Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

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1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELASTICOS CON ELEMENTOS FINITOS MIXTOS López Gevara Sergio Felipe 1, Járez Lna Gelacio 2 y Ayala Milián Gstavo 3 RESUMEN En este artíclo se desarrollan, aproximan e implantan tres formlaciones mixtas de elementos finitos para la solción nmérica de problemas en sólidos elásticos. Los elementos finitos desarrollados aproximan dos campos: desplazamiento-esferzo y desplazamientos-deformación, así como tres campos: desplazamientodeformación-esferzo. En las tres formlaciones, los campos independientes de desplazamiento, deformación y esferzo se aproximan con polinomios de interpolación lineal. Se presentan ejemplos de aplicación qe mestran la validez de los elementos finitos mixtos implantados, como el de la solción de problemas elásticos y el de n sólido incompresible, qe con la aproximación estándar de elementos finitos presenta el problema de atoramiento volmétrico. ABSTRACT In this paper, three mixed finite element formlations are developed, approximated and implemented to obtain nmerical soltions of problems in elastic solids. The developed mixed finite elements approximate two fields: displacement-stress and displacement-strain, and also three fields: displacement-strain-stress. In the three formlations, the independent displacement, strain and stress fields are approximated with linear polynomial interpolation, respectively. Application examples are presented to show the validity of implanted mixed finite elements, sch as soltion of elastic problems and an incompressible solid, which with standard finite element approximation has the problem of volmetric locking. INTRODUCCIÓN Los problemas de ingeniería peden en general representarse por modelos matemáticos con la particlaridad de qe las ecaciones qe los describen son difíciles de resolver analíticamente para geometrías complejas, por lo cal, la resolción y simlación comptacional se hace indispensable. Es por esto qe na parte importante de la comnidad científica dedicada al análisis nmérico ha desarrollado nevas herramientas qe permiten modelar eficientemente estos modelos. El Método de los Elementos Finitos (MEF) es na herramienta qe permite obtener solciones aproximadas de las ecaciones en derivadas parciales qe representan el comportamiento de los medios continos, mediante n sistema de ecaciones algebraicas, qe relacionan n número finito de variables. Para constrir este sistema se reqiere de s formlación variacional y la aproximación de ss variables independientes con fnciones de interpolación. El so del MEF en la solción de problemas de ingeniería es cada vez más amplia y s importancia es cada día mayor. En la ingeniería actalmente se san diversos programas comerciales en el proceso análisis y diseño; simltáneamente se desarrollan nevos elementos y modelos constittivos para el estdio de problemas más complejos. El MEF bsca desarrollar formlaciones robstas desde el pnto de vista comptacional qe sean aptos para aplicaciones generales. 1 Estdiante de Posgrado, Universidad Atónoma Metropolitana, San Pablo No. 180, Col. Azcapotzalco, México, D.F.; poe_sflg@hotmail.com 2 Profesor-Investigador, Universidad Atónoma Metropolitana, San Pablo No. 180, Col. Azcapotzalco, México, D.F.; gjl@correo.azc.am.mx 3 Profesor-Investigador, Universidad Nacional Atónoma de México, Av. Universidad 3000, Coyoacán, 04510, México, D.F.; gayalam@iingen.nam.mx 1

2 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 En las formlaciones de elementos finitos se considera qe estos están conectados mediante n número discreto de pntos, llamados nodos, sitados en ss vértices. En la formlación estándar de desplazamientos, las incógnitas independientes corresponden al campo de desplazamientos las cales se aproximan dentro de cada elemento finito mediante n número de fnciones de forma o de interpolación. Existen algnas características de la formlación de n problema, de los materiales o de s aproximación qe hacen qe el modelo aproximado se torne artificialmente rígido, limitante conocida como problema de bloqeo, ya qe, al calclar los desplazamientos, estos son nlos o casi nlos, o se tienen resltados qe no representan correctamente el comportamiento de na estrctra. Este problema se presenta, por ejemplo, en la formlación de elementos finitos de desplazamientos, particlarmente cando se trata de sólidos incompresibles, i.e., cando el valor del coeficiente de Poisson es cercano a ν = 0.5. En estos casos, los esferzos se hacen extremadamente sensibles al valor de ν, por lo qe los problemas nméricos se acentúan (Zienkiewicz y Taylor 1994). En consecencia, los esferzos resltan sobrestimados y las deformaciones resltan sbestimadas; en casos severos esto pede dar lgar al bloqeo volmétrico de los elementos. Debido a estas complicaciones es importante tener formlaciones qe permitan sperar el problema de bloqeo y, además, obtener mejores resltados. Esto se pede lograr sando las formlaciones mixtas, las cales inclyen dos o más variables independientes. Estas formlaciones inclyen, en la aproximación del problema, la posibilidad de agregar variables independientes adicionales a los desplazamientos como son los esferzos, σ, las deformaciones, ε, las tracciones, t, o combinaciones de éstas. La aproximación de variables adicionales permite n mejor tratamiento de las restricciones internas prodcidas por el problema específico. Por lo anterior, este artíclo tiene como objetivo desarrollar, aproximar e implantan tres formlaciones mixtas de elementos finitos para resolver nméricamente problemas en sólidos elásticos. Los elementos desarrollados aproximan dos campos: desplazamiento-esferzo (,σ), conocida como formlación de Hellinger-Reissner, y desplazamientos-deformación (,ε), así como tres campos: desplazamiento-deformación-esferzo, conocida como formlación de H-Washiz. Estas formlaciones mixtas tienen como ventaja la posibilidad de imponer las variables independientes en la frontera, cando éstas se conocen, no sólo de desplazamientos, sino también de deformaciones y/o de esferzos, dependiendo de la formlación mixta. Se presentan ejemplos de aplicación qe mestran la validez de los elementos finitos mixtos implantados. FORMULACIÓN VARIACIONAL MODELO CONSTITUTIVO ELÁSTICO El comportamiento del material se describe por n modelo constittivo, generalmente mediante na fnción de esferzos qe depende de las deformaciones. El modelo constittivo más simple es el elástico lineal, el cal se pede derivar de la crva esferzo-deformación mostrada en la figra 1, donde el área bajo la fnción de esferzos σ(ε), corresponde a la densidad de energía de deformación ψ(ε) definida como: ( ) ( )d (1) 0 Análogamente, el área sobre la fnción de deformaciones ε(σ), corresponde a la densidad de energía complementaria ψ c (σ) definida por: ( ) ( ) d (2) o mediante la relación: c 0 c ( ) : ( ) (3) 2

3 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral Figra 1 Modelo constittivo elástico lineal El estado de esferzos y/o el de deformaciones se obtienen de la derivada de la ecación (1) y el estado de la ecación (2), respectivamente: PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA ( ) ( ) (4) ( ) ( ) (5) Para la simlación o representación de n proceso o n fenómeno físico, na de las partes fndamentales es s planteamiento matemático, qe en s forma ferte se le conoce como n problema de valores en la frontera (PVF), el cal generalmente se representa en general por n sistema de ecaciones diferenciales parciales definidas sobre na región, y por n conjnto de condiciones de frontera, qe especifican los valores de las variables involcradas y de ss derivadas de la frontera de la región. La forma ferte se refiere a qe la solción del PVF debe satisfacer cada pnto del dominio donde se define el problema. Considere el medio contino tridimensional, cyo comportamiento del material es elástico lineal con deformaciones peqeñas, con n dominio Ω R 3, pntos materiales x y frontera Γ con vector normal n, como se mestra en la figra 2, el cal se somete a las acciones del vector de ferzas de cerpo b en el interior del contino, a las tracciones prescritas t en Γ σ y los desplazamientos prescritos en Γ. La frontera Γ del contino está constitida por dos sperficies Γ y Γ σ ; Γ corresponde a la región con desplazamientos prescritos (conocidos) y Γ σ corresponde al resto de la frontera qe inclye aqellas porciones donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma qe Γ σ Γ = Γ y Γ σ Γ =. t* z * b y x Figra 2 Contino con dominio Ω El PVF del problema elástico lineal se define en forma ferte por las sigientes ecaciones y condiciones de frontera: 3

4 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 * x n = tx * x a) ε x - ε x 0 en Compatibilidad cinemática ε b) σ x - σ x = 0 en Compatibilidad constittiva c) σ x + b x = 0 en Eqilibrio interno d) σ x n = t en Eqilibrio externo e) σ x en Condiciones natrales f ) x = en Condición esencial (6) La compatibilidad entre deformaciones ε y desplazamientos para n cerpo elástico lineal son: s 1 () (7) 2 y la densidad de energía de deformación para n sólido elástico lineal se define como: 1 W( ) ( ) : C : (8) 2 El tensor constittivo elástico C contiene términos qe dependen del módlo elástico E y de la relación de Poisson. FORMULACIONES VARIACIONALES El problema de valores en la frontera del sólido elástico lineal definido por las ecs. (6) pede representarse alternativamente mediante na forma varicional, i.e., n fncional de energía. En todas las formlaciones variacionales qe a continación se presentan se considera qe la relación de las tracciones t, y los esferzos σ está dada por: donde ν es el vector normal a la frontera Γ. t = en Γ (9) En el fncional de tres campos, formlación de H-Washiz (Washiz 1955), se tienen como variables independientes los desplazamientos, deformaciones y esferzos como: Π (, σ, ) σ :( ) ( ) b d t d σ ν ( ) d (10) remplazando la ec. (3) en la ec. (10) se obtiene el fncional de energía de Hellinger-Reissner, con los desplazamientos y esferzos como variables independientes: Π, σ σ : c( σ ) b d t d σ ν ( ) d (11) Sstityendo σ=σ ε en la ec. (10) se obtiene el fncional de energía con el desplazamiento y deformación como variables independientes, definido como:, : ( ) b d t d ( ) d (12) Sstityendo ε=ε y = en la ec. (10) se obtiene el fncional de desplazamientos: 1 ( ) d d * d e 2 b t F (13) e e e La primera variación para de los fncionales dados en la ecs. (10) a (13) son, respectivamente: 4

5 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral ( ) ( ): d : d bd ( t) d ( ) d ( ) d0 ( ) c : ( b ) d d t n d ( ) d0 : ( ) d b d t d n d ( ) n d0 (14) (15) (16) ( ) b d d t 0 (17) e APROXIMACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS Para la aproximación de elementos finitos, los campos independientes en los fncionales se aproximan respectivamente como: Ndd (18) e Ne (19) σ N γ (20) donde N d contiene las fnciones de forma del vector de desplazamiento nodal d; N ε las de deformaciones nodales e; y N σ las de los esferzos nodales γ. Los campos dependientes de deformación y esferzo se determinan como: Bd (21) e ( N e) (22) ( ) d ( Bd) (23) donde B es la matriz de trasformación de desplazamientos estándar, qe contiene las derivadas de las fnciones de forma. Los esferzos y respectivamente como: y se derivan de la densidad de energía de deformación definida en la ec. (1) ε Ψ( ) σ (24) Ψ( ) ε σ (25) La aproximación de los fncionales definidos en la ecs. (10) a (13) con las variables (18) a (23) son, respetivamente, para la formlación de tres campos (,σ,ε): 5

6 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 Para la de dos campos (,σ): Para la de dos campos (,ε): Ω Ω Ω T e N ε σ (Nεe) - σ(γ) d =0 N (Ñd)- (N e) d- N ν Nd-d d=0 T d e T σ ε σ d T T B σ(γ) d- N νn γd-f =0 d σ ext d ( Bd) ( ) d0 T B (Γ ) d b d t d0 d e ( Bd) ( e) d0 T e B ( e) d b d t d0 (26) (27) (28) y para la de n campo (): T d T T B ( Bd) d N bd N t d0 (29) d e d La linealización de la formlación de tres campos (,σ,ε), definida en la ec. (26), está dada por: NCNd NNd T T T ε e ε ε σ e R1 T T T T ( NNd) 0 NBd Nν Ndd R2 d R 3 T T 0 BNd Nν Ndd 0 (30) donde los residos están definidos como: T e R1 N σ ( N ) σ ( Ne ) d T e d T R2 N ( Ne) ( d) d Nν dd T T R F B σ ( ) d N νn d 3 ext La linealización para la formlación de tres campos (,σ), definida en la ec. (27), está dada por: T T T T T d Dd Bd ( D) d ( Bd) d α T T d 0 B d Fext σ ( e) d d 0 (31) (32) 6

7 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral donde el primer término del resido es la compatibilidad cinemática entre las deformaciones, y el segndo término, eqilibrio entre ferzas externas y ferzas internas calcladas de los esferzos independientes. El sigiente término D es el tensor constittivo de flexibilidades. T La linealización para la formlación -ε, definida en la ec. (28), está dada por: T T T T T e T d d d e ( ed ) ( ) d Ce Cd B σ σ Bd (33) T T e BCed 0 d Fext ( e) d B σ donde el primer término del resido es la compatibilidad cinemática entre los esferzos, y el segndo término, eqilibrio entre ferzas externas y ferzas internas. El tensor constittivo tangente T T Ce ; Cd (34) ( e) ( Bd) es la tasa de cambio entre esferzos y deformaciones, donde σ y ε peden ser independientes, dependientes o la combinación de los dos campos. La linealización para la formlación estándar de desplazamientos, definida en la ec. (29), está dada por: T T T d BCBd d d Fext B ( Bdd ) (35) Los elementos finitos definidos en las matrices de las ecs. (30), (32), (33) y (35) se implantaron en n programa de comptadora, donde se programó únicamente el elemento finito trianglar en el qe las fnciones de interpolación empleadas para todos los campos independientes correspondieron a na aproximación lineal. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Para mostrar la validez de los elementos finitos implantados, en esta sección se presentan algnos ejemplos con las catro formlaciones desarrolladas. En la formlación estándar de desplazamientos sólo es posible prescribir los desplazamientos en la frontera, mientras qe en la formlaciones mixtas es además posible imponer, si se conocen, y/o, dependiendo de las variables qe se aproximen, e.g., en la formlación -σ es posible imponer y. VIGA EN CANTILÉVER El ejemplo consiste en na viga en voladizo sjeta a na carga P=2500kgf y empotrada en el lado izqierdo, como se mestra en la figra 3. La viga tiene n peralte de h=30cm, espesor de e=20 cm y longitd L=90 cm. La viga es de concreto simple con n módlo elástico E=221, kgf/cm 2 y na relación de Poisson ν=0.2. Se realizaron 5 mallas trianglares distintas las cales constaron de 2, 8, 32, 128 y 512 elementos, respectivamente, como se mestra en la figra 4. Para comparar las solciones nméricas obtenidas, la solción exacta de este ejemplo se tomó de Timoshenko (1951). y 90 P 30 x Figra 3 Viga en cantiléver 7

8 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 a) b) c) d) e) Figra 4 Mallado de viga con: a) 2, b)8, c)32, d)128 y e)512 elementos El desplazamiento vertical exacto es d=0.064 cm, para la energía de deformación interna W i = kgf-cm. En la figra 5 se mestra la gráfica de desplazamientos de las 5 mallas tilizadas para el problema reselto con la formlación estándar de desplazamientos, la formlación mixta -ε, -σ -ε-σ, obteniéndose el mismo valor de desplazamiento en las tres formlaciones mixtas, y en la figra 6 se mestran la energía para la solciones exacta y nmérica con las mismas aproximaciones. De las figras 4 y 5 se mestra los resltados de las catro formlaciones tilizadas en este trabajo, observándose qe con la formlación estándar, a diferencia de la mixta, se necesita de n mallado más fino para aproximarse a la solción exacta, mientras qe con las formlaciones mixtas se consige na mejor aproximación a la solción exacta con menos elementos finitos. Figra 5 Desplazamientos Figra 6 Energía En la figra 7 se mestran las gráficas de desplazamientos obtenidos para las catro formlaciones implementadas, siendo los resltados de las formlaciones mixtas los qe presentan na mejor aproximación a la solción exacta. En las figras 8 y 9 se mestran los valores de deformación y esferzos respectivamente. 8

9 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral a) b) c) d) Figra 7 Viga deformada formlación a), b) -e, c) -s, d) -e-s a) b) c) Figra 8 Deformaciones de viga con 32 elementos formlación: a), b) -s, c) -e-s a) b) b) Figra 9 Esferzos de viga con 32 elementos formlación: a), b) -s, c) -e-s 9

10 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 PRUEBA DEL PARCHE Para verificar la correcta implementación de la formlación de elementos finitos se revisó qe los elementos pasaran la preba del parche figra10. En esta preba a todos los nodos del borde derecho se les aplicó na ferza de tensión horizontal, la ferza neta aplicada fe de kg f y el borde izqierdo se consideró fijo. Las dimensiones del espécimen son de 10x10cm y con na malla de 64 elementos trianglares, módlo de Poisson ν=0.2, módlo de elasticidad E=1000 kg f /cm 2, se consideraron condiciones de esferzo plano. Como comprobación se revisó el tener desplazamientos niformes a todo lo largo del elemento. El satisfacer la preba del parche proporciona na condición sficiente de convergencia del elemento y verifica qe la programación del método ha sido correcta (Zienkiewicz y Taylor 1994). 10cm 10cm t x b) a) Figra 10 Preba del parche: a) geometría y b) malla En la figra 11 se mestran los desplazamientos horizontales, los cales en todas las formlaciones tilizadas se tiene na distribción niforme de desplazamientos, con lo qe se compreba la validez de estos elementos finitos implantados. a) c) c) d) Figra 11 Desplazamiento horizontal del parche formlación: a), b) -e, c) -s, d) -e-s En la figra 12 se mestran las deformaciones horizontales ε x, en las qe se observan mejores resltados con las formlaciones mixtas, pesto qe se obtienen mejores distribciones de las deformaciones en cada elemento en comparación con la formlación estándar, donde se obtiene n valor constante de deformación dentro de cada elemento. 10

11 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral a) b) c) Figra 12 Deformaciones de la preba del parche formlación: a), b) -s, c) -e-s MEMBRANA DE COOK Este ejemplo corresponde a la denominada membrana de Cook, la cal presenta el problema de atoramiento de desplazamientos al resolverse con la formlación de elementos finitos estándar de desplazamientos. En la figra 13 se mestra la geometría y condiciones de contorno del problema, además de las mallas tilizadas las propiedades mecánicas del material son E=1000 N/mm2 y Poisson ν= Este problema se realizó para evalar la posibilidad de bloqeo, los cales se espera se solcionen con las formlaciones mixtas. En la solción de este problema se tilizaron mallas trianglares estrctradas con 2,8, 128, 512 y 2048 elementos mostradas en la figra 14, en las qe se evalúa la convergencia de las formlaciones mixtas en comparación con la formlación de desplazamientos. y P x Figra 13 Membrana de Cook a) b) c) d) e) Figra 14 Mallado de membrana con: a) 2, b)8, c)128, d)512 y e)2048 elementos 11

12 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 En la figra 15 se mestra la gráfica de desplazamientos máximos para las catro formlaciones implementadas, como se esperaba el problema del bloqeo se presentó en la formlación estándar de desplazamientos, ya qe al aplicar la carga los elementos prácticamente no se desplazan. Al sar las formlaciones mixtas, el problema del bloqeo se spera, teniendo los mismos resltados con la formlación -e y -s, pero obteniéndose na mejor solción con la formlación mixta de tres variables -e-s. ESPECIMEN CON DOS RANURAS Figra 15 Desplazamientos máximos Un bloqe de concreto de 5cm de espesor con ranras en la parte inferior y sperior se restringe en s borde izqierdo y se somete a na carga de tensión horizontal como se mestra en la figra 16. Las propiedades del material son: módlo elástico E= kg f /cm 2 y relación de Poisson ν=0.2. Las mallas estrctradas tilizadas en la simlación constan respectivamente de 416 y 1664 elementos trianglares como se mestran en la figra 17. y 10cm 1 1cm 10cm 10cm t x Figra 16 Espécimen de concreto con ranras a) b) Figra 17 Mallado con: a) 416 y b) 1664 elementos En la figra 18 se mestran los valores de desplazamiento horizontal, x, donde se observa qe con la formlación estándar de desplazamientos se reqieren mallas mas finas para tener na mejor aproximación. En este ejemplo se observa qe la diferencia de los desplazamientos obtenidos con la formlación estándar en comparación de las formlaciones mixtas es peqeña debido a qe es n ejemplo sencillo. 12

13 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral a) b) c) Figra 18 Desplazamientos de elemento formlación: a), b) -s y -e, c) -e-s En la figra 19 se mestran los esferzos σx qe se presentan en el elemento de concreto con la malla de 416 elementos y en la figra 20 para la malla de 1664 elementos, donde se observa qe en las zonas donde están las ranras se tiene na concentración de esferzos importante en comparación a las demás zonas del espécimen. a) b) c) Figra 19 Esferzos de elemento formlación: a), b) -s, c) -e-s a) b) 13

14 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 c) Figra 20 Esferzos de elemento para la formlación: a), b) -s, c) -e-s En la figra 21 y 22 se mestran las deformaciones ε x qe se presentan en el espécimen de concreto, donde se observa na mejor distribción en las formlaciones mixtas. a) b) c) Figra 21 Deformaciones de elemento formlación: a), b) -s, c) -e-s a) b) c) Figra 22 Deformaciones de elemento formlación: a), b) -s, c) -e-s Se realizaron tres cortes en el espécimen para revisar la variación de esferzos, dos cortes en la parte sperior en la zona de las mescas donde se tiene na mayor concentración de esferzos y no en la parte media como se mestra en la figra 23. Se obtvieron los esferzos σ x a lo largo de toda la franja de corte y se graficaron como se mestra en la figras 24 a 26 respectivamente, en los cortes A y B se obtienen valores máximos de esferzo en la zona central qe es la zona de la mesca, en el corte realizado en la parte media se tiene na variación mas niforme, observándose qe la formlación mixta saviza los resltados. 14

15 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estrctral Figra 23 Cortes Figra 24 Esferzo σx en corte A Figra 25 Esferzo σx en corte B Figra 26 Esferzo σx en corte C De este trabajo se derivan las sigientes conclsiones: CONCLUSIONES a) Con base a los resltados obtenidos en los ejemplos realizados se conclye qe el so de elementos finitos mixtos spera el problema de bloqeo volmétrico, dando resltados consistentes en problemas 15

16 XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estrctral Acaplco, Gerrero 2012 qe tienen módlo de Poisson cercano a 0.5, mientras qe la formlación estándar de desplazamientos se obtienen valores de desplazamientos casi nlos. b) Con las formlaciones mixtas se tienen mejores resltados tilizando mallas gresas en comparación con los de na misma malla en la formlación estándar, esto es, reqiere de mallas más finas para obtener n mejor estado de esferzos. c) Utilizando programas de elementos finitos mixtos se mejoran los resltados obtenidos con na formlación estándar de desplazamientos, teniéndose na mejor aproximación en los campos de esferzos, deformaciones y desplazamientos. d) Para el caso de triánglos con interpolación lineal con las formlaciones mixtas se obtienen gráficos más savizados para las deformaciones y los esferzos, pes con la formlación de desplazamientos se obtienen los esferzos y deformaciones constantes en cada elemento, esto se debe a qe las formlaciones mixtas estas variables se interpolan linealmente dentro de cada elemento. e) La posibilidad de imponer las variables prescritas, cando se conocen, de deformación y/o esferzo, mejoran los estados de esferzos dentro de los elementos finitos. AGRADECIMIENTOS El primer ator agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) por la beca otorgado para ss estdios de Maestría, el segndo ator agradece al proyecto titlado Mecánica Comptacional Aplicada a la Solción de Problemas de la Ingeniería Estrctral aspiciado por la Universidad Atónoma Metropolitana. El tercer ator agradece al Programa de apoyo a proyectos de investigación e innovación tecnológica (PAPIIT), por el apoyo al proyecto titlado Simlación nmérica de proceso de falla en elementos de concreto reforzado considerando el efecto del calor de hidratación del cemento en las propiedades de concretos jóvenes REFERENCIAS Ansys (2009), Ansys , Ansys Inc. Estados Unidos. Timoshenko S. (1951), Theory of elasticity, 2ª edición, McGraw Hill, Estados Unidos. Washiz K. (1955) On the variational principles of elasticity and plasticity, aeroelastic and strctres research laboratory, technical report 25-18, MIT, Estados Unidos. Zienkiewics O. y Taylor J. (1994), El método de los elementos finitos, 4ª edición, McGraw Hill, España. 16