(b) (a) (c) (d) CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1 Introducción.

Transcripción

1 CPÍTUO. ESTUCTUS ESTÁTICMENTE ETEMINS.. Introdcción. a maoría de las estrctras actales están diseñadas para soportar sólo deormaciones peqeñas linealmente. Este es el caso de las estrctras metálicas, en las qe el material se comporta conorme a la le de Hooe; salmente también se spone qe las estrctras de concreto se deorman linealmente. Sin embargo, es posible qe n miembro estrctral recto abricado con n material qe satisaga la le de Hooe se deorme no linealmente cando es sometido a na carga lateral a na era aial grande. Es importante reconocer la dierencia ndamental entre las estrctras estáticamente indeterminadas (iperestáticas), en las qe las eras en estas últimas no se peden obtener únicamente a partir de las ecaciones de eqilibrio estático: también se reqiere conocer algnas de las condiciones geométricas bajo carga. El análisis de estrctras estáticamente indeterminadas, generalmente reqiere la solción de ecaciones lineales simltáneas, co número depende del método de análisis. (a) (b) (c) (d) NISIS ESTUCTU

2 (e) () (g) () igra -. Ejemplos de estrctras reticladas. (a) Viga contina. (b) (c ) m adras planas. (d) (e) Marc os planos. () Marc o tridim ensional (g) rmadra tridimensional. () etícla oriontal sometida a cargas vertic ales.. Eqilibrio de n cerpo. En la igra -a se representa n cerpo sometido a eras,,, n en el espacio. En este conteto, el término era signiica, a sea la acción de na carga concentrada, o n par de eras, (n momento); en este último caso, el momento es representado por na leca de doble cabea. Una era típica i actando en n pnto con coordenadas ( i, i, i ) se mestra en la igra -b empleando el sistema de mano dereca de ejes ortogonales,,. as componentes de i en la dirección de los ejes de la era son: i i λi i i λi i i λi (-) onde i es la magnitd de la era (valor absolto); λ i, λ i λ i se conocen como cosenos directores de la era i, son igales al coseno de los ánglos α, β γ entre la era las direcciones positivas de,,, respectivamente. NISIS ESTUCTU

3 M M M i ( i i, i, ) i α β γ i i i (a) igra -. Sistem a d e era s c om p onentes d e las era s. (a ) Cerp o sometido a eras en el espacio. (b) Componentes de na era típica convención de signos positivos para M, M M. (b) El momento de na carga concentrada i con respecto a los ejes,, (igra -b) es igal a la sma de momentos de las componentes i, i i ; por lo tanto, M i i i i i M i i i i i M i i i i i (-) Para n cerpo en eqilibrio, las componentes de la resltante en las direcciones,, deben anlarse de tal orma qe se aplican las sigientes ecaciones: M M M (-) Cando todas las eras qe actúan sobre el cerpo libre se aplican en n plano, únicamente tres de las seis ecaciones de eqilibrio resltan signiicativas. Por ejemplo, cando las eras actúan en el plano, estas ecaciones son: M (-) Cando na estrctra en eqilibrio está constitida por varios miembros, se deben satisacer las ecaciones de eqilibrio al aplicarse a la estrctra como n todo. Cada miembro, ndo o parte de la estrctra se encentra también eqilibrio las ecaciones de la estática también se deberían satisacer. NISIS ESTUCTU

4 as ecaciones de eqilibrio - - se peden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las eras internas siempre cando el número de incógnitas no eceda el número de ecaciones. En el caso de armadras con miembros articlados eras aplicadas únicamente en los ndos, los miembros están sometidos a eras aiales eclsivamente; por lo tanto, para n ndo de la armadra, las ecaciones qe epresan eqilibrio de momentos inclidas en las ecaciones - - se anlan pero se peden aplicar a na parte de la armadra para determinar las eras en los miembros. Ejemplo -. El elemento prismático en voladio mostrado en la igra está sometido, en el plano de la sección transversal de s etremo libre, a las eras P, Pb, como se mestra en la misma. etermine las componentes en O de la reacción resltante en el etremo empotrado; el pnto O es el centro de la sección transversal. b b Pb.b P Spóngase qe las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas qe las correspondientes a los ejes,,. as coordenadas del pnto de aplicación de son (b,.b, -.7b). os cosenos λ λ, λ,.,.8, directores de son { } l aplicar las ecaciones - -, se obtiene {, } {,.,.8} M M M.8.. (.7) Pb.8., P.88 Pb.98. NISIS ESTUCTU

5 El momento aplicado sólo tiene na componente: M -Pb. as ecaciones de eqilibrio - proporcionan las componentes de reacción en el pnto O:,, P,.,.8 { } { } O O O { M, M, M } Pb{.88,.98,.} O O O Observe qe las reacciones no varían si la leca de doble cabea, qe representa el momento en la igra -a, se desplaa a otra posición sin ningún cambio de dirección. Ejemplo -. etermine las componentes de la reacción para el marco plano qe se mestra en la igra. b b b b P C P E P b -P -.P Seleccione los ejes,, como se mestra apliqe la ecación -: P M b (b) P(b) P(b) P( b) P P a primera de las tres ecaciones anteriores proporciona el valor de, el cal, al sstitirse en la segnda ecación, permite la determinación de. l sstitir en la tercera ecación, se obtiene. as respestas son: P;.8 ;.. P P En este problema, podemos veriicar qe M con el eje en n pnto dierente, por ejemplo en el pnto. Nótese qe con esto no se obtiene na carta ecación qe se podría sar para determinar na carta incógnita; ello se debe a qe la carta ecación se pede derivar a partir de las otras tres. NISIS ESTUCTU

6 . eras internas: convención de signos diagramas. a inalidad de n análisis estrctral es poder determinar las reacciones en los apoos así como las eras internas (las resltantes de los eseros) en calqier sección. En vigas marcos planos en los cales todas las eras en la estrctra están en n solo plano, la resltante de los eseros en calqier sección tiene generalmente tres componentes: na era aial N, na era cortante V n momento leionante M. as direcciones positivas de N, V M se mestran en la igra -a. as variaciones de N, V M a lo largo del miembro se presentan gráicamente en lo diagramas de era aial, era cortante momento leionante, respectivamente, qe se presentan en la igra -b. as eras N V positivas se dibjan acia arriba, mientras qe el momento M positivo se traa acia abajo. N N V M M (a) V P G C N P G C V 7P/ Pb Pb G H C M Pb/ (b) igra.. (a) Valores positivos de N, V M. (b) iagramas de eras aial, era cortante momento leionante. NISIS ESTUCTU

7 Tarea. Obtenga los diagramas de era cortante de momento leionante para las vigas marcos estáticamente determinados qe se mestran en la igra del problema -. Carga total en C q C q q por nidad de longitd.q C... /8 / E (a) q/ q/ G. / / / / P C P 9 (e) Carga total sobre q / (b) () P.q G..... E C Carga niorme q/ nidad de longitd / P P C P E G P Carga total sob re G (c ) (g). (d) C / () C Vista en planta de na viga en voladio oriontal som etida a s p eso propio q por nidad de longitd NISIS ESTUCTU 7

8 CPÍTUO. INTOUCCIÓN NÁISIS E ESTUCTUS ESTÁTICMENTE INETEMINS.. Indeterminación estática. a indeterminación de na estrctra pede ser eterna, interna o de ambos tipos. Se dice qe na estrctra es indeterminada eternamente si el número de componentes de reacción ecede el número de ecaciones de eqilibrio. Por lo tanto, na estrctra tridimensional es, en general, eterna estáticamente indeterminada cando el número de componentes de reacción es maor de seis. En na estrctra plana, el número correspondiente es de tres. Cada na de las vigas de las igras - a b tiene catro componentes de reacción. Como sólo a tres ecaciones de eqilibrio estático, se tiene na era desconocida en eceso a aqellas qe se peden encontrar por estática, por lo qe las vigas son eternas estáticamente indeterminadas. Se deine el grado de indeterminación como el número de eras desconocidas qe ecede el de las ecaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las igras - a b son indeterminadas en primer grado. lgnas estrctras se constren de tal modo qe el esero resltante en na sección determinada sea cero. Esto proporciona na ecación adicional de eqilibrio estático permite la determinación de na componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articlaciones de la igra -c tiene catro componentes de reacción, pero el momento leionante en la articlación central debe ser nlo. Esta condición, jnto con las tres ecaciones de eqilibrio aplicadas a la estrctra como cerpo libre, es siciente para determinar las catro componentes de reacción. (a) (b) (c ) igra -. (a), (b) Estrc tras eterna estátic am ente indeterm inadas. (c) Marco de tres articlaciones estáticamente determinado. NISIS ESTUCTU 8

9 Considérense aora las estrctras qe son eterna estáticamente determinadas, pero internamente indeterminadas. Por ejemplo, en la armadra de la igra -a, las eras en los miembros no se peden determinar solamente con las ecaciones de la estática. Si se retira (o se corta) no de los dos miembros diagonales, las eras en los miembros se peden calclar con las ecaciones de la estática. e aí qe la armadra sea internamente indeterminada en primer grado, anqe sea eternamente determinada. El marco de la igra -b es internamente indeterminado en tercer grado: se convierte en determinado si se ace n corte en no de los miembros (igra - c). El corte representa la eliminación o liberación de tres resltantes esero: era aial, era cortante momento leionante. El número de liberaciones necesarias para acer na estrctra estáticamente determinada representa el grado de indeterminación. El mismo marco se convierte en determinado si las liberaciones se eectúan introdciendo tres articlaciones como se mestra en la igra -d, eliminando así el momento leionante en tres secciones. (a) (b) (c ) (d) igra -. Estrc tras interna estátic am ente indeterm inadas. as estrctras peden ser estáticamente indeterminadas tanto interna como eternamente. El marco de la igra - es eternamente indeterminado en primer grado, pero las resltantes de eseros no se peden determinar por estática an sponiendo qe se aan encontrado previamente las reacciones. NISIS ESTUCTU 9

10 igra -. Marco qe es estáticamente indeterminado tanto eterna como internamente. El marco tridimensional de la igra - tiene seis componentes de reacción en cada apoo: tres componentes X, Y, Z tres momentos M, M M. Para evitar congestionar la igra, las seis componentes se mestran sólo en no de los catro apoos. os vectores de momentos se indican con lecas de doble cabea. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estrctra es, mientras qe el número de ecaciones de eqilibrio qe se peden escribir es seis. Entonces, el marco es eternamente indeterminado en 8. M Y Z X M M igra -. Marco tridimensional con ndos rígidos. NISIS ESTUCTU

11 . Epresiones para el grado de indeterminación. Una armadra plana con tres componentes de reacción, m miembros j ndos articlados (inclendo los apoos, qe también están articlados). as eras desconocidas son las tres componentes de reacción la era en cada miembro, en total, m. Por otra parte, se peden escribir dos ecaciones de eqilibrio en cada ndo: (-) Siendo la smatoria para las componentes de todas las eras eternas e internas qe coinciden en el ndo. e aí qe el número total de ecaciones es j. Para la determinación estática, el número de ecaciones de la estática es igal al número de incógnitas, es decir: j m (-) Siempre qe la estrctra sea estable, se pede acer cierto intercambio entre el número de miembros el número de componentes de reacción r, de modo qe para la determinación total se satisaga la condición: j m r (-) Entonces, el grado de indeterminación es: i ( m r) j (-) Para la armadra qe se ilstra en la igra -, r, m 8 j. Por lo tanto i. igra -. rmadra plana estáticamente indeterminada. NISIS ESTUCTU

12 En el caso de n marco tridimensional con ndos articlados se peden escribir tres ecaciones de eqilibrio, a saber: (-) Siendo otra ve la smatoria de todas las eras internas eternas qe coinciden en el ndo. El número total de ecaciones es j, la condición de determinación es: El grado de indeterminación es: j m r (-) i ( m r) j (-7) Un marco plano con ndos rígidos des estáticamente determinado sí: j m r (-8) el grado de indeterminación es: i ( m r) j (-9) En estas ecaciones, j es el número total de ndos rígidos, inclendo los apoos, m es el número de miembros. Un marco tridimensional es estáticamente determinado sí: el grado de indeterminación es: j m r (-) ( m r) j i (-) plicado la ecación - al marco de la igra -, se tiene qe m 8, r j 8. Según la ecación -, i. NISIS ESTUCTU

13 . Métodos generales de análisis de estrctras estáticamente indeterminadas. a inalidad del análisis de las estrctras es determinar las eras eternas (componentes de reacción) las eras internas (resltantes de eseros). as eras deben satisacer las condiciones de eqilibrio prodcir deormaciones compatibles con la continidad de la estrctra las condiciones de apoo. Como a se a visto, las ecaciones de eqilibrio no son sicientes para determinar las eras desconocidas en na estrctra estáticamente indeterminada es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deormaciones de la estrctra. Con estas relaciones se asegra la compatibilidad de las deormaciones con la geometría de la estrctra se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dicas condiciones es qe en n apoo intermedio de na viga contina no pede aber deleión la rotación es igal en ambos lados del apoo. Se peden sar dos métodos generales de estdio. El primero es el método de las eras de leibilidad, en qe se proporcionan sicientes liberaciones para convertir la estrctra en estáticamente determinada. a estrctra liberada sre deormaciones inconsistentes, la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de eras adicionales. El segndo enoqe es el método de los desplaamientos o de rigide. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los ndos se determinan las eras necesarias para prodcir la restricción. espés se permite qe tengan lgar desplaamientos de los ndos asta qe aan desaparecido las eras icticias de restricción. Conociendo los desplaamientos en el nodo, se determinan las eras en la estrctra por sperposición de los eectos de los desplaamientos separados. Se pede sar indistintamente el método de las eras o el de los desplaamientos para analiar calqier tipo de estrctra. En el método de las eras, se obtienen las eras necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solción de n número de ecaciones simltáneas igal al número de eras desconocidas, es decir, el número de liberaciones qe se necesiten para convertir a la estrctra en estáticamente determinada. as incógnitas en el método de los desplaamientos son las posibles traslaciones rotaciones de los ndos. a cantidad de eras de restricción qe se qe se deben agregar a la estrctra es igal al número de posibles desplaamientos de los ndos. Esto representa otro tipo de indeterminación, qe se pede designar como indeterminación cinemática se describe en la sigiente sección. NISIS ESTUCTU

14 . Indeterminación cinemática. Cando na estrctra constitida por varios miembros se somete a cargas, los ndos sren desplaamientos en orma de rotación traslación. En el método de análisis por desplaamiento, las magnitdes desconocidas son la rotación la traslación de los ndos. En n apoo se conocen na o más de las componentes del desplaamiento. Por ejemplo, la viga contina de la igra - está empotrada en C tiene apoos con rodillos en. a ijación en C impide calqier desplaamiento en ese etremo, mientras qe los apoos con rodillos en evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar qe se spone qe los apoos con rodillos peden resistir tanto eras descendentes como ascendentes. C igra -. Indeterminación cinemática de na viga contina. Si se spone qe la rigide aial de la viga es tan alta qe se pede despreciar el cambio de longitd debido a eras aiales, no abrá desplaamientos oriontales en o en. Por lo tanto, los únicos desplaamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones en, respectivamente (igra -). os desplaamientos son independientes no del otro, a qe a calqiera de ellos se le pede asignar n valor arbitrario mediante la introdcción de eras apropiadas. n sistema de desplaamiento de ndos se le denomina independiente si cada desplaamiento se pede variar arbitraria e independiente de todos los demás. l número de desplaamientos independientes de ndos de na estrctra se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es na sma de los grados de libertad en rotación en traslación. lgnas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplaamiento lateral. El marco plano de la igra -7 es otro ejemplo de na estrctra cinemática indeterminada. Si se desprecia la deormación aial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplaamientos desconocidos de los ndos las rotaciones en en. NISIS ESTUCTU

15 C P igra -7. Indeterminación cinemática de n marco plano con ndos rigidos. Ha qe destacar qe la indeterminación cinemática la indeterminación estática no se deben conndir na con la otra. Por ejemplo, el marco de la igra -7 tiene siete componentes de reacción es estáticamente indeterminado en carto grado. Si se sstite el apoo ijo en por na articlación, se redcirá en no el grado de indeterminación estática, pero al mismo tiempo se ace posible qe ocrra rotación en, amentándose de este modo el grado de indeterminación cinemática en no. En general, la introdcción de na liberación dismine el grado de indeterminación estática amenta el grado de indeterminación cinemática. Por esta raón, canto más alto sea el grado de indeterminación estática, más adecado será el método de desplaamiento para el análisis de la estrctra. En el caso de na armadra con ndos articlados en el qe todas la eras están aplicadas en los ndos, los miembros están sometidos sólo a na carga aial (sin momentos leionantes ni eseros cortantes), por lo tanto, permanecen rectos. a conigración deormada de na armadra plana se deine completamente si se determinan las componentes de la traslación en dos direcciones ortogonales para cada ndo, cada ndo, qe no sea n apoo, tiene dos grados de libertad. Considérese el marco de la igra -8. Tiene oco ndos, de los cales catro están empotrados en el espacio. Cada no de los ndos,, C pede tener seis desplaamientos como los qe se mestran en. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco es. NISIS ESTUCTU

16 P C igra -8. Indeterminación cinemática de n marco tridimensional con ndos rigidos. Si se toman en centa las deormaciones aiales, las longitdes de las catro colmnas permanecen inalteradas, por lo qe se anla la componente de traslación en la dirección vertical, redciendo así en catro los desplaamientos desconocidos. demás, como no cambian las longitdes de los miembros oriontales, las traslaciones oriontales en la dirección de los ndos son igales; lo mismo ocrre en los ndos C. En la misma orma, las traslaciones en la dirección de los ndos son igales; de neva centa ocrre lo mismo para los nodos C. con todo esto se redcen en catro los desplaamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la igra -8, sin deormación aial, es.. Principio de sperposición. Se mencionó qe cando las deormaciones de na estrctra son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de sperposición. Este principio establece qe el desplaamiento debido a varias eras qe actúen simltáneamente es igal a la sma de los desplaamientos ocasionados por cada era actando separadamente. En el análisis de estrctras, es conveniente sar na notación en qe na era j prodce en n pnto i n desplaamiento ij. Por lo tanto, el primer sbíndice de n desplaamiento describe la posición dirección del desplaamiento, el segndo sbíndice, la posición dirección de la era qe casa el desplaamiento. Cada sbíndice se reiere a na coordenada qe representa la bicación dirección de na era o de n desplaamiento. NISIS ESTUCTU

17 Este enoqe se ilstra en la igra -9a. Si la relación entre la era aplicada el desplaamiento resltante es lineal, se pede escribir: i i (-) onde i es el desplaamiento en la coordenada i debido a na era nitaria en la bicación dirección de (coordenada ). i i i i i (a) n i (b) i i i (c ) igra -9. Sperposic ión de desplaamientos de eras. Si se aplica na segnda era qe case n desplaamiento i en i (igra -9b): i i (-) en qe i es el desplaamiento en i debido a na era nitaria en la coordenada. Si varias eras,,, n actúan simltáneamente (igra -9c), el desplaamiento total en i es: i (-) i i in n NISIS ESTUCTU 7

18 Es claro qe el desplaamiento total no depende del orden de aplicación de las cargas. Esto por spesto no es válido cado la relación eserodeormación nitaria del material no es lineal. Una estrctra pede comportarse no linealmente anqe está eca de n material qe satisace la le de Hooe si se prodcen cambios en s geometría indcidos por las cargas aplicadas. Considérese el pntal esbelto de la igra -a, sometido a na era aial qe no es lo sicientemente grande como para pandearlo. Por lo tanto, el pntal permanecerá recto el desplaamiento en calqier pnto es. ora bien, si el pntal se somete a na carga lateral actando sola, abrá na deleión lateral en el pnto (igra -b). Si actúan ambas eras (igra -c), el pntal qedará sometido a n momento leionante adicional igal al prodcto de mltiplicado por la deleión en la sección dada. Esta deleión adicional casa nevas deleiones la deleión en, en este caso será maor qe. > (a) (b) (c ) igra -. Estrctra con deormación no lineal. Es obvio qe no eiste tal momento leionante cando las cargas actúan separadamente, de manera qe el eecto combinado de no es igal a la sma de ss eectos separados, no se satisace e principio de sperposición. Cando na estrctra se comporta linealmente, se cmple el principio de sperposición para las eras así como para los desplaamientos. Se peden determinar las resltantes de los eseros internos en calqier sección o las componentes de reacción de la estrctra de la igra -9c mediante la sma de los eectos de las eras,,, n cando cada na actúa por separado. NISIS ESTUCTU 8

19 Spóngase qe el símbolo i indica na acción general, la cal pede ser na reacción, n momento leionante, n esero cortante o compresión en calqier sección debido al eecto combinado de todas las eras. Se pede escribir entonces na ecación general de sperposición de eras: i i i in n (-) onde i es la magnitd de la acción i cando se aplica na era nitaria sola en la ordenada. e igal manera, i,, in, son los valores de la acción. a ecación - pede escribirse en orma matricial: [ i ] { } (-) i n n En las estrctras estáticamente indeterminadas, la sperposición de eras sólo es válida si se cmple la le de Hooe, porqe las eras internas dependen de la deormación de los miembros.. esmen. a maoría de las estrctras modernas son estáticamente indeterminadas, con el método de leibilidad es necesario establecer para na estrctra dada el grado de indeterminación, qe pede se eterna, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se pede encontrar por simple inspección, anqe en estrctras más complejas o de claros múltiples con varias crjías, reslta preerible establecer el grado de indeterminación con la ada de epresiones qe inclan el número de ndos, miembros componentes de reacción. Se centa con este tipo de epresiones para armadras planas tridimensionales (de ndos articlados) para marcos (con ndos rígidos). Eisten dos métodos generales para el análisis de estrctras. Uno es el método de las eras (o de leibilidad), en el qe se introdcen liberaciones para convertir la estrctra en estáticamente determinada; se calclan los desplaamientos resltantes se corrigen las inconsistencias en los desplaamientos con la aplicación de eras adicionales en la dirección de las liberaciones. e este modo se obtiene na serie de ecaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las eras desconocidas. En el otro método de los desplaamientos (o de las rigideces)-, se introdcen restricciones en los ndos. Se calclan las eras restrictivas qe se necesitan para impedir los desplaamientos de los ndos. espés se permite qe se presenten los desplaamientos en la dirección de las restricciones asta NISIS ESTUCTU 9

20 qe éstas aan desaparecido; de aqí se obtiene n conjnto de ecaciones de eqilibrio: s solción proporciona los desplaamientos desconocidos. ego se determinan las eras internas de la estrctra mediante sperposición de los eectos de estos desplaamientos de los de la carga aplicada con los desplaamientos restringidos. El análisis de estrctras con el método de las eras o el de los desplaamientos implica el so del principio de sperposición, qe permite na simple sma de desplaamientos (o acciones) debidos a las cargas individales (o desplaamientos). Tarea.. Cál es grado de indeterminación estática de las estrctras qe se mestran a continación? Introdca sicientes liberaciones para acer cada estrctra estáticamente determinada. C C C (a) E (b) (c ) E E C (d) C E G H (e) I J C (). (a) Introdca sicientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indiqe las liberaciones mediante n sistema de coordenadas. (b) Introdca na articlación en la parte media de cada miembro dibje el diagrama de momento leionante para el marco debido a dos eras oriontales, cada na igal a P, aplicadas en E en C. Mestre esqemáticamente la magnitd dirección de las componentes de reacción en. NISIS ESTUCTU

21 P E P C CPÍTUO. MÉTOO E S UEZS P NÁISIS E ESTUCTUS.. escripción del método.. Primeramente, se determina el grado de indeterminación estática. ego se introdce n número de liberaciones igal al grado de indeterminación, eectándose cada liberación mediante la eliminación de na era eterna o interna. as liberaciones se deben seleccionar de manera qe la estrctra restante sea estable estáticamente determinada. Sin embargo, en algnos casos el número de liberaciones pede ser menor qe el grado de indeterminación, siempre qe la estrctra estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla qe se peda analiar ácilmente. En todos los casos, las eras liberadas, qe también se denominan eras redndantes, se deben escoger cidadosamente para qe la estrctra liberada se peda analiar con acilidad.. as liberaciones introdcen incongrencias en desplaamientos como segndo paso se determinan estas incongrencias o errores en la estrctra liberada. En otras palabras, se calcla la magnitd de los errores en los desplaamientos qe corresponden a las eras redndantes. Estos desplaamientos se peden deber a cargas eternas aplicadas, asentamiento de los apoos o variación de temperatra.. El tercer paso consiste en la determinación de los desplaamientos en la estrctra liberada debidos a valores nitarios de las redndantes (véanse las igras - d e). Estos desplaamientos se necesitan en el mismo lgar en la dirección qe el error en desplaamientos determinado en el paso dos.. continación se determinan los valores de las eras redndantes necesarias para eliminar los errores en los desplaamientos. Esto implica el establecimiento de ecaciones de sperposición en las qe los eectos NISIS ESTUCTU

22 de las eras redndantes separadas se sman a los desplaamientos de la estrctra liberada.. En consecencia, se encentran las eras qe actúan sobre la estrctra indeterminada original: son la sma de las eras de corrección (redndantes) las eras aplicadas a la estrctra liberada. Ejemplo -. En la igra -a se mestra na viga C empotrada en C, qe descansa sobre apoos de rodillos en en qe soporta na carga niorme igal a q por nidad de longitd. a viga tiene na rigide constante a la leión. Encentre las reacciones de la viga., q por nidad de longitd C, C (a) (b) q por nidad de longitd C q (c ) q (d) q por nidad de longitd q / (e) () 8q/7 igra -. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas. (c ) Carga eterna sobre la estrc tra liberada. (d). (e). () edndantes. a estrctra es estáticamente indeterminada en segndo grado, por lo qe se deben eliminar dos eras redndantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en. para los ines de este ejemplo, se eliminarán la reacción vertical en el momento en C. Por lo tanto, la estrctra liberada es na viga simple C con las eras redndantes los desplaamientos qe se mestran en la igra -b. a bicación dirección de las diversas eras redndantes de los desplaamientos están reeridos a n sistema de coordenadas. NISIS ESTUCTU

23 as direcciones positivas de las eras redndantes se escogen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplaamientos en el mismo lgar siempre tienen qe concordar con los de las eras redndantes. as lecas en la igra -b indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso, como las lecas representan tanto eras como desplaamientos, es conveniente en n caso general identiicar las coordenadas por medio de los números,,, n. Sigiendo este sistema, en la igra -c se mestran los desplaamientos en en C como, respectivamente. e eco, como se ilstra en la igra -a, los desplaamientos reales en estos pntos tienen valor cero, de modo qe representan las inconsistencias en deormación. a magnitd de se peden calclar a partir del comportamiento de la viga simplemente apoada mostrada en la igra -c. Para ines de este ejemplo se peden sar las sigientes epresiones. Por lo tanto: ql ql os signos negativos indican qe los desplaamientos son en direcciones opestas a las direcciones positivas escogidas en la igra -b. Cando la liberación se aplica a na era interna, deberá ser representada en el sistema de coordenadas con n par de lecas en direcciones opestas. os desplaamientos debidos a valores nitarios de las redndantes se mestran en las igras - d e. Estos desplaamientos adqieren los sigientes valores: l l l l El coeiciente general ij representa el desplaamiento en la coordenada i debido a na redndante nitaria en la coordenada j. as relaciones geométricas epresan el eco de qe la traslación vertical inal en la rotación en C se anlan. os desplaamientos inales son el resltado de la sperposición del eecto de la carga eterna de las eras redndantes sobre la estrctra liberada. Por lo tanto, las relaciones geométricas se peden epresar como: NISIS ESTUCTU

24 (-) Una orma más general de la ecación - es: (-) onde son los desplaamientos prescritos en las coordenadas de la estrctra real. Si, en el ejemplo considerado, se necesita el análisis para los eectos combinados de la carga q dada de n asentamiento descendente en el apoo (igra -a), se deberá sstitir,.. Matri de leibilidad. as relaciones de la ecación - se peden escribir en orma matricial como: onde: [ ]{ } { } (-) [ ] { } { } os elementos de la matri [ ] son desplaamientos debidos a los valores nitarios de las redndantes. Por lo tanto, [ ] depende de las propiedades de la estrctra representa la leibilidad de la estrctra liberada. Por esta, a [ ] se le denomina matri de leibilidad, ss elementos se conocen como coeicientes de leibilidad. os elementos del vector { } son las redndantes qe se peden obtener resolviendo la ecación -; por la tanto: { } [ ] { } (-) En el ejemplo estdiado, la matri de leibilidad s inversa son: [ ] l l l l (-) NISIS ESTUCTU

25 8 l l [ ] (-) 7l El vector de desplaamiento es: l { } ql l 8 Sstitendo en la ecación -, o resolviendo la ecación - se obtiene: { } Por lo tanto, las redndantes son: ql l 8 ql 7 ql El signo positivo indica qe las redndantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas en la igra -b. as eras inales qe actúan en las estrctra se ilstra en la igra -. Es importante observar qe la matri de leibilidad es dependiente de la selección de las eras redndantes: con dierentes redndantes para la misma estrctra se obtendría na matri de leibilidad dierente. as reacciones las eras internas también se peden determinar por la sperposición del eecto de las cargas eternas en la estrctra liberada el eecto de las eras redndantes. Esto se pede epresar con la sigiente ecación de sperposición: i si ( ) i i in n (-7) onde: i calqier reacción i, qe es na reacción en no de los apoos, era cortante, era aial, momento de torsión o momento leionante en na sección de estrctra real. si la misma acción qe i, pero en la estrctra liberada sometida a las cargas eternas. i, i,, in la acción correspondiente debida a na era nitaria qe actúa sola sobre la estrctra liberada en la coordenada,,, n, respectivamente. NISIS ESTUCTU

26 ,,, n eras redndantes qe actúan sobre la estrctra liberada- El término entre paréntesis de la ecación -7 representa la acción de todas las eras redndantes aplicadas simltáneamente a la estrctra liberada. En general, se necesitan varias reacciones eras internas. Estas se peden obtener con ecaciones similares a la ecación -7. Si el número de acciones es m, el sistema de ecaciones qe se necesita se pede epresar en orma matricial: { } { s } [ ] { } n (-8) m m m n El orden de cada matri se indica en la ecación -8, pero, en esta ocasión, pede ser conveniente escribir las matrices completas. Por lo tanto, { } m { } s s s sm [ ] m. nálisis para cargas dierentes. m n n mn Cando se sa la ecación - para encontrar las eras redndantes en na estrctra dada bajo varias condiciones de carga dierentes, no es necesario repetir el cálclo de la matri de leibilidad ( s inversa). Cando el número de cargas es p, la solción se pede combinar en na ecación matricial: [ ] n p [ ] [ ] n p n n (-9) En qe cada colmna de [ ] [ ] corresponde a na condición de carga. as reacciones o las resltantes de los eseros en la estrctra original se peden determinar con ecaciones similares a la ecación -8, es decir, [ ] m p [ ] [ ] [ ] n p (-) s m p m n NISIS ESTUCTU

27 . as cinco etapas del método de las eras. En el análisis con el método de las eras intervienen cinco etapas qe se resmen a continación: Etapa. Introdca liberaciones deina n sistema de coordenadas. demás, deina, qe son las acciones reqeridas, deina la convención de signos [ ] m p (en caso necesario). Etapa. Como resltado de las cargas aplicadas a la estrctra liberada, determine [ ] n p [ s ] m p. Introdca también los desplaamientos preestablecidos [ ] n p. Etapa. pliqe valores nitarios de las redndantes de no en no en la. estrctra liberada genere los valores de [ ] n n Etapa. eselva las ecaciones geométricas: [ ] [ ] n p [ ] n p n n Con esto se obtienen las redndantes [ ] n p. de [ ] m n (-) Etapa. Calcle las acciones necesarias por sperposición: [ ] m p [ ] [ ] [ ] n p (-) s m p m n l terminar la etapa, a se abrán generado todas las matrices necesarias para el análisis. En las dos últimas etapas sólo interviene álgebra matricial. Se podrá eliminar la etapa cando no se reqiera otra acción aparte de las cargas redndantes, o cando la sperposición se peda acer mediante inspección na ve determinadas las redndantes. Cando éste sea el caso, las matrices [, no arán alta. ] [ s ] [ ] Para na reerencia rápida, los símbolos sados se deinen como sige: n, p, m Número de redndantes, número de condiciones de carga, número de acciones reqeridas. [ ] cciones reqeridas. [ s ] Valores de las acciones debidas a las cargas aplicadas a la estrctra liberada. NISIS ESTUCTU 7

28 [ ] Valores de las acciones en la estrctra liberada debidos a eras nitarias aplicadas separadamente en cada coordenada. [ ] esplaamientos de la estrctra liberada en las coordenadas debidos a las cargas; estos desplaamientos representan incompatibilidades qe deberán ser eliminadas por las redndantes. [ ] esplaamientos preestablecidos en las coordenadas en la estrctra real; éstos representan desplaamientos impestos qe se deben mantener. [ ] Matri de leibilidad. Ejemplo -. Encentre los momentos leionantes M M C la reacción para la viga qe se mestra en la igra - debidos al eecto separado de: () n del apoo ; () n asentamiento asentamiento descendente ( ) descendente ( ) del apoo ; () na amento de temperatra qe varía linealmente con la prondidad, desde T t asta T b en las ibras sperior e inerior, respectivamente., q por nidad de longitd C, C (a) (b) q por nidad de longitd C q (c ) q (d) q por nidad de longitd q / (e) () 8q/7 igra -. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas. (c ) Carga eterna sobre la estrc tra liberada. (d). (e). () edndantes. NISIS ESTUCTU 8

29 Etapa. Se seleccionan las liberaciones el sistema de coordenadas (igra - b). as acciones necesarias son las sigientes: [ ] M M M El momento leionante se considera positivo cando prodce eseros de tensión en la ibra inerior. Una acción acia arriba es positiva. as acciones reqeridas M C no necesariamente deben inclirse en [ ], debido a qe los valores de las redndantes se calclarán en la etapa. M C { } os sbíndices, de la ecación anterior se reieren a las tres condiciones de carga. Etapa. a estrctra liberada se mestra en la igra - a b para los casos () () respectivamente. os vectores de desplaamiento { } { } en los tres casos son: [ ] [ ] / /(l) ψ ψ ( l) ( l) /8 / 8 En este caso, ψ es la crva térmica en la estrctra liberada (pendiente del diagrama de deormaciones nitarias (igra -c): ψ α ( T T )l (-) onde α es el coeiciente de epansión térmica (grados - ). b Observe qe en el caso (), { } { } t debido a qe la estrctra real tiene desplaamientos nlos en las coordenadas ; sin embargo, la estrctra liberada tiene desplaamientos qe se van a eliminar en las coordenadas /, / l. { } { } os valores de las acciones en la estrctra liberada son cero para los tres casos: [ ] [ ] s Etapa. as eras nitarias aplicadas en las coordenadas se representan en las igras - d e. a matri de leibilidad [ ] s inversa, determinadas en el ejemplo - (ecaciones - -), sigen siendo válidas. os valores de las acciones debidas a o a son los sigientes: NISIS ESTUCTU 9

30 .l.. / [ ] ( l) Etapa. Sstitendo en la ecación - de geometría se obtiene: l l / / l / l / [ ] / / ( l) ψl / ψl a solción es:. 8 ψl [ ] 7l l. l ψ.l Etapa. Sstitendo en la ecación - de sperposición se obtiene: os elementos de l l /. /.7ψ [ ] [ ] 7 / l. / l.7ψ / l son los valores reqeridos de M de en los tres casos; la inversión del signo de proporciona los valores correspondientes de M C : [ M ] [.l l. ψl ] C 7l Se debe observar qe, M M C son proporcionales al valor del prodcto. En general, las reacciones las eras internas debidas a los asentamientos de los apoos o a variaciones de temperatra en estrctras estáticamente indeterminadas son proporcionales al valor de empleado en el análisis lineal. alta igra -, qe debe ser la - para la etapa del ejemplo anterior. NISIS ESTUCTU

31 Ejemplo qe se planteo en clase. q q / / M ( ) q q ( ) q q q q q q q q q q q q q q q M q q ( ) q q Con nciones de singlaridad. iagrama de cerpo libre. q q q X q M() / (X-/) plicando doble integración: d d q q q q NISIS ESTUCTU

32 d q q q q C d q q q q C C Si C Si q q C 8 q q q C C q Conociendo C; para q q 7 7 q q q plicando péndice. b l P l.l b l l Como < b l P l l l l l l l Pl 8 l 9 l l 78 Pl Si P q q l 9 NISIS ESTUCTU

33 P l l l l P 8 7 l 7P l q ( ) 7 q l q ψl l. l ψ. ql [ ] (.) (.). (. ) 78 ql 78 ( ) q 8 q q q TOT ora para (etremo) d d q q 8 q q q q 9 ql (.) (. ) 7 8 ql 7 8 q inalmente el signo (-) sólo indica de acerdo al apéndice qe el giro es. Con doble integración ( ) 7 q 7 q 8 q 9 TOT Para la viga: ( ). q q (/9)(q /) (7/)(q /) NISIS ESTUCTU

34 esplaamientos incongrentes se deberán corregir a qe deben valer cero. Usando leibilidades: { } [ ] { } Tomado de acerdo a apntes. 7 q q 9 8 [ ] q q 9 7 q q 9 q 7 q 9 9 q 8 q 8 q q q /8 9q/8 as reacciones se reselven por estática. NISIS ESTUCTU

35 CPÍTUO. MÉTOOS ENEGÉTICOS.. Introdcción. El sistema eperimenta na deormación cando cambia s conigración o cando se desplaan ss pntos materiales. Un sistema de eras aplicado a n cerpo, lo deorma asta qe el sistema de eras internas eqilibra al sistema de eras eterno. as eras eternas realian n trabajo qe se deorma acmla en el cerpo. Este trabajo o energía de deormación es el tiliado por el cerpo para recperar s orma original al cesar la acción.. e de termodinámica. El trabajo eectado por las eras eternas más el calor qe absorbe el sistema del eterior es igal al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. En n sistema elástico se desprecian las pérdidas por calor la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deormación de dico sistema. ada na barra elástica de sección transversal longitd sjeta a na carga aial P (aplicada gradalmente) cmple con la le eperimental de elasticidad lineal de Hooe. P (-) onde es la deormación de la barra E el módlo de elasticidad de Yong. El trabajo desarrollado en contra de las eras internas del sistema es: e la ecación - se despeja P: W Pd (-) P NISIS ESTUCTU

36 Sstitendo en la ecación - se obtiene: W d P, le de Claperon (-) p C W W P C dp Energía complementaria de deormación: P C dp PdP P (-) Cando la aplicación de la carga es instantánea, el trabajo de deormación es:. Energía especíica de deormación. P C W El esero normal de la barra sometida a carga aial es: Y la deormación nitaria es: P σ (-) ε (-) espejando P respectivamente de las ecaciones - - en la ecación. se tiene: P σ ε W P σε σε (-7) NISIS ESTUCTU

37 Si es n volmen nitario se tiene el trabajo especíico de deormación, es decir la energía de deormación almacenada en la nidad de volmen: W W σε (-8) Sea na nidad de volmen n corte paralelo al plano : P P γ P P El esero cortante el giro son respectivamente: P τ γ (-9) espejando P de las ecaciones anteriores remplaándolos en la ecación - se tiene: P τ γ W P τ γ τγ Es decir: W τγ (-) ado qe. asándose en el principio de sperposición de casas eectos, aplicable a materiales linealmente elásticos, el trabajo especíico de deormación por NISIS ESTUCTU 7

38 aplicación gradal de la carga es para el caso general de eseros normales tangenciales. σ τ τ σ τ τ τ τ σ W ( σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ) (-) Por la condición de eqilibrio se tiene: τ τ, τ τ, τ τ a energía de deormación total se obtiene integrando en todo el volmen del cerpo:. Energía de deormación de barras. W W dv (-) v Sea na barra prismática en el espacio tridimensional, qe cmple la le de Hooe qe se encentra sjeta a los elementos mecánicos: era aial, era cortante, momento leionante momento torsionante, donde se cmple el estado de eseros de Saint Venant: σ σ τ NISIS ESTUCTU 8

39 plicando el principio de sperposición de casas eectos, se considera por separado cada no de los elementos mecánicos.. Eecto de era normal. Si actúa la era normal N se prodce el esero normal sigiente: onde la deormación aial es: N σ (-) ε (-) emplaando la deormación determinada por la e de Hooe en la ecación anterior se tiene: N N σ ε (-) E E El trabajo especíico prodcto de la era normal qeda como: W N σ ε σ (-) E a energía de deormación prodcto de la era normal se obtiene integrando sobre el volmen: W WdV dv d d d v v N N N d (-) ado qe N, E son constantes en na sección transversal d, se tiene inalmente qe el trabajo de deormación por era normal es: W N N d (-7) NISIS ESTUCTU 9

40 . Eecto de momento leionante. e acerdo con la teoría de elasticidad de resistencia de materiales, si actúa n momento leionante M, se prodce el esero sigiente: σ M I (-8) onde es la distancia del eje netro al pnto donde se calcla el esero e I el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje. emplaando el valor de σ en la ecación -8 se tiene: W σ ε σ (-9) E E I a energía de deormación prodcto del momento leionante se obtiene integrando el trabajo especíico sobre todo el volmen: M W WdV dv d d d v v M M M d (-) ado qe M, E e I son constantes en na sección dada d I, se tiene inalmente qe la energía de deormación por momento leionante es: M WM d (-). Eecto de era cortante. Si se considera la acción de la era cortante V sobre na barra, se prodcen respectivamente el esero la deormación γ sigientes: VQ τ (-) I b τ Gγ τ γ (-) G onde Q es el momento estático respecto a, el anco de la sección en estdio G el módlo de elasticidad transversal, qe varía entre.e.e. b NISIS ESTUCTU

41 emplaando los valores de la deormación γ del esero τ en la ecación -8 se obtiene el trabajo especíico sigiente: V Q W τ γ τ (-) G G I b a energía de deormación prodcto de la era cortante se obtiene integrando el trabajo especíico sobre todo el volmen: V Q V Q WV WdV dv d G I b G I b v v d (-) Por otro lado, se pede obtener el momento de inercia de la sección a través del radio de giro, de la manera sigiente: I ρ I ρ emplaando este valor de I en la ecación anterior se tiene: V Q Q WV d d d G I b G ρ I b V d (-) V G son constantes en na sección dada onde, Q ρ I b depende de la orma de la sección se denomina coeiciente de orma. d sólo Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deormación por era cortante se epresa como: W V V d G (-7) El coeiciente de orma vale. para secciones rectanglares trianglares, /9 para secciones circlares / para periles laminados. sec ción alma NISIS ESTUCTU

42 . Eecto de momento torsionante. Se pede demostrar qe na barra de sección circlar o anlar sjeta a momento torsionante se prodcen los eseros tangenciales sigientes: M M τ r J (-8) onde J es el momento polar de inercia sección al pnto en estdio. r la distancia al centro de la e acerdo a la ecación -, el trabajo especíico es: W G M G J τ γ τ r (-9) a energía de deormación prodcto del momento torsionante se obtiene integrando el trabajo especíico sobre todo el volmen: M M WV WdV r dv d d G J GJ v v (-) onde, son constantes para na sección dada r d J es el M G J momento polar de inercia. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deormación por momento de torsión se epresa como: W M o M d GJ (-) Para secciones circlares o anlares J tiene el valor de: J ( ) π e i (-) Para secciones no circlares o anlares se tilia el momento polar de inercia modiicado. J m NISIS ESTUCTU

43 Para secciones rectanglares M WM GJ m J m ds tiene el valor de: (-) bt J m (-) onde b es lado maor t el de dimensión menor. inalmente, para el caso general de na barra tridimensional, sjeta a los eseros o elementos mecánicos, se tiene el trabajo de deormación sigiente: W d d d d d o N V G V G M M M GJ m d (-) NISIS ESTUCTU

44 CPÍTUO. OTENCIÓN E MTIZ E EXIIIES Y E IGIECES. Sea: M()N() V() N ( ) N ( ) V ( ) V ( ) M M ) ( ) (-) las tres anteriores. ( M a energía de deormación para este elemento se pede epresar como: V N M W d d G d (-) Sstitendo los valores de N, V M, se tiene: W d d G ( ) d d G d d G NISIS ESTUCTU

45 G W (-) e acerdo a los teoremas de Castigliano: i i W (-) W (-) G G W (-) W (-7) Epresando las ecaciones anteriores en orma matricial, se tiene: G (-8) Esta ecación se pede escribir en orma abreviada, de la manera: { } [ ] { } (-9) onde es na matri de leibilidades, qe relaciona las eras en el etremo [ ],, con los desplaamientos del mismo etremo { }, {}, de n elemento qe ne los pntos. espejando de la ecación -, se tiene: NISIS ESTUCTU

46 (-) onde es na era aial en el etremo el desplaamiento longitdinal (aial del mismo etremo del elemento ). esolviendo el sistema de ecaciones - -7 para las eras despreciando el término de cortante, se tiene: G G (-) (-7) Mltiplicando la ecación -7 por / : (-) Smando la ecación - a la ecación -: (-) Sstitendo el valor de en la ecación - se tiene: NISIS ESTUCTU

47 (-) Epresando las ecaciones -, - - en orma matricial: (-) Esta ecación se pede abreviar de la orma sigiente: onde etremo [ ] { } [ ] { } es na matri de rigideces qe relaciona los desplaamientos en el, {} ne los nodos. Sea:, con las eras del mismo etremo, { }, de n elemento qe ada la ecación de eqilibrio del nodo, { } [ ] { } : a) Se pede aplicar n desplaamiento nitario en en la dirección de obtener las eras correspondientes del mismo nodo :, NISIS ESTUCTU 7

48 Y por el eqilibrio: Será la era o rigide necesaria en el nodo, para eqilibrar los eectos de nodo, o sea, es la rigide necesaria única en para eqilibrar. b) e la misma manera, aplicando n desplaamiento nitario en, en la dirección de, se tiene qe las eras en nodo son: NISIS ESTUCTU 8

49 M c) Si se aplica n giro nitario en en la dirección de, se tiene qe las eras en el nodo son: M inalmente, aplicando estos desplaamientos nitarios en se dedcen los eectos en, por tanto: [] NISIS ESTUCTU 9

50 ada la propiedad de simetría de la matri de rigide del elemento estrctral, se tiene: [ ] [ ] T Ensamblando la matri de rigide del elemento, se tiene: [ ] a ecación de eqilibrio del elemento se pede epresar también en orma simpliicada: j i Para la obtención de la sbmatri, se procede como sige: a) Si se aplica n desplaamiento nitario en en la dirección de se conoce el eecto sobre aplicando eqilibrio se obtiene la rigide en : Por eqilibrio: NISIS ESTUCTU

51 b) Si se aplica n desplaamiento nitario en, en la dirección de, se conoce el eecto sobre aplicando eqilibrio se obtiene la rigide en : M c) Si se aplica n giro nitario en en la dirección, se conoce el eecto en aplicando eqilibrio, se obtiene la rigide en : NISIS ESTUCTU

52 M inalmente la matri de rigide es: [ ] a matri de rigide del elemento : NISIS ESTUCTU

53 [] Y la ecación de eqilibrio del elemento es: [ ] [ ]{} ora se aplicará el mismo procedimiento pero sin despreciar el término de cortante G : Como primer paso, se obtendrá la inversa de la matri -8: G (-8) { } [ ] [ ] I [ ] Es al matri de leibilidades, [ ] es la matri inversa { es la matri identidad. I} NISIS ESTUCTU

54 9 8 7 G Se aplicarán los sistemas de ecaciones sigientes: 7 G I 7 G II 7 III e la ecación III se despeja, obteniéndose: 7 7 Este valor se sstite en la ecación. G G e las ecaciones anteriores se dedce qe. 7 NISIS ESTUCTU

55 G 8 IV G 8 V 8 VI e la ecación VI se despeja, obteniéndose: 8 8 Este valor se sstite en la ecación V. G G G G Simpliicando el valor de G G Si consideramos qe cortante. Ga r G G Gar obtenemos: ( G) G a r qe α ; donde a r es el área eectiva de Ga r ( α ) NISIS ESTUCTU

56 G 8 8 G Simpliicamos el valor de 8 : 8 G G G G G ( G) G G G G Gar ( α ) G 9 VII G 9 VIII 9 IX e la ecación IX se despeja 9 obteniéndose: 9 Sstitimos este valor en la ecación VIII. NISIS ESTUCTU

57 G G G G G El valor simpliicado de es igal al valor de. ora obtendremos el valor de G G Simpliicamos el valor de 9. NISIS ESTUCTU 7

58 9 G G G G G E I G G ( G) ( E I G G) ( G) E I G G G ( G) E I G G E I G G G G Gar Gar ( α ) ( α ) a matri inversa qe se obtiene es la sigiente: ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) Esta ecación se pede abreviar de la orma sigiente: { } [ ] { } onde etremo [ ] es na matri de rigideces qe relaciona los desplaamientos en el, {} ne los nodos. Sea:, con las eras del mismo etremo, { }, de n elemento qe NISIS ESTUCTU 8