Fórmulas generales III FÓRMULA DE LA POTENCIA

Transcripción

1 III FÓRMULA DE LA POTENCIA Las fórmlas vistas en el capítlo anterior feron my específicas para integrales de x elevada a calqier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo qe está elevado a la potencia n es la pra variable x, sino na fnción completa. Para eso, de manera my similar a lo qe ocrrió con las derivadas, se reqieren fórmlas generales. Todas las fórmlas qe se verán de aqí en adelante son fórmlas generales, es decir en términos de, no de x. Y algo my importante: para cada fórmla general debe emplearse n procedimiento llamado cambio de variable, el cal se explicará con detalle en cada no de los ejemplos sigientes. El estdiante qe no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado a no poder integrar ningna fnción. De manera my general, los pasos fndamentales en todo cambio de variable son: a) Seleccionar ; b) Una vez hecha la elección de, calclar inmediatamente despés la diferencial de, es decir, d. Todo cambio de variable debe transformar la integral original en na fórmla. 7

2 FÓRMULAS GENERALES: n + n (6) d + c, para n n + (7) d ln c + La fórmla (6) pede emplearse siempre qe n sea diferente de menos no, ya qe si vale menos no el denominador de la fórmla se velve cero y hay qe recordar qe en matemáticas no se vale dividir entre cero porqe da infinito. En caso de qe n valga menos no se obtiene realmente la fórmla (7). x Ejemplo : Integrar ( ) 7 Solción: Obsérvese qe lo qe está elevado a la séptima potencia no es la variable x, sino el polinomio x. Por lo tanto, no pede emplearse la fórmla (), sino la (6), lo qe significa qe debe ser x -. Si x -, entonces calclando la diferencial de se obtiene qe d La fórmla (6) habla de n d, es decir qe no basta tener identificado qé es, sino qe pide tener la diferencial de, o sea, d. En este ejemplo, dicha diferencial d es, lo qe significa qe para poder emplear la fórmla (6) debe tenerse en la integral original. Pero nada más se tiene, le falta el. Si la integral original se mltiplica por se consige tener ; pero si se hace esto, para qe siga siendo lo mismo debe dividirse también entre. Haciéndolo: 8

3 x x ( ) ( ) ( ) 7 7 se divide y se mltiplica por tres al mismo tiempo Por la fórmla () de la página 9, calqier constante qe esté mltiplicando se pede echar afera de la integral, por lo qe la fracción n tercio se echa para afera, qedando: ( x ) 7 ( x ) 7 d En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en fórmla ya pede escribirse como x d ( ) c + c Una vez integrado al haber aplicado la fórmla correspondiente, se debe regresar a la variable original, sstityendo por lo qe vale. En este caso, recordar qe x - : ( ) ( x ) 8 7 x + c 4 9

4 Ejemplo : Integrar x + 8 x + 8 / Solción: Debe escribirse como ( ) Obsérvese qe lo qe está elevado a la potencia n medio no es la variable x, sino el polinomio x + 8. Por lo tanto, no pede emplearse la fórmla (), sino la (6), lo qe significa qe debe ser x + 8. Si x + 8, entonces calclando la diferencial de se obtiene qe d La fórmla (6) habla de n d, es decir qe no basta tener identificado qé es, sino qe pide tener la diferencial de, o sea, d. En este ejemplo, dicha diferencial d es, lo qe significa qe para poder emplear la fórmla (6) debe tenerse en la integral original. Pero nada más se tiene, le falta el. Si la integral original se mltiplica por se consige tener ; pero si se hace esto, para qe siga siendo lo mismo debe dividirse también entre. Haciéndolo: x + x + / / ( 8) ( 8) ( ) se divide y se mltiplica por al mismo tiempo Por la fórmla () de la página 9, calqier constante qe esté mltiplicando se pede echar afera de la integral, por lo qe la fracción n onceavo se echa para afera, qedando: 0

5 ( ) / ( ) / x + 8 x + 8 d En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en fórmla ya pede escribirse como x d ( ) / / / c c / + c Una vez integrado al haber aplicado la fórmla correspondiente, se debe regresar a la variable original, sstityendo por lo qe vale. En este caso, recordar qe x + 8: ( ) / x + 8 x c Ejemplo : Integrar 4x 0 Solción: En este caso, la fórmla a emplear es la (7), para lo cal debe hacerse

6 4x - 0 d 4 de donde La fórmla (7) habla de d, es decir qe no basta tener identificado qé es, sino qe pide tener la diferencial de, o sea, d. En este ejemplo, dicha diferencial d es 4, lo qe significa qe para poder emplear la fórmla (7) debe tenerse en la integral original 4. Pero nada más se tiene, le falta el 4. Si la integral original se mltiplica por 4 se consige tener 4; pero si se hace esto, para qe siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo: ( 4) 4 4x 0 4x 0 Por la fórmla () de la página 9, calqier constante qe esté mltiplicando se pede echar afera de la integral, por lo qe la fracción n carto se echa para afera, qedando: 4 4x 0 4 4x 0 d 4 ln c 4 + d Y regresando a la variable original, sstityendo por 4x - 0: ln( 4x 0) + c 4x 0 4

7 Ejemplo 4: Integrar ( 5 6) 4 x x ( ) 4 Solción: La integral se pede escribir como 5x 6 x. Si se hace 5x - 6, entonces s dife- rencial es d 0x. En la integral original solamente se tiene x, por lo qe le falta n 0 mltiplicando, pero para qe no se altere, se debe dividir entre 0 también. Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe qe el factor no 0 sirve, por lo qe se tiene qe sacar de la integral. Reslta: ( 5x 6) x ( 5x 6) 0x d d c c + c Y regresando a la variable original, sabiendo qe 5x - 6, se llega a: ( 5 6) 4 ( 5x 6) 5 x x + c 50

8 Ejemplo 5: Integrar 4x ( 7x 9) Solción: Sea 7x - 9, de donde d 4x Si en la integral original estviera en el nmerador 4x en vez de 4x, se tendría la diferencial de, o sea d, qe es lo qe pide la fórmla; pero no es así. Sin embargo, el problema se arregla my fácil: la constante 4 qe no sirve se echa para fera de la integral. Lego se mltiplica y se divide simltáneamente por 4, lo qe qeda así: 4 ( ) ( ) 4 x 4 4x 4 ( ) 4 7x 9 ( 7x 9) d 4 d 4 7 d + + c + c c 4 + Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a 4 + c ( 7x 9) 7( 7x 9) 4 4 Otra forma más directa de hacer el cambio de variable es mltiplicando por y así: 4 4 4

9 Sea 7x - 9, de donde d 4x x 4x ( ) 4 7x 9 ( 7x 9) 4 4x ( x ) d 4 d 4 7 d + + c + c c 4 + Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a 4 + c ( 7x 9) 7( 7x 9) COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resltado obtenido: d d d + c + 7( 7x 9 ) 7( 7x 9 ) c 5

10 d ( 7x 9) d 7 ( 7x 9) ( d 7x 9) ( 7x 9) x ( x ) ( x) ( x ) d 4x + c 7 7x 9 7x 9 ( ) ( ) Qe es lo qe se integró. Ejemplo 6: Integrar ( )( 8) 7 x x x Solción: Sea x - x - 8 de donde d (x - ) Si se mltiplica por la integral original se obtiene la diferencial de.obviamente, debe dividirse también entre : 7 7 ( x )( x x 8) ( x x 8) ( x ) 6

11 7 + 7 d c c + c 8 6 ( )( 8) 7 ( x x 8) 8 x x x + c 6 Ejemplo 7: Integrar ( 5x 0) x x + Solción: Sea x - x + de donde d (6x - ) Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al almno para qe sea capaz en este ejemplo de analizar por s propia centa el manejo de las constantes qe se va a hacer: ( 5 0) 5( ) x x + + x x x x 5 5 ( x ) x x ( 6x ) 6 x x + / 5 ( x x + ) ( 6x ) 6 7

12 5 6 / d + 5 c / 5 + c 6 5 x x + + c 6 ( ) 5x 0 5 x x + + c x x + Ejemplo 8: Integrar ( x + ) x + 8x 7 Solción: Sea x + 8x - 7, de donde d (x + 8) Nevamente se deja al estdiante analizar por s propia centa el manejo de las constantes qe se va a hacer: ( + ) ( + 4) x x x x x x 8

13 ( )( )( x + 4) x + 8x 7 ( x + 8) 8 7 x + x d d ln c + Y regresando a la variable original se llega a qe ( x + ) ln ( x + 8x 7) + c x + 8x 7 Ejemplo 9: Integrar x e x e + 0 Solción: Sea e x + 0, de donde d e x Entonces x x e e x x e + 0 e + 0 d d ln c + Y regresando a la variable original: e x e x + 0 x ln( e + 0) + c 9

14 EJERCICIO Realizar las sigientes integrales por medio de n cambio de variable: ( ) 7 ( ) ) x ) 9x ) 7x 5 4) 8x 6 5) 6) 5x + ( ) 9 9 4x ( ) 8 7) x x 8) ( )( ) 9) x + 8 5x + 80x + 0) ( ) ) 4x + 6x + x + ) 4x + ) 4) x + 9x x ( x ) 4 ( x ) ( 4x 8x) 6 ( 0x + 5) 7x + x 9 ( ) x x ( 8) 5 ( ) 5 ( ) ( ) 5) x 5x 0x + 9 6) ( ) 8x + 8x 7) 8) 4 x + x 9 e e ( 4x + ) ( 8x + x ) 4 ( 7x + 7x) ( x + x 9) 8 0