Análisis comparativo del uso de la ecuación de Euler y el estudio aerodinámico en máquinas axiales

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1 Asociación Española de Ingeniería Mecánica XVIII CONGRESO NACIONA DE INGENIERÍA MECÁNICA Análisis comparativo del so de la ecación de Eler y el estdio aerodinámico en máqinas axiales A. Cantizano, E. Arenas,. Mochón, A. Arenas Dpto. Ingeniería Mecánica. Universidad Pontificia Comillas de Madrid (ICAI) Alexis.cantizano@dim.icai.pcomillas.es Resmen a ecación qe expresa la energía por nidad de masa intercambiada en el rodete de na trbomáqina es la ecación de Eler. Esta ecación, inclso con ss restricciones, revela gran parte de lo qe scede en el rodete, y se conoce como s ecación fndamental. Ahora bien, la ecación de Eler está basada en el estdio nidimensional del fljo, de forma qe se estdia el comportamiento de todo el fljo a través de na línea de corriente representativa del conjnto. Esto es sficientemente válido cando el fljo de flido es giado por n elevado número de álabes, pero introdce fertes errores cando el número de álabes es redcido, incorporándose en algnos casos factores de corrección (coeficientes de disminción de trabajo). Por ello se ha generalizado el estdio de ciertas trbomáqinas (principalmente las axiales, tanto hidrálicas, v.g. aerogeneradores, como térmicas) mediante el método aerodinámico, abandonando así el so de la ecación de Eler. El método aerodinámico abandona la hipótesis del método nidimensional en el qe se basa la aplicación de la ecación de Eler. os álabes no se consideran ya formando condctos, sino qe son perfiles de ala inmersos en el fljo. De esta forma, en máqinas con alta velocidad específica, en las cales la distancia entre los álabes es my grande, este pnto de vista es el único admisible. En este trabajo se evalará la validez de la ecación de Eler en trbomáqinas axiales, en las qe el estdio aerodinámico reslta más preciso. Se compararán las hipótesis y restricciones establecidas en s aplicación, bscando ss conexiones desde el pnto de vista teórico y se tratará de establecer na metodología a segir. INTRODUCCIÓN a ecación de Eler sige siendo n pnto de partida a la hora de tratar de evalar la altra o energía qe intercambia el flido con la trbomáqina. Pero en el caso de las trbomáqinas axiales, existe controversia a la hora de sar, bien esta ecación fndamental o bien el método aerodinámico, debido a las diferentes hipótesis qe se deben realizar en cada no de los dos métodos para poder ser tilizados []. Con la ecación de Eler, la restricción de fljo nidimensional donde todas las partíclas se comportan de igal forma a través de la trbomáqina es imprescindible. Sin embargo, en el método aerodinámico, los álabes se consideran perfiles de ala inmersos en el fljo donde todas las partíclas flidas experimentan s inflencia mta. Además, los álabes de na trbomáqina axial no son realmente perfiles aislados sino qe forman n enrejado o cascada. También hay qe considerar qe el álabe está limitado por dos extremos, en n extremo el cbo del rodete y en el otro la carcasa o estator de la máqina. os fljos secndarios de la cara inferior a la sperior del perfil, así como la formación de los torbellinos de herradra característicos de los álabes de lz finita no son aqí posibles debido a la formlación segida [2]. Recientemente, con el so de técnicas nméricas como el CFD, se ha avanzado mcho en la comprensión del fljo tridimensional qe realmente tiene lgar en el interior de estas máqinas [3]. Pero el coste comptacional para evalar de forma precisa el comportamiento del flido, a veces hace qe sea inviable este tipo de simlaciones.

2 A. Cantizano et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (200) 2 En este trabajo se comparan los resltados obtenidos para la altra entregada por na bomba axial sigiendo ambos métodos. Se compreba la diferencia en los resltados alcanzados y se verifica qe el método de Eler es menos preciso por las fertes restricciones a las qe se ve sometida s formlación. Como conclsión se propone n factor de corrección total, qe permite relacionar ambos métodos y qe trata de aydar al diseño preliminar de este tipo de trbomáqinas. METODOOGÍA Para establecer el método aerodinámico y considerar el álabe como n perfil de ala inmerso en na corriente, se considera el efecto qe realiza el valor medio de la velocidad relativa qe atraviesa el álabe desde s pnto de entrada () a s pnto de salida (2). Con este valor medio w, las ferzas de sstentación () y arrastre (D) qe se generan en n álabe se definen, como en [4], según las Ec () y Ec (2).: C blw 2 2 () D C blw 2 2 D (2) donde C y C son los coeficientes experimentales de arrastre y sstentación, D es la densidad del flido, b es el ancho o altra del perfil y l la longitd de la cerda (Fig. ()). os coeficientes experimentales dependen de la forma del perfil, del ánglo de ataqe () y de s relación de aspecto (b/l). b l Fig.. Geometría simplificada de los perfiles en la trbomáqina axial. a ferza total P es la resltante de la ferza de sstentación y de la ferza de arrastre y forma n ánglo con tal y como se mestra en la Fig. (2), qe representa el desarrollo cilíndrico del rodete a na distancia determinada del eje de la máqina. D t 2 w P Fig. 2. Ferzas sobre n perfil en n enrejado. a potencia (W) debida a esa ferza resltante P, considerando z álabes y para na velocidad periférica, se expresa como: zw zpseno( ) (3) Así, teniendo en centa qe el cadal se evalúa como Q ztbc, siendo t el paso circnferencial (ver Fig. (2)) y m

3 Análisis comparativo del so de la ecación de Eler y el estdio aerodinámico en máqinas axiales 3 c m la velocidad meridional (en máqinas axiales c m = c a ), la altra H entregada por el rodete se expresa como: zw z /cos H Qg Qg (4) donde sstityendo las expresiones para el cadal y la Ec. () se obtiene finalmente, como en [4]: l w 2 seno( ) H C tc 2 g cos (5) m Por otro lado, los triánglos de velocidad para na máqina axial, se peden representar como en la Fig. (3): w w w2 2 c c c 2 2 c /2 c Fig. 3. Triánglos de velocidades a la mitad del álabe en la entrada, salida y promedio. Hay qe señalar qe en la Fig. (3), el ánglo qe forma la velocidad absolta c con la velocidad periférica se conoce en la literatra también como, anqe no representa el ánglo de ataqe o de planeo representado en la Fig. (2). Aplicando la ecación de Eler, para el caso de na bomba con infinito número de álabes o fljo nidimensional, la altra qe da el rodete se expresa como: H c ( c ) c w g g g 2 (6) donde generalmente la componente c se asme como cero al considerar na entrada radial del flido al rodete y así se considera en este trabajo. RESUTADOS a comparación de ambos métodos se realizará de forma teórica, sobre n perfil Göttingen 682 (Fig. (4) y Tabla ()) empleado para el diseño del rodete, con 4 álabes, de na bomba, tomado de [2]. x y s l y i Fig. 4. Nomenclatra de las dimensiones del perfil.

4 A. Cantizano et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (200) 4 Tabla. Coordenadas del perfil Gottingen 682. x y s y i x y s y i En este trabajo se parte de los resltados obtenidos para la geometría en el diseño mencionado anteriormente y se aplica la metodología presentada, en las mismas 5 posiciones o diámetros a lo largo de los álabes tal y como se mestra en la Fig. (5). Se consideran además los mismos datos de n 590 rpm, na componente meridional constante cm 5 m/s y aga como flido bombeado. Igalmente, se han comparado los resltados con el valor aportado por el diseño de H 4.50 m, constante desde el cbo a la pnta del álabe, siendo: H H (7) donde H es la altra efectiva sministrada por la bomba y h es el rendimiento hidrálico de la misma. h d c d x d m d y d p Fig. 5. Diámetros del álabe para el diseño [2]. os ánglos y (ver Fig. (2)) son la solción al diseño de la bomba, donde se han tenido en centa las correcciones por enrejado propestas por el método de Weinel [5]. os coeficientes C y C son los generados D para n ánglo de planeo mínimo, permitiéndose na peqeña variación en el valor del coeficiente de sstentación para compensar el amento excesivo de w y evitar así el afilamiento excesivo. Por tanto, drante el desarrollo del diseño de los ánglos y, estos coeficientes han permanecido constantes, tilizándose los valores qe se mestran en la Tabla (2). Además, se han evalado para n perfil de lz infinita, asmiendo por tanto qe se encentra aislado en la corriente. En los perfiles de Göttingen hay qe realizar esta corrección por lz infinita, no así en los de NACA, por lo qe se han escogido las relaciones propestas por Weinig y qe se recogen en el diseño de partida.

5 Análisis comparativo del so de la ecación de Eler y el estdio aerodinámico en máqinas axiales 5 Tabla 2. Datos del perfil Göttingen 682 para la bomba diseñada según [2]. Magnitd Desarrollos cilíndricos coaxiales d c d x d m d y d p d [m] t [m] l [m] C C D El ánglo 2 es el ánglo entre w 2 y del triánglo de velocidades, pero también se considerará como conocido, ya qe responde a la geometría del álabe. Para evalarlo en cada sección, se ha partido de la geometría del perfil (Tabla ()) y calclando la línea media, se ha determinado el ánglo físico del álabe a la salida, ánglo con el qe saldría la corriente respecto de la dirección de la velocidad periférica si dicha corriente fera totalmente giada por infinito número de álabes. os resltados obtenidos para la energía intercambiada se mestran en la Tabla (3). Además, se ha evalado la relación entre la altra del diseño H para finito número de álabes y la calclada en este trabajo como H para infinito número de álabes (teniendo en centa qe todas las líneas de corriente se comportan de igal forma, tal y como reqiere la formlación de Eler). Esta relación se conoce en la literatra como coeficiente o factor de disminción del trabajo e z. Además, se ha evalado también la relación entre la altra H para finito número de álabes calclada mediante el método aerodinámico y la H, denominando a este nevo factor e zt, ya qe recoge de forma completa la relación existente entre ambos métodos y por tanto el efecto de la no niformidad del fljo qe atraviesa la trbomáqina, como se comentará en la sigiente sección. Tabla 3. Altras del rodete evaladas por ambos métodos. Magnitd Desarrollos cilíndricos coaxiales d c d x d m d y d p H [m] (dato diseño) Eler: H [m] (calclado según Ec. (5)) Aerodinámico: ez H / H H [m] (calclado según Ec. (4)) ezt Haerodinámico / HEler DISCUSIÓN En la ecación de Eler, la hipótesis de fljo nidimensional es na ferte restricción qe debe ser corregida a través de diversos métodos, como el propesto en [6] o en [7], principalmente aplicable para máqinas radiales, qe corrigen el efecto del torbellino relativo generado en la sperficie transversal. En las máqinas axiales, esta no niformidad afectaría tanto en la dirección del fljo como a lo largo del álabe. Por esta razón, en la Tabla (3), Este coeficiente se evalúa de forma aproxima con la corrección debida al torbellino relativo qe se corresponde con el estdiado por Stodola aplicable fndamentalmente en máqinas radiales [2].

6 A. Cantizano et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (200) 6 se han evalado ambos efectos con dos factores distintos. En el primer e z, se evalúa únicamente el efecto de la no niformidad en la dirección del fljo. Y en el segndo, se ha evalado n factor total, e zt, qe recoge los dos efectos mencionados en la sección anterior. a diferencia entre ambos representa la inflencia debida a la no niformidad del fljo a lo largo del álabe, y es la mejora qe spone emplear el diseño aerodinámico. Se aprecia cómo el factor e z disminye a medida qe las secciones se encentran más alejadas del eje de la máqina, donde la distancia entre los álabes es mayor y la hipótesis de infinito número de álabes es menos realista. También hay qe señalar la diferencia de valores qe se alcanzan mediante este método para el valor de la energía entregada al rodete. Esto, de nevo, confirma lo alejada qe está la restricción de niformidad de fljo de la realidad a la hora de sar este método. El factor total e zt sige la misma tendencia qe el anterior. Por tanto, la diferencia entre ambos factores recoge la distorsión de la corriente a lo largo del álabe qe también amenta a lo largo del álabe, existiendo na diferencia entre ambos factores qe van desde n 5% hasta n 32% en la pnta del álabe. Nótese qe si bien en las máqinas axiales las velocidades tangenciales a la entrada y salida de na línea de corriente peden considerarse igales ( 2 ), la diferencia de presiones entre las dos caras de n mismo álabe, en el mismo radio, spone na diferencia en ss velocidades relativas, qe pede ser asemejada a la sma de la velocidad relativa niforme (w) y a la velocidad de n torbellino relativo generado en el canal de los álabes ( rel ) (Fig. (6)). rel w Fig. 6. Distribción de velocidades entre dos álabes consectivos. El método aerodinámico se basa en coeficientes experimentales y en correcciones a estos coeficientes. Estos coeficientes experimentales consideran por tanto el efecto de la interacción mta de las partíclas flidas qe flyen alrededor del perfil. No obstante, la obtención de estos coeficientes experimentales de sstentación y arrastre se realiza mediante el valor medio de la velocidad relativa, algo qe para grandes diferencias entre los valores de entrada y de salida al álabe habría qe refinar. Además, se tienen en centa otros coeficientes de corrección qe inclyen efectos tan complejos como el de enrejado, considerando así el efecto de n número finito de álabes. Sin embargo, en el diseño aqí tratado, no se consideran los efectos de la longitd finita del perfil y los efectos flidodinámicos debido al cbo o a la cercanía de la pnta del álabe a la carcasa de la trbomáqina. Aún así, en máqinas axiales con bajo número de álabes pede considerarse mcho más preciso qe el método de Eler ya qe la restricción de fljo nidimensional qe spone éste es mcho menos realista tal y como se ha comprobado analizando los resltados obtenidos. a diferencia entre ambos métodos se refleja en la diferencia existente entre el coeficiente e zt y el e z correspondiente a la teoría del torbellino relativo. Hay qe considerar qe los valores de altra se corresponden con el valor total de energía intercambiada entre flido y rodete. Por lo tanto, habría qe bscar n valor promedio para los distintos diámetros tilizados o qizás, tomar el valor medio como representativo de lo qe ocrre en todo el álabe. Se observa qe la niformidad en los valores de H es mayor para el método aerodinámico qe para el so de la ecación de Eler. Esto indica también qe este método es más preciso ya qe realmente el efecto de los posibles torbellinos o recirclaciones adicionales por la no niformidad de la corriente no afecta en la medida qe se aprecia en los valores calclados por la ecación de Eler. El desarrollo de coeficientes o factores de disminción del trabajo qe recojan la no nidimensionalidad del fljo tanto en la dirección del perfil como a lo largo del mismo, permite igalar los valores obtenidos por ambos métodos, siendo mcho mayores las correcciones necesarias para el método de Eler qe para el método aerodinámico.

7 Análisis comparativo del so de la ecación de Eler y el estdio aerodinámico en máqinas axiales 7 CONCUSIONES A partir del diseño de la geometría de na bomba axial presentado en la literatra se ha evalado la energía entregada al flido por el rodete mediante el método clásico de la ecación de Eler y mediante el método aerodinámico. Este último método es más correcto debido a qe las restricciones necesarias para s so no se alejan tanto de la realidad. a ecación de Eler reqiere la hipótesis de niformidad de fljo o nidimensionalidad en la corriente, algo qe para bajo número de álabes y sobre todo, para este tipo de máqinas axiales no se cmple. En este trabajo, se comparan los resltados obtenidos por ambos métodos y se propone n nevo factor de corrección para la ecación de Eler, qe trata de acercar los resltados obtenidos por esta ecación al método aerodinámico. Este nevo factor e zt, refleja de forma completa el efecto de la no niformidad en la corriente tanto en la dirección predominante del fljo como a lo largo del álabe, es decir, desde el cbo hasta la pnta del mismo. Por tanto, se hace necesario ampliar la definición de los factores de corrección encontrados en la literatra para qe recojan de forma más precisa la no niformidad de la corriente a s paso por este tipo de trbomáqinas. REFERENCIAS [] S. Yedidiah, "An overview of methods for calclating the head of a rotodynamic impeller and their practical significance," Proc. Inst. Mech. Eng. Part E J. Process Mech. Eng., vol. 27, pp , [2] C. Mataix, "Trbomáqinas hidrálicas," vol. 05, pp. 78, [3] P. Drtina and M. Sallaberger, "Hydralic trbines basic principles and state-of-the-art comptational flid dynamics applications," Proc. Inst. Mech. Eng. Part C, vol. 23, pp , 999. [4] A. J. Stepanoff, "Centrifgal and axial flow pmps: theory design and application," 957. [5] E. Weinel, "Beiträge zr rationellen Hydrodynamik der Gitterströmng," Arch Appl Mech, vol. 5, pp. 9-05, 934. [6] A. Stodola, Dampf-Und Gastrbinen. Springer Berlin, 924, [7] C. Pfleiderer, "Bombas centrífgas y trbocompresores," 960.