CONTROL DE UN MOTOR DC PARALELO CON TÉCNICAS GEOMÉTRICAS DIFERENCIALES

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1 CONTROL DE UN MOTOR DC PARALELO CON TÉCNICAS GEOMÉTRICAS DIFERENCIALES FABIOLA ANGULO Grpo de Percepción y Control Inteligente, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales FLAVIO PRIETO Grpo de Percepción y Control Inteligente, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales GUSTAVO OSORIO Grpo de Percepción y Control Inteligente, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales CARLOS OCAMPO Grpo de Percepción y Control Inteligente, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales Recibido para revisión de Enero de 00, aceptado 7 de Marzo de 00, versión inal recibida 5 de Abril de 00 RESUMEN: En el presente trabajo se mestra la tilización de la técnica de control basada en linealización por realimentación del estado y las consideraciones qe deben tenerse en centa, de acerdo con la no linealidad de satración inherente al modelo, al momento de indcir la dinámica lineal deseada Se ha estdiado el caso particlar de n motor DC paralelo, considerando como salida el torqe y se ha analizado el desempeño de esta técnica de control cando se presentan variaciones en la carga y pertrbaciones paramétricas y no paramétricas PALABRAS CLAVES: Sistemas no Lineales, Linealización por Realimentación, Linealización Entrada-Salida, Control de Motores ABSTRACT: In this paper we present the se o a control techniqe based on state eedback linearization, and the considerations that mst keep in mind in agreement with the nonlinearity o model inherent satration, at the time o indcing desired linear dynamics The particlar case o a parallel motor DC has stdied, considering torqe as the otpt It has been analyzed the perormance o this control techniqe when parametric and nonparametric distrbances and load changes appear KEYWORDS: Nonlinear Systems, State Feedback Linearization, Inpt-Otpt Linearization, DC Motor Control INTRODUCCIÓN La linealización entrada-salida (Slotine and Li, 99; Khalil, 996 y Vidyasagar, 993) es na técnica por medio de la cal se peden obtener modelos matemáticos lineales de sistemas no lineales a través de transormación del estado, lo qe implica n modelo exacto, en oposición a la linealización por expansión en series de Taylor, qe conlleva a n modelo aproximado Esta linealización se obtiene realimentando los estados para cancelar las no linealidades de la planta, con lo cal se genera na relación lineal entre la salida y y na neva excitación ν Una vez se tiene esta relación lineal (la cal generalmente es inestable) se indce na dinámica lineal estable deseada, con el objetivo de aplicar posteriormente métodos de control lineal S ventaja es qe permite maniplar el sistema en na amplia región del espacio de estado El presente trabajo se encentra dividido en seis secciones En la Sección se presentan los tópicos generales de la linealización por

2 8 Anglo et al realimentación La aplicación de esta técnica al motor DC se mestra en la Sección 3 La Sección 4 brinda los resltados y ss respectivos análisis, y en la Sección 5 se dan algnas conclsiones LINEALIZACIÓN ENTRADA-SALIDA Para generar na relación lineal entre la salida y y na neva excitación v se debe tener na relación directa entre la salida y la entrada del sistema; esta relación se obtiene derivando la salida tantas veces como sea necesario hasta qe la excitación aparezca explícitamente en la ecación, esto se conoce como grado relativo del sistema y se nota por r, en general r n, con n el número de estados Considérese el sistema descrito por las ecaciones: x& ( x) + g( x) y h( x ) () donde x es el vector de estado y tiene dimensiones nx, es la excitación y es n escalar, es na nción vectorial del estado, de la excitación y del tiempo t y es de dimensiones nx, en este sentido es n campo vectorial de R n R n ; y es la salida del sistema y es n escalar y h es n campo escalar (R n R) A este sistema se le llama aín (Slotine and Li, 99; Nijmeijer and Vander Sachat, 990) porqe es lineal respecto de la excitación, análogamente como lo es n sistema lineal Con el objetivo de aplicar la técnica de linealización por realimentación se reqiere qe el campo vectorial sea save, en el sentido qe existan derivadas parciales continas, al menos del orden qe sea reqerido al aplicar la técnica Si se toma la ecación () y se deriva la salida con respecto al tiempo se tiene, h y x h( ( x) + g( x) ) () x Teniendo en centa qe la derivada de Lie (Vidyasagar, 993; Khali, 996 e Isidoro, 995) de n campo escalar h respecto de n campo vectorial es na nción escalar notada como: h L h, la primera derivada de la salida del sistema, con esta notación, sería ( x) L h( x) ẏ L h + g (3) la segnda y la i-ésima derivadas peden ser escritas como y L h y ( x) + L L h( x) () i L i h( x) L L i h( x) + g g (4) ( ) donde L i h( x) corresponde a L L i h( x) Nótese qe sólo se presentará cando el prodcto L L r g h( x ) 0 Así para n sistema con grado relativo r, se tiene, M y r ẏ L h ( x) y L h( x) M (5) y() i L i h( x) () L r h( x) + L L r h( x) Haciendo α( x) + β( x)ν α ( x) L r h g, con ( x) k L r h( x) K kr h( x) L L r h( x) g y β ( x), se tiene na ecación L L r g h( x) dierencial lineal entre la salida y y la neva excitación ν de la orma: y () r k y( r ) k y( r ) k y + ν (6) K r

3 Dyna 35, 00 9 Los coeicientes k i son elegidos de acerdo al comportamiento deseado, ya qe son los qe están imponiendo la neva dinámica en el sistema Así se obtendrá n sistema con dinámica entrada-salida determinada y estado estable, previa comprobación de la estabilidad de la dinámica interna (Isidoro, 995; Nijmeijer and Van der Schat, 990 y Marino and Tomei, 995) Una vez se tiene na relación directa entre la salida y la entrada, se pede obtener n nevo modelo matemático del sistema asignando las variables de la sigiente manera: r variables de estado (z i, i r) tomadas de la ecación qe relaciona la entrada con la salida y las otras n-r (z j, j n-r) se obtienen del modelo original del sistema, de la sigiente manera: pesto qe el objetivo es cambiar de coordenadas el sistema, debe haber n componentes (correspondientes a otra base), qe cbran el espacio, o por lo menos na región del mismo, en la cal la transormación sea válida, lo qe corresponde a n dieomorismo local (Isidoro, 995; Nijmeijer and Vander Sachat; 990) Estas componentes deben satisacer la condición de independencia z j lineal, lo qe se garantiza si * g( x) 0 para x todo j n-r Los estados qe no qedan deinidos dentro de la representación entradasalida (las n r variables restantes) son conocidos como la dinámica interna, y s nombre obedece precisamente a qe en esta representación no se pede obtener ningna inormación de ellos Para tilizar con éxito la técnica de linealización entrada-salida se reqiere qe la dinámica interna del sistema sea estable, esta dinámica existe siempre y cando el grado relativo sea inerior al orden del sistema Spóngase qe el sistema deinido por () tiene grado relativo r menor qe n Así debe existir na transormación del estado zf(x), de tal manera qe las primeras r variables correspondan a y y [ ] T T ss derivadas, [ ] ( r z z z y y& K y ) K r y n-r variables qe satisagan el principio de independencia lineal Esta transormación es posible siempre y cando el Jacobiano de F(x) sea invertible, por lo menos en la región de operación Con esta transormación, la dinámica del sistema en orma normal pede ser expresada como, z& M z& r z & r+ M z& n z M a c () z + b() z c () z n r () z (7) con salida y z La característica de esta representación es qe presenta la dinámica interna de na manera explícita, ya qe está deinida por [ zr+ zr+ Kzn] T S análisis de estabilidad se hace determinando la estabilidad del sistema resltante cando la excitación garantice salida cero En este caso como la salida es la primera variable de estado, la parte del vector correspondiente a las primeras r variables de estado es cero, y la estabilidad de la dinámica interna se obtiene analizando la estabilidad de las últimas n-r ecaciones con las z i z, z, K correspondientes igaladas a cero ( ) zr 3 LINEALIZACION VOLTAJE-TORQUE MOTOR DC PARALELO Las ecaciones dinámicas qe describen el comportamiento de este sistema son (Krase and Wasynczk, 989): r L i a i AF a a i ω + LAA LAA LAA B L ω m ω + AF i ia TL J J J R i i + LFF LFF (8) con r a la resistencia en el circito de armadra, L AA indctancia del circito de armadra, L FF indctancia del circito de campo, L AF indctancia mta de los circitos de armadra y de campo, B m ricción asociada al motor, J

4 30 Anglo et al momento de inercia, R resistencia del circito de campo y voltaje de excitación Teniendo en centa qe el momento de inercia y la ricción del motor y de la carga peden qedar relacionadas en na sola expresión (Olivier, 99) y considerando para este caso particlar las sigientes constantes asociadas al motor: r a 06Ω, L AA 00H, L FF 0H, L AF 8, B m+l 0343N-m-s, J m+l N-m-s, y R 40Ω, las ecaciones qe describen el comportamiento son x 50x 50x x x 0343x + 8xx3 x3 x (9) En este caso x ia, x ω y x 3 i El voltaje de excitación nominal es de 40 V y la velocidad nominal de rotación es de 7 rad/s Considerando como salida el torqe del motor: y 8x x 3 y derivando hasta qe aparezca explícitamente, se tiene qe el grado relativo del sistema es no y la ecación qe relaciona la excitación con la salida es, y 936 x x 70x x ( 005x + 50x3 ) (0) El sistema tiene dinámica interna de orden dos Es necesario encontrar la transormación a coordenadas normales La primera componente de la nción de transormación es z 8xx3, las otras dos componentes deben cmplir qe, z * x z 3 x g( x) 0 y * g( x) 0 () así, na posible selección de las otras componentes de la nción de transormación es z x 0000x3 y z3 x + x 0000x3 Para qe esta transormación sea válida se debe F( x) garantizar qe 0 x ( x) F x 8x x x x por lo tanto esta transormación es válida si x 0000x 3 La dinámica interna está dada por las últimas dos ecaciones del sistema na vez esté expresado en orma normal y la salida se haga igal a cero, en este caso z 0 Al hacer la representación en orma canónica y reemplazar el valor de z se obtienen las sigientes dos ecaciones, z& 50z () z& z z La dinámica z es estable, lo qe a s vez garantiza la estabilidad de z 3 ; de este modo, la dinámica interna del sistema es estable Eligiendo la señal de control como, 93 6 x + x3 70xx x + 50x3 + ν 0 05x + 50x 3 ( 8x x ) 3 (3) al reemplazarla en (0) se obtiene la dinámica entrada salida y & 5 5y + ν Esta linealización es posible sólo si x 0000x3, qe es el mismo reqerimiento para hacer la transormación del estado La ecación (3) representa la ecación qe linealiza el motor DC paralelo cando se considera como salida el torqe del motor Nótese qe ya se ha indcido la dinámica deseada, haciendo en (6) k 55 4 RESULTADOS El motor sin linealizar, tiene el comportamiento qe se mestra en la Figra En ella se presenta la respesta del sistema partiendo de condiciones de estado estacionario de n torqe de 335N-m, y se cambia la excitación, inicialmente a 70V y 3

5 despés a 40V El valor de 335N-m se obtiene cando se aplica n voltaje de 00V Dyna 35, 00 3 N-m, y se cambia la excitación a 70V y lego a 40V En la Figra 3 se mestra el error torqe del motor tiempo (seg) Figra Comportamiento del torqe En este caso se ve claramente la no linealidad, pes el sobreimplso presentado en cada no de los casos no es proporcional a la señal de excitación Estos sobreimplsos son mcho mayores cando el voltaje de excitación amenta qe cando decrece El torqe presenta n tiempo de establecimiento de 3 segndos aproximadamente Figra Comportamiento del torqe para el sistema linealizado La dinámica impesta (según la ecación 3) e ṫ 5 5τ + ν (4) la cal es amortigada y tiene n tiempo de establecimiento de 073 segndos Se ha seleccionado esta dinámica basado en las limitaciones sobre el eserzo de control Valores de estado estacionario speriores no se peden alcanzar por el eecto de satración; na descripción más detallada de los eectos de este enómeno sobre la linealización se dan en secciones posteriores En la Figra se mestran los resltados de la dinámica deseada (ecación 4) en línea pnteada y del sistema linealizado con realimentación del estado (en línea contina) Se ha reemplazado en la ecación 9, la excitación por la señal de control generada por 3 Por comodidad se parte del valor de estado estacionario correspondiente a n torqe de 335 Figra 3 Error entre la dinámica lineal y la dinámica obtenida con linealización El comportamiento del torqe es mcho mejor en todos los sentidos pes disminyó el tiempo de establecimiento, la variable es amortigada y se comporta prácticamente como n sistema lineal Como el objetivo de la linealización es aplicar técnicas de control lineal, se procede a insertar n control integral Este controlador e calclado esperando na respesta amortigada En la Figra 4 se observan las respestas de cada no de ellos (dinámica deseada en línea pnteada y sistema linealizado con línea contina) La

6 3 Anglo et al constante para el control integral e de 65 Se comenzó con n valor inicial del integrador de 84 para garantizar las condiciones iniciales impestas La dinámica esperada despés de insertar el control intergal tiene n par de polos en s-378 y s-7, en este caso el sistema se volvió n poco más lento pero pede segir na reerencia con comportamiento lineal donde la notación con raya arriba implica desplazamiento del pnto de operación El comportamiento de los sistemas linealizado y no lineal se pede observar en la Figra 5 para peqeños cambios de la excitación 00 ± 5 V y en la Figra 6 para grandes desplazamientos de la excitación 50 V y 60 V En línea contina el comportamiento real del sistema y en pnteada el predicho por el modelo linealizado Figra 4 Comportamiento del torqe con PI para los sistemas lineal y linealizado Para poder determinar las ventajas de este controlador, rente al control PI basado sobre n modelo lineal (Ogata, 997; Franklin y otros 994), se procedió a linealizar el sistema por expansión en series de Taylor y calclar el respectivo controlador Para la linealización se x como pnto de operación Este estado es obtenido excitando el sistema con na señal de 00 V Se obtvieron las sigientes ecaciones: partió del estado [ ] T x x x * y [ ] * x 4640 x 8046 * x x 3 (5) Figra 5 Sistema linealizado y no lineal 00 ± 5 V Figra 6 Sistema linealizado y no lineal 50V y 60V Se desea calclar n controlador basado en este modelo, tal qe la salida permita reglación entre y 44 N-m Para ello se calcla n PI con el modelo linealizado Igal qe en las secciones

7 anteriores se desea qe el sistema tenga n comportamiento lo más parecido al obtenido con la dinámica indcida Los valores de las constantes con las cales se obtvo este resltado eron k p 5 y k i 4; en la Figra 7 se presenta en línea pnteada el comportamiento del sistema no lineal con el PI calclado para el lineal y en contina el PI calclado para la linealización por realimentación Dyna 35, Figra 8 No lineal y PI y linealización por realimentación y PI Variación en la carga: 0% por encima Figra 7 No lineal y PI calclado por Taylor y linealización por realimentación y PI Ahora se procede a hacer n análisis del sistema cando está sometido a dierentes tipos de pertrbaciones Estas pertrbaciones son básicamente variaciones en la carga, cambio en los parámetros y pertrbaciones a la entrada 4 Variaciones en la carga De acerdo con las ecaciones del sistema (9), na variación en la carga implica n cambio en la segnda ecación Para analizar el torqe del motor, se hicieron las simlaciones correspondientes sponiendo qe hay n amento y na disminción del 0% en la carga, los resltados se presentan en las Figras 8 y 9 En contina la respesta del sistema linealizado con coeicientes geométricos dierenciales y PI y en pnteada el sistema no lineal con el PI calclado para el linealizado por Taylor Figra 9 No lineal y PI y linealización por realimentación y PI Variación en la carga: 0% por debajo 4 Pertrbaciones no paramétricas En esta sección se estdia el comportamiento del sistema cando se varían ss parámetros estrctrales Se hace n cambio del 0% por debajo para estdiar el comportamiento del torqe Los resltados se presentan en la Figra 0

8 34 Anglo et al Figra 0 No lineal y PI y linealización por realimentación y PI Variación en los parámetros: 0% por debajo Variando los parámetros por debajo de los valores establecidos, la sitación e crítica y disminyó el rango de reglación del torqe obteniéndose el máximo en 36N-m El PI calclado sobre el modelo linealizado por Taylor no operó adecadamente, mostrando poca reglación, ya qe ni siqiera alcanzó los valores deseados Para variaciones hasta del 0% por encima de los valores nominales de los parámetros se obtvo n ben comportamiento 43 Pertrbaciones paramétricas A este tipo de pertrbaciones es a la qe más sensible es el controlador Sólo se analizó cando existía na pertrbación escalón nitario a la entrada de la planta, ya qe pertrbaciones de valor más alto e imposible de rechazar provocando comportamientos indeseables Teniendo en centa qe la variación de la señal de control está dentro de 35 y 40, esto signiica na pertrbación, para el caso máximo, del 86% y para el mínimo de 04%, lo qe mestra qe este controlador, a pesar de comportarse mcho mejor qe aqel basado en aproximación por series de Taylor, es poco robsto En la Figra se presentan los resltados Figra No lineal y PI y linealización por realimentación y PI Pertrbación escalón nitario 44 Satración y Dinámicas Indcidas Inicialmente y en relación con la linealización se hace n estdio detallado del eecto de la satración en la selección de la dinámica indcida Pesto qe la linealización por realimentación, para el caso especíico del motor paralelo, no se pede hacer cerca al origen del espacio de estado (pnto más probable donde no se cmpla x 0000x 3 ), se consideró como pnto de partida n valor de 335 N-m, el cal es obtenido cando el motor es excitado con n voltaje de 00V Se desea hacer na reglación del sistema entre 94 N-m y 434 N-m, valores obtenidos cando los voltajes de excitación son 40V y 3V, aproximadamente La característica de estos motores es qe en ellos se presenta el enómeno de satración, el cal consiste en qe na vez alcanzado n valor determinado, no interesa canto sba la excitación, la salida en estado estacionario en general no crece Obsérvese el resltado presentado en la Figra, en la cal varía entre 0 y 000V, mientras qe el valor del torqe no sbe por encima de 456N-m Esto se pede calclar directamente de las ecaciones, teniendo en centa qe los valores de

9 Dyna 35, estado estacionario de cada no de los estados del sistema son: Figra Comportamiento del torqe en estado estacionario para variaciones grandes de realimentación, se ha dicho qe los coeicientes k i (ecación 8) son elegidos para qe el sistema sea estable y con na dinámica deseada impesta por el diseñador Sin embargo nótese qe debido a los eectos de satración, la dinámica impesta debe ser tal qe cando el sistema sea excitado con el valor nominal (en este caso 40V), el valor de estado estacionario sea igal o inerior al del sistema no lineal Para el caso especíico del torqe se reqeriría n k de por lo menos 55 Esto implica qe no se peden indcir dinámicas con ganancia G(0) speriores a 08 para el torqe En la Figra 3 se observa el resltado cando se indcen dinámicas con mayores valores de ganancia en estado estacionario (0) y se veriica qe el modelo no lineal con realimentación no responde de la misma manera como lo hace el modelo lineal Esto scede por el eecto de satración el cal no pede ser cancelado por realimentación del estado 66 x x0 x , x x0 y Para el torqe, como es proporcional al prodcto de los estados y 3 se tiene qe 8 * 66 * τ τ x0 + 75x0 Por lo tanto para valores altos de excitación el torqe del motor tiende a 4563N-m De este análisis se conclye qe la satración debe ser tenida en centa al calclar la dinámica indcida, ya qe en ella no se peden imponer dinámicas qe tenga na ganancia de estado estacionario sperior a la qe se pede alcanzar con el sistema original Para este caso concreto la ganancia es de 40/456 Este valor corresponde a la relación qe hay entre el máximo valor permisible por encima del cal ya no hay amento signiicativo en el torqe, qe es de 40V y el valor máximo del torqe qe es de 456 En canto a la selección de los coeicientes de linealización, y de la teoría general de Figra 3 Comportamiento del modelo linealizado y lineal En línea pnteada el comportamiento del sistema no lineal con dinámica indcida con valor de ganancia de estado estacionario 0 y en pnteada el comportamiento predicho por la dinámica lineal En este caso se presentan grandes dierencias entre ambos sistemas De otro lado podría pensarse qe el comportamiento debido a este enómeno podría ser sbsanado con el controlador, sin embargo en el sigiente análisis se mestra cómo la mejor selección de la constante k i es aqella asociada a la máxima

10 36 Anglo et al ganancia con mínima excitación, en estado estacionario El torqe tiene grado relativo no, por lo qe se reqiere na dinámica indcida de primer orden, y por lo tanto el único coeiciente a calclar es k Teniendo en centa qe la dinámica indcida es de primer orden, basta aplicarle al sistema n controlador del tipo integral, lo cal lleva a n sistema de segndo orden con ecación canónica (Ogata, 997; Ko, 996) Los parámetros del controlador y de la dinámica de primer orden indcida peden ser expresados de acerdo con la ecación 6, los cales dependen de la bicación de los polos del sistema controlado qe a s vez determinan el comportamiento Sponiendo qe se desea n comportamiento críticamente amortigado, con lo qe se obtiene n tiempo de establecimiento más rápido, las relaciones serían; k α (6) ki α donde α es la posición del polo repetido, k es la posición del polo de la dinámica lineal indcida y k i es la constante del controlador integral Estas expresiones peden escribirse en nción del coeiciente de la dinámica lineal indcida de la sigiente manera: αk / y k i k /4 Recérdese qe se había dicho qe el coeiciente k de la dinámica lineal indcida debía ser más o menos 55 En la Figra 4 se observa el comportamiento del sistema en la medida en qe este coeiciente varía de 35 a 75 Nótese qe si los valores bajan del estimado, la respesta es my lenta y si sben por encima del valor preestablecido la respesta deja de presentar n comportamiento lineal, aparte qe el sistema no alcanza el valor de estado estacionario deseado, anqe allí ya se ha inclido el PI Esto se debe a qe la variable de estado asociada al integrador (x i ) tiene n valor máximo dado por el límite de la señal de control, es decir x i <60/k i Esto limita el comportamiento del sistema realimentado y del sistema linealizado provocando qe no se alcance el estado estacionario deseado Figra 4 Comportamiento del torqe para variaciones altas en la constante k En la Figra 5 se mestra el mismo resltado pero con valores más cercanos a 55, en este caso el coeiciente de la dinámica indcida varía así 53, 55 y 57 Los resltados son idénticos al caso anterior: para 53 el sistema e más lento y para 57 empieza a verse el eecto del paso por la reerencia Figra 5 Comportamiento del torqe para variaciones bajas en la constante k Con lo anterior se mestra qe no es posible indcir dinámicas qe sigan reerencia escalón para evitarse el controlador integral, y éste se convierte en na necesidad para hacer reglación La mejor selección de la constante independiente de la dinámica indcida es aqella asociada al valor de ganancia de estado

11 Dyna 35, estacionario del sistema no lineal Esto se probó también tomando como salida la velocidad del motor (Anglo, 000) robsta, o en aqellos casos donde se garantice qe no hay grandes pertrbaciones en el sistema 5 CONCLUSIONES En canto al comportamiento del sistema controlado con el PI, basado en n modelo linealizado alrededor de n pnto de operación, pede decirse qe s respesta es bena siempre y cando la no linealidad de la variable controlada no sea my severa En el trabajo general se hizo n análisis del controlador para la velocidad (Anglo, 000), y la respesta del sistema no lineal al qe se le agregó el PI calclado para el sistema linealizado por expansión en series de Taylor operó my bien; esto es debido a qe la no linealidad de la velocidad no es tan severa como la del torqe Por lo anterior se conclye qe si la variable a controlar tiene na erte no linealidad, el desempeño del PI calclado sobre el modelo linealizado no es beno y debe recrrirse a técnicas no lineales para controlar el sistema En general sando la aproximación lineal del sistema s comportamiento es pobre ante grandes variaciones en la señal de reerencia, debido a ss propiedades locales Por ello desde n pnto de vista práctico, donde no se peda garantizar peqeños cambios en la señal de reerencia conviene calclar n controlador de mayor alcance, como aqel determinado por la linealización por realimentación La ventaja de sar linealización por realimentación, es qe permite qe el sistema se comporte de manera lineal en na amplia región del espacio de estado Respecto del rechazo a pertrbaciones (anqe el comportamiento del sistema operando con el controlador no lineal es mcho mejor qe cando está operando con el PI solo), pede decirse qe este tipo de controlador no es my robsto En algnos casos disminye el rango de operación del sistema, y en otros tiene comportamientos indeseables Por lo tanto s aplicabilidad debe pensarse en conjnto con algna técnica más AGRADECIMIENTOS Los atores agradecen a la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, por s invalable colaboración en la realización de este trabajo REFERENCIAS Anglo F Análisis de Estrctra linealizante con diversos métodos de aproximación de nciones Tesis de Maestría en Atomatización Indstrial Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 000 Franklin G, Powell J and Emami-Naeini A Feedback Control o Dynamic Systems Addison Wesley Pblishing Company, tercera edición, 994 Isidori A Nonlinear Control Systems Springer, tercera edición, 995 Khalil H Nonlinear Systems Prentice Hall, segnda edición, 996 Krase P and Wasynczk O Electromechanical Motions Devices McGraw Hill, 989 Ko B Sistemas de Control Atomático Prentice Hall, séptima edición, 996 Marino, R and Tomei P Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive and Robst Prentice Hall Italia, 995 Nijmeijer H and van der Schat A Nonlinear Dynamical Control Systems Springer, 990 Ogata K Modern Control Engineering Prentice Hall, tercera edición, 997 Olivier P Feedback Linearization o DC Motors, IEEE Transactions on Indstrial Electronics, vol 38, No 6, diciembre de 99 Slotine J and Li W Applied Nonlinear Control Prentice Hall, 99 Vidyasagar M Nonlinear Systems Analysis Prentice Hall, segnda edición, 993