Simulación numérica del flujo con superficie libre en un mezclador planetario.

Transcripción

1 Simlación nmérica del flo con sperficie libre en n mezclador planetario. Para obtener el Títlo de INGENIERO MECÁNICO PRESENTA: CHRISTIAN DANIEL MAYA RAMÍREZ Director: Dr. William Vicente y Rodrígez

2 AGRADECIMIENTOS. Gracias por sobre todas las cosas al Ator de la Vida, qien fe, es y será, Jesús. Gracias por t apoyo incondicional. A mi Papá Ascencio Maya Roas por brindarme s apoyo y esta gran oportnidad. A mi Mamá qe con s gran amor, paciencia, y trabao me han alentado a segir lchando. Gracias mamá, este logro también es tyo. A mi princesita Eva, qien ha estado a mi lado cando el espírit flaqea. Gracias por t apoyo princesita, TE AMO. A mis hermanos Carlos Eliel Maya Ramírez y Karina Marisol Maya Ramírez por hacerme sentir vivo. Gracias. A mis abelitos Samel Ramírez López, Inés Viveros Campos, Pomposo Maya Reyes y Karitina Roas Romero. A Edardo Treo Escalona qien me ha brindado n apoyo y na amistad incondicional, y me ha motivado a segir adelante. Gracias Lalo. A la Iglesia de Ocoplco, en qienes a través del ministerio de Cristo me han enseñado demasiado. Gracias, también son parte de este trabao. Gracias Hermano Jan Manel y gracias Hermana Marcela. Al señor Filemón Almaraz qe ha sido no de mis meores profesores, gracias por s amistad. A William Vicente y Rodrígez por brindarme s tiempo y enseñanza para la elaboración de este trabao y por s amistad. A Rogelio Soto Ayala, a Jesús Javier Cortés Rosas, a Martín Salinas Vázqez y a Rodrigo Alberto Rincón Gómez, por s apoyo y aportes a este trabao. Y gracias a todos los qe contribyeron directa o indirectamente a este logro.

3 El caballo se alista para el día de la batalla; más Jeohvá es el qe da la victoria. Proverbios 1:31 Del hombre son las disposiciones del corazón; más de Jeohvá es la repesta de la lenga. Proverbios 16:1

4 1. INTRODUCCIÓN Índice 1.1. Antecedentes, Configración y problema a resolver, Método de solción, Estrctra de la tesis, 1. ECUACIONES DE TRANSPORTE.1. Ecación de conservación de masa, 13.. Ección de Conservación de Cantidad de Movimiento (Ecaciones de Navier-Stoes., Ecación General de Transporte, Flo Trblento, Promediado de las Ecaciones, Promediado de la Ecación General, 0.7. Esferzos de Reynolds, 3.8. Modelo de Trblencia κ-ε, 4 3. MÉTODO DE SOLUCION 3.1 Método de volúmenes finitos, 6 3. Método de la Celda Cortada (Ct Cell Method), Método de la Ecación Escalar (Scalar Method Eqation), 34 1

5 4. ANÁLISIS NÚMERICO DEL COMPORTAMIENTO DEL FLUJO 4.1 Introdcción, Caso a simlar, Detalles nméricos, Archivo MOF, Archivo MOFOR perteneciente a la simlación, Resltados y discsión, Campos de velocidad, Campos de presión, Isosperficies, 57 CONCLUSIONES Conclsiones, 60

6 APÉNDICES A. MODELOS DE TURBULENCIA A.1 Cierres de segndo orden, 63 A. Modelos de viscosidad trblenta, 67 A.3 Modelo, 68 B. ESQUEMAS DE DISCRETIZACIÓN B.1 Esqemas lineales, 71 B.1.1 Diferencias desplazadas de primer orden, 71 B.1. Diferencias centradas, 7 B.1.3 Híbrido, 73 3

7 Capítlo 1. 1 Introdcción. 1.1 Antecedentes. Dentro de la indstria de procesos se tiene la necesidad de mezclar sstancias las cales se encentran en ss diferentes fases (líqido, sólido y gaseoso). Una definición de mezcla es la sigiente: Una mezcla es na combinación de dos o más sstancias en la cal no ocrre transformación de tipo qímico, es decir las sstancias participantes conservan s identidad y propiedades. Existen diferentes tipos de mezclas, de las cales peden ser sólidos-sólidos, gases-gases y líqidos-líqidos entre otras. La sigiente clasificación mestra estas combinaciones: Mezclas de sólidos con sólidos. Las mezclas de sólidos precisan la tritración de cada no de los componentes, qe peden ser: Mezclas homogéneas. Son las conocidas mezclas de metales como aleaciones, de la cales algnas tienen nombre como el bronce (cobre, cinc y estaño), el latón (cobre y cinc), acero inoxidable (hierro y cromo) o las amalgamas (mercrio y calqier otro metal). Estas mezclas se preparan mezclando los metales en estado fndido y se dea enfriar para qe solidifiqen conntamente. Mezclas heterogéneas. Formadas por la nión de partíclas sólidas de distinto tamaño, forma y características, habiendo dos grpos: 4

8 Disgregadas. Estas mezclas se llevan a cabo con componentes seltos y qe peden moverse entre sí. Eemplo: arenas de playa, granlados como detergentes, etc. Agltinadas. En esta mezcla se tiene qe no o varios componentes qe actúan como pegamento y la mezcla se convierte en n sólido rígido. Eemplo: gran cantidad de rocas, hormigón, compósitos, etc. Mezclas de gases con gases. Los gases tienen las partíclas my desnidas y separadas entre sí por lo qe no tienen inconveniente en moverse entre las partíclas de otro gas. Dos o más gases siempre se mezclan bien. Las mezclas de gases se san mcho en la indstria, en los motores de combstión, inclso el aire qe respiramos es na mezcla de gases (78 % de nitrógeno, 1 % de oxígeno, y 1% de otros gases). Mezclas de líqidos con líqidos. En general, los líqidos se clasifican generalmente en dos grpos: hidrófilos o polares, y lipófilos o apolares. Dos líqidos se mezclan bien si tienen la misma natraleza qímica y mal si presentan na estrctra qímica diferente como el aga y el aceite. Hay dos tipos de mezclas: Disolciones. Son mezclas de aspecto claro y transparente donde las sstancias se mezclan íntimamente hasta nivel moleclar, en la cal se dice qe los líqidos 5

9 son miscibles. Se peden mezclar en calqier proporción y siempre reslta na mezcla homogénea. Emlsiones. Esta mezcla scede entre dos líqidos inmiscibles. Al agitar vigorosamente no pede qedar inmerso en otro como microgotitas. No es na mezcla a nivel moleclar por lo qe en reposo llegan a separarse. Con la ayda de sstancias emlsionantes pede prolongarse la estabilidad de la emlsión. Para realizar los procesos de mezclado en la indstria se necesita el eqipo pertinente para hacer las mezclas, estos eqipos son llamados mezcladores, de los cales existen diferentes clasificaciones; a continación se mestra na clasificación de los mezcladores más comnes: Como na primera clasificación de mezcladores se tiene la sigiente: Los mezcladores se dividen en dos clases: los qe generan corrientes paralelas al ee del mezclador y los qe dan origen a corrientes en dirección tangencial o radial. Los primeros se llaman mezcladores de flo axial y los segndos mezcladores de flo radial. Como na segnda clasificación se tienen los mezcladores de acerdo a s geometría, tabla 1: Los tres tipos principales de mezcladores tilizados en la indstria son los mezcladores de hélice, de paletas, y de trbina. Cada no de estos tipos comprende mchas variaciones y sbtipos qe no se consideran aqí. En algnos casos también son útiles mezcladores especiales, pero con los tres tipos antes citados se reselven, qizás, el 95% de los problemas de mezcla de líqidos. 6

10 Tipos de Características Clases Mezcladores de Se introdcen los materiales por medio Mezcladores de chorro. flos Corrientes. o de na bomba y la mezcla se prodce por interferencia de ss flos corrientes. Sólo se emplean en los sistemas continos o circlantes para la mezcla completa de flidos miscibles. Inyectores. Mezcladores de colmna con orificios o de trblencia. Sistemas de circlación mixta. Bombas centrífgas. Torres rellenas y de rociado. Mezcladoras de paletas o brazos. Para problemas sencillos, n mezclador eficaz está formado por na paleta plana, qe gira sobre n ee vertical. Son comnes los agitadores formados por dos y 3 paletas. Las paletas giran a velocidades baas o moderadas en el centro del tanqe, implsando al líqido radial y tangencialmente, sin qe exista movimiento vertical respecto del mezclador, a menos qe las paletas estén inclinadas. Las corrientes de líqido qe se originan se dirigen hacia la pared del tanqe y despés sigen hacia arriba o hacia abao. Las paletas también peden adaptarse a la forma Figra 1. Mezclador de chorro. Mezcladores de brazos rectos o de paletas en forma de remos. Mezclador de rastrillo. Paletas con lengüetas o dedos fios. Paletas corredizas. Cbetas giratorias con paletas excéntricas. Paletas de doble movimiento. Paletas de movimiento planetario. 7

11 del fondo del tanqe, de tal manera qe en s movimiento rozan la sperficie o Bastidor o emlsificador. pasan sobre ella con na holgra my peqeña. Mezclador con elevador por aire. El mezclador de paletas consiste de Amasador. na o varias paletas horizontales, verticales o inclinadas nidas a n ee horizontal, vertical o inclinado, qe gira axialmente dentro del recipiente. De esta manera el material mezclado es empado o arrastrado alrededor del recipiente sigiendo na trayectoria Figra. Mezclador de paletas. circlar. Mezclador de Un mezclador de hélice, es n Hélices con dispositivos para mezclar hélices o mezclador de flo axial, qe opera con gases. helicoidales. velocidad elevada y se emplea para líqidos pocos viscosos. Los Hélices con ee vertical. mezcladores de hélice más peqeños, giran a toda la velocidad del motor. Las Hélice descentrada y con s ee corrientes de flo, qe parten del inclinado penetrando por arriba. mezclador, se meven a través del líqido en na dirección determinada Hélice al costado del recipiente. hasta qe son desviadas por el fondo o las paredes del tanqe. La colmna de Hélice en n tbo de aspiración. remolinos de líqido de elevada trblencia, qe parte del mezclador, arrastra en s movimiento al líqido estancado, generando n efecto considerablemente mayor qe el qe se obtendría mediante na colmna eqivalente creada por na boqilla estacionaria. Las palas de la hélice Figra 3. Mezclador de hélice. cortan o friccionan vigorosamente el líqido. Debido a la persistencia de las 8

12 corrientes de flo, los mezcladores de hélice son eficaces para tanqes de gran tamaño. Proporcionan n medio poco costoso, sencillo y compacto, para mezclar materiales en n gran número de casos. Mezcladores de trbinas o de implsos centrífgos. La mayor parte de los mezcladores de trbinas se asemean a mezcladores de múltiples y cortas paletas, qe giran con velocidades elevadas sobre n ee qe va montado centralmente dentro del tanqe. Las paletas peden ser rectas o crvas, inclinadas o verticales. El rodete pede ser abierto, semicerrado o cerrado. Los mezcladores de trbina son eficaces para n amplio intervalo de viscosidades; en líqidos poco viscosos, prodcen corrientes intensas, qe se extienden por todo el tanqe y demelen las masas de líqido estancado. Soplante de trbina o ventilador centrífgo. Mezclador sencillo de trbina. Mezclador de trbina con paletas directrices fias. Trbodispersor. Absorbedor trbogas. Varios diversos. tipos El mezclador de trbina contiene na o varias bombas centrífgas trabaando en n recipiente, casi sin contrapresión el material, entra en el implsor axialmente por s abertra central. La trbina pede llevar na corona directriz con paletas crvas fias (difsores) qe desvían esas corrientes tangenciales hasta hacerlas radiales. Mezclador de tambor: El molino coloidal. 9

13 El homogenizador. Votador. Tabla 1. Clasificación de mezcladores. Mezclador de conos giratorios. 1. Configración y problema a resolver. Anteriormente se presentaron diferentes tipos de mezcladores según s clasificación. El mezclador qe nos interesa estdiar es el mezclador planetario, de tal modo qe este trabao se enfocará al estdio del comportamiento del flido en este mezclador. Una breve descripción del mezclador planetario es la sigiente: El mezclador planetario es n dispositivo qe centa con tres grados de libertad generalmente compesto de n tazón, aspa, y n motor qe meve el aspa o paletas. El aspa pede levantarse para s retiro y/o limpieza, y en fncionamiento, éste gira sobre s propio ee y se traslada en el recipiente para alcanzar la mezcla reqerida. El mezclador planetario pede mezclar fases líqido/líqido, líqido/sólido y sólido/sólido; mezclando sin importar la diferencia en peso específico, tamaño, viscosidad y proporción de los componentes. Además, la carga y descarga del material drante el proceso son rápidas. El tazón pede estar cbierto contra enfriamiento y calentamiento y también esté provisto con na cobertra cónica para evitar polvo y derrames. Adicionalmente, el tazón pede ser retirado fácilmente de la máqina para lavado, limpieza y transporte de materiales mezclados. 10

14 1.3 Métodos de Solción. Dado qe es importante entender el proceso de mezclado dentro del sistema para meorar s eficiencia, se debe analizar el mismo, para tal caso, se ocparán dos herramientas principales de análisis. Los dos métodos de análisis son: el método experimental y la simlación nmérica. A continación se hará na breve descripción de estos métodos: El Método Experimental se fndamenta en el Método Científico y tiliza como procesos lógicos la indcción y la dedcción. Consiste en realizar actividades con la finalidad de comprobar, demostrar o reprodcir ciertos fenómenos hechos o principios en forma natral o artificial, con base en experiencias propias y qe de esta manera se pedan formlar hipótesis qe permitan a través del proceso didáctico condcir a generalizaciones científicas, qe pedan verificarse en hechos concretos en la vida diaria. Este proceso pede ser costoso pes reqiere de modelos a escala e infraestrctra qe permita proceder a la experimentación, de tal manera qe este método reqiere de na inversión significativa para s desarrollo. En esta tesis se tilizará la simlación nmérica para el mezclador planetario qe es el caso de estdio, de tal manera qe se describirá a continación el concepto de simlación nmérica: Una simlación nmérica es na recreación matemática de n proceso natral. Mediante el so de simlaciones nméricas se estdian procesos físicos, de ingeniería, económicos e inclso biológicos. El so de simlaciones nméricas para estdiar n problema reqiere normalmente n cidadoso estdio de los métodos nméricos y algoritmos a tilizar y de los procesos fndamentales a inclir en la simlación. 11

15 Una simlación nmérica difiere de n modelo matemático en qe el primero constitye na representación en cada instante del proceso a simlar mientras qe el modelo constitye na abstracción matemática de las ecaciones fndamentales necesarias para estdiar dicho fenómeno. Normalmente la tilización de na simlación nmérica para estdiar n problema dado reqiere na cidadosa planificación del modelo matemático a tilizar y de los algoritmos necesarios para resolver dicho modelo. Los códigos nméricos de simlación nmérica son na herramienta indispensable para dicho fin, de tal manera qe el software tilizado para realizar la simlación nmérica es el Phoenics, n software qe se encarga de simlar y estdiar el comportamiento de los flidos. 1.4 Estrctra de la Tesis. Posterior a este primer capítlo, en el capítlo, se presentan las ecaciones instantáneas qe gobiernan el movimiento del flo reactivo, y a continación, la dedcción de las ecaciones promediadas qe se resolverán mediante n método de volúmenes finitos. Estas ecaciones son: de continidad, de cantidad de movimiento, conservación de la especie qímica. La introdcción al método de solción por volúmenes finitos se hace en el capítlo 3, el cál permite resolver las ecaciones de transporte qe describen el flo reactivo. En el capítlo 4 se presenta la configración a simlar, así como los detalles nméricos qe se tilizan en el modelo para simlar este sistema. A continación, se mestran las predicciones para n caso mestra. Las conclsiones qe se derivan del trabao realizado se exponen en el capítlo 5, además de algnas recomendaciones para trabaos ftros. 1

16 Presentación Capítlo. En este capítlo se presentarán las ecaciones de transporte qe caracterizan la hidrodinámica de flo. Posteriormente, se realizará el promediado de Reynolds para la ecación general de transporte y se explicará el modelo de trblencia tilizado..1 Ecación de conservación de masa. El principio de conservación de masa es no de los principios fndamentales de la natraleza y expresa qe la masa se mantiene constante drante n proceso. La conservación de masa para n flo incompresible se expresa matemáticamente, en n sistema cartesiano, mediante la ecación de continidad ennciada en s forma diferencial se pede escribir como: v w.1 0 x y z Dónde:, v, w son las velocidades, en las tres direcciones [18].. Ecación de Conservación de Cantidad de Movimiento (Ecaciones de Navier-Stoes). El prodcto de la masa y la velocidad del cerpo se conoce como momento lineal o cantidad de movimiento del cerpo. La segnda ley de Newton afirma qe la aceleración de n cerpo es proporcional a la ferza neta qe actúa sobre él e inversamente proporcional a s masa, y qe la razón de cambio de la cantidad de movimiento de n cerpo es igal a la ferza neta qe actúa sobre él. Por tanto, la cantidad de movimiento de n sistema permanece constante cando la ferza neta qe actúa sobre él es cero y, por lo tanto, se conserva la cantidad de movimiento del sistema [18]. 13

17 14 Así, la conservación de la cantidad de movimiento se expresa matemáticamente a través de las ecaciones de Navier-Stoes: En dirección x : z y x g x P z w y v x t x. En dirección y : z v y v x v g y P z v w y v v x v t v y.3 En dirección z : z w y w x w g z P z w w y w v x w t w z.4.3 Ecación General de Transporte. Las ecaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento, antes presentadas, peden ser representadas por la ecación general de transporte. ( ) t div div S grad.5 dónde: es la variable del flo. es la densidad. es el campo vectorial de velocidades. es el coeficiente de difsión. S representa el resto de términos qe aparecen en la ecación. A S se le llama término fente.

18 Esta ecación se pede leer como: incremento de en n elemento de flido en el tiempo + flo de en el elemento de flido = incremento de debido a difsión + incremento de debido a fentes. Tanto la ecación de conservación de masa, como las ecaciones de Navier- Stoes son ecaciones de transporte, por tal motivo se presenta a continación la ecación general, para la cal, más adelante, se realizarán los promedios de Reynolds y de esta manera se generalizará el promediado de la ecaciones..4 Flo Trblento. Como se observa en la ecación.6, las tensiones viscosas dependen de la variación respecto al tiempo de la deformación anglar de los elementos de flido, lo cal se expresa en s forma elemental como: y.6 Siendo la velocidad del flido, y la distancia en la dirección perpendiclar al movimiento y μ la viscosidad dinámica, constante para cada flido a na determinada temperatra. Ahora bien, dado qe: y y.7 Y, por otro lado las ferzas de inercia en na dimensión se peden expresar como: x Entonces el número de Reynolds se expresa matemáticamente como:.8 15

19 Re x y.9 En la formla anterior, las derivadas espaciales de en el nmerador y denominador tienen dimensiones de V/L y V/L respectivamente, de donde se obtiene la expresión para el Reynolds: Re V / L VL V / L v.10 Donde V y L son la velocidad y longitd características del flo en cestión y ν, es el cociente entre la viscosidad dinámica y la densidad, y se conoce como viscosidad cinemática. Se observa experimentalmente qe para valores inferiores al llamado número de Reynolds crítico las capas adyacentes de flido deslizan nas sobre otras de modo ordenado, lo cal constitye el régimen laminar. Para valores de Re speriores al crítico el comportamiento del flo cambia, tornándose aleatorio y caótico. El movimiento se velve no permanente, inclso con condiciones de contorno constantes. Es lo qe se denomina régimen trblento [16]. El número de Reynolds crítico no está exactamente determinado. Reynolds obtvo los números 000 y 1000 como valores inferior y sperior, respectivamente, en el caso de tberías, tomando como L el diámetro y como V la velocidad media. Para tberías sele considerarse qe el flo es laminar por debao de 000, con na zona de transición entre 000 y Para flos en sperficie libre, se tiliza el radio hidrálico como longitd característica por lo qe los valores críticos resltan menores: laminar por debao de 500 y trblento por encima de 000. La natraleza aleatoria del flo trblento y la elevada frecencia con la qe varían las diversas magnitdes dificlta enormemente en la práctica los cálclos basados en na descripción completa del movimiento de todas las partíclas del flido [19]. 16

20 Figra.1. Las componentes de la velocidad,v,w y la presión se descomponen en na magnitd qe es la sma de s valor promedio trblento y s flctación trblenta. Por otra parte,v,w, qe son las componentes de la velocidad y p la presión, se peden descomponer en na magnitd (por eemplo la primera componente de la velocidad ) qe es la sma de s valor promedio trblento y s flctación trblenta, así n flo trblento se caracteriza por los valores promedio, v, w y p de las propiedades más ss flctaciones, v, w y p. Entonces, los valores instantáneos de las propiedades se peden expresar como:.11 v v v.1 w w w.13 p p p.14 17

21 Si se logra visalizar n flo trblento se encentran porciones de flido en rotación, a los qe se le denomina remolinos trblentos. Estos presentan n amplio espectro de tamaños siendo los remolinos mayores comparables a las dimensiones del dominio. Las ferzas de inercia predominan en los remolinos de mayor tamaño, mientras qe s efecto es despreciable frente al de las ferzas viscosas en los más peqeños. Ahora bien, la energía necesaria para mantener el movimiento de los remolinos de mayor tamaño procede del flo medio, por esta razón s descomposición en la sma del promedio y la flctación. Por otra parte, los remolinos menores obtienen energía principalmente de otros mayores y más débilmente del flo medio. De esta manera, la energía cinética se va transmitiendo a remolinos cada vez más peqeños, a través de n proceso en cascada, hasta qe es disipada por las ferzas viscosas. Esta disipación prodce las pérdidas de energía adicionales relacionadas con los flos trblentos. Los remolinos de mayor tamaño tienen n comportamiento altamente anisótropo y dependiente del flo medio, debido a s ferte interacción con éste. Sin embargo, drante el proceso en cascada, la acción difsiva de la viscosidad va disminyendo esta direccionalidad por lo qe, para números de Reynolds sficientemente altos, el comportamiento de los remolinos más peqeños pede considerarse isótropo..5 Promediado de las Ecaciones. Hasta este momento se han presentado las ecaciones de transporte de conservación de masa y cantidad de movimiento, así como la ecación general de transporte, además se ha hecho referencia al carácter trblento del flo. A continación, se mostrará el promediado de las ecaciones y se tilizará la ecación general para eemplificar [19]. Antes de continar es necesario dear en claro las reglas de los promediados de tal manera qe sea más clara la explicación. 18

22 .5.1 Reglas de los Promediados. Para mostrar las reglas de los promediados se spondrán dos propiedades escalares Φ,Ψ y la magnitd vectorial a, qe de igal manera se va a descomponer en s valor promedio más s flctación: Ahora bien teniendo en centa qe el promediado es na operación de integración reslta qe: 0.17 También es posible hallar las sigientes relaciones: s s.18 ds ds Y en caso de na magnitd vectorial y na escalar, por eemplo Φ y a, se tiene qe: a a a. 19

23 Ahora bien, considerando qe las operaciones divergencia y gradiente se redcen a la derivación, y qe el operador Laplaciano eqivale a la divergencia del gradiente.3 Se tiene qe: a a.4.5 a a a a Promediado de la Ecación general. A continación se mostrará el promediado de la ecación general de transporte en cada término para generalizar el método..6.1 Promediado Término Temporal El término temporal es: t Sstityendo la ecación.15 en.8 y promediando tenemos qe: t.8.9 Aplicando la.17 tenemos qe: 0

24 t.30 Siendo éste el término temporal promediado..6. Promediado Término Temporal El término difsivo es: div grad.31 Sstityendo la ecación a.15 en.31 y promediando tenemos qe: div grad.3 Aplicando la.17 tenemos qe: div grad.33 Siendo éste el término difsivo promediado..6.3 Promediado Término Convectivo El término convectivo es: div.34 Sstityendo la ecación a.15 en.34 y promediando tenemos qe: div v v.35 Desarrollando y promediando tenemos qe: 1

25 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL FLUJO CON SUPERFICIE LIBRE EN UN MEZCLADOR div v vv v.36 Aplicando la.17 tenemos qe: div v v.37 Siendo éste el término convectivo promediado..6.4 Ecación General Promediada Así la ecación general qeda: div t v w U div grad x y z S.38 Como se pede observar, al promediar las ecaciones se generan términos adicionales qe contienen a las flctaciones instantáneas y como resltado se tienen las incógnitas adicionales [19]:, v, w.7 Esferzos de Reynolds Al desarrollar el promediado en las ecaciones de continidad y Navier-Stoes, estas qedarían como: Ecación de Continidad div t 0 Ecaciones de Navier-Stoes en la componente x: div t P v w U div grad x En la componente y: x y z S Mx.39.40

26 v t SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL FLUJO CON SUPERFICIE LIBRE EN UN MEZCLADOR div P v vv vw vu div gradv y x y z S My.41 En la componente z: w div t P w vw ww wu div gradw z x y z S Mz.4 Como se pede observar al promediar han aparecido prodctos crzados de las flctaciones trblentas de la velocidad por la densidad, los cales tienen nidades de ferza / sperficie, éstos originan el Tensor de esferzos de Reynolds, mostrado a continación: i v w v vv wv w vw ww.43 Donde i, =1,,3. Estas nevas incógnitas han generado en los investigadores el interés por desarrollar y meorar los denominados modelos de trblencia, éstos cierran el sistema de ecaciones. A continación se presentará el modelo de trblencia tilizado en la simlación nmérica, y en el apéndice A se presenta n resmen sobre éste..8 Modelo de Trblencia -ε Un modelo de trblencia es n procedimiento para cerrar el sistema de ecaciones antes mencionado, por esta razón existe na amplia variedad. En el modelo de trblencia -ε los esferzos de Reynolds se aproximan a la tasa promedio de deformación, como se mestra a continación: 3

27 i i x x i.44 Donde i, =1,,3 Bossinesq propso en 1877 na relación análoga entre los promedios temporales de las velocidades de deformación y los esferzos de Reynolds: U i i i T x U x i.45 Esta aproximación introdce n nevo término, conocido como viscosidad trblenta y se calcla como: T C.46 Donde se denomina como la energía cinética trblenta y ε como la disipación viscosa y se calclan como: 1 v w.47 ve i e i.48 El modelo de trblencia tilizado en la simlación nmérica es el K- ε estándar y las ecaciones de transporte qe se reselven para K y ε son: 4

28 div t divu t t U div grad E E t div grad C t i 1 i E t i E i C Donde el primer término de la izqierda representa, la tasa de cambio de o ε, el segndo término eqivale al transporte de o ε por convección, el tercer término al transporte de o ε por difsión, el carto representa la tasa de prodcción de o ε, menos la tasa de destrcción de o ε. Estas ecaciones contienen 5 constantes astables y en el caso del modelo - ε estándar tienen los sigientes valores: C 0.09; 1.00; 1.30; C 1.44; C Es conveniente mencionar qe la prodcción o destrcción de energía cinética trblenta están íntimamente ligadas. La tasa de disipación ε es grande donde es grande. La ecación modelo para ε asme qe la prodcción o destrcción de energía es proporcional a la prodcción y destrcción de. Esto implica qe ε se incrementa rápidamente si se incrementa rápidamente y decrece lo sficientemente rápido para evitar valores negativos de energía cinética trblenta si decrece. 5

29 Capítlo 3 Método de Solción. El método de volúmenes finitos, permite dar solción a las ecaciones presentadas en el capítlo anterior, las cales componen el comportamiento del medio de estdio. Por ello, en este capítlo se presenta dicho método de solción. 3.1 Método de volúmenes finitos Mediante na ecación general, se peden representar las ecaciones medias de continidad, cantidad de movimiento y del modelo de trblencia, donde la variable dependiente está representada por : Donde t i S S es el coeficiente de difsión y (3.1) es el término fente. Los términos del lado izqierdo de la ecación (3.1) son el término transitorio, convectivo y difsivo, S respectivamente. Los términos y están especificados para cada variable. En el caso de la ecación de continidad, 1. Esta ecación general (3.1), se pede discretizar con el método de volúmenes finitos. Con este método, el dominio se divide en peqeños volúmenes de control (figra 1), asociando a cada nos de ellos n pnto nodal. De manera similar, se discretiza el tiempo en intervalos temporales. La ecación diferencial resltante, se integra en cada volmen de control y en cada intervalo temporal, y el resltado es na ecación discretizada qe relaciona los valores de para n determinado grpo de pntos nodales. Esta ecación algebraica expresa el principio de conservación de en el volmen finito, de la misma manera qe la ecación diferencial lo expresa para n 6

30 volmen infinitesimal. La ecación algebraica para n nodo P pede expresarse en forma general como: a a a B (3.) P P i I i, I E, W, N, S, H, L T T Donde el sbíndice I representa las celdas vecinas, i la cara entre las celdas P e I, T el valor correspondiente en el intervalo temporal anterior, y B el término fente. La dedcción detallada de la ecación (3.) pede consltarse en ([10] y [11]), así como en n gran número de textos de dinámica de flidos comptacional. Figra 3.1. Representación del sistema discretizado en volúmenes finitos. En el caso de na malla cartesiana, escalonada ( staggered ) y niforme (celdas de igales dimensiones espaciales), se pede emplear por sencillez n volmen de control bidimensional, como el qe se mestra en la figra 3. (el espesor de la celda en dirección z pede considerarse la nidad.) En na malla escalonada, las variaciones se encentran definidas en el centro de la celda, mientras qe las 7

31 componentes de velocidad en cada dirección, correspondientes a la celda, se encentran desplazadas a las caras de la celda. En la figra 3., se mestra la notación de la celda y de ss vecinas. Dada na celda P, ss vecinas se nombrarán según las iniciales de los pntos cardinales (en inglés) en las direcciones x e y y como Low y High en la dirección z. Las caras de la celda se nombran con la misma nomenclatra, pero con letras minúsclas. A s vez, el tiempo también se discretiza. Las celdas en la dirección temporal se llaman intervalos temporales. La celda P en el paso temporal se nota como T. Figra 3.. Diagrama esqemático de n volmen de control bidimensional. A continación, se presentan los términos de la ecación discretizada (3.3). Definiendo tres expresiones mediante los símbolos F, D, y Pe como: F i, D, i F Pe (3.3) D 8

32 Donde i es la velocidad en la cara i, i es la distancia entre los nodos qe inclyen la cara i y Pe es de número de Peclet, qe es na relación entre la convección y la difsión. Las expresiones para F y D representan el efecto de los términos convectivo y difsivo, respectivamente, de la ecación de transporte (3.1). Los coeficientes ai de la ecación (3.) son: a i i Pe max F,0 D f (3.4) Los valores F y D en la cara de la celda de la ecación (3.4) son: donde Fi i i es la longitd de la cara i. i i D i i i i i, i=n, s, e, w (3.5) Para determinar Fi se necesita conocer y i en la cara de la celda. El cálclo del término convectivo de la ecación de transporte (1) reqiere también el conocimiento de la variable escalar,, en la cara de la celda. La velocidad i está calclada en la cara de la malla escalonada; pero y están calclados en el nodo y necesitan ser interpolados a la cara para calclar los coeficientes (3.). ai de la ecación discretizada La obtención de estas variables en la cara de la celda es importante para la precisión y convergencia de la solción. El cálclo de y i da lgar a los llamados esqemas de discretización. La fnción f Pe de la ecación (3.4) depende del esqema de interpolación; por eemplo, en el esqema de diferencias desplazadas, f Pe 1. Para el sistema hibrido [11]: 9

33 Pe max Pe f 5 (3.6) En el apéndice B se presentan estos esqemas de discretización lineales con más detalle, pes son los qe se tilizaran en esta tesis en la discretización del termino convectivo de las ecaciones de cantidad movimiento, energía, especies qímicas y modelo de trblencia. El coeficiente para el término transitorio es: a T T xy (3.7) t Para el cálclo del término D i (3.5) se necesita obtener el coeficiente de difsión,, en la cara de la celda. El coeficiente no es necesariamente na constante, probablemente pede ser fnción de valores variables qe se conocen en los nodos (por eemplo, la temperatra) y por tanto es necesario interpolarlo en la cara. Esta interpolación pede ser aritmética o armónica. Como eemplo, para la cara e, estas interpolaciones son: e x P xe E e xe 1 1 x P E (3.8) El término fente de la ecación general (1), S, se linealiza como: S S S (3.9), c, P donde el término S, se elige de acerdo a la relación existente entre S y, en caso de depender el primero del segndo. El obetivo de la linealización del término fente es meorar la convergencia de la solción. Con esta sposición, los términos B y ap de la ecación (3.) son: 30

34 a p B S xy at (3.10) T ae a w c an as at S, xy (3.11) La ecación (3.) se aplica en cada celda del dominio, para cada temporal y para cada paso t, por lo qe se tiene n sistema de ecaciones lineales (los coeficientes a peden depender, directa o indirectamente de, por lo qe el sistema es realmente psedo-lineal). Para resolver este sistema de ecaciones se pede tilizar calqier método de resolción de ecaciones lineales. En el cálclo de las velocidades a partir de las ecaciones de cantidad de movimiento, se tiene el inconveniente de qe la presión, cyo gradiente aparece como término fente en las ecaciones de cantidad de movimiento, no tiene na ecación propia para calclarla. Una solción ampliamente tilizada, es transformar la ecación de continidad en na ecación para la presión. Entre los algoritmos iterativos qe se basan en este procedimiento, están los de la familia SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressre- Lined Eqations), ([1], [11] y [13]). El algoritmo tilizado en esta tesis para resolver el problema de acoplamiento velocidad-presión pertenece a esta familia. El proceso de solción de este sistema de ecaciones es iterativo y drante éste, las ecaciones del sistema, en general, no se cmplen; el balance entre la parte izqierda y derecha de la ecación se denomina resido. La convergencia del proceso iterativo se da cando los residos disminyen. Para procrar acelerar esta convergencia, se tiliza n método de relaación de algnas de las variables dependientes y propiedades. Se emplean dos tipos de relaación: la inercial y la lineal. La relaación inercial se emplea para las velocidades y los parámetros de trblencia, y amenta la diagonal de la matriz de coeficientes el agregar a la ecación de calqier variable, el término fente: 31

35 donde S V P 1, r P t f n n V P es el volmen de la celda P, P t f speríndice n se refiere al número de iteración. (3.1) es el intervalo de tiempo falso y el Para la presión y la densidad se emplea la relaación lineal dada por: n sol 1 n 1 (3.13) P P P donde α es el factor de relaación, el speríndice sol se refiere al valor de la propiedad proporcionado por el solver en la iteración actal. El factor de relaación α, normalmente toma valores entre 0 y 1. El criterio de convergencia tilizado para detener el proceso iterativo para n paso temporal dado y pasar al sigiente es tal qe, para cada variable, la sma de los valores absoltos de los residos en todo el dominio sea menor qe n determinado porcentae de n valor de referencia. En este trabao, se sa el código de Dinámica de Flidos Comptacional, PHOENICS [16], para resolver las ecaciones qe describen la aerodinámica del flo, recordando qe son, la de continidad, de cantidad de movimiento, de energía, y de trblencia. 3. Método de la Celda Cortada (Ct Cell Method). Ya se ha presentado el método de los volúmenes finitos tilizando na malla cartesiana, sin embargo dada la compleidad de la geometría, na malla cartesiana no representa adecadamente n dominio comptacional tan compleo, por tanto es 3

36 necesario recrrir a na alternativa qe permita el so de na malla cartesiana, con lo cal se facilitará la convergencia del método nmérico. Este trabao ha plateado tilizar el método de la celda cortada, con la intención de evitar na excesiva deformación de la malla, lo cal meora el tiempo de cálclo y el alcance de la convergencia. El método de la celda cortada desarrollado por Ingram et al [4] se basa en el método de los volúmenes finitos, pes divide el dominio comptacional en peqeños volúmenes de control, sin embargo s ventaa principal radica en poder tilizar geometrías my compleas. El método divide el dominio comptacional en tres tipos de celdas: celdas sólidas, celdas de flo y celdas parcialmente sólidas. Figra 6. Representación esqemática de los tres tipos de celdas qe se peden encontrar en n dominio comptacional qe tiliza el método Ct-Cell. El tratamiento matemático para las celdas vacías es el mismo qe se ha presentado al inicio de este capítlo, para las celdas sólidas al no existir ningún flo a través de ellas no son consideradas dentro del cálclo y en las celdas parcialmente sólidas es necesario llevar acabo interpolaciones qe cantifiqe el flo qe atraviesa por éstas y lo relacionen con las propiedades de ss vecinos. 33

37 3.3 Método de la Ecación Escalar (Scalar Method Eqation). El método tilizado para la simlación de la sperficie libre SEM se encentra en el código nmérico PHOENICS y forma parte de los métodos VOF, presentados por Hirt and Nichols [5]. Estos métodos son conocidos como métodos de malla fia o Elerianos (Figra 7b), ya qe la malla es tratada como n marco de referencia fio, a través del cal el flido se meve, es decir, la malla generada inicialmente se tiliza en todo el cálclo, por lo qe no existe ningna dificltad geométrica, sin embargo, dado qe el movimiento del flido no coincide con la malla de cálclo, es necesario n tratamiento especial para segir el movimiento de la sperficie libre. Figra 7. Tratamiento de la sperficie libre a) Lagrangiano b) Eleriano. Este método es tilizado en problemas de flo con movimiento de sperficie libre y es capaz de modelar dos o más flidos mediante la solción de n connto de ecaciones de fracción volmétrica, donde la misma variable es fiada para cada no de los flidos del dominio, basándose en la consideración de qe los flidos son inmiscibles. Para cada fase qe se agrega se introdce na variable llamada fracción volmétrica de la fase en la celda de cálclo, teniendo en centa qe la sma de todas las fracciones volmétricas de todas las fases es la nidad. Si la fracción volmétrica de cada na de las fases se conoce en cada posición, las variables y propiedades en cada celda son representativas de na de las fases o de la interfase, dependiendo de los valores de la fracción volmétrica. Así, la fracción volmétrica de n flido es denotada como c y peden cmplirse tres condiciones: 34

38 Por tanto, es necesario resolver na ecación de transporte adicional para la fracción de volmen de la primera fase, c. c div t cv Esta ecación, tiene la misma forma qe ecación de continidad, con la diferencia de qe la densidad ρ es sstitida por c. De esta manera, las propiedades del líqido efectivo varían en el espacio de acerdo con la fracción de volmen de cada fase, de la sigiente manera: (1 1c c) 3.15 Donde los sbíndices 1 y denotan los dos flidos (líqido y gas), respectivamente. Así, sí n volmen de control está parcialmente lleno con n flido y parcialmente con el otro flido (es decir, 0 < c < 1), se spone qe ambos flidos tienen la misma velocidad y presión, teniendo en centa qe la interfase no representa n límite, por lo qe no hay necesidad de establecer condiciones de contorno en ella. 35

39 Capítlo 4 Análisis Nmérico del Comportamiento del Flo 4.1 Introdcción. Parte importante del estdio en esta tesis es el de conocer el comportamiento del flo dentro del mezclador planetario, ya qe de acerdo con la configración qe tenga se obtendrán diferentes resltados. En este apartado se detallan brevemente las características y los procedimientos llevados a cabo nméricamente, para poder determinar el comportamiento del flo dentro del mezclador planetario. También se abordan los parámetros más importantes y las consideraciones tomadas. 4. Caso a simlar. Drante varios años las indstrias, han realizado estdios de manera experimental en mezcladores planetarios, por lo qe la información obtenida en esos experimentos, no es de dominio público. Debido a eso, se tvo la necesidad de iniciar la teoría sobre estos sistemas qe son my comnes y será el pnto de partida para los sigientes trabaos sobre mezcladores planetarios. 4.3 Detalles Nméricos. El caso qe se va a simlar es el de n mezclador planetario indstrial, el cal centa con n tanqe (obeto en color gris), n agitador (obeto en color azl) y na varilla (obeto en color café) qe sostiene y da movimiento relativo al agitador, figra 4.1. En la tabla 4. se mestran las dimensiones de dichas partes del 36

40 sistema de mezclado. El sistema del mezclador planetario está lleno de aga qe va desde la base del tanqe hasta aproximadamente 3/4 del mismo. Figra 4.1 Partes del sistema de mezclado. NOMBRE COLOR DIMENSIONES Agitador Azl Diámetro=0.1 m. Altra=0.1 m. Varilla Café Diámetro=0.07 m. Largo= 0.4 m. Tanqe Gris Diámetro=0.9 m. Altra=0.13 m. Tabla 4. dimensiones de los elementos del sistema mezclador. El giro de traslación y rotación del agitador hace posible qe la mezcla del flido se lleve a cabo; el flido qe se encentra dentro del mezclador está en contacto directo con la atmósfera. El flido qe se encentra dentro del tanqe es mezclado por el agitador de manera qe se lleve a cabo la mezcla; el agitador consta de dos movimientos, no de rotación y otro de traslación. El movimiento de rotación es dos veces más grande qe el movimiento de traslación y el agitador es de forma cilíndrica en esta configración. La velocidad de rotación del agitador es de 37

41 6.83x10-3 m/s, mientras qe la de traslación es de m/s. Tanto el movimiento de traslación como el movimiento de rotación del agitador se llevan a cabo en sentido antihorario, figra 4.3. Figra 4.3 Sentido del movimiento de rotación (flecha azl) y traslación (flecha roa) del agitador. El dominio del sistema centa con n tamaño en X y Y de 1m, y en Z de 0.31 m. El mallado consta de 60 celdas en X y Y, y de 0 en Z, de esta forma es como se discretizó el dominio del sistema. En la figra 4.4 se mestra el mallado en la dirección X, mientras qe en la dirección Y se mestra en la figra 4.5, el mallado en Z se mestra en la figra

42 Figra 4.4 Mallado sobre el plano X. Figra 4.5 Mallado sobre el plano Y. 39

43 Figra 4.6 Mallado sobre el plano Z. 4.4 Archivo MOFOR. Es necesario qe las partes del sistema de mezclado tengan movimiento para qe la simlación se peda llevar a cabo, de tal manera qe en este breve apartado de hace na descripción general del archivo MOFOR tilizado en esta simlación. A continación se hará na explicación de la estrctra del archivo MOFOR: Primeramente n archivo MOFOR consta de dos partes, MOTION (movimiento) y HIERARCHY (erarqía). HIERARCHY describe los obetos qe están presentes, y cómo se relacionan entre sí geométricamente y cinemáticamente. MOTION define cómo ss parámetros definidos varían con el tiempo. La primera línea del código MOFOR comienza con la palabra HIERARCHY, los carácteres peden ser mayúsclas o minúsclas. 40

44 La segnda línea consta de las palabras UNIT METRES qe hace referencia al tipo de nidades maneadas en el dominio comptacional en las partes del sistema. Los otros comandos tilizados en la parte HIERARCHY del archivo MOFOR son: ROOT, OFFSET, JOINT Y END SITE. Estos comandos se describen a continación. ROOT (raíz): Es sado salmente para declarar el origen del espacio CFD de la red. Generalmente es segido por el número de raíces (ROOTS) y/o articlaciones (JOINTS) entre corchetes. JOINT: Es la declaración en el código el cal hace referencia a qe existe na nión cinemática entre elementos del sistema en el dominio comptacional. Éste es segido por na sección de definiciones qe consiste en n corchete abierto con n corchete de cierre correspondiente. OFFSET: Es la posición del origen del ee relativo de rotación para n movimiento de traslación y rotación circlares. CHANNELS (canales): Son los grados de libertad, los cales definen qe tipos de datos dependientes del tiempo están definidos para determinada nión cinemática; la nión pede trasladarse o rotar, o ambos, sobre algún ee. END SITE: Este comando indica el fin del movimiento de la nión cinemática. La segnda parte del código MOFOR consta de la parte MOTION el cal es n comando obligatorio e identifica el comienzo de la parte en fnción del tiempo del archivo MOFOR, el cal es segido por na línea especificando el número de cadros (FRAMES). Los FRAMES son los números de cadros de tiempo en el 41

45 cal los datos están dados; el número de FRAMES o cadros pede ser my grande o my peqeño qe el time steps (pasos de tiempo) del dominio comptacional, pero todos ellos son de igal tamaño. La sigiente línea dentro de la parte MOTION, Frame Time, (tiempo de cadro) es el tiempo de separación de cada connto de datos, de tal manera, qe el tiempo total de connto de datos es igal a (Frames 1) x Frame Time Archivo MOFOR perteneciente a esta simlación. HIERARCHY UNITS METRES ROOT Cham { JOINT VARILLA { OFFSET CHANNELS 1 Zrotation JOINT PALETA { OFFSET CHANNELS 1 Zrotation End Site } End Site } } MOTION Frames: 01 4

46 Frame Time: Las características del sistema se mestran en la figra 4.7, donde se pede ver claramente el tamaño del dominio y el mallado del mismo. Figra 4.7 Condiciones geométricas del dominio. La formlación de la ecación del sistema es elíptica-decalada, además se tiliza el modelo de sperficie libre llamado ecación escalar. El modelo de trblencia tilizado en esta simlación es laminar; todas estas condiciones se mestran en la figra

47 Figra 4.8 Modelos tilizados en la simlación nmérica. Los flidos tilizados para llevar a cabo la simlación nmérica son aire a 0 ºC y 1 atmósfera de presión, y aga a 0 ºC; el aga es denominada como flido pesado y el aire como flido ligero. Estas condiciones se mestran en la figra

48 Figra 4.9 Condiciones de los flidos qe están contenidos en el dominio. Las velocidades dentro del sistema, v y w son inicialmente de cero, esto se mestra claramente en la figra Figra 4.10 Condiciones iniciales del sistema. 45

49 Las ferzas gravitatorias en este caso, actúan en dirección negativa al ee Z y son constantes, figra Figra 4.11 Ferzas gravitatorias. Para dar movimiento al agitador se necesita activar el módlo de archivos MOFOR el cal se pede ver en la figra 4.1 encerrado por n óvalo roo, en el mismo, se carga n archivo escrito en algún editor de texto como worpad o bloc de notas; el archivo se carga desde este módlo, dando movimiento al sistema dentro del dominio comptacional. 46

50 Figra 4.1 Módlo de archivos MOFOR. 4.5 Resltados y discsión. Los parámetros importantes qe se mestran a continación son la velocidad (V1), presión (P1), la presencia de la fase líqida (SURN). Estos parámetros indican cómo se comporta el flido dentro del mezclador. Para cada no de los parámetros feron tomadas diferentes imágenes en diferentes perspectivas para así tener n meor estdio y visalización del fenómeno estdiado; de tal modo qe también se realizaron en diferentes tiempos en los cales ocrrió la simlación de dicho fenómeno. Los tiempos feron tomados para 1, segndo, (el cal corresponde al inicio del proceso) y 150 segndos, (el cal corresponde a tres cartas partes del inicio del proceso) en el caso de la velocidad y la isosperficie, en el caso de la presión, feron tomados en el tiempo 1 segndo, (inicio del proceso) 50 segndos, (na carta parte del inicio del proceso) y 100 (dos cartas partes del inicio del proceso de mezclado) segndos de haber iniciado el proceso. 47

51 4.5.1 Campos de velocidad. Figra 4.13 Campos de velocidad (inicio de la mezcla. t=1s). En las Figras 4.13 y 4.14 se mestran en diferentes vistas los campos de velocidad en las proximidades del agitador, dentro del mezclador. Despés de qe comienza el proceso de agitación, las velocidades del flido cambian haciendo qe los campos de velocidad del flido sean modificados y las velocidades sean diferentes dentro del tanqe. En las zonas más próximas al agitador se pede observar n mayor valor de la velocidad, esto se debe al movimiento relativo (de rotación) del agitador con respecto a la varilla (movimiento de traslación). Cabe mencionar qe el movimiento de rotación del agitador es de sma importancia para la mezcla del flido, ya qe además de estar mezclando con n movimiento de traslación lo hace con no de rotación. 48

52 Figra 4.14 Campos de velocidad (acercamiento, inicio de la mezcla. t=1 s). En la figra 4.14 se mestra con mayor claridad el comportamiento de los campos de velocidad dentro del tanqe mezclador, por la parte de enfrente es de 0.01 m/s la cal representa la velocidad a la cal se meve el agitador alrededor del centro del mezclador, de tal modo qe la máxima velocidad está en la proximidad del agitador. Para tener na meor apreciación de proceso de mezclado, se mestran a continación diferentes imágenes qe mestran el comportamiento del flido drante el mezclado a los 150 segndos de qe comenzó el proceso. Se pede observar qe existe na diferencia comparativa con respecto al comportamiento del flido en n tiempo de 1 segndo, es evidente qe los campos de velocidad se han modificando proporcionando nevos datos para el flido en proceso de mezclado. Una estela de movimiento de flido es deada detrás del cerpo solido, qe simla el aspa. Las imágenes sigientes mestran la evolción del proceso en n tiempo correspondiente a 150 segndos de haber iniciado el proceso de mezclado del flido; en estas imágenes se mestra qe el flido ha tenido na modificación más en canto al a configración de velocidades. La figra 4.15 corresponde a na 49

53 proyección axonométrica, la figra 4.16 a na vista sperior, y la figra 4.17, n acercamiento sperior en la qe se pede observar de na meor manera el tamaño, sentido y dirección de los vectores. Figra 4.15 Campos de velocidad (tiempo t=150 s). Al realizar los cálclos nméricos para la velocidad del agitador se obtiene n valor de m/s, el cal no difiere de forma significativa con el valor proporcionado en la simlación nmérica (ver valor de la velocidad máxima en la fig. 4.14). De forma semeante al calclar el valor de la velocidad máxima, la cal es la sma de la velocidad de traslación de la varilla más la velocidad de rotación del agitador; ésta nos proporciona n valor calclado de m/s, la cal no difiere de forma importante del valor proporcionado por la simlación nmérica. En la figra 4.16 se tiene n acercamiento del proceso de mezclado para apreciar a detalle lo qe scede en las proximidades del agitador, de tal modo qe se peden apreciar la dirección y el sentido de los vectores, los cales corresponden al movimiento de la varilla y del agitador. 50

54 Figra 4.16 Campos de velocidad (vista sperior tiempo t=150 s). Figra 4.17 Campos de velocidad (acercamiento vista sperior tiempo t=150 s). 51

55 4.5. Campos de Presión. En la figra 4.18 se mestra la distribción del campo de presión para n tiempo igal a 1 segndo, mostrando de esta manera la forma en la qe actúa la presión sobre el flido; el agitador proporciona n empe al flido provocando movimiento al mismo. Es importante mencionar qe este efecto es de sma importancia ya qe este movimiento de traslación en connto con el de rotación del agitador propician el efecto de mezclado sobre el flido. Figra 4.18 Campos de presión (tiempo t=1 s). En las figras 4.19 y 4.0 se mestra este mismo comportamiento visto desde otras perspectivas indicando y visalizando de meor manera el fenómeno despés de haber transcrrido 1 segndo de tiempo desde s inicio. Las diferencias de color en las figras mestran qe las presiones en las distintas regiones cerca del agitador son diferentes, de tal manera qe el color narana 5

56 mestra na presión mayor qe el color amarillo qe predomina en las figras respectivas. Figra 4.19 Campos de presión (vista sperior tiempo t=1 s). Figra 4.0 Campos de presión (acercamiento vista sperior tiempo t=1 s). 53

57 Despés de haber transcrrido 50 segndos desde el inicio del proceso de mezclado, se pede observar qe el campo de presiones ha cambiado (fig. 4.1), en este caso la presión ha amentado con respecto a la etapa anterior qe corresponde al tiempo de 1 segndo (Fig. 4.19). Es my importante qe exista diferencia significativa en el amento de las presiones en el proceso de mezclado ya qe esta diferencia es la qe indica qe tan eficiente es el proceso. Figra 4.1 Campos de presión ( tiempo t=50 s). La figra 4. mestra la distribción de presiones sobre el flido, además de la dirección y sentido de los vectores qe indican cómo actúa la presión sobre el flido mezclado; además, se pede observar claramente qe el movimiento de rotación del agitador inflye directamente sobre el comportamiento del flido, esto lo demestra la configración de los vectores alrededor del agitador (figra 4.3). 54

58 Figra 4. Campos de presión (vista sperior tiempo t=50 s). En la sigiente figra (Fig. 4.3) se pede observar con meor detalle la distribción y configración de los campos de velocidad. 55

59 Figra 4.3 Campos de presión (acercamiento vista sperior tiempo t=50 s). En n tiempo correspondiente a 100 segndos (fig.4.4) se pede observar qe sige existiendo n amento de presión, esto es debido a qe el flido anteriormente ya estaba siendo mezclado. Es importante mencionar qe el agitador comienza a generar fenómenos de vorticidad, debido principalmente al movimiento de rotación del agitador. 56

60 Figra 4.4 Campos de presión (vista sperior tiempo t=100 s) Isosperficies. Para tener na meor apreciación del comportamiento del flido en el proceso de mezclado se realizaron diferentes captras de imagen qe corresponden a diferentes estados del proceso; las llamadas isosperficies nos mestran de qé manera el flido es pertrbado por el agitador en el trayecto qe realiza dentro del tanqe qe lo contiene. En n tiempo correspondiente a 1 segndo el flido comienza a ser pertrbado (Fig. 4.7), en este pnto del proceso aún no se peden ver alteraciones significativas en el estado del flido, pero es de sma importancia ya qe da origen al inicio al proceso de mezclado del flido. 57

61 Figra 4.5 Isosperficie (tiempo t=1 s). En la sigiente imagen se aprecia de meor manera la pertrbación del flido provocada por el agitador (Fig. 4.6). Figra 4.6 Isosperficie (vista sperior tiempo t=1 s). 58

62 Es evidente qe a lo largo del proceso de mezclado, mientras más transcrra el tiempo, el flido continará siendo pertrbado, esto debido a la velocidad de giro tanto de traslación como de rotación del agitador. En la figra 4.7 es ya aún más evidente qe el flido ha alcanzado na mayor homogeneidad en los campos de velocidad (comparar con Fig. 4.16). Figra 4.7 Isosperficie (tiempo t=150 s). La pertrbación del flido es my evidente; en la figra 4.8 se mestra de meor manera los efectos del mezclado en n tiempo qe corresponde a los 150 segndos de haber iniciado el proceso. El flido al experimentar na ferza de empe debido al agitador comienza a tener diferencias de altra (ver Fig. 4.7), las cales ya no son homogéneas (Fig. 4.8) y esto hace qe haya n desplazamiento del flido dentro del tanqe qe lo contiene, provocando qe sea n factor importante en el proceso de mezclado y qe en connto con el movimiento de rotación del agitador, provoqe n mezclado más completo en el flido. El flido por la parte de enfrente del aspa es levantado por el movimiento de ésta. 59

63 Capítlo 5 Figra 4.8 Isosperficie (vista sperior tiempo t=150 s). CONCLUSIONES En este trabao se realizó la simlación nmérica del comportamiento de n flido en n mezclador planetario. Se analizó en comportamiento del flido comparativamente dentro del tanqe y en las proximidades del agitador. El flo es modelado por medio de las ecaciones de continidad, cantidad de movimiento y energía en términos de valores medios, las cales son reseltas mediante el método de volúmenes finitos. El estdio es de gran importancia ya qe los mezcladores planetarios son de gran so en la indstria y es de sma importancia poder tener estdios acerca del comportamiento de los flidos dentro de ellos para poder optimizar el proceso de 60

64 Capítlo 5 Figra 4.8 Isosperficie (vista sperior tiempo t=150 s). CONCLUSIONES En este trabao se realizó la simlación nmérica del comportamiento de n flido en n mezclador planetario. Se analizó en comportamiento del flido comparativamente dentro del tanqe y en las proximidades del agitador. El flo es modelado por medio de las ecaciones de continidad, cantidad de movimiento y energía en términos de valores medios, las cales son reseltas mediante el método de volúmenes finitos. El estdio es de gran importancia ya qe los mezcladores planetarios son de gran so en la indstria y es de sma importancia poder tener estdios acerca del comportamiento de los flidos dentro de ellos para poder optimizar el proceso de 60