s seno. Ejemplo de capa límite laminar. Un fljo laminar horizontal es frenado al pasar sobre na sperficie sólida (línea gresa). El perfil de velocidad () del flido dentro de la capa límite (área sombreada) depende de la distancia a la sperficie (). Debido al rozamiento, la velocidad del flido en contacto con la placa es nla. Fera de la capa límite, el flido se desplaza prácticamente la misma velocidad qe en las condiciones iniciales ( 0 ). En mecánica de flidos, la capa límite o capa fronteriza de n flido es la zona donde el movimiento de éste es pertrbado por la presencia de n sólido con el qe está en contacto. La capa límite se entiende como aqella en la qe la velocidad del flido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no pertrbada. La capa límite pede ser laminar o trblenta; anqe también peden coeistir en ella zonas de fljo laminar de fljo trblento. En ocasiones es de tilidad qe la capa límite sea trblenta. En aeronática aplicada a la aviación comercial, se sele optar por perfiles alares qe generan na capa límite trblenta, a qe ésta permanece adherida al perfil a maores ánglos de ataqe qe la capa límite laminar, evitando así qe el perfil entre en pérdida, es decir, deje de generar sstentación aerodinámica de manera brsca por el desprendimiento de la capa límite. El espesor de la capa límite en la zona del borde de ataqe o de llegada es peqeño, pero amenta a lo largo de la sperficie. Todas estas características varían en fnción de la

3 forma del objeto (menor espesor de capa límite canta menor resistencia aerodinámica presente la sperficie: ej. forma fsiforme de n perfil alar). La capa límite se estdia para analizar la variación de velocidades en la zona de contacto entre n flido n obstáclo qe se encentra en s seno o por el qe se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la eistencia de la viscosidad, propiedad inherente de calqier flido. Ésta es la casante de qe el obstáclo prodzca na variación en el movimiento de las líneas de corriente más próimas a él. La variación de velocidades, como indica el principio de Bernolli, conlleva na variación de presiones en el flido, qe peden dar lgar a efectos como las ferzas de sstentación de resistencia aerodinámica. Teoría de la capa límite. En 904 Ldwig Prandlt indicó qe los efectos de la fricción qe ejerce n flido a altos Renolds están limitados a na capa delgada cerca del cerpo sobre el qe se desliza n flido. Además indicó qe no ha cambios significativos de presión en la capa de separación lo qe significa qe la presión en esta capa es la misma qe en el flido qe está arriba de la capa. La capa de separación sobre na placa delgada se mestra en la figra sigiente. El greso de esa capa es tomada arbitrariamente como la distancia desde la sperficie de la placa en la cal la velocidad alcanza el 99% de la velocidad de flido libre. En el caso de la transferencia de calor esa capa es igal a la distancia en donde T =0.99 T 0, siendo la temperatra del flido T 0. En la sigiente figra se ilstra como amenta el greso de la capa al amentar la distancia desde el eje de entrada. A relativamente valores peqeños de el fljo dentro de la capa de separación es laminar, esto se designa como la región de la capa de separación laminar. A valores maores de aparece na región de transición. Finalmente a n cierto valor de la capa será trblenta. En la región en donde la capa de separación es trblenta, también eiste, como se mestra, na capa m delgada de flido qe se meve a régimen laminar qe se llama sb capa laminar. 3

4 Los criterios para este tipo de capas es la magnitd del número de Renolds, (Re )conocido como Renolds local qe está basado en la distancia desde el eje de entrada. El número de Renolds local es: v Re Para el fljo sobre placas planas los datos eperimentales indican qe: (a) (b) Re 5 0 la capa es laminar; Re 3 0 la capa de separación pede ser o laminar o trblenta. ( c ) Re la capa de separación es trblenta. Para determinar el espesor de la capa el coeficiente de fricción para fljo incompresible sobre na sperficie plana se deben satisfacer simltáneamente las ecaciones de continidad, de cantidad de movimiento de energía. 4

5 La dedcción de la ecación de transferencia de energía dentro de la capa límite se efectó en el capítlo anterior. De lo anterior se obtiene qe las ecaciones qe rigen dentro de la capa límite son: 0 ecación de continidad () la ecación de cantidad de movimiento () Blasis tilizó las ecaciones () ( ) para resolver el caso del fljo en la capa límite laminar. Las condiciones límites son: 0 a 0 a Richard Heinrich Blasis ( ) ingeniero catedrático alemán. S principal área de interés fe el estdio de las resistencias, en relación al fljo de flidos. 5

6 0 la semejanza entre las ecaciones ( ) () es notoria Blasis empleó la solción si : en donde viscosidad cinemática Al graficarse como fnción fnción de si se divide por el greso de la capa hidrodinámica se divide entre se obtiene la sigiente crva: matemáticamente esto es: f Con esto la ecación de momento se redce a na ecación diferencial ordinaria de tercer orden mediante na transformación de variables qe combinan a las variables para formar otra. 6

7 7. La solción del problema para fljo laminar sobre na placa plana con, como fnciones de, las obtvo Blasis por primera vez redciendo las ecaciones () () a na sola ecación diferencial no lineal la cal resolvió como na serie. Los detalles de la dedcción están fera de la aplicación de este libro. Antes de presentar la solción se debe notar qe la neva variable pede maniplarse para introdcir el Renolds local definido por: Re mltiplicando dividiendo por la variable nos da: Re La figra sigiente mestra la solción presentando la relación fncional entre Re, en forma tablar gráfica:

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9 El perfil de velocidades mostrado en la figra pede tilizarse para determinar cómo crece la capa de separación hidrodinámica con la distancia de entrada. Se observa qe es igal a 0.99 cando Re es igal a 5. Y pesto qe 5 5 Re cando se concle qe: El retardo qe sfre el flido al pasar sobre la placa se debe solamente a la fricción sperficial esta se calcla en fnción del esferzo cortante sobre la sperficie cando 0 para calqier valor de 0 La información de la figra se pede sar para determinar el esferzo 0 cortante en la pared. De la figra se observa qe la pendiente de la fnción sperficie es: X en la Re entonces: / (5) / Re de allí qe Sin embargo a maor distancia del objeto la trblencia amenta debido a qe dentro de la capa límite se incrementa la velocidad, lo cal se ve reflejado en el espesor (Distancia del seno o sperficie hasta el pnto donde la velocidad del flido difiere de na velocidad 9

10 constante o media) de ésta qe también crece, qe es eplicado por la desaceleración qe sfre el flido a casa del esferzo cortante o sea la viscosidad. Es este fenómeno el qe despertó el interés por el estdio en la manifestación de la capa límite. Para maor claridad se peden analizar los sigientes objetos. ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE. Ya con estos ejemplos comentarios es posible entender el por qé este fenómeno es más complejo qe el comportamiento de calqier otro tipo de fljo; sin embargo hasta este pnto no hemos tocado para nada la parte cantitativa o práctica del fenómeno. Definiendo como capa límite la elevación por encima de la frontera qe cbre na región del fljo donde eiste n gradiente de velocidad alto, en consecencia, efectos viscosos qe se tienen en centa; esta es difícilmente delimitable dentro de los perfiles qe presentan los fljos. Sin embargo eisten varias "definiciones" de la capa límite qe son bastante útiles, como: -Considerar qe el espesor es la distancia desde la pared hasta donde la velocidad del flido es igal al 99% de la velocidad de la corriente libre. -El trabajo realizado por Blassis para calclar el espesor de la capa límite laminar se basó en las ecaciones de Navier Stokes las ecaciones de continidad donde despés de na solción analítica encontró: 0

11 Haciendo na recopilación de conceptos sobre la capa límite tenemos: Tiene n espesor m peqeño del orden de micras. Se sienten intensamente los efectos de la viscosidad rozamiento anqe sea peqeña, a qe el gradiente de velocidades es grande. La resistencia a la deformación debida a la viscosidad tiene lgar, en todo el seno del flido real; pero la viscosidad es peqeña, solo tiene importancia en na pelícla fina, es decir, se tiene n rozamiento de sperficie. Fera de esta pelícla, n líqido poco viscoso, como el aire o el aga, se comportan como n flido ideal. Fera de la capa límite se peden aplicar todos los métodos matemáticos eperimentales qe permitan trazar las líneas de corriente alrededor del contorno obtener la distribción de presiones en las cercanías de las paredes sólidas del cerpo. Utilizando la distribción de velocidades de presiones por la teoría del flido ideal en las vecindades de la pared, se pede determinar la evolción del flido en la capa límite los esferzos ejercidos sobre la pared; a qe la presión se transmite a través de ésta sin cambiar de dirección. Por último se pede conclir qe en la capa límite tienen lgar eclsivamente los fenómenos de viscosidad en los flidos poco viscosos, tales como el aire el aga. Ejemplo.

12 Se tiene na placa delgada plana paralela al fljo de aire. La velocidad del aire es de m/s está a300 K atm. Calcle el greso de la capa hidrodinámica de fljo..- Tradcción..- Discsión. Si se spone el fljo sobre la sperficie se pede obtener el greso de la capa si se obtiene el Renolds...- Greso de la capa δ H L = 5 Re L Cálclos Renolds Greso de la capa. Re L = Re L = ρ L μ = δ H L = = δ H = = 5.4 mm

13 4.-Resltado. El greso de la capa de separación es de 5.4 mm. Esto es peqeño comparado con la longitd de la capa (menos del 4%). Los flidos al pasar sobre los sólidos ejercen na ferza sobre ellos llamada ferza de arrastre. Por ejemplo la ferza de arrastre sobre na placa sería: F = C D (L W)(0.5 ρ ) En donde L es la longitd W el ancho de la placa. El Renolds qe se aplica es: Re L = ρ L μ El coeficiente de arrastre C D está definido como: En donde el coeficiente de arrastre es: Ejemplo. C D = F D L W 0.5ρ C D =.38 Re L 0.5 Cál es la ferza qe ejerce el aire sobre na placa de 70 mm de ancho por 50 mm de profndidad? El aire fle a m /s a 300 K atm..- Tradcción..- Discsión. La ferza de arrastre se ejerce sobre las dos caras. 3

14 .3.- Ferza. F = C D (L W)(0.5 ρ ) 3.- Cálclos Coeficiente C D =.38Re L =.38(9000) -0.5 = Ferza por na cara Ferza por las dos caras. F = N F D=0.0096(0.50)(0.070)(0.5)(.77)() = N Ejercicios de atoevalación..- Qé velocidad se reqiere para tener n greso de capa de mm en la longitd de la placa de 0.5 m? Hágalo para aga a 5 C atm..-si fle aga a la velocidad de m /s sobre na placa de 5 cm de longitd a 5 C atm. Cál será el espesor de la capa de separación? 4