Sesión 1. Simulación numérica multifísica

Transcripción

1 Sesión 1. Simulación numérica multifísica M. Meis y F. Varas Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Vigo Introducción a Elmer, sofware libre de simulación numérica multifísica A Coruña, 26 de Junio al 1 de Julio de 2011

2 Plan Método de elementos finitos en un modelo simple 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

3 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

4 Un problema elemental Cálculo estático de una pieza Descripción del problema Geometría Ley constitutiva Cargas Restricciones cinemáticas

5 Formulación del problema estático Formulación clásica (ecuación de equilibrio) Equilibrio de fuerzas: divσ = ρg e 3 enω Ley constitutiva: σ = σ(ǫ( u)) Cargas y restricciones cinemáticas: σ n = F en Γ 1 (cargas contacto) σ n = 0 en Γ 2 (caras libres) u = 0 en Γ 3 (cara empotrada/fijada)

6 Formulación del problema estático (II) Formulación variacional (principio trabajos virtuales) V : campos de desplazamientos admisibles (energía finita + restricciones cinemáticas) σ(ǫ( u)) : ǫ lin ( v)dω = ρg e 3 vdω+ F vds Γ 1 Ω v V Forma abstracta del principio de los trabajos virtuales Encontrar u en V tal que Ω a( u, v) = l( v) v V

7 Análisis estático lineal Hipótesis de análisis lineal Hipótesis de pequeños desplazamientos y deformaciones (linealidad geométrica) Hipótesis de comportamiento elástico lineal (linealidad material) Ley de comportamiento lineal Elasticidad lineal: σ(ǫ( u)) = Cǫ( u) Pequeños desplazamientos: coordenadas eulerianas Pequeñas deformaciones: ǫ( u) = ǫ lin ( u) = 1 2 (D u +(D u) T )

8 Análisis estático con elementos finitos Elaboración de un modelo de elementos finitos 1 Generación de mallado de pieza 2 Hipótesis campos de desplazamiento (V h V ) 3 Ensamblado de matriz de rigidez y vector de carga

9 Obtención de un modelo de elementos finitos Formulación variacional (Principio trabajos virtuales) Encontrar u V tal que σ(ǫ( u)) : ǫ lin ( v)dω = Ω Ley de comportamiento Ω ρg e 3 vdω+ F vds Γ 1 Elasticidad lineal + pequeños desplazamientos y deformaciones: σ(ǫ( u)) = Cǫ lin ( u) v V

10 Obtención de un modelo de elementos finitos (cont.) Campo de desplazamiento en modelo de elementos finitos Principio trabajos virtuales: u h = N u j ϕ j j=1 Encontrar { u i } N i=1 (desplazamientos nodales) tal que N u j σ(ǫ lin ( ϕ j )) : ǫ lin ( ϕ i )dω j=1 Ω }{{} ρg e 3 ϕ i dω+ F ϕi ds Ω Γ }{{ 1 } = i {1, 2,...N}

11 Formulación abstracta del análisis estático Principio de los trabajos virtuales: caso continuo Encontrar u V tal que a( u, v) = l( v) v V Principio de los trabajos virtuales: caso discreto Encontrar { u i } N i=1 tal que N j=1 u j a( ϕ j, ϕ i ) }{{} = l( ϕ i) }{{} i {1, 2,...N}

12 Análisis estático con MEF Modelo de elementos de finitos Ku = f K : matriz de rigidez f : vector de cargas (nodales) u: vector de desplazam. (nodales)

13 Resolución de modelo de elementos finitos Resolución del sistema de ecuaciones matriz K simétrica y definida positiva en práctica: matriz K grande y hueca método (multi)frontal (p.e. UMFPACK) Tratamiento de restricciones cinemáticas penalización / stiff spring eliminación multiplicadores de Lagrange (reacciones)

14 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

15 Formulación del problema estático no lineal Principio de los trabajos virtuales σ(ǫ( u)) : ǫ lin ( v)dω = Ω Ley de comportamiento σ = σ(ǫ( u)) Ω ρg e 3 vdω+ F vds Γ 1 v V no linealidad material (elast. no lineal, plasticidad, etc.) dependencia no lineal σ(ǫ) no linealidad geométrica (grandes desplaz. / deformac.) tensor de deformaciones ǫ( u) no lineal Problemas con grandes desplazamientos Formulación con coordenadas lagrangianas

16 Modelo de elementos finitos en análisis no lineal Campo de desplazamientos en modelo de elementos finitos u h = N u j ϕ j j=1 Principio de los trabajos virtuales (caso discreto) Encontrar { u i } N i=1 (desplazamientos nodales) tal que Ω σ(ǫ( N j=1 u j ϕ j )) : ǫ lin ( ϕ i )dω = ρg e 3 ϕ i dω+ F ϕi ds Ω Γ 1 i {1, 2,...N}

17 Análisis estático MEF no lineal Modelo de elementos finitos Encontrar u tal que F( u) = f donde: F( u): balance de fuerzas internas ( F( u) K u ) f : fuerzas externas (sobre nodos) Linealización del modelo de elementos finitos Si u u 0 y F es regular: F( u) F( u 0 )+D F( u 0 )( u u 0 )

18 Resolución de modelo elementos finitos no lineal Resolución con método de Newton 1 Se toma u 0 cerca de solución: 2 Se itera hasta convergencia: Iteracion del método de Newton DF( u n ) }{{} ( u n+1 u n ) = f F( u n ) }{{} ensamblado de matriz de rigidez tangente ensamblado de vector de cargas desequilibradas

19 Resolución de modelo elementos finitos no lineal (cont.) Mejora (local) de robustez de Newton Se combina dirección con máximo descenso (de residuo) Se ajusta paso (line search) DF( u n ) d n = f F( u n ) u n+1 = u n +τ n dn Mejora (global) de robustez de Newton carga incremental métodos de continuación (longitud de arco)

20 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

21 Análisis dinámico con modelos de elementos finitos Descripción de un problema dinámico Geometría Ley constitutiva Cargas (temporales) Restricciones cinemáticas (temporales)

22 Formulación del problema dinámico Formulación clásica (ecuación de equilibrio) Ecuación dinámica ρ 2 u t 2 divσ = ρg e 3 enω Ley constitutiva: σ = σ(ǫ( u)) Cargas y restricciones cinemáticas: σ n = F(t) en Γ 1 (cargas contacto) σ n = 0 en Γ 2 (caras libres) u = 0 en Γ 3 (cara empotrada/fijada) Condiciones iniciales: u(, t) = u 0 u t (, t) = v 0

23 Formulación del problema dinámico (cont.) Formulación variacional Encontrar u(, t) V tal que 2 u Ω t 2 vdω+ σ(ǫ( u)) : ǫ lin ( v)dω = Ω ρ f vdω+ F vds v V t (0, T) Γ 1 Ω con condiciones iniciales Observación En pequeños desplazamientos: Ω independiente del tiempo Ω 2 u t 2 vdω = d 2 u dt 2 vdω Ω

24 Análisis dinámico con MEF (II) Campo de desplazamientos en modelo de elementos finitos u h (t) = N u j (t) ϕ j j=1 Principio trabajos virtuales (caso discreto) Encontrar { u i (t)} N i=1 tal que N j=1 d 2 u j dt 2 Ω ϕ j ϕ i dω+ Ω σ(ǫ( N j=1 u j ϕ j )) : ǫ lin ( ϕ i )dω = ρg e 3 ϕ i dω+ Ω con condiciones iniciales i {1, 2,... N} t (0, T)

25 Análisis dinámico con MEF (III) Modelo elementos finitos dinámico Modelo de elem. finitos: M d 2 u + F(u) = f(t) dt2 u(0) = u 0 du dt (0) = v 0

26 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

27 Actuador microelectromecánico Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Guckel electro-thermal actuator (MEMS) Sin tensión eléctrica Con tensión eléctrica

28 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (II) Guckel electro-thermal actuator (MEMS) problema eléctrico problema térmico (disipación Joule) problema mecánico (tensiones térmicas)

29 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos 1 Método de elementos finitos en un modelo simple 2 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos

30 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (III) Problema eléctrico div(k e V) = 0 V = 0 en borna - V = V f en borna + k e V n = 0 en resto Modelo de elementos finitos K e V h = b e

31 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (IV) Problema térmico div(k t T) = qj con q J = k e V 2 T = T b bornas T k t n = h(t T aire) resto Modelo de elementos finitos K t T h = b t (V h )

32 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (V) Problema mecánico divσ = f con ǫ( u) = C 1 σ α(t T ref )I u = 0 bornas σ n = 0 resto Modelo de elementos finitos K m u h = b m (T h )

33 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (VI) Modelo de elementos finitos completo modelo eléctrico K e V h = b e modelo térmico K t T h = b t (V h ) moddelo mecánico K m u h = b m (T h ) Estrategia de resolución Resolución (segregada) secuencial se calcula potencial V h en modelo eléctrico se calcula temperatura T h en modelo térmico se calcula desplazamiento u h en modelo mecánico

34 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (VII) Modelo más realista conductividad eléctrica dependiente de temperatura Modelo de elementos finitos completo modelo eléctrico K e (T h )V h = b e modelo térmico K t T h = b t (V h ) modelo mecánico K m u h = b m (T h )

35 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (VIII) Problema termo-eléctrico modelo eléctrico K e (T h )V h = b e modelo térmico K t T h = b t (V h ) Resolución segregada Estimaciones iniciales: V 0 h y T 0 h Resolver hasta convergencia: 1 Calcular V n+1 h en modelo eléctrico: K e (Th n n+1 )Vh = b e 2 Calcular T n+1 h en modelo térmico: K t T n+1 h = b t (V n+1 h ) 3 En caso preciso volver a [1]

36 Un problema multifísico en MEMS Modelado con elementos finitos Actuador microelectromecánico (IX) Resolución global Estimaciones iniciales: V 0 h y T 0 h Resolver hasta convergencia: 1 Calcular V n+1 h y T n+1 h en modelo termo-eléctrico (Newton) ( )( ) V n+1 K e (Th n) D Vh b T (Vh n) = 2 En caso preciso volver a [1] D T h K e (T n h )V n h K T ( Ke (T n h )V n h + b e K T T n h + b T(V n h ) h T n+1 h ) Vh n Th n