Teoría de la Comunicación Grado en Ingeniería en Tecnologías de Telecomunicación RUIDO EN LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES

Transcripción

1 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación CAPÍTULO RUDO EN LOS SSTEMAS DE COMUNCACONES Marcelino Lázaro Departamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Creative Commons License / 88 Índice de contenidos Revisión de conceptos de probabilidad Variable aleatoria Procesos aleatorios Caracterización del rido en sistemas de comnicaciones Procesos blancos Procesos gasianos Sma de procesos aleatorios Modelo estadístico del rido térmico Relación señal a rido c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88

2 Variable aleatoria (Real) Fnción qe asigna n valor nmérico (real) a la salida de n experimento aleatorio! R! X( ) R q q q 4 q 3???? X( ) X( ) X( 3 ) X( 4 ) Rango de X: Rango X = {x R : 9, X( )=x} Va discreta: rango formado por conjnto discreto de valores Va contina: rango contino de valores Descripción (probabilística): Fnción de distribción: FX (x) Fnción densidad de probabilidad: fx (x) - R c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88 Fnción de distribción Definición F X (x) =P(X apple x) nterpretación frecencial (probabilística) n x F X (x) =P(X apple x) = lím n! n n : número de realizaciones de la variable aleatoria X n x : número de resltados en las n realizaciones con X apple x Valores de la va X (a) Discreta 5 5 Valores de la va X (b) Contina c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88

3 Estima de la fnción de distribción Teórica Estimada Realizaciones de la va X (a) Realizaciones 3 3 Valores de la va X (b) Estima de F X (x) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88 Propiedades de la fnción de distribción apple F X (x) apple x < x! F X (x ) apple F X (x ) (F X (x) es no decreciente) 3 F X ( ) = y F X () = ( lím x! F X(x) =, lím x! F X(x) =) 4 F X (x + )=F X (x) (F X (x) es contina por la derecha) 5 F X (b) F X (a) =P(a < X apple b) 6 P(X = a) =F X (a) F X (a ) 7 P(X > x) = F X (x) P(a apple X apple b) =F X (b) F X (a ) P(a < X < b) =F X (b ) F X (a) P(a apple X < b) =F X (b ) F X (a ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 88

4 Fnción densidad de probabilidad Definición f X (x) = d dx F X(x) Va discreta: pntos de masa pi = P(X = x i ) Notación va discreta: px (x i )=p i nterpretación frecencial (probabilística) P(x apple X apple x + x ) f X (x) = lím x! x f X (x) = lím x! x n x lím n! n n : número de realizaciones de la variable aleatoria X n x : número de resltados en las n realizaciones con x apple X apple x + x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 7 / 88 Estima de la fdp Realizaciones de la va X (a) Realizaciones Valores de la va X (b) Estima de f X (x) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 8 / 88

5 Propiedades de f X (x) f X (x) 3 Z Z b + f X (x) dx = f X (x) dx = P(a < X apple b) a + Z 4 En general, P(X A) = f X (x) dx 5 F X (x) = Z x + f X () d A c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 9 / 88 Variable aleatoria de Bernolli Variable aleatoria discreta con Rango X = {, } Parámetro: p = P(X = ) 8 < p, x = f X (x) = p, x = :, en otro caso Ejemplos de aplicación en comnicaciones Generador de datos binario Modelo de errores c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88

6 Variable aleatoria Binomial Número de s en n experimentos de Bernolli (indep) Parámetros: n, p Rango X = {,,, n} f X (x) = n x p x ( p) n x, apple x apple n y x Z, en otro caso Ejemplo de aplicación en comnicaciones Número total de bits recibidos con error c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88 Variable aleatoria niforme f X (x) = Variable aleatoria contina de parámetros a y b Notación: U(a, b) b a, a < x < b, en otro caso f X (x) b a 6 - a b x Ejemplo aplicación en comnicaciones Fase aleatoria en na sinsoide: va niforme entre y c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88

7 Variable aleatoria gasiana (normal) Parámetros: media (µ), y varianza ( ) Notación: N (µ, ) f X (x) = p e 6 f X (x) p (x µ) µ x Ejemplo de aplicación en comnicaciones Modelado del rido térmico - c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88 nterpretación de la fnción densidad de probabilidad La fdp indica cómo se distribyen los valores qe toma na variable aleatoria Rangos donde f X (x) toma valores elevados indican na probabilida alta de qe la variable aleatoria tome valores en ese rango Por esta razón esta fnción pede tilizarse para el cálclo de probabilidades sobre los posibles valores de na variable aleatoria Una fdp se pede interpretar como n histograma llevado al límite A continación se mestran varios ejemplos Variable aleatoria niforme Variable aleatoria gasiana c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88

8 Realizaciones de na variable aleatoria niforme Realización c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88 Histograma con las realizaciones de la variable aleatoria niforme Histograma de la señal aleatoria x (t) ( pntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 88

9 Histograma con realizaciones de na variable aleatoria niforme Histograma de la señal aleatoria x (t) ( pntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 7 / 88 Realizaciones de na variable aleatoria gasiana Realización c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 8 / 88

10 Histograma con las realizaciones de la variable aleatoria gasiana 4 Histograma de la señal aleatoria x g (t) ( pntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 9 / 88 Histograma con realizaciones de na variable aleatoria gasiana 7 Histograma de la señal aleatoria x g (t) ( pntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88

11 Fnción Q(x) Fnción tablada calclada nméricamente relacionada con la integral de na distribción gasiana Definición: probabilidad de qe na variable aleatoria gasiana de media nla y varianza nidad tome valores mayores qe s argmento Si X N (, )! f X (x) =N (, ) = p e x! Q(x) =P(X > x) Q(x) = Z + x f X (z) dz = Z + x p e z nterpretación gráfica Sólo se tabla para x Para x <, dada la simetría de fx (x): Q( x) = Q(x) dz N (, ) x > x < µ = x x µ = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88 Fnción Q(x) - Propiedades Relación con la fnción de distribción de na va gasiana (con µ =, = ) F X (x) =P(X apple x) = Z x p e t dt Fnción Q(x) = F X (x) =P(X > x) para µ =, = Algnas propiedades de la fnción Q(x) Q( x) = Q(x) Q() = Q() = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 88

12 ntegrales sobre distribciones gasianas N (µ, ) Si la distribción gasiana tiene media µ y varianza x µ P(X > x) =Q nterpretación gráfica (considerando definición y simetría) N (µ, ) Q x µ = Q d d d µ x x µ Q x µ = Q d = Q d N (µ, ) d d x µ µ x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88 ntegrales sobre N (µ, ) en intervalos En general se peden escribir como smas o diferencias de diferentes términos involcrando integrales desde n pnto a ±, qe ya hemos visto como se obtienen tilizando la fnción Q(x) Un ejemplo ilstrativo N (µ, ) d d R x x N (µ, )= R x N (µ, ) µ x x R x N (µ, )= Q d Q d d d x µ µ x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88

13 Fnciones de na variable aleatoria Una fnción Y = g(x) de na v a es na variable aleatoria Fnción de distribción F Y (y) =P(Y apple y) =P(g(X) apple y) F Y (y) =P(x B g X (y)), Bg X (y) ={x R : g(x) apple y} Fnción densidad de probabilidad f Y (y) = XN r i= f X (x i ) g (x i ) {xi }:raíces de la ecación y = g(x) g (x): derivada de la fnción g(x) Condiciones: número finito de raíces, Nr y g(x i ) 6= 8x i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88 Momentos estadísticos Valor esperado (media, o esperanza matemática) m X = E[X] = Z x f X (x) dx Valor esperado de na fnción de X (g(x)) E[g(X)] = Z g(x) f X (x) dx Momento de orden n m n X = Z x n f X (x) dx Varianza NOTA: X = E (x m X ) Z = (x m X ) f X (x) dx h X = E (x m X ) i = E[X ] (E[X]) = E[X ] (m X ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 88

14 Propiedades de los momentos E[X + Y] =E[X]+E[Y] =m X + m Y (Operador lineal) E[c] =c (para calqier constante c) E[c X] =c E[X] E[X + c] =E[X]+c Var(c) = Var(c X) =c Var(X) Var(X + c) =Var(X) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 7 / 88 Variables aleatorias mltidimensionales Se pede trabajar de forma conjnta con dos variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio mestral Modelado probabilístico conjnto Fnción de distribción conjnta F X,Y (x, y) =P(X apple x, Y apple y) Fnción densidad de probabilidad conjnta f X,Y (x, F X,Y(x, y) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 8 / 88

15 Propiedades de F X,Y (x, y) y f X,Y (x, y) F X (x) =F X,Y (x, ) F Y (y) =F X,Y (, y) f X (x) = f Y (y) = Z Z Z Z f X,Y (x, y) dy f X,Y (x, y) dx f X,Y (x, y) dx dy = Z Z P((X, Y) A) = (x,y)a f X,Y (x, y) dx dy F X,Y (x, y) = Z x Z y f X,Y (, v) d dv c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 9 / 88 Fnción densidad de probabilidad condicionada Conocimiento del valor de na variable modifica las probabilidades de la otra f Y X (y x) = ( fx,y (x,y) f X, (x) f X (x) 6=, en otro caso Definición de independencia estadística: f Y X (y x) =f Y (y) f X Y (x y) =f X (x) mplicación: para variables aleatorias independientes f X,Y (x, y) =f X (x) f Y (y) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88

16 Momentos estadísticos Valor esperado de na fnción g(x, Y) E[g(X, Y)] = Casos particlares Z Z g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy Correlación: g(x, Y) =X Y Covarianza: g(x, Y) =(X mx ) (Y m Y ) mplicación de independencia: si g(x, Y) =g (X) g (Y) E [g (X) g (Y)] = E [g (X)] E [g (Y)] NOTA: Sólo bajo independencia!!!! c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88 ncorrelación Coeficiente de correlación X,Y = Cov(X, Y), apple X,Y apple X Y Si X,Y = : va s incorreladas F ndependencia implica incorrelación F ncorrelación no implica independencia Si X,Y = ±: Y = ax + b X,Y =+! a > ; X,Y =! a < ncorrelación sólo implica independencia para variables aleatorias conjntamente gasianas NOTA: Salvo este caso, en general, incorrelación no implica independencia!!! c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 88

17 Fnciones de variables aleatorias Fnciones de variables aleatorias: Z = g(x, Y), W = h(x, Y) Z = g(x, Y) W = h(x, Y) Fnción de distribción conjnta, F Z,W (z, w) F Z,W (z, w) =P(Z apple z, W apple w) =P (x, y) B g,h X,Y (z, w) B g,h X,Y (z, w) ={(x, y) R : g(x, y) apple z, h(x, y) apple w} Fnción densidad de probabilidad conjnta f Z,W (z, w) = X i f X,Y (x i, y i ), J(x, y) = detj(x i, y i # {x i, y i }:raíces del sistema de ecaciones z = g(x, y), w = h(x, y) Número finito de raíces y determinante no nlo para todas ellas c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 33 / 88 Variables aleatorias conjntamente gasianas Dos variables, X, Y: caracterizadas por na fdp conjnta f X,Y (x, y) = X Y p e (x µ X) (y µ Y ) ) X + Y (x µ x )(y µ Y ) A X Y Para n variables aleatorias X = X, X,, X n f X (x, x,, x n )= p ( ) n det(c) e (x µ)c (x µ) T Vector de medias: µ =[µ,µ,,µ n ] T Matriz de covarianzas: C, dada por C i,j = Cov(X i, X j )= i,j i j c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 34 / 88

18 Propiedades de va s conjntamente gasianas Completamente caracterizadas por µ y C (estadísticos de o orden) Si n variables aleatorias son conjntamente gasianas, calqier sbconjnto también está distribido de forma conjntamente gasiana En particlar, todas las variables individales son gasianas Calqier sbconjnto de va conjntamente gasianas, condicionadas a otro sbconjnto de las mismas va conjntamente gasianas originales, tiene na distribción conjntamente gasiana Calqier conjnto de combinaciones lineales de (X, X,, X n ) es conjntamente gasiano En particlar, individalmente calqier combinación lineal Y i es gasiana Dos variables incorreladas son independientes Si las variables están incorreladas, i,j = 8i 6= j, C es na matriz diagonal c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 35 / 88 Sma de variables aleatorias Ley de los grandes números (débil): Si (X, X,, X n ) están incorreladas y todas tienen la misma media m X y varianza X <, independientemente de s distribción, para calqier " >, si Y = nx X i, lím n P( Y m X > ") = n! i= Teorema del límite central: Si (X, X,, X n ) son independientes con medias m, m,, m n, y varianzas,,, n, entonces la distribción de Y = p n converge a na distribción gasiana de media y varianza nx i= X i i m i f Y (y) = p e y N (, ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 36 / 88

19 Sma de variables aleatorias () Caso particlar: variables independientes e idénticamente distribidas (iid), es decir, qe todas tengan la misma distribción con la misma media m y la misma varianza ; el promedio Y = nx X i, n converge a na distribción N (m, ) Esto es así anqe la n distribción original no sea gasiana Recordatorio: condiciones a satisfacer Ley de los grandes números (débil): incorrelación Teorema del límite central: independencia i= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 37 / 88 Realizaciones variable aleatoria gasiana Variable aleatoria gasiana: media m X =, varianza X = 4 Señal de c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 38 / 88

20 Promedio de variables aleatorias gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 39 / 88 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88

21 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de senales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 88

22 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 senales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 43 / 88 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 44 / 88

23 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 45 / 88 Realizaciones de variable aleatoria niforme Variable aleatoria niforme entre y 8 Señal de c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 46 / 88

24 Promedio de variables aleatorias niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 47 / 88 Promedio de 5 v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y 8 6 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 48 / 88

25 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 49 / 88 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88

26 Promedio de 5 v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 88

27 Procesos aleatorios Extensión de va inclyendo dependencia temporal Variable aleatoria! X( ) Proceso aleatorio! X(t, ) Particlarizaciones X(ti, j): realización individal X(t, i): señal temporal asociada a i, x i (t) X(ti, ): variable aleatoria (X( )) Notación: X(t) o X[n] nterpretación: Conjnto indexado de variables aleatorias Índice contino (t R ): Proceso aleatorio contino Índice discreto (n Z): Proceso aleatorio discreto c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 53 / 88 Descripción de n proceso aleatorio Descripción analítica X(t) =f (t, ) = {,,, n }: vector de variables aleatorias Ecación f (t, ) y descripción estadística de Descripción estadística Completa: 8 (t, t,, t n ) R n, 8 n f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n ) De orden M: 8 n apple M, 8 (t, t,, t n ) R n f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 54 / 88

28 Esperanzas de los procesos (promedios estadísticos) Media de n proceso m X (t) =E[X(t)] = Z x f X(t) (x)dx Fnción de atocorrelación de n proceso R X (t, t )=E[X(t ) X(t )] R X (t, t )= Z Z x x f X(t ),X(t )(x, x ) dx dx c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 55 / 88 Estacionariedad y cicloestacionariedad Estacionariedad en sentido estricto: 8 (t, t,, t n ), 8n, 8 f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n )= f X(t + ),X(t + ),,X(t n + )(x, x,, x n ) Estacionariedad de orden M: para n apple M Estacionariedad en sentido amplio m X (t) =m X (no depende de t) R X (t, t )=R X (t t )=R X ( ) (definiendo = t t ) También se sele denotar R X (t +, t) =R X ( ) Cicloestacionariedad m X (t + T o )=m X (t) R X (t + + T o, t + T o )=R X (t +, t), para todo t y c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 56 / 88

29 Atocorrelación de procesos estacionarios La fnción de atocorrelación de n proceso estacionario X(t), R X ( ), tiene las sigientes propiedades: Es na fnción par R X ( ) =R X ( ) El máximo en módlo se obtiene en = R X ( ) apple R X () Si para algún T o se cmple R X (T o )=R X (), entonces para todo entero k R X (kt o )=R X () Es na fnción semidefinida positiva (se verá más tarde) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 57 / 88 Ergodicidad Promedios para n proceso X(t) y na fnción g(x): Promedio estadístico E[g(X(t))] = Z g(x) f X(t) (x) dx Este valor es, en general, dependiente de t Promedio temporal de x(t,! i ) < g(x) > i = lím T! T Z T T g(x(t,! i )) dt ndependiente de t, pero en general dependiente de! i X(t) estacionario es ergódico, si 8 g(x) y 8! i lím T! T Z T T g(x(t,! i )) dt = E[g(X(t))] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 58 / 88

30 Potencia y Energía Energía del proceso aleatorio X(t), E X E X = E[E X ], E X = Z X (t) dt Potencia del proceso aleatorio X(t), P X P X = E[P X ], P X = lím T! T Z T T X (t) dt Un proceso aleatorio es de energía si EX < Un proceso aleatorio es de potencia si < PX < c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 59 / 88 Potencia y energía () applez E X = E X (t) dt = Z E[X (t)] dt = Z R X (t, t) dt P X = E " = lím T! lím T! T T Z T Z T T T X (t) dt # E[X (t)] dt = lím T! T Z T Para procesos aleatorios estacionarios R X (t, t) =R X () T R X (t, t) dt P X = R X (), E X = Z R X () dt Procesos estacionarios de interés: de potencia c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 6 / 88

31 Procesos aleatorios mltidimensionales (múltiples) ndependencia: X(t) e Y(t) son independientes si 8 t, t, X(t ) y Y(t ) son independientes ncorrelación: X(t) e Y(t) están incorreladas si 8 t, t, X(t ) y Y(t ) están incorreladas Fnción de correlación crzada En general R X,Y (t, t )=E[X(t ) Y(t )] R X,Y (t, t )=R Y,X (t, t ) Estacionariedad conjnta: X(t) e Y(t) son conjntamente estacionarios si Ambos son individalmente estacionarios RX,Y (t, t )=R X,Y ( ), con = t t F Notación alternativa: R X,Y (t +, t) =R X,Y ( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 6 / 88 Procesos aleatorios en el dominio de la frecencia Espectro de na de las señales del proceso aleatorio x i (t) =X(t, i)! X i (j!) =TF{x i (t)} = Z x i (t) e j!t dt No todas las señales tienen definida na transformada de Forier Definición de señales trncadas de dración T x [T] i (t) = xi (t), t < T/, en otro caso Las señales trncadas sí tienen definida la transformada n o Z X [T] i (j!) =TF x [T] i (t) = x [T] i (t) e j!t dt = Z T T x i (t) e j!t dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 6 / 88

32 Densidad espectral de potencia Proceso aleatorio trncado de dración T X [T] (t): Proceso cyas señales son X [T] (t, i) =x [T] i (t) (trncadas) Proceso aleatorio trncado en el dominio de la frecencia X [T] (j!): Proceso cyas señales son las TF de x [T] i (t), ie, X [T] i (j!) Densidad espectral de potencia de X(t) S X (j!) def = E " lím T! # X [T] (j!) T E = lím T! h X [T] (j!) i T Representación del comportamiento medio del módlo al cadrado de la tranformada de Forier de todas las señales qe componen el proceso aleatorio (con el trco de trncar para asegrar la existencia de dicha transformada de Forier para todas las señales, y llevando la longitd de trncado al límite) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 63 / 88 Teorema de Wiener-Khinchin Si para calqier valor finito y calqier intervalo A, de longitd, la atocorrelación del proceso aleatorio cmple Z R X (t +, t)dt < A la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de Forier del promedio temporal de la fnción de atocorrelación S X (j!) =TF{< R X (t +, t) >} siendo el promedio temporal de la fnción de atocorrelación < R X (t +, t) > def = lím T! T Z T/ T/ R X (t +, t) dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 64 / 88

33 Teorema de Wiener-Khinchin - Corolarios Corolario : Si X(t) es n proceso estacionario y R X ( ) < para todo <, entonces S X (j!) =TF[R X ( )] Corolario : Si X(t) es ciclostacionario y se cmple qe entonces donde Z To R X (t +, t) dt < S X (j!) =TF[eR X ( )] er X ( ) = R X (t +, t) dt T o ZT o y T o es el período del proceso cicloestacionario c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 65 / 88 Potencia de n proceso aleatorio En el dominio de la frecencia P X = En el dominio del tiempo Proceso estacionario Z S X (j!) d! P X = R X () Proceso cicloestacionario P X = R X () c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 66 / 88

34 Procesos aleatorios estacionarios y sistemas lineales X(t) - Y(t) h(t) - Teorema: X(t) es estacionario, de media m X y fnción de atocorrelación R X ( ) El proceso pasa a través de n sistema lineal e invariante con respesta al implso h(t) En este caso, los procesos de entrada y salida, X(t) e Y(t), son conjntamente estacionarios, siendo m Y = m X Z h(t) dt R Y ( ) =R X ( ) h( ) h( ) R X,Y ( ) =R X ( ) h( ) Además, se pede comprobar qe R Y ( ) =R X,Y ( ) h( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 67 / 88 Media del proceso de salida Se parte de qe Por tanto Z Y(t) = X(s) h(t applez m Y (t) =E X(s) h(t = = =t Z Z s E[X(s)] h(t m X h(t s) ds s) ds s) ds s) ds = m X Z h() d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 68 / 88

35 Correlación crzada R X,Y ( ) R X,Y (t, t )=E[X(t ) Y(t )] apple Z = E X(t ) X(s) h(t = = Z Z =s t = E[X(t ) X(s)] h(t R X (t s) h(t s) ds s) ds s) ds = Z R X (t t ) h( ) d Z R X ( ) h( ) d = R X ( ) h( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 69 / 88 Correlación de salida R Y ( ) R Y (t, t )=E[Y(t ) Y(t )] apple Z = E X(s) h(t = = Z Z =s t = E[X(s) Y(t )] h(t s) ds Y(t ) s) ds R XY (s t ) h(t s) ds = Z R X,Y () h(t t ) d Z R X,Y () h( = R X,Y ( ) h( ) = R X ( ) h( ) h( ) ) d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 7 / 88

36 Relaciones en el dominio frecencial Media del proceso de salida m Y = m X H() Densidad espectral del proceso de salida S Y (j!) =S X (j!) H(j!) Densidades espectrales crzadas S X,Y (j!) def = TF[R X,Y ( )] S X,Y (j!) =S X (j!) H (j!) S Y,X (j!) =S X,Y(j!) =S X (j!) H(j!) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 7 / 88 Relaciones entre densidades espectrales de potencia X(t) - Y(t) h(t) - - S H X,Y (j!) (j!) - S X (j!) S - Y,X (j!) H(j!) - - S H(j!) Y (j!) - c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 7 / 88

37 Procesos aleatorios discretos Notación: X[n] Promedios estadísticos Media: mx [n] =E [X[n]] Atocorrelación: RX [n + k, n] =E [X[n + k] X[n]] Estacionariedad: Estadísticos independientes del índice temporal n Media: mx [n] =m X Atocorrelación: RX [n + k, n] =R X [k] Cicloestacionariedad: Estadísticos periódicos de período N Media: mx [n + N] =m X [n] Atocorrelación: RX [n + k + N, n + N] =R X [n + k, n] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 73 / 88 Procesos aleatorios discretos - Espectro y potencia Densidad espectral de potencia Procesos estacionarios S X (e j! )=TF{R X [k]} Procesos cicloestacionarios S X (e j! )=TF R X [k], R X [k] = N NX n= R X [n + k, n] Potencia P X = Z S X (e j! ) d! = ( R X [], R X [], X[n] estacionario X[n] cicloestacionario c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 74 / 88

38 Procesos aleatorios discretos - Sistemas lineales Media del proceso de salida m Y = m X X n h[n] =m X H() Atocorrelación del proceso de salida R Y [k] =R X [k] h[k] h[ k] Densidad espectral de potencia del proceso de salida Estadísticos crzados S Y (e j! )=S X (e j! ) H(e j! ) R X,Y [k] =R X [k] h[ k] S X,Y (e j! )=S X (e j! ) H (e j! ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 75 / 88 Sma de procesos aleatorios X(t) e Y(t) son conjntamente estacionarios Proceso sma: Z(t) =X(t)+Y(t) Media del proceso m Z (t) =E[Z(t)] = E[X(t)+Y(t)] = E[X(t)] + E[Y(t)] = m X + m Y = m Z Fnción de atocorrelación R Z (t +, t) =E[Z(t + ) Z(t)] =E[(X(t + )+Y(t + )) (X(t)+Y(t))] =E[X(t + ) X(t)] + E[X(t + ) Y(t)] + E[Y(t + ) X(t)] + E[Y(t + ) Y(t)] =R X ( )+R X,Y ( )+R Y,X ( )+R Y ( ) =R X ( )+R Y ( )+R X,Y ( )+R Y,X ( ) =R Z ( ) F Proceso aleatorio Z(t) es estacionario Densidad espectral de potencia S Z (j!) =S X (j!)+s Y (j!)+s X,Y (j!)+s Y,X (j!) =S X (j!)+s Y (j!)+ Re[S X,Y (j!)] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 76 / 88

39 Sma de procesos aleatorios - ncorrelados Relación (covarianza / correlación) para procesos conjntamente estacionarios Cov(X(t + ), Y(t)) =E[(X(t + ) m X ) (Y(t) m Y )] Procesos incorrelados: = E[X(t + ) Y(t)] {z } R X,Y ( ) m X E[Y(t)] +m X m Y {z } m Y =R X,Y ( ) m X m Y m Y E[X(t + )] {z } m X Por definición : Cov(X(t + ), Y(t)) =, 8 Consecencia : R X,Y ( ) =m X m Y Si al menos no de los procesos (incorrelados) tiene media nla F R Z ( ) =R X ( )+R Y ( ) S Z (j!) =S X (j!)+s Y (j!) Caso habital de sma de señal y rido: incorrelación, rido con media nla c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 77 / 88 Proceso gasiano Definición: X(t) es n proceso gasiano si para todo n y todo {t, t,, t n }, las variables aleatorias {X(t i )} n i= tienen na distribción conjntamente gasiana Propiedades de los procesos gasianos mx (t) y R X (t, t ), proporcionan na descripción estadística completa del proceso F Permiten calclar vector de medias y matriz de covarianzas - Para X(t i ), ) µ i = m X (t i ) - X(t i ), X(t j ), ) C i,j =Cov(X(t i ),X(t j ))=R X (t i, t j ) m X (t i ) m X (t j ) Para procesos gasianos, estacionariedad en sentido estricto y en sentido amplio son eqivalentes Si X(t) pasa por n sistema lineal e invariante, el proceso de salida, Y(t) es gasiano Para X(t) gasiano, estacionario y de media nla, na condición sficiente para la ergodicidad de X(t) es Z R X ( ) d < c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 78 / 88

40 Procesos aleatorios conjntamente gasianos Definición: Los procesos X(t) e Y(t) son conjntamente gasianos, si para todo n, m, y todo {t, t,, t n } y {,,, m }, las variables aleatorias X(t ), X(t ),, X(t n ), Y( ), Y( ),, Y( m ), tienen na distribción conjntamente gasiana (de dimensión n + m) Propiedad: Para procesos conjntamente gasianos, incorrelación e independencia son eqivalentes c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 79 / 88 Proceso blanco Un proceso es blanco si s densidad espectral de potencia es constante para todas las frecencias S X (j!) =C S X (j!) 6 C -! Consecencias F Fnción de atocorrelación de n proceso blanco estacionario F R X ( ) =TF {C} = C ( ) La potencia de n proceso blanco es infinita P X = Z S X (j!) d! = Z Cd! = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 8 / 88

41 Filtrado de n proceso blanco Proceso X(t) blanco con S X (j!) =C se filtra (h(t) / H(j!)) Densidad espectral de potencia a la salida del filtro (Y(t)) S Y (j!) =S X (j!) H(j!) = C H(j!) En general el proceso Y(t) no es blanco Fnción de atocorrelación R Y ( ) =R X ( ) h( ) h( ) =R X ( ) r h ( ) =C r h ( ) Potencia del proceso P Y = R Y () =C r h () Como por definición rh () =E{h(t)} P Y = C E{h(t)} c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 8 / 88 Rido térmico Densidad espectral de potencia del rido térmico (mecánica cántica) 8 >< donde >: S n (j!) = h! 4 (e h! kt ) h: Constante de Planck (66 34 Jlios segndo) k: Constante de Boltzmann (38 3 Jlios/ o Kelvin) T: Temperatra en grados Kelvin!: Plsación ( veces la frecencia) en rad/s kt,8 kt 6 S n (j!) kt 6S n (j!),8 kt,6 kt,6 kt,4 kt,4 kt, kt, kt ! (GHz) Estadística gasiana ! (GHz) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 8 / 88

42 Modelo de rido térmico Proceso aleatorio n(t) blanco, gasiano, estacionario, ergódico Media nla (mn = ) Fnción de atocorrelación R n ( ) = N ( ) Densidad espectral de potencia S n (j!) S n (j!) = N 6 N / Valor de la constante N N = k T a Watt/Hz c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 83 / 88 -! Potencia de rido térmico a la salida de filtros ideales Filtros ideales de ancho de banda B Hz (o W = B rad/s): filtro paso bajo o filtro paso banda con frecencia central f c Hz (o! c = f c rad/s) H(j!) W! Filtro Paso Bajo Proceso de salida de los filtros H(j!) 6 Filtro Paso Banda! c W - -! Proceso Z(t) con S Z (j!) = N H(j!) Potencia de la salida de los filtros P Z = Z S z (j!) d! = N Z H(j!) d! {z } E{h(t)}=B = N B c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 84 / 88

43 Potencia de rido térmico en filtros ideales con ganancia Filtros ideales (paso bajo/paso banda) de ancho de banda B Hz (o W = B rad/s) y con ganancia en potencia G (ganancia en voltaje p G) p H(j!) G 6 H(j!) 6 p G - - W! Filtro Paso Bajo Proceso de salida de los filtros Filtro Paso Banda! c W - -! Proceso Z(t) con S Z (j!) = N H(j!) Potencia de la salida de los filtros P Z = Z S z (j!) d! = N Z H(j!) d! {z } E{h(t)}=BG = N B G c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 85 / 88 Ancho de banda eqivalente de rido Salida de n sistema lineal (respesta h(t), H(j!)) Proceso Z(t) con S Z (j!) = N H(j!) Potencia de rido a la salida de n sistema lineal P Z = Z S Z (j!) d! = N Z H(j!) d! {z } E{h(t)} Potencia de rido en fnción del ancho de banda eqivalente de rido P Z = N B eq G eq Beq : Ancho de banda eqivalente de rido Geq : Ganancia en potencia eqivalente G eq = H max, con H max = máx! H(j!) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 86 / 88

44 Ancho de banda eqivalente de rido - dentificación dentificación del valor de B eq E{h(t)} = Z B eq = E{h(t)} G eq h(t) dt = Z H(j!) d! nterpretación: Un sistema lineal ideal, de ancho de banda B eq y amplitd H max ( p G eq ) tiene la misma potencia de rido a la salida qe el filtro h(t) H(j!) 6 H max B eq c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 87 / 88 -! Relación señal a rido (a la salida de n filtro) Señal a la entrada del filtro: Proceso X(t), potencia P X Rido a la entrada del filtro: modelo de rido térmico n(t) Filtro (normalmente en el receptor): respestas h(t) y H(j!) Señal a la salida del filtro receptor: Proceso Y(t) Rido a la salida del filtro receptor: Proceso Z(t) Relación señal a rido S N = P Y P Z, S N (db) = log Pot señal: PY = Z S Y (j!) d! = Z S X (j!) H(j!) d! Potencia rido: P Z = Z S Z (j!) d! = N Z H(j!) d! F Filtros ideales (sin ganancia con ganancia) P Z = N B P Y P Z P Z = N B G F Filtro con ancho de banda eqivalente Beq y ganancia G eq P Z = N B eq G eq c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 88 / 88