TEMA: ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES. APLICACIONES EN TELEDETECCIÓN.

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1 ETS INGENIERÍA GEODÉSICA, CARTOGRÁFICA Y TOPOGRÁFICA TEMA: ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES APLICACIONES EN TELEDETECCIÓN ASIGNATURA: TELEDETECCIÓN APLICADA PROFESOR: Lis Ángel Riz Crso:

2 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES Cando se trabaja con na elevada cantidad de datos y variables, na de las principales decisiones qe el analista debe hacer es la selección de las variables qe optimizan la solción a n determinado problema En ocasiones, n planteamiento teórico inicial y n estdio exhastivo de las variables pede condcir a la selección adecada de los datos Sin embargo, cando se trabaja con nmerosas variables, como es el caso de los datos sministrados por los sensores mltiespectrales e hiperespectrales (estos últimos con inormación de hasta cientos de longitdes de onda dierentes), la correlación existente entre ellas pede ser my elevada y el estdio, análisis y comprensión de todas las correlaciones posibles resltaría inviable En este tema se describe y analiza el procedimiento estadístico de análisis mltivariante conocido como análisis de componentes principales, concebido ndamentalmente como n método de redcción de datos Se tratarán, inicialmente, los aspectos teóricos del método, particlarizándolo a nestro tipo de datos, las imágenes, y de variables, la respesta espectral en las distintas longitdes de onda del espectro electromagnético Finalmente, se repasarán las principales aplicaciones en el campo de la teledetección El esqema según el cal se va a desarrollar el tema es el sigiente: Objeto Datos Procedimiento Interpretación geométrica Ejemplo Aplicaciones Objeto Este método consiste en la transormación de n conjnto original de variables en otro conjnto de variables o componentes, obtenidas mediante combinación lineal de las anteriores, de orma qe los primeros nevos componentes generados expliqen el máximo de la variabilidad total, mientras qe el resto vaya explicando menor cantidad de varianza de orma scesiva Además, las scesivas combinaciones lineales se extraen de orma qe no exista correlación entre ellas

3 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Así pes, el objetivo principal del análisis de componentes principales es el de determinar nevos actores (componentes principales) qe expliqen la mayor cantidad de la variabilidad existente en los datos tilizando, para ello, el menor número de actores posible Datos Partimos de na matriz de datos X, de n individos por p variables, donde X podría representar na imagen mltiespectral con n píxeles y p bandas espectrales, y n elemento genérico de dicha matriz, x ij, representaría el nivel de gris del píxel i en la banda j De esta orma, la matriz se pede descomponer en p vectores colmna, donde cada no de ellos representa na banda espectral de la imagen X x x x x x x j p x x x = (,,,, ) = (nxp) j p i ij ip x x x n nj np Además, sea C la matriz de varianzas y covarianzas de X, matriz cadrada cyas dimensiones coinciden con el número de variables o bandas de la imagen: σ σp C = σp σ pp ( pxp) el término general de la matriz de covarianzas para dos variables genéricas j y j' vendrá dado por la expresión n σ jj' = ( xij µ j )( xij' µ j n ' ) i= donde µ j es la media de los n individos para la variable genérica j: n µ j = x n i j i=

4 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Procedimiento Dadas las variables iniciales x,, x j,, x p, las nevas variables o componentes principales se obtienen combinando linealmente las variables originales de orma qe satisagan dos condiciones: y ) qe maximicen la varianza, (de orma qe cada componente scesivo expliqe el máximo de variabilidad posible) ) qe sean ortogonales entre sí (condición para qe no exista correlación entre componentes) Llamando z a las nevas variables ( =,,p), a ss respectivos vectores de coeicientes, tenemos qe z ( nx) = X ( nxp) ( px) z a ss respectivos vectores de datos donde: = p ; z z = z n ; es decir, cada nevo componente vendrá dado por la expresión: z = x i + x i + + x ip p La varianza del conjnto de datos representado por la matriz X y proyectado sobre la dirección viene dada por Varianza X ( ) = ' C Así pes, el problema qe se plantea es el de determinar el eje qe pasa por el origen y para el cal es máxima la varianza del conjnto de datos proyectado Matemáticamente, debemos hallar los p componentes,, j,, p de n vector nitario ( j = ) de tal orma qe maximice la expresión: C ' p j= 3

5 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección con la restricción ' = ( ) (vector nitario) Cálclo del primer componente principal: Llamando z = X al primer componente principal y a s vector de coeicientes, las coordenadas de peden calclarse por el método de los mltiplicadores de Lagrange, considerando la nción h (, λ ) : h(, λ ) = ' C λ ( ' derivando e igalando la nción a cero, = C h λ C = = λ () 0 ) por lo qe es el primer vector propio de C, y λ s primer valor propio Premltiplicando por ', se obtiene C = λ = λ ' ' por lo qe dicho valor propio representa la varianza máxima bscada Cálclo del segndo componente principal (y scesivos): El segndo componente principal, z na neva condición: X = ' = 0,, se calcla de orma análoga, añadiendo esto es, ambos vectores son ortogonales (NOTA: esta orma cadrática amentaría indeinidamente si era arbitrariamente grande, por lo qe se limita s longitd a la nidad) 4

6 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección ' Por consigiente, bscaremos maximizando la expresión C, con las condiciones ' = y ' = 0 Considerando nevamente na nción h (, λ ), sjeta a las dos condiciones mencionadas: h( h, λ ) = ' λ ( ' ) β ' = C C λ β Premltiplicando ambos miembros por y teniendo en centa las dos condiciones impestas, se obtiene C ' C ' ' λ β = 0 ' = 0 β ' = 0 () C ' C 0 Como se ha visto antes, = λ (), mltiplicando esta expresión por y considerando la condición de ortogonalidad entre ambos vectores, obtenemos qe ' = ( ), de lo cal se dedce, sstityendo en la ecación anterior, qe β=0 Volviendo a la ecación inicial () y sstityendo β: C λ = 0, por lo qe es el segndo vector propio de la matriz C, asociado al valor propio λ( λ λ) El mismo planteamiento pede aplicarse para la obtención de los valores y vectores propios restantes (ya qe, al ser C na matriz simétrica, se cmple qe ' C = ' C ) 5

7 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Generalizando: C = λ Dado qe todos los vectores propios son ortogonales, las varianzas son aditivas y la expresión λ λ + + λp representa la proporción de la varianza total explicada por el componente Nota: En el anexo-i se describe el cálclo de valores y vectores propios Interpretación geométrica La transormación de componentes principales pede entenderse ácilmente considerando únicamente dos variables Si representamos gráicamente los valores de los pntos de la imagen en el espacio bidimensional deinido por las dos variables como ejes de abscisas y de ordenadas, obtendremos el diagrama de dispersión de la igra En él, la nbe de pntos presenta na orma típicamente alargada, poniendo en evidencia cierta correlación o dependencia entre ambas bandas Si estas eran totalmente independientes, s covarianza y s correlación serían nlas y la mencionada nbe tendría na orma circlar Canto mayor sea la correlación entre dos bandas, más alargada será la nbe de pntos y mayor será la covarianza entre las bandas (en valor absolto) Al realizar el cálclo de los componentes principales, los vectores propios de la matriz de covarianzas nos indican la dirección de los ejes principales o ejes de mínima inercia del conjnto de datos (PC y PC en la igra ) y los valores propios son proporcionales a la variabilidad de los datos según los respectivos ejes Por ello el primer componente, cyo valor propio λ es máximo, explica la mayor variabilidad de la inormación contenida en la imagen, mientras qe el segndo componente explicará el resto 6

8 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Variable PC PC ortogonalidad Variable Figra - Diagrama de dispersión de dos variables y direcciones de los componentes principales resltantes (PC y PC) Generalizando para n sistema n-dimensional en el qe las distribciones de los valores para las n variables sean normales, la nbe de pntos vendrá deinida por n hiperelipsoide con n ejes principales Ejemplo Se ha aplicado el método de análisis de componentes principales a na imagen del sensor Thematic Mapper (TM) del satélite Landsat 5, con siete bandas espectrales, tres en el visible, tres en el inrarrojo próximo y na en el inrarrojo térmico La imagen e adqirida en jnio de 987 y representa na zona de cltivos de regadío de la rivera del río Júcar, en la provincia de Albacete La igra mestra la imagen original, visalizada según na combinación en also color inrarrojo, en la qe destacan en tonos rojos las zonas de cltivos de regadío en pleno vigor vegetativo (elevada relectancia en el inrarrojo próximo) En la misma igra se mestran los dos primeros componentes resltantes Paralelamente, en la tabla aparecen los vectores propios obtenidos, qe representan los coeicientes de ponderación qe han de aplicarse sobre los valores digitales de las bandas originales (ilas) para obtener cada no de los componentes resltantes (colmnas) como combinación lineal ponderada de aqéllas La interpretación de los nevos componentes reslta complicada En este caso, a la vista de los coeicientes mencionados (tabla ), observamos cómo para la obtención del primer componente se ponderan de orma más o menos similar las bandas originales, por lo qe la imagen resltante contendrá principalmente inormación sobre la intensidad o brillo global de la imagen Análogamente, en el segndo componente se aprecia claramente na ponderación 7

9 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección positiva my sperior para la banda 4 (inrarrojo próximo) qe para el resto por lo qe, teniendo en centa qe esta banda está directamente relacionada con n incremento acsado de la relectancia de la hoja vegetal debido a s estrctra morológica interna, parece lógico asociar el segndo componente al vigor vegetativo y a la presencia de vegetación, lo cal se corrobora examinando la imagen de este componente en la igra, en el qe las zonas de regadío aparecen con más brillo qe el resto Figra - Combinación en also color inrarrojo (bandas 43-RGB) de la imagen Landsat-TM de los regadíos del río Júcar (izqierda) Imágenes de los componentes principales º y º (centro y derecha) de la imagen de las 7 bandas espectrales original Tabla - Vectores propios de la matriz de covarianzas de la imagen original BANDAS COMPONENTES PRINCIPALES ORIGINALE CP CP CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 S B B B B B B B La tabla mestra los valores propios asociados a cada nevo componente Dividiendo el valor propio de cada componente entre la sma de todos ellos se obtiene la proporción de varianza total contenida en los datos originales expresada por el componente en cestión, lo cal proporciona n criterio de selección del número de componentes para tilizar en calqier procedimiento de análisis posterior, como es el caso de na clasiicación espectral 8

10 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Tabla - Valores propios asociados y porcentajes de varianza y varianza acmlada explicada por cada no de ellos COMPONENTE VALORES PROPIOS % VARIANZA % VARIANZA ACUMULADA Aplicaciones A) Redcción del volmen de datos La principal tilidad del método consiste, como ya se ha visto, en la redcción de la dimensionalidad de los datos, eliminando así la inormación redndante debida a la correlación entre bandas Una vez seleccionados los componentes qe conlleven la mayoría de la inormación (sma de varianzas relativas próxima a la nidad) peden realizarse las mismas operaciones de análisis de los datos (realce, clasiicación,) qe tilizando la totalidad de las bandas, consigiendo resltados similares Esta aplicación tiene n enorme potencial cando se trabaja con n número elevado de bandas espectrales tomadas a intervalos de longitd de onda my cortos, lo qe ocasiona na gran correlación entre bandas, haciéndose necesario n proceso estadístico de selección B) Redcción del rido Figra 3- Imagen correspondiente al 7º y último componente principal del ejemplo anterior Pede apreciarse n gran componente de rido en la imagen Los valores digitales de las imágenes obtenidas mediante sensores a bordo de satéliteds se ven especialmente alterados debido tanto a la inlencia de los enómenos de dispersión atmosérica como a deiciencias, a veces my stiles, en el ncionamiento de los propios sensores Al conjnto de alteraciones de la señal qe se maniiesta en las imágenes se le denomina rido 9

11 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Los últimos componentes obtenidos en el análisis de componentes principales, aqéllos qe contienen la mínima inormación de los datos, selen ir asociados a rido del sistema o a las alteraciones de la imagen debidas a la dispersión atmosérica, por lo qe s eliminación contribye directamente a la redcción del rido, esto es, a la restaración y realce de las imágenes C) Detección de cambios en el tiempo La tilización de este método para la detección de cambios en el tiempo reqiere la integración de dos o más imágenes mltiespectrales, de na misma zona y adqiridas en echas distintas, en na misma matriz o archivo de datos sobre el cal se aplica el análisis de componentes principales Sponiendo qe las zonas modiicadas sean cantitativamente menos importantes, esto es, ocpen menos spericie qe las zonas qe no han evolcionado, los primeros componentes selen retener la inormación relativa a las áreas comnes en todas las áreas (las invariantes), mientras qe los componentes secndarios registrarán los cambios o evolciones en el tiempo (características objetos qe sólo aparecen en na de las echas) Este tipo de aplicaciones reqiere na metodología qe consiste en las sigientes ases: Corrección o ajste radiométrico de las imágenes para redcir, en la medida de los posible, las dierencias radiométricas debidas a las condiciones atmoséricas de cada echa y a las dierencias de calibración o sensibilidad de los sensores Registro geométrico de las imágenes y remestreo a la misma resolción espacial Las dierencias geométricas provocarán errores en la localización de los cambios, e inclso harán qe se detecte la presencia de cambios donde no existan Recorte o redimensionamiento de la zona de estdio en cada imagen e integración de todas ellas en n solo conjnto de datos o archivo Aplicación del método de análisis de componentes principales sobre la totalidad de las bandas mltiespectrales y mltitemporales Interpretación de los componentes secndarios e identiicación de las zonas de cambio qe hayan sido realizadas El resltado pede limitarse al realce de las áreas qe hayan srido algún cambio, como método de apoyo a la interpretación, o bien peden aplicarse técnicas posteriores de análisis qe permitan la detección atomática de las mismas 0

12 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección D) Ampliación del contraste por decorrelación Otra aplicación de este método al realce de imágenes se basa en la ampliación del contraste por decorrelación, consistente en la conversión de los datos al espacio deinido por los componentes principales de las bandas originales (este espacio se caracteriza por la inexistencia de correlación entre los componentes), segido de la ecalización de los datos según los nevos ejes, y por último la conversión de los datos al espacio inicial y la combinación de las bandas con los colores primarios RGB De esta orma, los pntos se distribyen más niormemente en el espacio RGB, por lo qe la imagen mostrará n contraste my sperior Figra 4- Ejemplo de aplicación del método de ampliación del realce espectral por decorrelación La imagen de la izqierda representa na combinación en color real con elevado contraste pero con na gran correlación entre las bandas espectrales, como pede apreciarse en ss dos diagramas de dispersión (relacionan las bandas rojo/verde y rojo/azl) El resltado de la decorrelación pede verse en la imagen de la derecha, en la qe el espacio de color qeda mcho más aprovechado Cando las bandas espectrales de na imagen están altamente correlacionadas entre sí, al visalizarla en el espacio de color RGB (tilizado por los monitores estándar) con recencia presenta n elevado componente de gris, lo qe spone na carencia de color global en la imagen Geométricamente, esto se debe a qe los valores de los píxeles correlacionados se sitúan, lógicamente, en la zona próxima a la diagonal R=G=B del cbo de color RGB ormando, en este espacio de representación, na concentración de pntos similar a n elipsoide Las

13 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección técnicas estándar de realce, tales como la ecalización del histograma o las basadas en transormaciones lineales de las bandas individales, tienden a alargar dicho elipsoide o bien a orientarlo en otra dirección, pero no consigen expandirlo de orma qe ocpe el espacio de color disponible Entre los diversos métodos propestos para sperar esta limitación, no de los más eicientes se basa en la eliminación de la correlación de los datos en el espacio de coordenadas original mediante el cálclo de los componentes principales El método consta de tres ases: Cálclo de los componentes principales de la distribción de valores en el espacio 3D original y transormación de los datos a este nevo espacio Aplicación de técnicas de ampliación del contraste sobre cada no de los 3 nevos ejes, no correlacionados entre sí Esto se realiza mediante la ecalización o escalado de los nevos histogramas, consigiéndose na expansión de los datos en el espacio tridimensional 3 Transormación inversa de los datos al espacio de coordenadas original (RGB) Estas operaciones peden realizarse por medio de na sola transormación lineal para cada banda Expresándola en orma matricial: X D = X U S U donde X es la matriz de datos inicial n x 3 (tres componentes, RGB, para cada no de los n píxeles en la imagen); U es la matriz de la transormación de los componentes principales, cyas colmnas son los vectores propios de la matriz de covarianzas de X ; S es na matriz diagonal de escalado, qe prodce n cambio de escala de los valores (ecalización) en el espacio de los componentes principales; y X D es la matriz de datos resltante, también de dimensiones n x 3 Cada colmna de X y X D representa na banda completa de la imagen Como se aprecia en el ejemplo de la igra 4, la imagen resltante adqiere nos colores n tanto exagerados, poco reales, sin embargo, éstos no se reasignan al azar, sino qe mantienen s tonalidad inicial (la vegetación sige siendo verde, el aga azl, etc), lo cal permite la asociación de cada no de ellos a las mismas características ísicas de la escena inicial Este método constitye na interesante herramienta de apoyo a la interpretación, especialmente en ciertos tipos de aplicaciones en las qe se pretende localizar e identiicar objetos poco evidentes (materiales geológicos, etc)

14 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección E) Fsión de imágenes A pesar de s gran desarrollo en los últimos años, los sistemas sensores se diseñan adoptando solciones de compromiso entre los distintos tipos de resolción, en especial entre la resolción espacial y la relación señal/rido Debido a qe los sensores mltiespectrales presentan bandas con intervalos de longitd de onda más estrechos en comparación con los sensores pancromáticos, generalmente poseen campos de visión instantáneos (IFOV: Instantaneos Field O View) más amplios (menor resolción espacial) para recibir más otones de energía y poder mantener así la relación señal/rido Los sensores modernos, como los qe llevan a bordo las plataormas SPOT y Landsat-7, adqieren imágenes mltiespectrales y pancromáticas simltáneamente Mediante la tilización de algoritmos de sión adecados se peden combinar ambos tipos de imágenes para crear na tercera qe preserve la resolción espectral de la imagen mltiespectral e introdzca la resolción espacial de la imagen pancromática Uno de los métodos empleados en la sión de estas imágenes se basa, precisamente, en la aplicación del método de análisis de componentes principales El proceso consiste, de orma global, en los sigientes pasos: Ajste geométrico entre ambas imágenes La imagen pancromática de alta resolción se tiliza como reerencia, sobre la cal se registra la imagen mltiespectral de menor resolción espacial Remestreo radiométrico de la imagen de baja resolción para consegir el mismo tamaño de pixel qe la imagen de alta resolción Esta operación se lleva a cabo en el mismo proceso de rectiicación o registro entre ambas imágenes 3 Aplicación del análisis de componentes principales sobre la imagen mltiespectral 4 Ajste radiométrico de la imagen pancromática con respecto al primer componente principal 5 Sstitción del primer componente principal por la imagen pancromática 6 Aplicación de la transormación inversa del análisis de componentes principales, convirtiendo la imagen al espacio de representación original 3

15 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección Los spestos de los qe se parte para la aplicación del procedimiento son los sigientes: El primer componente principal contiene inormación sobre la lminancia de la escena, mientras qe el resto de los componentes contienen inormación sobre la variación espectral La lminancia en las bandas del inrarrojo es la misma qe en las bandas del visible La igra 5 mestra n ejemplo de la aplicación de este método sobre n detalle de na imagen del satélite IRS, de los sensores mltiespectral (LISS-III) y pancromático Por último, comentar algnos aspectos qe inciden en la calidad del resltado inal: Factores propios de la escena: Conviene tilizar imágenes de echas tan próximas como sea posible Además, es preerible qe la zona tenga poco relieve topográico Factores propios del sensor: La imagen de alta resolción deberá tener la mayor similitd espectral posible con el componente qe se sstitya Con el objeto de redcir el eecto de las singlaridades radiométricas residales, la imagen de alta resolción deberá ajstarse radiométricamente al componente qe se sstitya Figra 5- Ejemplo de sión de imágenes IRS: Imagen pancromática de 58 m/pixel (izqierda); imagen sintética en color real obtenida a partir de la mltiespectral LISS-III de 3 m/pixel (centro); e imagen resltante del proceso de sión (derecha) 4

16 Análisis de componentes principales Aplicaciones en teledetección ANEXO I- Cálclo de valores y vectores propios Dada la matriz cadrada C (pxp), si mltiplicamos calqier vector X por C se obtendrá n nevo vector Y = CX Se dice qe el vector Y es el transormado de X por C Diremos qe es n vector propio de C, si C lo transorma paralelamente a sí mismo: C = λ A λ se le conoce como valor propio asociado al vector propio A la ecación anterior le corresponde n sistema homogéneo de p ecaciones con p incógnitas: σ + + σ = λ p σ + + σ = λ p pp p p p ( σ λ) + σ+ + σpp = 0 σ+ ( σ λ) + + σpp = 0 σ p σ p ( σpp λ) p = 0 (A-) Para qe el sistema sea compatible, s determinante será igal a cero: σ λ σ σ p σ σ λ σ p σ σ σ λ p p pp = 0 dando lgar a n polinomio de grado p en λ, cyas raíces constityen los valores propios de C Sstityendo cada no de los valores propios obtenidos en el sistema de ecaciones (A- ) se obtienen los vectores propios correspondientes 5