Teoría de la Comunicación

Transcripción

1 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación OenCorseWare (htt://ocwc3mes) Universidad Carlos de Madrid Marcelino Lázaro Creative Commons License / 48 Ator del crso Marcelino Lázaro Marcelino Lázaro es ngeniero de Telecomnicación y Doctor ngeniero de Telecomnicación or la Universidad de Cantabria, Esaña, títlos obtenidos en 996 y, resectivamente Entre 996 y, tabajó en el Deartamento de ngeniería de Comnicaciones de la Universidad de Cantabria En 3, se nió al Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones, de la Universidad Carlos de Madrid, Esaña, donde en la actalidad es Profesor Titlar de Universidad Ss intereses en el ámbito de la investigación inclyen, entre otros, los camos del rocesado digital de señal, la teoría estadística de la decisión y la estimación, y los métodos de arendizaje Marcelino Lázaro Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Av Universidad 3, Leganés 89 Madrid Esaña wwwtscc3mes/ mlazaro/ c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Presentación de la Asignatra / 48

2 Objetivos de la asignatra ntrodcir la caracterización estadística tanto de las señales de información como del rido en n sistema de comnicaciones Presentar el conceto de modlación en sistemas de comnicaciones analógicos Formar la base del núcleo de conocimientos sobre comnicaciones digitales Modlación (transmisión de información digital) y detección (receración de información digital) transmitiendo sobre canales gasianos Límites fndamentales en las comnicaciones digitales ntrodcción del conceto de codificación (detección/corrección de errores) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Presentación de la Asignatra 3 / 48 Temario de la asignatra ntrodcción Rido en los sistemas de comnicación Revisión: Probabilidad, variable aleatoria y rocesos aleatorios Caracterización del rido en n sistema de comnicaciones 3 Modlaciones analógicas Modlaciones lineales Modlaciones anglares 4 Modlación y detección en canales gasianos Modelo de comnicación digital Modlación de señales digitales (transmisión) Detección de señales digitales (receción) 5 Teoría de la información Modelos robabilísticos de fente y de canal Medidas cantitativas de información Límites fndamentales en las comnicaciones digitales ntrodcción al conceto de codificación c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Presentación de la Asignatra 4 / 48

3 Bibliografía recomendada Bibliografía Básica A Artés et al Comnicaciones Digitales, Pearson Edcación, 7 Disonible online: wwwtscc3mes/ antonio/ JG Proakis, M Salehi Commnication Systems Engineering ( a Ed), PrenticeHall, 994 Bibliografía Comlementaria A Paolis Probability, random variables, and stochastic rocesses, (3 a Ed), McGrawHill, 99 AB Carlson Comnication Systems ( a Ed), McGrawHill, S Haykin An ntrodction to Analog and Digital Commnications, Willey, B Sklar Digital commnications : fndamentals and alications, Prentice Hall, c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Presentación de la Asignatra 5 / 48 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación CAPÍTULO NTRODUCCÓN Marcelino Lázaro Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Creative Commons License 6 / 48

4 Índice de contenidos Definición de n sistema de comnicaciones Elementos fncionales básicos de n sistema de comnicaciones Sistemas de comnicaciones analógicos y digitales Diseño de n sistema de comnicaciones c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 7 / 48 Definición de n sistema de comnicaciones Finalidad de n sistema de comnicaciones: transmisión Transmisión: roceso de enviar, transortar, información de n nto (fente) hasta otro nto (destino) a través de n canal o medio de transmisión nformación Fente Medio de Transmisión Destino Reresentación física de la información ara s transmisión Caso más habital: señal eléctrica o electromagnética F Conversión información / señal eléctrica: Transdctor Ejemlo: salida de n micrófono (señal de voz) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 8 / 48

5 Esqema fncional de n sistema de comnicaciones Mensaje Tx Señal Tx Señal Rx Mensaje Rx Fente de Transmisor Medio nformación Físico 6 Recetor Destino de nformación Pertrbaciones Canal c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 9 / 48 Fente de información Mensaje: manifestación física de la información Clasificación (en fnción del formato): Fente Analógica F F Mensajes: forma de onda contina Transdctor: conversión a señal electrica/electromagnética F Objetivo de la transmisión: Fidelidad Fente Digital F nformación contenida en n conjnto de símbolos (alfabeto finito) Ejemlo: bits (alfabeto {, }) nformación: F Se envían en tiemo discreto F Objetivo de la transmisión: Probabilidad de error # c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción / 48

6 Transmisor Conversión de la señal de información en na señal electrica/electromagnética qe será transmitida a través del canal de comnicaciones Modlación: conversión de la información en na señal adecada a las características del canal Conocimiento relativo del canal F En articlar, la banda de frecencias en la qe es tilizable Estrategias de transmisión Transmisión en banda base (BB) F Transmisión en baja frecencia, centrada en cero Hz Transmisión aso banda (PB) F Transmisión en torno a na cierta frecencia fc 6= Hz c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción / 48 Canal Medio físico ara enviar la información Cables, fibra ótica, esectro radioeléctrico, Modelo habital: sistema lineal e invariante (h(t)) r(t) =s(t) h(t) = Canal ideal: retardo y atenación Z s( )h(t r(t) =K s(t t ) ) d término de atenación K < ytérmino de retardo t seg Resesta del canal Efectos no deseados Distorsión lineal Distorsión no lineal Rido h(t) =K (t t ) $ H(j) =K e jt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción / 48

7 Recetor Fnción: convertir la señal recibida en información Objetivo: recerar la información transmitida con n objetivo de calidad Sistemas analógicos: señal recibida lo sficientemente arecida a la señal recibida (fidelidad) F Cantificación: relación señal a rido (S/N) Sistemas digitales: recibir n número limitado de bits erróneos F Cantificación: robabilidad de error de bit (BER) Tareas a realizar Demodlación: roceso inverso al de la modlación Rechazar en lo osible todas las ertrbaciones Deshacer las distorsiones del canal F Más sencillo en sistemas digitales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 3 / 48 Sistemas de comnicaciones analógicos y digitales Sistema de comnicaciones analógico Diseñado ara enviar como información na forma de onda contina Sistema de comnicaciones digital Diseñado ara enviar como información na secencia de símbolos ertenecientes a n alfabeto finito (M osibles valores ara cada símbolo) F Ejemlo más común: Bits (M = ): {, } nformación: Transmisión a na velocidad (tasa de símbolo) dada: R s símbolos/s F Se transmite n símbolo cada T = segndos R s Los símbolos han de convertirse en señales eléctricas ara s transmisión F Cada símbolo se asocia a na forma de onda F Caso más simle: formas de onda de T = segndos R s Preonderancia de los sistemas de comnicaciones digitales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 4 / 48

8 Diseño de n sistema de comnicaciones Factores a tener en centa en el diseño Calidad reqerida F Sist analógicos: fidelidad relación señal a rido (S/N) F Sist digitales: tasa de errores (BER) Consmo de recrsos F Ancho de banda F Energía/Potencia F Limitación en estos recrsos Limitaciones físicas Limitaciones administrativas Limitaciones económicas Coste Tecnologías existentes Objetivo del diseño Proorcionar la calidad reqerida con las restricciones en los recrsos disonibles con el menor coste osible (en ocasiones limitado) haciendo so de las tecnologías disonibles c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 5 / 48 Análisis de sistemas de comnicaciones Los sistemas de comnicaciones transmiten información Conversión de información en na señal adecada Transmisión de esta señal a través de n cierto medio (canal) Procesado de la señal recibida ara extraer la información Tareas del transmisor y recetor Generar y rocesar señales Añalisis de n sistema de comnicaciones Caracterización de las señales Modelo ara el rocesado o transformación de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 6 / 48

9 Señales Definición: fnciones con las qe se reresentan variaciones de na magnitd física a lo largo del tiemo Clasificación según la natraleza de la variable indeendiente En tiemo contino: x(t) En tiemo discreto: x[n] Clasificación según la natraleza de la señal Determinista F Conocida comletamente en calqier instante de tiemo F Señalización, códigos de encritación o codificación Aleatoria F Desconocida en calqier instante de tiemo F Conocimiento estadístico F Ejemlos: Señales de información, rido e interferencias Sistemas: transforman señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 7 / 48 Caracterización de señales y sistemas Programa del Grado Señales deterministas Dominio del tiemo: Sistemas y circitos F F F F F F Valor medio Energía/Potencia Señal de energía: E x < (P x = ) Señal de otencia: < P x < (E x = ) Valor eficaz: valor de contina con la misma otencia Oeraciones básicas (deslazamiento, escalado,) Señales básicas Sistemas lineales e invariantes: convolción Dominio de la frecencia : Sistemas lineales F F F Señales aleatorias Señales eriódicas (T = ): Desarrollo en Serie de Forier Señales aeriódicas: Transformada de Forier Sistemas lineales en el dominio transformado Estadística F Variables aleatorias y rocesos aleatorios (dominio temoral) Teoría de la Comnicación c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación ntrodcción 8 / 48

10 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación CAPÍTULO RUDO EN LOS SSTEMAS DE COMUNCACONES Marcelino Lázaro Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Creative Commons License 9 / 48 Índice de contenidos Revisión de concetos de robabilidad Variable aleatoria Procesos aleatorios Caracterización del rido en sistemas de comnicaciones Procesos blancos Procesos gasianos Sma de rocesos aleatorios Modelo estadístico del rido térmico Relación señal a rido c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 48

11 Variable aleatoria (Real) Fnción qe asigna n valor nmérico (real) a la salida de n exerimento aleatorio R X( ) R q q q 4 q 3???? X( ) X( ) X( 3 ) X( 4 ) Rango de X: Rango X = {x R : 9, X( )=x} Va discreta: rango formado or conjnto discreto de valores Va contina: rango contino de valores Descrición (robabilística): Fnción de distribción: FX (x) Fnción densidad de robabilidad: fx (x) R c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 48 Fnción de distribción Definición F X (x) =P(X ale x) nterretación frecencial (robabilística) n x F X (x) =P(X ale x) = lím n n n : número de realizaciones de la variable aleatoria X n x : número de resltados en las n realizaciones con X ale x Valores de la va X (a) Discreta 5 5 Valores de la va X (b) Contina c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria / 48

12 Estima de la fnción de distribción Teórica Estimada Realizaciones de la va X (a) Realizaciones 3 3 Valores de la va X (b) Estima de F X (x) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 48 Proiedades de la fnción de distribción ale F X (x) ale x < x F X (x ) ale F X (x ) (F X (x) es no decreciente) 3 F X ( ) = y F X () = ( lím x F X(x) =, lím x F X(x) =) 4 F X (x + )=F X (x) (F X (x) es contina or la derecha) 5 F X (b) F X (a) =P(a < X ale b) 6 P(X = a) =F X (a) F X (a ) 7 P(X > x) = F X (x) P(a ale X ale b) =F X (b) F X (a ) P(a < X < b) =F X (b ) F X (a) P(a ale X < b) =F X (b ) F X (a ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 48

13 Fnción densidad de robabilidad Definición f X (x) = d dx F X(x) Va discreta: ntos de masa i = P(X = x i ) Notación va discreta: X (x i )= i nterretación frecencial (robabilística) P(x ale X ale x + x ) f X (x) = lím x x f X (x) = lím x x n x lím n n n : número de realizaciones de la variable aleatoria X n x : número de resltados en las n realizaciones con x ale X ale x + x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 48 Estima de la fd Realizaciones de la va X (a) Realizaciones Valores de la va X (b) Estima de f X (x) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 48

14 Proiedades de f X (x) f X (x) 3 Z Z b + f X (x) dx = f X (x) dx = P(a < X ale b) a + Z 4 En general, P(X A) = f X (x) dx 5 F X (x) = Z x + f X () d A c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 7 / 48 Variable aleatoria de Bernolli Variable aleatoria discreta con Rango X = {, } Parámetro: = P(X = ) 8 <, x = f X (x) =, x = :, en otro caso Ejemlos de alicación en comnicaciones Generador de datos binario Modelo de errores c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 8 / 48

15 Variable aleatoria Binomial Número de s en n exerimentos de Bernolli (inde) Parámetros: n, Rango X = {,,, n} f X (x) = n x x ( ) n x, ale x ale n y x Z, en otro caso Ejemlo de alicación en comnicaciones Número total de bits recibidos con error c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 9 / 48 Variable aleatoria niforme f X (x) = Variable aleatoria contina de arámetros a y b Notación: U(a, b) b a, a < x < b, en otro caso f X (x) b a 6 a b x Ejemlo alicación en comnicaciones Fase aleatoria en na sinsoide: va niforme entre y c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 48

16 Variable aleatoria gasiana (normal) Parámetros: media (µ), y varianza ( ) Notación: N (µ, ) f X (x) = e 6 f X (x) (x µ) µ x Ejemlo de alicación en comnicaciones Modelado del rido térmico c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 48 nterretación de la fnción densidad de robabilidad La fd indica cómo se distribyen los valores qe toma na variable aleatoria Rangos donde f X (x) toma valores elevados indican na robabilida alta de qe la variable aleatoria tome valores en ese rango Por esta razón esta fnción ede tilizarse ara el cálclo de robabilidades sobre los osibles valores de na variable aleatoria Una fd se ede interretar como n histograma llevado al límite A continación se mestran varios ejemlos Variable aleatoria niforme Variable aleatoria gasiana c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 3 / 48

17 Realizaciones de na variable aleatoria niforme Realización c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 33 / 48 Histograma con las realizaciones de la variable aleatoria niforme Histograma de la señal aleatoria x (t) ( ntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 34 / 48

18 Histograma con realizaciones de na variable aleatoria niforme Histograma de la señal aleatoria x (t) ( ntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 35 / 48 Realizaciones de na variable aleatoria gasiana Realización c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 36 / 48

19 Histograma con las realizaciones de la variable aleatoria gasiana 4 Histograma de la señal aleatoria x g (t) ( ntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 37 / 48 Histograma con realizaciones de na variable aleatoria gasiana 7 Histograma de la señal aleatoria x g (t) ( ntos) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 38 / 48

20 Fnción Q(x) Fnción tablada calclada nméricamente relacionada con la integral de na distribción gasiana Definición: robabilidad de qe na variable aleatoria gasiana de media nla y varianza nidad tome valores mayores qe s argmento Si X N (, ) f X (x) =N (, ) = e x Q(x) =P(X > x) Q(x) = Z + x f X (z) dz = Z + x e z nterretación gráfica Sólo se tabla ara x Para x <, dada la simetría de fx (x): Q( x) = Q(x) dz N (, ) x > x < µ = x x µ = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 39 / 48 Fnción Q(x) Proiedades Relación con la fnción de distribción de na va gasiana (con µ =, = ) F X (x) =P(X ale x) = Z x e t dt Fnción Q(x) = F X (x) =P(X > x) ara µ =, = Algnas roiedades de la fnción Q(x) Q( x) = Q(x) Q() = Q() = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 48

21 ntegrales sobre distribciones gasianas N (µ, ) Si la distribción gasiana tiene media µ y varianza x µ P(X > x) =Q nterretación gráfica (considerando definición y simetría) N (µ, ) Q x µ = Q d d d µ x x µ Q x µ = Q d = Q d N (µ, ) d d x µ µ x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 48 ntegrales sobre N (µ, ) en intervalos En general se eden escribir como smas o diferencias de diferentes términos involcrando integrales desde n nto a ±, qe ya hemos visto como se obtienen tilizando la fnción Q(x) Un ejemlo ilstrativo N (µ, ) d d R x x N (µ, )= R x N (µ, ) µ x x R x N (µ, )= Q d Q d d d x µ µ x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 4 / 48

22 Fnciones de na variable aleatoria Una fnción Y = g(x) de na v a es na variable aleatoria Fnción de distribción F Y (y) =P(Y ale y) =P(g(X) ale y) F Y (y) =P(x B g X (y)), Bg X (y) ={x R : g(x) ale y} Fnción densidad de robabilidad f Y (y) = XN r i= f X (x i ) g (x i ) {xi }:raíces de la ecación y = g(x) g (x): derivada de la fnción g(x) Condiciones: número finito de raíces, Nr y g(x i ) 6= 8x i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 43 / 48 Momentos estadísticos Valor eserado (media, o eseranza matemática) m X = E[X] = Z x f X (x) dx Valor eserado de na fnción de X (g(x)) E[g(X)] = Z g(x) f X (x) dx Momento de orden n m n X = Z x n f X (x) dx Varianza NOTA: X = E (x m X ) Z = (x m X ) f X (x) dx h X = E (x m X ) i = E[X ] (E[X]) = E[X ] (m X ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 44 / 48

23 Proiedades de los momentos E[X + Y] =E[X]+E[Y] =m X + m Y (Oerador lineal) E[c] =c (ara calqier constante c) E[c X] =c E[X] E[X + c] =E[X]+c Var(c) = Var(c X) =c Var(X) Var(X + c) =Var(X) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 45 / 48 Variables aleatorias mltidimensionales Se ede trabajar de forma conjnta con dos variables aleatorias definidas sobre el mismo esacio mestral Modelado robabilístico conjnto Fnción de distribción conjnta F X,Y (x, y) =P(X ale x, Y ale y) Fnción densidad de robabilidad conjnta f X,Y (x, F X,Y(x, y) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 46 / 48

24 Proiedades de F X,Y (x, y) y f X,Y (x, y) F X (x) =F X,Y (x, ) F Y (y) =F X,Y (, y) f X (x) = f Y (y) = Z Z Z Z f X,Y (x, y) dy f X,Y (x, y) dx f X,Y (x, y) dx dy = Z Z P((X, Y) A) = (x,y)a f X,Y (x, y) dx dy F X,Y (x, y) = Z x Z y f X,Y (, v) d dv c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 47 / 48 Fnción densidad de robabilidad condicionada Conocimiento del valor de na variable modifica las robabilidades de la otra f Y X (y x) = ( fx,y (x,y) f X, (x) f X (x) 6=, en otro caso Definición de indeendencia estadística: f Y X (y x) =f Y (y) f X Y (x y) =f X (x) mlicación: ara variables aleatorias indeendientes f X,Y (x, y) =f X (x) f Y (y) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 48 / 48

25 Momentos estadísticos Valor eserado de na fnción g(x, Y) E[g(X, Y)] = Casos articlares Z Z g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy Correlación: g(x, Y) =X Y Covarianza: g(x, Y) =(X mx ) (Y m Y ) mlicación de indeendencia: si g(x, Y) =g (X) g (Y) E [g (X) g (Y)] = E [g (X)] E [g (Y)] NOTA: Sólo bajo indeendencia c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 49 / 48 ncorrelación Coeficiente de correlación X,Y = Cov(X, Y), ale X,Y ale X Y Si X,Y = : va s incorreladas F ndeendencia imlica incorrelación F ncorrelación no imlica indeendencia Si X,Y = ±: Y = ax + b X,Y =+ a > ; X,Y = a < ncorrelación sólo imlica indeendencia ara variables aleatorias conjntamente gasianas NOTA: Salvo este caso, en general, incorrelación no imlica indeendencia c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 48

26 Fnciones de variables aleatorias Fnciones de variables aleatorias: Z = g(x, Y), W = h(x, Y) Z = g(x, Y) W = h(x, Y) Fnción de distribción conjnta, F Z,W (z, w) F Z,W (z, w) =P(Z ale z, W ale w) =P (x, y) B g,h X,Y (z, w) B g,h X,Y (z, w) ={(x, y) R : g(x, y) ale z, h(x, y) ale w} Fnción densidad de robabilidad conjnta f Z,W (z, w) = X i f X,Y (x i, y i ), J(x, y) = detj(x i, y i # {x i, y i }:raíces del sistema de ecaciones z = g(x, y), w = h(x, y) Número finito de raíces y determinante no nlo ara todas ellas c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 48 Variables aleatorias conjntamente gasianas Dos variables, X, Y: caracterizadas or na fd conjnta f X,Y (x, y) = X Y e (x µ X) (y µ Y ) ) X + Y (x µ x )(y µ Y ) A X Y Para n variables aleatorias X = X, X,, X n f X (x, x,, x n )= ( ) n det(c) e (x µ)c (x µ) T Vector de medias: µ =[µ,µ,,µ n ] T Matriz de covarianzas: C, dada or C i,j = Cov(X i, X j )= i,j i j c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 5 / 48

27 Proiedades de va s conjntamente gasianas Comletamente caracterizadas or µ y C (estadísticos de o orden) Si n variables aleatorias son conjntamente gasianas, calqier sbconjnto también está distribido de forma conjntamente gasiana En articlar, todas las variables individales son gasianas Calqier sbconjnto de va conjntamente gasianas, condicionadas a otro sbconjnto de las mismas va conjntamente gasianas originales, tiene na distribción conjntamente gasiana Calqier conjnto de combinaciones lineales de (X, X,, X n ) es conjntamente gasiano En articlar, individalmente calqier combinación lineal Y i es gasiana Dos variables incorreladas son indeendientes Si las variables están incorreladas, i,j = 8i 6= j, C es na matriz diagonal c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 53 / 48 Sma de variables aleatorias Ley de los grandes números (débil): Si (X, X,, X n ) están incorreladas y todas tienen la misma media m X y varianza X <, indeendientemente de s distribción, ara calqier " >, si Y = nx X i, lím n P( Y m X > ") = n i= Teorema del límite central: Si (X, X,, X n ) son indeendientes con medias m, m,, m n, y varianzas,,, n, entonces la distribción de Y = n converge a na distribción gasiana de media y varianza nx i= X i i m i f Y (y) = e y N (, ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 54 / 48

28 Sma de variables aleatorias () Caso articlar: variables indeendientes e idénticamente distribidas (iid), es decir, qe todas tengan la misma distribción con la misma media m y la misma varianza ; el romedio Y = nx X i, n converge a na distribción N (m, ) Esto es así anqe la n distribción original no sea gasiana Recordatorio: condiciones a satisfacer Ley de los grandes números (débil): incorrelación Teorema del límite central: indeendencia i= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 55 / 48 Realizaciones variable aleatoria gasiana Variable aleatoria gasiana: media m X =, varianza X = 4 Señal de c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 56 / 48

29 Promedio de variables aleatorias gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 57 / 48 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 58 / 48

30 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 59 / 48 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de senales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 48

31 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 senales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 48 Promedio de v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 6 / 48

32 Promedio de 5 v a gasianas (realizaciones) Variables aleatorias gasianas: media m X =, varianza X = 4 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 63 / 48 Realizaciones de variable aleatoria niforme Variable aleatoria niforme entre y 8 Señal de c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 64 / 48

33 Promedio de variables aleatorias niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 65 / 48 Promedio de 5 v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y 8 6 Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 66 / 48

34 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 67 / 48 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 68 / 48

35 Promedio de 5 v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de 5 señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 69 / 48 Promedio de v a niformes (realizaciones) Variables aleatorias niformes entre y Promedio de señales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Variable Aleatoria 7 / 48

36 Procesos aleatorios Extensión de va inclyendo deendencia temoral Variable aleatoria X( ) Proceso aleatorio X(t, ) Particlarizaciones X(ti, j): realización individal X(t, i): señal temoral asociada a i, x i (t) X(ti, ): variable aleatoria (X( )) Notación: X(t) o X[n] nterretación: Conjnto indexado de variables aleatorias Índice contino (t R ): Proceso aleatorio contino Índice discreto (n Z): Proceso aleatorio discreto c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 7 / 48 Descrición de n roceso aleatorio Descrición analítica X(t) =f (t, ) = {,,, n }: vector de variables aleatorias Ecación f (t, ) y descrición estadística de Descrición estadística Comleta: 8 (t, t,, t n ) R n, 8 n f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n ) De orden M: 8 n ale M, 8 (t, t,, t n ) R n f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 7 / 48

37 Eseranzas de los rocesos (romedios estadísticos) Media de n roceso m X (t) =E[X(t)] = Z x f X(t) (x)dx Fnción de atocorrelación de n roceso R X (t, t )=E[X(t ) X(t )] R X (t, t )= Z Z x x f X(t ),X(t )(x, x ) dx dx c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 73 / 48 Estacionariedad y cicloestacionariedad Estacionariedad en sentido estricto: 8 (t, t,, t n ), 8n, 8 f X(t ),X(t ),,X(t n )(x, x,, x n )= f X(t + ),X(t + ),,X(t n + )(x, x,, x n ) Estacionariedad de orden M: ara n ale M Estacionariedad en sentido amlio m X (t) =m X (no deende de t) R X (t, t )=R X (t t )=R X ( ) (definiendo = t t ) También se sele denotar R X (t +, t) =R X ( ) Cicloestacionariedad m X (t + T o )=m X (t) R X (t + + T o, t + T o )=R X (t +, t), ara todo t y c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 74 / 48

38 Atocorrelación de rocesos estacionarios La fnción de atocorrelación de n roceso estacionario X(t), R X ( ), tiene las sigientes roiedades: Es na fnción ar R X ( ) =R X ( ) El máximo en módlo se obtiene en = R X ( ) ale R X () Si ara algún T o se cmle R X (T o )=R X (), entonces ara todo entero k R X (kt o )=R X () Es na fnción semidefinida ositiva (se verá más tarde) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 75 / 48 Ergodicidad Promedios ara n roceso X(t) y na fnción g(x): Promedio estadístico E[g(X(t))] = Z g(x) f X(t) (x) dx Este valor es, en general, deendiente de t Promedio temoral de x(t, i ) < g(x) > i = lím T T Z T T g(x(t, i )) dt ndeendiente de t, ero en general deendiente de i X(t) estacionario es ergódico, si 8 g(x) y 8 i lím T T Z T T g(x(t, i )) dt = E[g(X(t))] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 76 / 48

39 Potencia y Energía Energía del roceso aleatorio X(t), E X E X = E[E X ], E X = Z X (t) dt Potencia del roceso aleatorio X(t), P X P X = E[P X ], P X = lím T T Z T T X (t) dt Un roceso aleatorio es de energía si EX < Un roceso aleatorio es de otencia si < PX < c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 77 / 48 Potencia y energía () alez E X = E X (t) dt = Z E[X (t)] dt = Z R X (t, t) dt P X = E " = lím T lím T T T Z T Z T T T X (t) dt # E[X (t)] dt = lím T T Z T Para rocesos aleatorios estacionarios R X (t, t) =R X () T R X (t, t) dt P X = R X (), E X = Z R X () dt Procesos estacionarios de interés: de otencia c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 78 / 48

40 Procesos aleatorios mltidimensionales (múltiles) ndeendencia: X(t) e Y(t) son indeendientes si 8 t, t, X(t ) y Y(t ) son indeendientes ncorrelación: X(t) e Y(t) están incorreladas si 8 t, t, X(t ) y Y(t ) están incorreladas Fnción de correlación crzada En general R X,Y (t, t )=E[X(t ) Y(t )] R X,Y (t, t )=R Y,X (t, t ) Estacionariedad conjnta: X(t) e Y(t) son conjntamente estacionarios si Ambos son individalmente estacionarios RX,Y (t, t )=R X,Y ( ), con = t t F Notación alternativa: R X,Y (t +, t) =R X,Y ( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 79 / 48 Procesos aleatorios en el dominio de la frecencia Esectro de na de las señales del roceso aleatorio x i (t) =X(t, i) X i (j) =TF{x i (t)} = Z x i (t) e jt dt No todas las señales tienen definida na transformada de Forier Definición de señales trncadas de dración T x [T] i (t) = xi (t), t < T/, en otro caso Las señales trncadas sí tienen definida la transformada n o Z X [T] i (j) =TF x [T] i (t) = x [T] i (t) e jt dt = Z T T x i (t) e jt dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 8 / 48

41 Densidad esectral de otencia Proceso aleatorio trncado de dración T X [T] (t): Proceso cyas señales son X [T] (t, i) =x [T] i (t) (trncadas) Proceso aleatorio trncado en el dominio de la frecencia X [T] (j): Proceso cyas señales son las TF de x [T] i (t), ie, X [T] i (j) Densidad esectral de otencia de X(t) S X (j) def = E " lím T # X [T] (j) T E = lím T h X [T] (j) i T Reresentación del comortamiento medio del módlo al cadrado de la tranformada de Forier de todas las señales qe comonen el roceso aleatorio (con el trco de trncar ara asegrar la existencia de dicha transformada de Forier ara todas las señales, y llevando la longitd de trncado al límite) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 8 / 48 Teorema de WienerKhinchin Si ara calqier valor finito y calqier intervalo A, de longitd, la atocorrelación del roceso aleatorio cmle Z R X (t +, t)dt < A la densidad esectral de otencia de X(t) es la transformada de Forier del romedio temoral de la fnción de atocorrelación S X (j) =TF{< R X (t +, t) >} siendo el romedio temoral de la fnción de atocorrelación < R X (t +, t) > def = lím T T Z T/ T/ R X (t +, t) dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 8 / 48

42 Teorema de WienerKhinchin Corolarios Corolario : Si X(t) es n roceso estacionario y R X ( ) < ara todo <, entonces S X (j) =TF[R X ( )] Corolario : Si X(t) es ciclostacionario y se cmle qe entonces donde Z To R X (t +, t) dt < S X (j) =TF[eR X ( )] er X ( ) = R X (t +, t) dt T o ZT o y T o es el eríodo del roceso cicloestacionario c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 83 / 48 Potencia de n roceso aleatorio En el dominio de la frecencia P X = En el dominio del tiemo Proceso estacionario Z S X (j) d P X = R X () Proceso cicloestacionario P X = R X () c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 84 / 48

43 Procesos aleatorios estacionarios y sistemas lineales X(t) Y(t) h(t) Teorema: X(t) es estacionario, de media m X y fnción de atocorrelación R X ( ) El roceso asa a través de n sistema lineal e invariante con resesta al imlso h(t) En este caso, los rocesos de entrada y salida, X(t) e Y(t), son conjntamente estacionarios, siendo m Y = m X Z h(t) dt R Y ( ) =R X ( ) h( ) h( ) R X,Y ( ) =R X ( ) h( ) Además, se ede comrobar qe R Y ( ) =R X,Y ( ) h( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 85 / 48 Media del roceso de salida Se arte de qe Por tanto Z Y(t) = X(s) h(t alez m Y (t) =E X(s) h(t = = =t Z Z s E[X(s)] h(t m X h(t s) ds s) ds s) ds s) ds = m X Z h() d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 86 / 48

44 Correlación crzada R X,Y ( ) R X,Y (t, t )=E[X(t ) Y(t )] ale Z = E X(t ) X(s) h(t = = Z Z =s t = E[X(t ) X(s)] h(t R X (t s) h(t s) ds s) ds s) ds = Z R X (t t ) h( ) d Z R X ( ) h( ) d = R X ( ) h( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 87 / 48 Correlación de salida R Y ( ) R Y (t, t )=E[Y(t ) Y(t )] ale Z = E X(s) h(t = = Z Z =s t = E[X(s) Y(t )] h(t s) ds Y(t ) s) ds R XY (s t ) h(t s) ds = Z R X,Y () h(t t ) d Z R X,Y () h( = R X,Y ( ) h( ) = R X ( ) h( ) h( ) ) d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 88 / 48

45 Relaciones en el dominio frecencial Media del roceso de salida m Y = m X H() Densidad esectral del roceso de salida S Y (j) =S X (j) H(j) Densidades esectrales crzadas S X,Y (j) def = TF[R X,Y ( )] S X,Y (j) =S X (j) H (j) S Y,X (j) =S X,Y(j) =S X (j) H(j) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 89 / 48 Relaciones entre densidades esectrales de otencia X(t) Y(t) h(t) S H X,Y (j) (j) S X (j) S Y,X (j) H(j) S H(j) Y (j) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios 9 / 48

46 Procesos aleatorios discretos Notación: X[n] Promedios estadísticos Media: mx [n] =E [X[n]] Atocorrelación: RX [n + k, n] =E [X[n + k] X[n]] Estacionariedad: Estadísticos indeendientes del índice temoral n Media: mx [n] =m X Atocorrelación: RX [n + k, n] =R X [k] Cicloestacionariedad: Estadísticos eriódicos de eríodo N Media: mx [n + N] =m X [n] Atocorrelación: RX [n + k + N, n + N] =R X [n + k, n] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 9 / 48 Procesos aleatorios discretos Esectro y otencia Densidad esectral de otencia Procesos estacionarios S X (e j )=TF{R X [k]} Procesos cicloestacionarios S X (e j )=TF R X [k], R X [k] = N NX n= R X [n + k, n] Potencia P X = Z S X (e j ) d = ( R X [], R X [], X[n] estacionario X[n] cicloestacionario c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 9 / 48

47 Procesos aleatorios discretos Sistemas lineales Media del roceso de salida m Y = m X X n h[n] =m X H() Atocorrelación del roceso de salida R Y [k] =R X [k] h[k] h[ k] Densidad esectral de otencia del roceso de salida Estadísticos crzados S Y (e j )=S X (e j ) H(e j ) R X,Y [k] =R X [k] h[ k] S X,Y (e j )=S X (e j ) H (e j ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Procesos Aleatorios Discretos 93 / 48 Sma de rocesos aleatorios X(t) e Y(t) son conjntamente estacionarios Proceso sma: Z(t) =X(t)+Y(t) Media del roceso m Z (t) =E[Z(t)] = E[X(t)+Y(t)] = E[X(t)] + E[Y(t)] = m X + m Y = m Z Fnción de atocorrelación R Z (t +, t) =E[Z(t + ) Z(t)] =E[(X(t + )+Y(t + )) (X(t)+Y(t))] =E[X(t + ) X(t)] + E[X(t + ) Y(t)] + E[Y(t + ) X(t)] + E[Y(t + ) Y(t)] =R X ( )+R X,Y ( )+R Y,X ( )+R Y ( ) =R X ( )+R Y ( )+R X,Y ( )+R Y,X ( ) =R Z ( ) F Proceso aleatorio Z(t) es estacionario Densidad esectral de otencia S Z (j) =S X (j)+s Y (j)+s X,Y (j)+s Y,X (j) =S X (j)+s Y (j)+ Re[S X,Y (j)] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 94 / 48

48 Sma de rocesos aleatorios ncorrelados Relación (covarianza / correlación) ara rocesos conjntamente estacionarios Cov(X(t + ), Y(t)) =E[(X(t + ) m X ) (Y(t) m Y )] Procesos incorrelados: = E[X(t + ) Y(t)] {z } R X,Y ( ) m X E[Y(t)] +m X m Y {z } m Y =R X,Y ( ) m X m Y m Y E[X(t + )] {z } m X Por definición : Cov(X(t + ), Y(t)) =, 8 Consecencia : R X,Y ( ) =m X m Y Si al menos no de los rocesos (incorrelados) tiene media nla F R Z ( ) =R X ( )+R Y ( ) S Z (j) =S X (j)+s Y (j) Caso habital de sma de señal y rido: incorrelación, rido con media nla c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 95 / 48 Proceso gasiano Definición: X(t) es n roceso gasiano si ara todo n y todo {t, t,, t n }, las variables aleatorias {X(t i )} n i= tienen na distribción conjntamente gasiana Proiedades de los rocesos gasianos mx (t) y R X (t, t ), roorcionan na descrición estadística comleta del roceso F Permiten calclar vector de medias y matriz de covarianzas Para X(t i ), ) µ i = m X (t i ) X(t i ), X(t j ), ) C i,j =Cov(X(t i ),X(t j ))=R X (t i, t j ) m X (t i ) m X (t j ) Para rocesos gasianos, estacionariedad en sentido estricto y en sentido amlio son eqivalentes Si X(t) asa or n sistema lineal e invariante, el roceso de salida, Y(t) es gasiano Para X(t) gasiano, estacionario y de media nla, na condición sficiente ara la ergodicidad de X(t) es Z R X ( ) d < c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 96 / 48

49 Procesos aleatorios conjntamente gasianos Definición: Los rocesos X(t) e Y(t) son conjntamente gasianos, si ara todo n, m, y todo {t, t,, t n } y {,,, m }, las variables aleatorias X(t ), X(t ),, X(t n ), Y( ), Y( ),, Y( m ), tienen na distribción conjntamente gasiana (de dimensión n + m) Proiedad: Para rocesos conjntamente gasianos, incorrelación e indeendencia son eqivalentes c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 97 / 48 Proceso blanco Un roceso es blanco si s densidad esectral de otencia es constante ara todas las frecencias S X (j) =C S X (j) 6 C Consecencias F Fnción de atocorrelación de n roceso blanco estacionario F R X ( ) =TF {C} = C ( ) La otencia de n roceso blanco es infinita P X = Z S X (j) d = Z Cd = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 98 / 48

50 Filtrado de n roceso blanco Proceso X(t) blanco con S X (j) =C se filtra (h(t) / H(j)) Densidad esectral de otencia a la salida del filtro (Y(t)) S Y (j) =S X (j) H(j) = C H(j) En general el roceso Y(t) no es blanco Fnción de atocorrelación R Y ( ) =R X ( ) h( ) h( ) =R X ( ) r h ( ) =C r h ( ) Potencia del roceso P Y = R Y () =C r h () Como or definición rh () =E{h(t)} P Y = C E{h(t)} c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 99 / 48 Rido térmico Densidad esectral de otencia del rido térmico (mecánica cántica) 8 >< donde >: S n (j) = h 4 (e h kt ) h: Constante de Planck (66 34 Jlios segndo) k: Constante de Boltzmann (38 3 Jlios/ o Kelvin) T: Temeratra en grados Kelvin : Plsación ( veces la frecencia) en rad/s kt,8 kt 6 S n (j) kt 6S n (j),8 kt,6 kt,6 kt,4 kt,4 kt, kt, kt (GHz) Estadística gasiana (GHz) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico / 48

51 Modelo de rido térmico Proceso aleatorio n(t) blanco, gasiano, estacionario, ergódico Media nla (mn = ) Fnción de atocorrelación R n ( ) = N ( ) Densidad esectral de otencia S n (j) S n (j) = N 6 N / Valor de la constante N N = k T a Watt/Hz c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico / 48 Potencia de rido térmico a la salida de filtros ideales Filtros ideales de ancho de banda B Hz (o W = B rad/s): filtro aso bajo o filtro aso banda con frecencia central f c Hz (o c = f c rad/s) H(j) 6 W Filtro Paso Bajo Proceso de salida de los filtros H(j) 6 Filtro Paso Banda c W Proceso Z(t) con S Z (j) = N H(j) Potencia de la salida de los filtros P Z = Z S z (j) d = N Z H(j) d {z } E{h(t)}=B = N B c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico / 48

52 Potencia de rido térmico en filtros ideales con ganancia Filtros ideales (aso bajo/aso banda) de ancho de banda B Hz (o W = B rad/s) y con ganancia en otencia G (ganancia en voltaje G) H(j) G 6 H(j) 6 G W Filtro Paso Bajo Proceso de salida de los filtros Filtro Paso Banda c W Proceso Z(t) con S Z (j) = N H(j) Potencia de la salida de los filtros P Z = Z S z (j) d = N Z H(j) d {z } E{h(t)}=BG = N B G c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 3 / 48 Ancho de banda eqivalente de rido Salida de n sistema lineal (resesta h(t), H(j)) Proceso Z(t) con S Z (j) = N H(j) Potencia de rido a la salida de n sistema lineal P Z = Z S Z (j) d = N Z H(j) d {z } E{h(t)} Potencia de rido en fnción del ancho de banda eqivalente de rido P Z = N B eq G eq Beq : Ancho de banda eqivalente de rido Geq : Ganancia en otencia eqivalente G eq = H max, con H max = máx H(j) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 4 / 48

53 Ancho de banda eqivalente de rido dentificación dentificación del valor de B eq E{h(t)} = Z B eq = E{h(t)} G eq h(t) dt = Z H(j) d nterretación: Un sistema lineal ideal, de ancho de banda B eq y amlitd H max ( G eq ) tiene la misma otencia de rido a la salida qe el filtro h(t) H(j) 6 H max B eq c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 5 / 48 Relación señal a rido (a la salida de n filtro) Señal a la entrada del filtro: Proceso X(t), otencia P X Rido a la entrada del filtro: modelo de rido térmico n(t) Filtro (normalmente en el recetor): resestas h(t) y H(j) Señal a la salida del filtro recetor: Proceso Y(t) Rido a la salida del filtro recetor: Proceso Z(t) Relación señal a rido S N = P Y P Z, S N (db) = log Pot señal: PY = Z S Y (j) d = Z S X (j) H(j) d Potencia rido: P Z = Z S Z (j) d = N Z H(j) d F Filtros ideales (sin ganancia con ganancia) P Z = N B P Y P Z P Z = N B G F Filtro con ancho de banda eqivalente Beq y ganancia G eq P Z = N B eq G eq c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Rido térmico 6 / 48

54 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación CAPÍTULO 3 MODULACONES ANALÓGCAS Marcelino Lázaro Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Creative Commons License 7 / 48 Índice de contenidos ntrodcción al conceto de modlación Modlaciones de amlitd (AM) Modlación AM convencional Modlación de doble banda lateral (DBL) Modlación de banda lateral única (BLU) Modlación de banda lateral vestigial (BLV) Modlaciones anglares Modlación de fase (PM) Modlación de frecencia (FM) Efecto del rido en modlaciones analógicas c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48

55 Sistemas de comnicaciones analógicos Señal de información (modladora): m(t) Señal analógica: la información está en la forma de onda Modos de transmisión en sistemas analógicos Transmisión en banda base (sin modlar) Transmisión de la señal modlada Se traslada el esectro de la señal (frecencia central o de ortadora c ) Se ede modificar o no la forma o ancho de banda del esectro de la señal Señal en banda base Señal modlada (ejemlo A) c Señal modlada (ejemlo B) W 6 M(j) 6 S(j) +W (rad/s) c 6 S(j) + c + c (rad/s) (rad/s) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48 ntrodcción al conceto de modlación Modlación analógica: se imrime la señal analógica en la amlitd, frecencia o fase de na ortadora sinsoidal c(t) =A c cos( f {z} c t + c ) c Proósito de la modlación de na señal analógica Adecar la señal a las características del canal cambiando el rango de frecencias Mltilexar: acomodar la transmisión simltánea de distintas señales en n mismo medio F Mltilexación or división en frecencia (FDM) Exandir el ancho de banda ara amentar la inmnidad al rido c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48

56 Mltilexación or división en frecencia (FDM) Se envía el esectro de distintas señales a distintas bandas de frecencia de forma qe no se solaen (en frecencia) En el recetor, se filtra el esectro de cada señal y se develve a banda base, lo qe ermite recerar cada señal c,3 c, W 6 M (j) W 6 M (j) W 6 M 3 (j) c, 6 S FDM (j) +W +W +W + c, Señales en banda base Señal FDM + c, + c,3 (rad/s) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48 Tios de modlaciones analógicas Modlación de amlitd (AM) AM: Amlitde Modlation Modlaciones anglares A c A c (t) =f (m(t)) Modlación de frecencia (FM) FM: Freqency Modlation f i (t) =f c f i (t) =f (m(t)) f i (t): frecencia instantánea de la señal ortadora Modlación de fase (PM) PM: Phase Modlation c c (t) =f (m(t)) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48

57 Señal analógica a transmitir: señal modladora m(t) Caso determinista: características de la señal Señal aso bajo de ancho de banda B Hz (o W = B rad/s) F Transformada de Forier M(j) con M(j) = ara > B Es na señal de otencia S otencia es P m = lím T T Z +T/ T/ m(t) dt Caso aleatorio: análisis estadístico (señal romedio ) Modelo ara la señal: roceso aleatorio M(t) Proceso aleatorio estacionario en sentido amlio (WSS) Media nla Fnción de atocorrelación RM ( ) Densidad esectral de otencia SM (j) Proceso limitado en banda: SM (j) = ara > B Potencia: PM P M = R M () = Z S M (j) d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 3 / 48 Modlaciones de amlitd (AM) La señal modladora (o mensaje) m(t) se imrime en la amlitd de la señal ortadora c(t), es decir, en A c c(t) =A c cos( c t + c ) A c A c (t) =f (m(t)) Existen distintas variantes de modlación AM AM: Modlación AM convencional (con ortadora) DBL: Doble Banda Lateral (sin ortadora) BLU: Banda Lateral Única BLV: Banda Lateral Vestigial c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 4 / 48

58 Modlación AM convencional Portadora + AM doble banda lateral (DBL) s(t) =A c cos( c t + c ) {z } Portadora c(t) + m(t) A c cos( c t + c ) {z } Doble banda lateral (DBL): m(t) c(t) s(t) =A c [ + m(t)] cos( c t + c ) La señal mensaje define la envolvente de la ortadora Envolvente: A c [ + m(t)] Sobremodlación: se rodce cando la exresión de la envolvente toma valores negativos ara algún valor de t Scede cando m(t) < Solción tilizada ara ara evitarlo: asegrar qe m(t) ale F F Normalización del mensaje (mn (t)) Índice de modlación (a) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 5 / 48 Modlación AM convencional Índice de modlación Señal modladora (mensaje) normalizada m n (t) m n (t) = m(t) máx m(t) = m(t) C M Rango de la señal modladora: CM ale m(t) ale +C M Índice de modlación (a) Se reemlaza m(t) or señal modladora con índice de modlación a m a (t) =a m n (t) Rango de m a (t): a ale m a (t) ale +a F Para evitar la sobremodlación: < a ale Señal modlada con índice de modlación a s(t) =A c [ + a m n (t)] cos( {z } c t + c ) m a (t) =A c cos( c t + c )+m a (t) A c cos( c t + c ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 6 / 48

59 Forma de onda de na modlación AM convencional 6 m(t) t 6 c(t) t A c ( + a) A c A c ( a) 6 s(t) A c [ + a m n (t)] t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 7 / 48 Forma de onda de na modlación AM (a =,75) 6 s(t) A c ( + a) A c A c ( a) A c [ + a m n (t)] t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48

60 Sobremodlación (a =,5) A c ( + a) A c A c ( a) 6 s(t) A c [ + a m n (t)] t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48 Esectro de la señal AM Convencional Señal AM convencional s(t) =A c cos( c t + c )+m a (t) A c cos( c t + c ) Señal m(t) determinista con TF M(j), M(j) = ara > B Esectro de ma (t) =a m n (t): M a (j) =a M n (j) = a C M Esectro de señal AM convencional M(j) S(j) =TF{A c cos( c t + c )} + TF{m a (t)} TF{A c cos( c t + c )} =A c [ ( c ) e j c + ( + c ) e j c ] + A c [M a(j j c ) e j c + M a (j + j c ) e j c ] {z } {z } a a C M(j j c ) M C M(j+j c ) M c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48

61 Esectro de la señal AM Convencional Análisis Módlo de la transformada de Forier S(j) Dos deltas, en c y en + c F Amlitd Ac Rélicas de la forma de M(j) deslazadas a c y + c F Factor de escala aa c C M Fase de la transformada de Forier La fase de la ortadora introdce el término e j c F Término de fase lineal Ancho de banda de la señal modlada BW AM = B Hz El doble qe el ancho de banda de la señal modladora transmitida m(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48 Esectro de la señal AM convencional Reresentación Un ejemlo ara na cierta forma de M(j) A M M(j) W = B W +W 6 S(j) A c A M aa c C M 6 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48

62 Esectro de la señal AM convencional Reresentación Otro ejemlo ara otra forma de M(j) A M M(j) W +W W = B 6 S(j) A c A M aa c C M 6 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 3 / 48 Análisis estadístico de AM convencional Modelo señal modlada: roceso aleatorio M(t), estacionario, con m M =, R M ( ), S M (j), P M Definición de rocesos normalizado y con índice de modlación: M n (t) = C M M(t), M a (t) =a M n (t) = Modelo de la señal modladora: roceso aleatorio Media de la señal AM convencional S(t) =A c [ + M a (t)] cos( c t + c ) m S (t) =E[S(t)] = A c [ + E[M a (t)]] cos( c t + c )=A c cos( c t + c ) NOTA: Si M a (t) =a M n (t) = a C M M(t), E[M a (t)] = a C M E[M(t)] = Fnción de atocorrelación de la señal AM convencional R S (t, t + ) =E[S(t) S(t + )] a C M M(t) =A c E 6 4 ( + M a(t))( + M a (t + )) 7 {z } 5 cos( ct + c ) cos( c (t + )+ c ) +M a (t)+m a (t+ )+M a (t) M a (t+ ) = A c [ + R M a ( )] [cos( c )+cos( c (t + )+ c )] Proceso cicloestacionario de eríodo T = c = f c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 4 / 48 3

63 Análisis estadístico de AM convencional () Promedio de la fnción de atocorrelación Z T/ R S ( ) = R S (t, t + ) dt = A c T T/ [ + R M a ( )] cos( c ) " # = A c + a CM R M ( ) cos( c ) Densidad esectral de otencia S S (j) =TF{ R S ( )} = A c [ ( c)+ ( + c )] = A c + A c 4 [S M a (j j c )+S Ma (j + j c )] [ ( c)+ ( + c )] " + A c 4 a CM S M (j j c )+ a CM S M (j + j c ) # NOTA: Si M a (t) =a M n (t) = or tanto S M a (j) = a C M M(t), entonces R M a ( ) =a R M n ( ) = a C M S M (j) y P M a = a C M P M a C M R M ( ); c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 5 / 48 Análisis estadístico de AM convencional () Ancho de banda de la señal AM convencional BW AM = B Hz Densidad esectral de otencia consta de Dos deltas, en c y en + c A F Amlitd c Rélicas de la forma de SM (j) deslazadas a c y + c F Factor de escala aac C M Potencia AM convencional P S = R S () = A c [ + R M a ()] = A c [ + P M a ]= A c ale + a C M P M Potencia de la ortadora: A c Potencia de la DBL: A c P M a C M NOTA: la otencia también se ede calclar como P S = Z S S (j) d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 6 / 48

64 DEP de la señal AM convencional Reresentación Un ejemlo dada na cierta forma ara S M (j) A M S M(j) W = B W +W 6 S S (j) A c A M aac C M 6 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 7 / 48 DEP de la señal AM convencional Reresentación Otro ejemlo dada otra forma ara S M (j) A M S M (j) W +W W = B 6 S S (j) A c A M aac C M 6 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48

65 Resmen de características de AM Convencional nconvenientes de la modlación AM convencional: Escasa eficiencia en otencia F Se gasta otencia en la transmisión de la ortadora (qe no contiene información) Escasa eficiencia esectral F El ancho de banda de la señal modlada es el doble del de la modladora Ventaja fndamental de la modlación AM convencional Si a ale, no hay sobremodlación y la envolvente de la señal es roorcional a + m a (t), de donde se ede extraer m(t) F Eliminación de la media y escalado Recetor simle: detector de envolvente s s r(t) X X R C d(t) F s No se necesita n demodlador síncrono s c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48 Modlación de doble banda lateral sin ortadora (DBL) Elimina el inconveniente de eficiencia en otencia de la modlación AM convencional Se srime la ortadora de la AM convencional s(t) =m(t) c(t) =m(t) A c cos( c t + c ) Resesta en frecencia S(j) =TF{m(t)} TF{A c cos( c t + c )} = A c [M(j j c) e j c + M(j + j c ) e j c ] Desaarecen las deltas de la modlación AM convencional Rélicas de M(j) en ± c F Cambia el escalado de las rélicas (al no haber normalización) F Nombre: dos bandas laterales, inferior ( w < w c ) y serior ( w > w c ) Ancho de banda BW DBL = B Hz Sige siendo el doble qe el de la señal modladora qe se transmite c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 3 / 48

66 Forma de onda de na modlación AM DBL 6 m(t) t 6 c(t) 6 s(t) +A c m(t) A c m(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 3 / 48 t t Esectro de la señal AM DBL A M M(j) W = B W +W S(j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 3 / 48

67 Esectro de la señal AM DBL (otro ejemlo) A M M(j) W S(j) +W W = B A M A c c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 33 / 48 Análisis estadístico de la modlación DBL Modelo de la señal modladora: roceso aleatorio M(t), estacionario, con m M =, R M ( ), S M (j) Modelo de la señal modladora: roceso aleatorio S(t) =M(t) c(t) =A c M(t) cos( c t + c ) Media señal modlada con DBL m S (t) =E[S(t)] = A c E[M(t)] cos( c t + c )= Fnción de atocorrelación de la señal DBL R S (t, t + ) =A c E[M(t) M(t + )] cos( c t + c ) cos( c (t + )+ c ) = A c R M( ) [cos( c )+cos( c (t + )+ c )] Proceso cicloestacionario de eríodo T = c = f c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 34 / 48

68 Análisis estadístico de la modlación DBL () Promedio temoral de la fnción de atocorrelación R S ( ) = T Z T/ T/ Densidad esectral de otencia R S (t, t + ) dt = A c R M( ) cos( c ) S S (j) =TF{ R S ( )} = A c 4 [S M(j j c )+S M (j + j)] Ancho de banda de la modlación DBL BW AM = B Hz Sige siendo el doble qe el de la señal modladora qe se transmite Potencia de la señal DBL P S = R S () = A c R M() = A c P M Es eficiente en otencia (no se malgasta otencia en términos qe no contienen información) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 35 / 48 DEP de la señal AM DBL A M S M(j) W = B W +W S S (j) A M A c 4 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 36 / 48

69 DEP de la señal AM DBL (otro ejemlo) A M S M (j) W S S (j) +W W = B A M A c 4 c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 37 / 48 Demodlación señales DBL Recetor ara señales modladas con DBL r(t) x(t) j 6 cos( c t + ) LPF B Hz d(t) LPF: filtro aso bajo (ancho de banda de B Hz) Demodlador (mltilicar or la ortadora cos(c t + )) Filtro aso bajo (ancho de banda dado or la señal, B Hz) Rendimiento ótimo con n recetor síncrono o coherente Recetor con la misma fase en la ortadora del recetor qe en la del transmisor = c Efecto de n recetor no síncrono ( 6= c ) Atenación del término relacionado con la señal m(t) Pérdida de relación señal a rido (restaciones) F El valor de la fase no varía la otencia debida al término de rido c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 38 / 48

70 Efecto de n recetor no coherente Análisis del término de señal Se asme r(t) =s(t) =A c m(t) cos( c t + c ) Señal demodlada sin filtrar x(t) =r(t) cos( c t + ) =A c m(t) cos( c t + c ) cos( c t + ) = A c m(t) [cos( c)+cos( c t + c + )] Señal demodlada filtrada Se eliminan los términos con esectro en ± c d(t) = A c m(t) cos( c) Valor ideal, con recetor coherente ( = c ) d(t) = A c m(t) Efecto de tilizar n recetor no coherente ( 6= c ) F Término de atenación cos( c) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 39 / 48 Revisión Efecto de mltilicar or na sinsoide Mltilicar or na sinsoide de frecencia c genera, esectralmente, dos rélicas de la forma del esectro de la señal modlada, deslazadas ± c x(t) =m(t) cos( c t) $ X(j) = M(j j c)+ M(j + j c) A M m(t) h 6 x(t) c(t) =cos( c t) A M c + c 6 6 c + c Densidad esectral de otencia: S X (j) = 4 S M(j j c )+ 4 S M(j + j c ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 4 / 48

71 Demodlación síncrona nterretación frecencial Por simlicidad, se asme qe = c = M(j) A M W = B R(j) =S(j) R(j + j c) R(j j c) W +W A M Ac c c + c + c A Ac M c c + c + c A Ac M c c + c + c X(j) = R(j + j c) + R(j j c) A M Ac c c + c + c Ac m(t) Ac m(t) cos( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 4 / 48 Recetor coherente Posibles ociones El recetor debe identificar la fase de la ortadora con qe se modló la señal = c Ociones más frecentes Transmisión de n iloto (ortadora de amlitd redcida) F neficiencia en otencia Utilización de n lazo enganchado en fase (PLL:Phase Looked Loo) F ncrementa el coste del recetor c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 4 / 48

72 Modlación de banda lateral única (BLU) Eficiencia esectral: Se elimina na banda lateral BW BLU = B Hz m(t) s j D (t) 6 A c cos( c t) s(t) BPF Por simlicidad en la notación se ha asmido c = Generación de la señal Se genera na señal de doble banda lateral (con amlitd doble) Se elimina na de las dos bandas laterales mediante filtrado F F BLU de banda lateral serior: se eliminan las frecencias < c BLU de banda lateral inferior: se eliminan las frecencias > c Exresión analítica de la señal BLU resltante s(t) =A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t) ˆm(t): transformada de Hilbert de la señal modladora m(t) Banda lateral serior (BLS): signo Banda lateral inferior (BL): signo + c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 43 / 48 Esectro de la señal AM de BLU A M M(j) W = B W +W Doble banda lateral ( ) c W c c + W Banda lateral serior c W c c + W Banda lateral inferior c W c c + W S D (j) A M A c S s (j) A M A c S inf (j) A M A c + c W + c + c + W + c W + c + c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 44 / 48

73 Esectro de la señal AM de BLU A M M(j) W = B W +W Banda lateral serior S s (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W Banda lateral inferior S inf (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 45 / 48 Transformada de Hilbert Señal generada filtrando con n transformador de Hilbert ˆm(t) =m(t) h Hilbert (t) Transformador de Hilbert: Resesta al imlso h Hilbert (t) = t Resesta en frecencia 8 >< j, > H Hilbert (j) = +j, < >:, = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 46 / 48

74 Exresión analítica de s(t) Banda lateral serior Resesta en frecencia del filtro de banda lateral serior: H BLS (j) =( c )+( ( + c )) con (x) fnción escalón Esectro de la señal DBL con amlitd doble, s D (t) S D (j) =A c [M(j j c )+M(j + j c )] Esectro de la señal BLU con banda lateral serior S(j) =S D (j) H BLS (j) =A c M(j) () = c + A c M(j) ( ) =+c Señal BLU de banda lateral serior s(t) =A c m(t) ale (t)+ j t e j ct + A c m(t) ale (t) j t = A c [m(t)+jˆm(t)] ej ct + A c [m(t) jˆm(t)] e j ct =A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t) e j ct Se han tilizado las sigientes roiedades de la transformada de Forier y las fórmlas de Eler ara sinsoides TF (t) + j = (), TF t (t) j = ( ), TF{x(t) e j ct } = X(j jc ) t cos( c t)= e+j ct + e jct, sen( c t)= e+j ct jct e = j e jct e +j ct j c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 47 / 48 Generación de BLU de banda lateral serior A M M(j) W = B W +W Doble banda lateral ( ) c W c c + W Filtro banda lateral serior ( j( + c )) c W c c + W Banda lateral serior c W c c + W S D (j) A M A c H BLS (j) + c W + c + c + W S s (j) A M A c (+j( c )) + c W + c + c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 48 / 48

75 Exresión analítica de s(t) Banda lateral inferior Señal BLU de banda lateral serior s s (t) =A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t) Relaciones de las dos señales BLU y señal s D (t) s D (t) = A c m(t) cos( c t)=s s (t)+s inf (t) Señal BLU de banda lateral inferior s inf (t) =s D (t) s s (t) =A c m(t) cos( c t)+a c ˆm(t) sen( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 49 / 48 Generación alternativa de BLU Modlador de Hartley mlementación basada en la exresión analítica a artir de la transformada de Hilbert s(t) =A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t) m(t)? Transf Hilbert m 6A c cos( c t + c ) Oscilador? 9 o? m 6 s(t) ˆm(t) m? A c sen( c t + c ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 5 / 48

76 Ancho de banda y otencia de na BLU Densidad esectral de otencia Banda lateral serior ( A c [S M (j j c )+S M (j + j c )], > c S Ss (j) =, < c Banda lateral inferior (, > c S Sinf (j) = A c [S M (j j c )+S M (j + j c )], < c Ancho de banda BW BLU = B Hz Mismo ancho de banda qe el de la señal modlaladora transmitida Potencia de la señal P S = Z S S (j) d = A c P M c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 5 / 48 Densidad esectral de otencia de la señal AM de BLU A M S M(j) W = B W +W Banda lateral serior S Ss (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W Banda lateral inferior S Sinf (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 5 / 48

77 Demodlación de señales BLU r(t) =s(t) x(t) j 6 LPF B d(t) Señal recibida cos( c t + ) r(t) =s(t) =A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t) Recerde: or simlicidad en la notación se sso c = Ahora la diferencia entre las fases de las ortadoras es (ya qe c = ) Señal demodlada sin filtrar x(t) x(t) =r(t) cos( c t + ) =[A c m(t) cos( c t) A c ˆm(t) sen( c t)] cos( c t + ) = A c m(t) cos( ) ± A c ˆm(t) sen( )+ términos c Señal demodlada filtrada d(t) = A c m(t) cos( ) ± A c ˆm(t) sen( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 53 / 48 Necesidad de demodlador síncrono o coherente Demodlación de señales BLU () Señal demodlada filtrada (con fase c arbitraria no nla) d(t) = A c m(t) cos( c) ± A c ˆm(t) sen( c) Efectos negativos resentes con demodladores no coherentes Atenación del término de señal recibida debido a m(t) A c m(t) cos( c), término de atenación cos( c) F gal qe ara modlación de doble banda lateral Término adicional de distorsión ± A c ˆm(t) sen( c), término de ganancia sen( c) Necesidad de demodlador síncrono o coherente c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 54 / 48

78 Demodlación síncrona nterretación frecencial Ejemlo banda lateral serior M(j) A M W = B R(j) =S(j) W +W A M A c c c + c + c A M A c R(j + j c) R(j j c) c c + c + c A M A c c c + c + c X(j) = R(j + j c) + R(j j c) A M A c c c + c + c Ac m(t) Ac m(t) cos( c t) Ac ˆm(t) sen( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 55 / 48 Demodlación síncrona nterretación frecencial Ejemlo banda lateral inferior M(j) A M W = B R(j) =S(j) W +W A M A c c c + c + c A M A c R(j + j c) R(j j c) c c + c + c A M A c c c + c + c X(j) = R(j + j c) + R(j j c) A M A c Ac m(t) Ac m(t) cos( c t)+ A c ˆm(t) sen( c t) c c + c + c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 56 / 48

79 Características de la modlación de banda lateral única La modlación BLU sera los dos rinciales inconvenientes de la modlación AM convencional Eficiencia esectral F Mismo ancho de banda qe el de la señal de información (modladora) qe se transmite Eficiencia en otencia F Toda la otencia de la señal está asociada a la comonente qe contiene la información (no se tiliza energía ara transmitir na ortadora) nconveniente de la modlación BLU mlementación mediante filtrado directo reqiere filtros ideales ara eliminar na de las bandas laterales F La imlementación con filtros reales ede generar distorsión en la señal transmitida mlementación con modlador de Hartley reqiere n transformador de Hilbert F Resesta ideal del transfornador no realizable c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 57 / 48 Modlación de banda lateral vestigial (BLV) m(t) s j D (t) 6 Filtro BLV h BLV (t), H BLV (j) s(t) A c cos( c t) Mismo esqema de modlación qe BLU Se reemlaza el filto ideal de BLU or n filtro realizable de banda lateral vestigial (qe deberá cmlir ciertas condiciones) Señal modlada BLV Se filtra na señal de doble banda lateral de amlitd doble s D (t) con n filtro de banda lateral vestigial s(t) = 4m(t) A c cos( c t) 5 h BLV (t) {z } s D (t) Señal BLV en el dominio de la frecencia S(j) =A c [M(j j c )+M(j + c )] H BLV (j) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 58 / 48

80 Características qe debe tener el filtro BLV Se analizará la señal recibida y s deendencia con el filtro Obtención de las condiciones qe debe cmlir r(t) =s(t) x(t) j LPF d(t) B Hz 6 cos( c t + ) Señal recibida (igal a la transmitida) en el dominio frecencial R(j) =S(j) =A c [M(j j c )+M(j + c )] H BLV (j) Señal demodlada (sin filtrar) en el dominio frecencial x(t) =r(t) cos( c t) X(j) = [R(j j c)) + R(j + j c ))] X(j) = A c [M(j j c)+m(j)] H BLV ( c ) + A c [M(j)+M(j + j c)] H BLV (j + j c ) Señal demodlada filtrada en el dominio frecencial D(j) = A c M(j) [H BLV(j j c )+H BLV (j + j c )] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 59 / 48 Características qe debe tener el filtro BLV () Señal demodlada filtrada en el dominio frecencial D(j) = A c M(j) [H BLV(j j c )+H BLV (j + j c )] nterretación: la señal modladora se filtra con el filtro eqivalente H EQ (j) =H BLV (j j c )+H BLV (j + j c ) Para qe no se rodzca distorsión, el filtro ha de tener na resesta qe en la banda de aso de la señal ( ale B) cmla Módlo constante Fase lineal Por tanto, las condiciones qe debe cmlir el filtro BLV son H BLV (j j c )+H BLV (j + j) = cte, en ale B Simetría imar resecto a c en c W < < c + W W: exceso de ancho de banda (vestigio) en radianes/s Ancho de banda de la señal modlada BW BLV = B + B Hz, con B = W B: exceso de ancho de banda vestigial en Hz (habitalmente B << B) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 6 / 48

81 Filtro de banda lateral vestigial Banda lateral serior c W c c + W Banda lateral inferior H BLV (j) + c W + c + c + W H BLV (j) c W c c + W + c W + c + c + W Efecto total visto en el recetor H BLV (j j c )+H BLV (j + j c ) W +W W + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 6 / 48 Modlación y demodlación nterretación frecencial Doble banda lateral ( ) s D (t) S D (j) A M A c c W c c + W Filtro Banda lateral serior + c W + c + c + W H BLV (j) c W c c + W BLV Banda lateral serior c W c c + W Señal demodlada filtrada (d(t)) + c W + c + c + W S(j) A M A c + c W + c + c + W D(j) A A c M + c W + c + c + W c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 6 / 48

82 Modlaciones de amlitd Resmen características Modlación BW (Hz) P S P S (m(t)) d(t) P d (m(t)) AM convencional B A c [ + P Ma ] A c P Ma A c [ + m a (t)] DBL B A c P M A c P M A c m(t) BLU B A cp M A cp M A c m(t) BLV B + B A c P M A c P M BW (Hz): ancho de banda de la señal modlada en Hz P S : otencia de la señal modlada A c m(t) P S (m(t)): otencia de la señal modlada relativa al término relacionado con m(t) d(t): señal recerada con n recetor síncrono o coherente P d (m(t)): otencia de la señal demodlada relativa al término relacionado con m(t) A c 4 P Ma A c 4 P M A c 4 P M A c 4 P M Eficiencia en otencia Toda la otencia de la señal está relacionada con m(t) F DBL, BLU y BLV Eficiencia esectral Mínimo ancho de banda ara la transmisión (mismo ancho de banda qe la señal modladora, B Hz) F BLU y BLV (en este caso con n incremento vestigial B) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 63 / 48 Demodlación síncrona de modlación AM convencional Señal recibida r(t) =s(t) h x(t) 6 cos( c t + ) LPF B Hz d(t) r(t) =s(t) =A c [ + m a (t)] cos( c t + c ) Señal demodlada sin filtrar x(t) x(t) =r(t) cos( c t + ) =A c [ + m a (t)] cos( c t + c ) cos( c t + ) = A c [ + m a(t)] cos( c )+ A c [ + m a(t)] cos( c t + c + ) Señal demodlada filtrada d(t) = A c [ + m a(t)] cos( c ) Necesidad de demodlador síncrono o coherente d(t) = A c [ + m a(t)] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 64 / 48

83 MODULACONES ANGULARES PM Y FM c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 65 / 48 Modlaciones anglares La información está en el argmento de na sinsoide Se imrime en la frecencia o fase de la ortadora c(t) =A c cos( f c t + c ) Modlación de frecencia (FM) FM: Freqency Modlation f i (t) =f c f i (t) =f (m(t)) f i (t): frecencia instantánea de la señal ortadora Modlación de fase (PM) PM: Phase Modlation c c (t) =f (m(t)) Reresentación común de señales FM y PM s(t) =A c cos( (t)) La información transmitida está en (t), ie, (t) =f (m(t)) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 66 / 48

84 Modlaciones PM y FM Reresentación común de señales FM y PM s(t) =A c cos( (t)), donde (t) = c t + Definición de frecencia instantánea de na sinsoide f i (t) = d dt (t) Señal modlada s(t) y frecencia instantánea s(t) =A c cos(( f c ) {z } t + (t)), f i (t) =f c + c Si m(t) es la señal modladora (mensaje) Modlación de fase (PM) (t) =k m(t) d dt (t) (t) k : constante de desviación de fase Modlación de frecencia (FM) f i (t) =f i (t) f c = d dt k f : constante de desviación de frecencia (t) =k f m(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 67 / 48 Relación FM / PM Modlación de fase: (t) =k m(t) Modlación de frecencia: f i (t) = d dt (t) =k f m(t) Exresiones de (t) y d dt (t) en PM y FM ( k m(t), PM (t) = k f R t m( ) d, FM ( d k d (t) = dt m(t), PM dt k f m(t), FM m(t) Modlador FM s(t) m(t) Modlador PM s(t) m(t) ntegrador Modlador PM s(t) m(t) Derivador Modlador FM s(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 68 / 48

85 Forma de onda de na modlación PM 6 m(t) t 6 c(t) 6 s(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 69 / 48 t t Forma de onda de na modlación FM 6 m(t) t 6 c(t) 6 s(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 7 / 48 t t

86 Modlación PM Señal ara k = 4 ) 6 m(t) t 6 s(t) t c(t) =A c cos( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 7 / 48 Modlación PM Señal ara k = 3 4 ) 6 m(t) t 6 s(t) t c(t) =A c cos( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 7 / 48

87 Modlación FM Señal ara k f = 4 ) 6 m(t) t 6 s(t) t c(t) =A c cos( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 73 / 48 Modlación FM Señal ara k f = 3 4 ) 6 m(t) t 6 s(t) t c(t) =A c cos( c t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 74 / 48

88 Índices de modlación PM: máxima desviación en fase máx = k máx( m(t) ) FM: máxima desviación de frecencia f máx = k f máx( m(t) ) Índices de modlación de na modlación PM y FM = máx = k máx( m(t) ) =k C M f = f máx B = k f máx( m(t) ) B = k f C M B B: ancho de banda en Hz de la señal modladora m(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 75 / 48 Análisis esectral de modlaciones anglares Cálclo (exacto o aroximado) de la reresentación esectral Modlaciones anglares de banda estrecha Modlaciones anglares con modladora sinsoidal Modlaciones anglares con modladora eriódica Regla herística ara el cálclo del ancho de banda Modlaciones anglares con modladora genérica F Regla de Carson: aroximación del ancho de banda c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 76 / 48

89 Modlación anglar de banda estrecha Modlación anglar de banda estrecha: (t) << Constantes k o k f eqeñas Exresión genérica de la señal modlada s(t) =A c cos( c t + (t)) Relación trigonométrica: cos(a ± B) =cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) Aroximaciones consideradas (ara (t) eqeño) cos( (t)), sen( (t)) Exresión alternativa ara la señal modlada s(t) =A c cos( c t) cos (t) A c cos( c t) A c (t) sin( c t) (t) A c sin( c t) sin (t) Exresión similar a la de na modlación AM convencional AM Convencional: s(t) =A c cos( c t)+a c m a (t) cos( c t) Recerde qe (t) = ( k m(t) PM k f R t m( ) d FM c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 77 / 48 Modlación anglar de banda estrecha Análisis Exresión aroximada ara la señal modlada s(t) A c cos( c t) A c (t) sin( c t) Exresión similar a la de na modlación AM convencional s(t) =A c cos( c t)+a c m a (t) cos( c t) Esectro de la señal modlada (considerando la aroximación) Dos deltas, sitadas en ±c (esectro ortadora) Rélicas del esectro de (t) sitadas en = ±c Forma del esectro de (t) F PM: roorcional al esectro de m(t) F (t) =k m(t) $ (j) =k M(j) FM: roorcional al esectro de la integral de m(t) (t) = k f Z t m( ) d $ Ancho de banda (similar AM convencional) (j) = k f M(j) j BW BE B Hz c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 78 / 48

90 Modlación mediante na señal sinsoidal Señal modladora sinsoidal de amlitd a y frecencia m rad/s ( a sin( m t) PM m(t) = a cos( m t) FM Índices de modlación de na modlación PM y FM f = = f máx B máx = k máx( m(t) ) =k C M = k a = k f máx( m(t) ) B Exresiones del término de fase Exresiones de (t) ara PM Exresiones de (t) ara FM (t) = k f (t) = k f C M B = k f a m (t) =k m(t) =k a sin( m t)= sin( m t) Z t m( ) d = k f a Señal modlada: exresión común ara PM y FM m sin( m t)= f sin( m t) s(t) =A c cos( c t + (t)) = A c cos( c t + sin( m t)) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 79 / 48 Modlación mediante na señal sinsoidal () Señal modladora sinsoidal m(t) = Señal modlada s(t) =A c cos( c t + ( a sin( m t) a cos( m t) PM FM sin( m t)) = Re A c e j ct e j sin( mt) La fnción e j sin( mt) es eriódica de frecencia f m = m Hz Desarrollo en serie de Forier X e j sin( mt) = J n ( ) e j(n m)t n= Coeficiente de índice n del desarrollo en serie: J n ( ) J n ( ): fnción de Bessel de rimera esecie de orden n y argmento Exresión alternativa de la señal modlada s(t) c e j ct = X n= X n= J n ( ) e j(n m)ta B = A c J n ( ) cos (( c + n m ) t) X n= A c J n ( ) e j ct e j(n m)tc {z } A e j( c+n m)t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48

91 Fnciones de Bessel J n ( ) J n ( )= X ( ) k k= k(k + n) n+k, Para # J n ( ) Se encentra habitalmente en tablas o en figras n n n, J n( )= ( J n ( ), J n ( ), n ar n imar J ( ) J ( ) J ( ) J 3 ( ) J 4 ( ) J 5 ( ) J 6 ( ) J 7 ( ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48 Modlación mediante na señal sinsoidal Análisis La señal modlada contiene sinsoides con las frecencias Frecencias (Hz) : f c + n f m, ara n =, ±, ±, Plsación (rad/s) : c + n m, ara n =, ±, ±, Amlitd de la sinsoide de lsación c + n m A c J n ( ) Ancho de banda efectivo (contiene 98 % de la otencia): B e = ( + ) f m Hz ( (k a + )f m, PM B e = ( + ) f m = kf a f m + f m, FM = ( (k a + )f m, PM k f a + f m, FM Número total de armónicos en el ancho de banda efectivo B e ( bk ac + 3, PM M e = b c + 3 = b k f a f m c + 3, FM c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 8 / 48

92 Forma del esectro Ejemlo Modlación con = 5 Sma de sinsoides de amlitd A c J n ( ) y lsaciones c + n m J (5) =,8, J (5) =,3, J (5) =,5 J 3 (5) =,37, J 4 (5) =,39, J 5 (5) =,6, +,5 +,4 +,3 +, +,,,,3,4,5 S(j) A c? 6? 6 6?? c 5 m c 4 m c 3 m c m c m c c + m m c + mc + 3 m c + 4 mc + 5 m c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 83 / 48 Otros tios de modladoras Modlación mediante na señal eriódica Admite n desarrollo en serie de Forier F Sma de sinsoides de frecencias múltilo de la qe define el eríodo Frecencias en el esectro de la señal f c ± n f m ó ( c ± n m ) Amlitdes de cada frecencia: sma de las contribciones de cada armónico Modlación mediante na señal determinista no eriódica Análisis comlicado debido a la no linealidad Se alica la Regla de Carson (regla herística) Para señales modladoras con ancho de banda B Hz BW Carson ( + ) B Hz Ancho de banda deendiente del índice de modlación c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 84 / 48

93 EFECTO DEL RUDO EN MODULACONES ANALÓGCAS c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 85 / 48 Efecto del rido en modlaciones de amlitd Premisas Señal modladora m(t) de ancho de banda B Hz Señal recibida F Transmisión sobre canal gasiano Transmisión ideal sin atenación, sin distorsión, sólo con rido térmico r(t) =s(t)+n(t) F Potencia del término de señal: P S (otencia transmitida) Rido térmico: modelo estadístico habital F Proceso aleatorio n(t) estacionario, ergódico, blanco, gasiano, con densidad esectral de otencia S n (j) = N Recetor coherente F F Se introdcirán filtros ara limitar el efecto del rido Los filtros se considerarán como ideales (restaciones límite) Se analiza la relación señal a rido de la señal demodlada ara los distintos tios de modlación y se comarará con la relación señal a rido de la señal en na transmisión en banda base S N b c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 86 / 48

94 Referencia Transmisión en banda base Se transmite la señal sin modlar Señal en el recetor s(t) =m(t) P S = P M r(t) =s(t)+n(t) Filtrado en el recetor ara minimizar el efecto del rido Filtro aso bajo ideal de ancho de banda B Hz r(t) =s(t)+n(t) LPF B Hz Potencia del rido a la salida del filtro P nf = Z + S nf (j) d = Relación señal a rido en banda base S = P S N N B b d(t) =s(t)+n f (t) Z + B B N d = N B c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 87 / 48 Recetor coherente + filtrado de rido Notación r(t) h n (t) H n (j) r f (t) x(t) j 6 cos( c t + ) LPF B Hz Recetor coherente: = c (or simlicidad, c = ) Filtro de rido h n (t) / H n (j) d(t) Filtro aso banda ideal F Banda de aso / ancho de banda: igal qe señal modlada s(t) Señal recibida Señal filtrada Señal demodlada r(t) =s(n)+n(t) r f (t) =s(n)+n f (t), con n f (t) =n(t) h n (t) x(t) =r f (t) cos( c t)=s(t) cos( c t)+n f (t) cos( c t)=x S (t)+x n (t) Señal demodlada filtrada d(t) =x(t) h LPF B (t) =x S (t) h LPF B (t)+x n (t) h LPF B (t) =d S (t)+d n (t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 88 / 48

95 Recetor coherente + filtrado de rido Análisis Salida del recetor: Término de señal d S (t) No se ve afectado or el filtro de rido Para modlaciones de amlitd se calcló en s momento Modlación P S d S (t) P ds AM convencional DBL BLU A c [ + P Ma ] A c P M A c A c P M A c [ + m a (t)] m(t) A c m(t) BLV A A c cp M m(t) A c 4 P Ma A c 4 P M A c 4 P M A c 4 P M P ds : otencia en d S (t) relativa a m(t) P Ma : otencia de m a (t), P Ma = a C M P M Salida del recetor: Término de rido d n (t) Deende del filtro de rido emleado F Deende del tio de modlación F Potencia: P dn Relación señal a rido tras la demodlación S = P d S N P dn d Se comarará con la relación señal a rido en banda base S = P S N N B b c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 89 / 48 Potencia del rido tras la demodlación General n(t) h n (t) H n (j) n f (t) h x n(t) 6 cos( c t + ) Densidad esectral de otencia del rido filtrado n f (t) LPF B Hz d n (t) S nf (j) =S n (j) H n (j) = N H n(j) Densidad esectral de otencia del rido demodlado x n (t) S xn (j) = 4 S n f (j j c )+ 4 S n f (j + j c )= N h H n (j j c ) + H n (j + j c ) i 8 Densidad esectral de otencia tras el filtrado aso bajo d n (t) ( S dn (j) =S xn (j) H LPF B (j) S xn (j), si ale W = B =, si > W = B Potencia tras el filtrado aso bajo P dn = = N 8 Z ale S dn (j) d = Z B B Z B B H n (j j c ) d + S xn (j) d Z B B H n (j + j c ) d c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48

96 Cálclo de la otencia de rido AM convencional y DBL Para ambas modlaciones el filtro de rido es idéntico (, si c W ale ale c + W H n (j) =, en otro caso W: ancho de banda en rad/s (W = B) b c a 6 H n (j) Cálclo de la otencia de rido + a + c + b a = c W b = c + W (rad/s) Z B B H n (j j c ) d + Z B P dn = N B B H n (j + j c ) d = 4B c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48 Rido en DBL y AM convencional nterretación frecencial H n (j) S nf (j) 4 S n f (j j c ) S x n (j) W W c c + c + c W N W c c + c + c W N 4 W c c + c + c W N 4 W 4 S n f (j + j c ) c c + c + c W S d n (j) N 4 W c c + c + c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 9 / 48

97 Cálclo de la otencia de rido BLU Se resenta el caso de banda lateral serior (, si c ale ale c + W H n (j) =, en otro caso W: ancho de banda en rad/s (W = B) b c 6 H n (j) Cálclo de la otencia de rido + c + b b = c + W (rad/s) Z B B H n (j j c ) d + Z B P dn = 4 N B B H n (j + j c ) d = B c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 93 / 48 Rido en BLU nterretación frecencial (BLS) H n (j) S nf (j) 4 S n f (j j c ) S x n (j) W W c c + c + c N W W c c + c + c W N 4 c c + c + c W W N W 4 S n f (j + j c ) 4 c c + c + c S W d n (j) N W 4 c c + c + c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 94 / 48

98 Cálclo de la otencia de rido BLV Se resenta el caso de banda lateral serior (, si c W ale ale c + W H n (j) =, en otro caso W: ancho de banda en rad/s (W = B) W: exceso de ancho de banda vestigial en rad/s ( W = B ) c b a 6 H n (j) Cálclo de la otencia de rido Z B B H n (j j c ) d+ Z B B P dn = 4 N (B + B ) + c + a + b a = c W b = c + W (rad/s) H n (j+j c ) d = (B+ B ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 95 / 48 Rido en BLV nterretación frecencial (BLS) H n (j) S nf (j) 4 S n f (j j c ) W + W S x n (j) W + W + W W + W c c + c + c W + W N W + W c c + c + c W + W N 4 W + W c c + c + c W + N 4 W 4 S n f (j + j c ) c c + c + c W S d n (j) N 4 W + W c c + c + c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 96 / 48

99 Cálclo de relaciones señal a rido DBL y BLU Modlación P S d S (t) P ds P dn A c AM convencional [ + P Ma ] A c [ + m a (t)] DBL A c P M A c m(t) BLU A cp M A c m(t) BLV A c P M A c m(t) Relación señal a rido ara DBL S = P d S = N DBL P dn A c 4 P M N B = A c 4 P Ma A c 4 P M A c 4 P M N B N B 4 N B A c 4 P M 4 N (B + B ) A c P M N B = P S S N B = N b Misma relación señal a rido qe transmitiendo en banda base Relación señal a rido ara BLU S N BLU = P d S P dn = A c 4 P M 4 N B = A cp M N B = P S N B = S N b Misma relación señal a rido qe transmitiendo en banda base c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 97 / 48 Cálclo de relaciones señal a rido AM convencional Modlación P S d S (t) P ds P dn AM convencional DBL BLU BLV A c [ + P Ma ] A c P M A c A c P M A c P M A c [ + m a (t)] m(t) A c m(t) A c m(t) A c 4 P Ma A c 4 P M A c 4 P M Relación señal a rido ara AM convencional S = P A c d S 4 = P A c M a N AM P dn N B = P M a N B = P M a + P Ma = P M a P S S + P Ma N B = AM N b {z } AM N B N B 4 N B A c 4 P M 4 N (B + B ) A c [ + P M a ] N B Peor relación señal a rido qe transmitiendo en banda base Factor de eficiencia AM < AM = P M a + P Ma = a C M P M = + a CM P M C M a P M + P M Deende del índice de modlación: eor eficiencia ara valores bajos de a c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 98 / 48

100 Cálclo de relaciones señal a rido BLV Modlación P S d S (t) P ds P dn AM convencional DBL BLU A c [ + P Ma ] A c P M A c A c P M A c [ + m a (t)] m(t) A c m(t) BLV A cp M A c m(t) Relación señal a rido ara BLV S = P A c d S 4 = P M N P dn BLV = B B + {z B } BLV A c 4 P Ma A c 4 P M A c 4 P M N B N B 4 N B A c 4 P M 4 N (B + B ) 4 N (B + B ) = A cp M N (B + B ) = B B + P S S N B = BLV N Peor relación señal a rido qe transmitiendo en banda base b A cp M B N B Factor de eficiencia BLV < B BLV = B + B Deende del exceso de ancho de banda B vestigial: habitalmente B << B y en ese caso BLV, ie, la relación señal a rido es rácticamente igal qe en banda base c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas 99 / 48 Rido en modlaciones anglares Análisis mcho más comlejo (deendencia no lineal) Salida del demodlador (con rido) d(t) = ( k m(t)+y n (t), PM k f m(t)+ d dt Y n(t), Y n (t): término de rido a la salida del demodlador Relación señal a rido (otencia recibida P R = P S = A c S = N d 8 ka c >< >: 3k f A c B P M N B = P M P M N B = 3P M FM ) S, PM máx m(t) N b f S, FM máx m(t) N Ganancia en relación señal a rido roorcional al índice de modlación al cadrado Exresión general S N d PM = CM S N b El factor deende de la modlación: PM =, FM = 3 El término sele ser constante (deende del tio de señales) P M CM c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48 b

101 Rido en modlaciones anglares Efecto mbral La ganancia en S sólo se obtiene a artir de na N d relación señal a rido mbral a la entrada del recetor S = ( + ) N mbral Esto imlica en la ráctica qe hay n nivel mbral de otencia recibida qe hay qe alcanzar S P Rmbral =(N B) A c,mbral = P Rmbral N mbral c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación Modlaciones Analógicas / 48 Teoría de la Comnicación Grado en ngeniería en Tecnologías de Telecomnicación CAPÍTULO 4 MODULACONES Y DETECCÓN EN CANALES GAUSANOS Marcelino Lázaro Deartamento de Teoría de la Señal y Comnicaciones Universidad Carlos de Madrid Creative Commons License / 48

102 Índice de contenidos ntrodcción a los sistemas de comnicaciones digitales Reresentación geométrica de las señales Modelo de comnicación digital Diseño de cada elemento del sistema de comnicaciones Demodlador Decisor Codificador Modlador c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 3 / 48 Definición de n sistema de comnicaciones Finalidad de n sistema de comnicaciones: transmisión Transmisión: Proceso de enviar, transortar, información de n nto (fente) hasta otro nto (destino) a través de n canal o medio de transmisión Fente de nformación nformación transmitida s(t) Medio de Transmisión nformación recibida r(t) Destino de nformación Transmisión de información a través del medio de transmisión (canal): señales electromagnéticas F Conversión de la información en señales adecadas ara s transmisión F or el canal Conversión información / señal eléctrica: Transdctor Ejemlo: salida de n micrófono (señal de voz) RESERVOR DOGS (Mr White): f yo get a cstomer, or an emloyee, who thinks he s Charles Bronson, take the btt of yor gn and smash their nose in Everybody jms He falls down screaming, blood sqirts ot of his nose, nobody says fcking shit after that c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 4 / 48

103 Sistemas de comnicaciones analógicos y digitales Sistema de comnicaciones analógico Diseñado ara enviar como información na forma de onda contina Sistema de comnicaciones digital Diseñado ara enviar como información na secencia de símbolos ertenecientes a n alfabeto finito (M osibles valores ara cada símbolo) F Ejemlo más común: Bits (M = ): {, } nformación: Transmisión a na velocidad (tasa de símbolo) dada: R s símbolos/s F Se transmite n símbolo cada T = segndos R s Los símbolos han de convertirse en señales eléctricas ara s transmisión F Cada símbolo se asocia a na forma de onda F Caso más simle: formas de onda de T = segndos R s Preonderancia de los sistemas de comnicaciones digitales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 5 / 48 Ventajas de los Sistemas Digitales Caacidad de regeneración Existen técnicas de detección y corrección de errores La información se ede encritar (roteger) Permite corregir la distorsión introdcida or el canal (igalación) Formato indeendiente del tio de información (voz, datos, TV, etc) Permite tilizar TDM/TDMA y CDM/CDMA (además de FDM/FDMA) como mecasismo de mltilexación/acceso al medio Los circitos son, en general Más fiables De menor coste Más flexibles (rogramables) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 6 / 48

104 Regeneración digital CODFCACÓN DE BTS Sistema binario con lsos rectanglares Nivel alto Nivel bajo SEÑAL DGTAL TRANSMTDA T T 3T 4T 5T 6T 7T DENTFCACÓN DE CADA SÍMBOLO T T 3T 4T 5T 6T 7T SEÑAL RECBDA DSTORSONADA T T 3T 4T 5T 6T 7T SEÑAL REGENERADA T T 3T 4T 5T 6T 7T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 7 / 48 Desventajas de los Sistemas Digitales Necesidad de sincronismo Mayor ancho de banda Mchas fentes de información son de natraleza analógica Conversión A/D F Mestreo F Cantificación error de cantificación Conversión D/A F nterolación F Filtrado aso bajo c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 8 / 48

105 Conversión Analógico Digital (A/D) Fentes analógicas: amlitdes continas, tiemo contino Conversión analógico/digital: Tiemo discreto: Mestreo a frecencia fs mestras/s Amlitdes discretas: Cantificación a n bits/mestra F F Rido de cantificación: sólo hay n niveles de cantificación Diferencia entre valor mestreado y valor cantificado Decrece a medida qe se incrementa n Señal s(t) b b b b b b b b b b Mestreo s[n] b 7 6 r r b b r b 5 r b 4 rb rb 3 rb r r r b b rb b Cantificación (n = 3 bits) Tasa binaria (bits/s): R b = f s (mestras/s) n (bits/mestra) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 9 / 48 Transmisor/Recetor Digital Transmisor digital Fente Codificador de Fente Codificador de Canal Entrelazador B b [`] Modlador Digital Canal Modlador digital: Transmisión de na secencia de símbolos (generalmente bits, B b [`]) a través de na canal de comnicaciones Recetor digital r(t) Demodlador Digital ˆB b [`] Desentrelazador Decodificador de canal Decodificador de fente Destino Demodlador digital: Receración de la secencia de símbolos (bits, ˆB b [`]) a artir de la señal recibida través de na canal de comnicaciones, r(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48

106 Codificadores de fente y de canal Codificador de fente Redce la redndancia de la fente (comresión) Redcción de la tasa binaria a transmitir Codificador de canal ntrodcción de redndancia de forma controlada Detección y corrección de errores Caacidad de detección/corrección en fnción de s comlejidad Ejemlo más sencillo: códigos de reetición F Código de reetición : Detecta error sobre n bloqe de dos bits F Código de reetición : Detecta errores o corrige error (corrección basada en decisión or mayoría) sobre n bloqe de tres bits c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48 Entrelazado (nterleaving) Protección frente a errores de ráfaga En combinación con el codificador de canal Reordenación de bits Objetivo: transformar errores de ráfaga en errores aislados F El decodificador de canal ede corregir relativamente ocos errores or bloqe Clases de entrelazadores Entrelazadores bloqe Entrelazadores convolcionales c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48

107 Entrelazado Un ejemlo Bits sin codificar Bits codificados Transmisión Ráfaga de errores Código de Canal Código de reetición (orden ) Bits entrelazados Bits desentrelazados Errores aislados Entrelazador N c N b Entrelazador Bloqe Entrada de bits: or colmna Salida de bits: or fila Desentrelazador N b N c c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 3 / 48 Diseño de n sistema de comnicaciones Factores a considerar en el diseño Tecnologías existentes Coste Calidad (restaciones) F Sist analógicos: fidelidad relación señal a rido (S/N) F Sist digitales: tasa de errores (BER) Consmo de recrsos F Potencia (energía) Limitaciones físicas Limitaciones administrativas Limitaciones económicas F Ancho de banda Mismo tio de limitaciones Objetivo fndamental de este caítlo: Diseño de modladores/demodladores digitales considerando el comromiso entre restaciones y consmo de recrsos c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 4 / 48

108 Modlador digital B b [`] Modlador Digital s(t) Transmisión de bits (secencia B b [`]) a na tasa binaria R b = T b Conversión en na señal eléctrica s(t) Transmisión de bits or bloqes Secencia de símbolos Segmentación de la secencia B b [`] en bloqes de m bits Cada bloqe de m bits es n símbolo F símbolo m bits F Alfabeto de osibles símbolos: M = m símbolos: B {b i } N i= Secencia de símbolos B[n] F Tasa de símbolo R s = símbolos/s (badios) T F Relación entre tasas R b / R s : R b = m R s (o también T = m T b ) F Alfabeto de osibles símbolos: M = m símbolos: B {b i } M i= Transmisión de n símbolo (bloqe de m bits) cada T seg Conversión de secencia de bits/símbolos a señal s(t) Generación or tramos: fragmentos de T segndos (corresondientes a símbolo) F ntervalo de símbolo ara B[n]: intervalo nt ale t < (n + )T bits/s c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 5 / 48 Conversión símbolo / señal Modelo más simle Se estdia inicialmente el caso del rimer símbolo B B[] ntervalo de símbolo: ale t < T Conversión símbolo / señal Alfabeto de M osibles símbolos: B {b, b,, b M } Definición de M formas de onda de dración T segndos {s (t), s (t),, s M (t)}, definidas en ale t < T Asociación símbolo / forma de onda: bi $ s i (t) Generación de la señal a transmitir F Si B = b i, entonces s(t) =s i (t) Transmisión del símbolo B[n] ntervalo de símbolo: nt ale t < (n + )T Valor de símbolo: B[n] =bj F Se traslada la forma de onda asociada a bj al intervalo s(t) =s j (t nt), en nt ale t < (n + )T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 6 / 48

109 Ejemlo M = Número de bits or símbolo: m = M = 4 símbolos Símbolos: b, b, b, b 3 Señales seleccionadas (definidas en ale t < T) 6 + s (t) T t + s 6 (t) + T t Secencia a transmitir: B b [`] = s 6 (t) Secencia de símbolos Segmentación de B b [`]: Secencia B[n] =b b 3 b b b 3 b T T t s 6 3 (t) Señal transmitida Generación or intervalos: s(t) ={s (t) s 3 (t T) s (t T) s (t 3T) s 3 (t 4T) s (t 5T) } T T 3T t (seg) 4T 5T 6T 7T s(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 7 / 48 t Transmisión a través del canal Señal recibida a la salida del canal, r(t) La señal sfre distorsiones drante la transmisión No coincide con la señal transmitida: r(t) 6= s(t) Modelo de canal Efectos de distorsión considerados Distorsión lineal F Modelo: sistema lineal e invariante, h(t), H(j) Rido térmico F Modelo: roceso aleatorio n(t) estacionario, ergódico, blanco, gassiano, con densidad esectral de otencia S n (t) = N, siendo N = k T a ( o K) s(t) h(t) r(t) j 6 n(t) Señal recibida r(t) =s(t) h(t)+n(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 8 / 48

110 Demodlador digital r(t) Demodlador Digital ˆB b [`] Receración de la secencia de bits B b [`] a artir de la señal recibida a través del canal, r(t) La señal sfre distorsiones en la transmisión: r(t) 6= s(t) Procesado de r(t) ara recerar los bits transmitidos Procesado a tramos: artición en intervalos de símbolo Estimación del símbolo (m bits) transmitido en cada intervalo Estima del rimer símbolo: ˆB ˆB[] Observación de la señal r(t) en el rimer intervalo: ale t < T Comarar con las M osibles formas de onda transmitidas F Si la más arecida es sk (t), entonces ˆB = b k Estima del símbolo de índice n: ˆB[n] Observar la señal r(t) en el intervalo nt ale t < (n + )T Comarar con las M osibles formas de onda F Si la más arecida es s v (t), entonces ˆB[n] =b v c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción 9 / 48 Ejemlo M = 4 Símbolos: b, b, b, b 3 Señales seleccionadas s 6 (t) s (t) + Señal recibida + + T t T t s 6 (t) T T t s 6 3 (t) T T 3T t (seg) 4T 5T 6T 7T Detección de símbolos r(t) Segmentación de la señal en intervalos de símbolo F n =, intervalo ale t < T Señal más arecida : s (t) ˆB[] =b F n =, intervalo T ale t < T Señal más arecida : s 3 (t) ˆB[] =b 3 F Sigiendo el mismo roceso: ˆB[] =b, ˆB[3] =b, ˆB[4] =b 3, ˆB[5] =b Secencia decidida: ˆB[n] =b b 3 b b b 3 b ) ˆB b [`]: c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48 t

111 Selección de las M fomas de onda Factores a considerar Prestaciones: robabilidad de eqivocarse en el recetor (P e ) Decisión: señal más arecida P e deende del arecido entre señales Medida de arecido (distancia): energía de la diferencia (raíz cadrada) d(s i (t), s k (t)) = s Z E{s i (t) s k (t)} = s i (t) s k (t) dt F Redcir errores: incrementar la distancia entre señales Energía de la señal transmitida La energía de la señal transmitida está limitada en la ráctica Cantificación: energía media or símbolo transmitido (E s ) F Probabilidad de cada símbolo: B (b i )=P(B[n] =b i ) F Energía del símbolo b i energía de la señal s i (t) F Energía media or símbolo: romedio de la energía de los M símbolos E s = M X i= 3 Adecación al canal (h(t)) B (b i ) E{s i (t)}, siendo E{s i (t)} = Z s i (t) dt Minimizar la distorsión qe sfre la señal en la transmisión: r(t) =s(t) h(t)+n(t) Sitación ideal: distorsión lineal introdcida or el canal nla (sólo rido) F El rido es el único elemento de distorsión: r(t) =s(t) +n(t) F Se consige si: s i (t) h(t) =s i (t) ó S i (j) H(j) =S i (j) ara i =,,, M c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48 Conveniencia de na reresentación vectorial de las señales Diseño del modlador digital Selección de las M señales qe ermiten transmitir cada bloqe de m bits Considerar los 3 factores anteriores a la hora de seleccionar las M señales trabajando en el dominio temoral es n roblema difícil de tratar Se simlifica tilizando na reresentación vectorial de las señales Reresentación vectorial de las señales Facilitará el cálclo de la energía de cada señal Facilitará el cálclo del arecido entre señales Permite searar el roblema de la adecación de las señales al canal de los otros dos factores a considerar c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG ntrodcción / 48

112 Reresentación geométrica de las señales Esacios vectoriales Un esacio vectorial (V) es n conjnto de elementos (vectores) qe oseen las sigientes roiedades: Ley de comosición interna: sma (+) x, y, V, Oeración sma: x + y V qe debe cmlir las sigientes roiedades a) Conmtativa: 8 x, y V; x + y = y + x b) Asociativa: 8 x, y, z V; x +(y + z) =(x + y)+z c) Existencia de elemento netro 9 V : 8 x V; x + = + x = x d) Existencia de elemento inverso 8 x V9( x) :x +( x) = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 3 / 48 Esacios vectoriales () Ley de comosición externa: rodcto ( ) con escalares (C) C, x V, Oeración rodcto: x V qe debe cmlir las sigientes roiedades a) Asociativa: 8, C; 8 x V; ( x) =( ) x b) Existencia de elemento netro: 9e n C : 8 x V; e n x = x c) Distribtiva resecto a la sma: 8 C; 8 x, y V; (x + y) = x + y d) Distribtiva resecto al rodcto or n escalar: 8, C; 8 x V; ( + ) x = x + x c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 4 / 48

113 Esacios de Hilbert Esacio de Hilbert: esacio vectorial con rodcto escalar Notación: hx, yi Oeración f :(V, V) C Proiedades de la oeración rodcto escalar a) hx, yi = hy, xi b) h( x + y), zi = hx, zi + hy, zi c) hx, xi d) hx, xi =, x = (vector elemento netro) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 5 / 48 Norma ara el esacio vectorial El rodcto escalar define na norma ara el esacio vectorial x = hx, xi Medida de distancia entre vectores d(x, y) = x y Ánglo entre dos vectores se mide como Re{hx, yi} = cos x y La definición del rodcto escalar no es única Cada definición da lgar a n esacio de Hilbert distinto c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 6 / 48

114 Esacio de Hilbert ara señales de energía en tiemo contino (esacio L ) Prodcto escalar qe define el esacio L hx, yi = Z x(t) y (t) dt Norma indcida or este rodcto escalar x = hx, xi = s Z x(t)] dt = E{x(t)} Distancia entre dos señales d(x, y) = x y = s Z x(t) y(t) dt = E{x(t) y(t)} c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 7 / 48 Esacio de Hilbert ara señales de energía en tiemo discreto (esacio `) Prodcto escalar qe define el esacio ` hx, yi = X n= x[n] y [n] Norma indcida or este rodcto escalar v x = X hx, xi = t x[n] = E{x[n]} Distancia: distancia eclídea v d(x, y) = x y = t X n= n= x[n] y[n] = E{x[n] y[n]} c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 8 / 48

115 Desigaldad de CachySchwarz Desigaldad de CachySchwarz hx, yi ale x y Exresiones ara los esacios de señales de energía L y ` Z s Z s Z x(t) y (t) dt ale x(t) dt y(t) dt X n= v x[n] y [n] ale t X n= v x[n] t X n= y[n] Se cmle la igaldad si los dos vectores son linealmente deendientes (roorcionales) y = x, ara calqier C Particlación ara esacios de señales de energía L y ` y(t) = x(t) ó y[n] = x[n] c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 9 / 48 Reresentación en na base del esacio vectorial Base ara n esacio de Hilbert H de dimensión D: Sbconjnto de D elementos {b n } D n= H qe ermiten reresentar cada elemento del esacio como na combinación lineal de estos D elementos x = DX n= c n (x) b n D coeficientes únicos c n (x) (n {,,, D }) ara cada x H (coordenadas) Base ortogonal: hb n, b m i =, 8 n 6= m El rodcto escalar de dos elementos distintos de la base es nlo Base ortonormal: base ortogonal con elementos normalizados hb n, b m i =, 8 n 6= m y además hb n, b n i = b n = Coeficientes en na base ortonormal: c n (x) =hx, b n i Se obtienen a través del rodcto escalar (del vector con los elementos de la base) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 3 / 48

116 Procedimiento de ortogonalización de GramSchmidt Objetivo (general): encontrar na base ortonormal qe ermita reresentar n conjnto de vectores Objetivo (articlar): encontrar na base ortonormal qe ermita reresentar n conjnto de M señales Señales (M) {s i (t)} M i= Base ortonormal N señales (dimensión N) N ale M Reresentación de las señales { j (t)} N j= s i (t) = N X j= Coordenadas de na señal, s i (t), en la base a i,j = hs i (t), a i,j j(t) j(t)i Reresentación vectorial (N dimensional): vector de coordenadas a i = 6 4 a i, a i, a i,n c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 3 / 48 Obtención de la base Paso : Elegir s (t) con energía no nla Paso (t) = s (t) E, E = E{s (t)} : Energía de s (t) Proyección de s (t) sobre (t) a, = hs (t), (t)i = Z s (t) Ortogonalización Se sstrae esta royección (t) dt d (t) =s (t) a, (t) Normalización (t) = d (t) E, E = E{d (t)} = Z d (t) dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 3 / 48

117 Obtención de la base () Paso k Proyección de sk (t) sobre los elementos ya disonibles de la base ({ (t), (t),, k (t)}) a k,j = hs k (t), j(t)i = Z s k (t) j (t) dt, j =,,, k Ortogonalización Sstracción de las royecciones d k (t) =s k (t) Xk a k,j j= j(t) Normalización k(t) = d k(t) Ek, E k = E{d k (t)} = Z d k (t) dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 33 / 48 Ejemlo GramSchmidt Señales 6s (t) 6s (t) t 3 t 6s (t) 6s 3 (t) t 3 t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 34 / 48

118 Ejemlo GramSchmidt Base 6(t) t 6(t) 6(t) t 3 t c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 35 / 48 Ejemlo GramSchmidt Coordenadas Reresentación vectorial de las señales 3 3 a = 4 5 a = 4 5 a = a 3 = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 36 / 48

119 Ejemlo GramSchmidt Base alternativa Base (t) = (t) = (t) = (, si ale t <, en otro caso (, si ale t <, en otro caso (, si ale t < 3, en otro caso Coordenadas en la base 3 a = 4 5 a = a = a 3 = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 37 / 48 Ejemlo GramSchmidt Coordenadas (base alternativa) Reresentación vectorial de las señales 3 3 a = 4 5 a = 4 5 a = a 3 = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 38 / 48

120 Ejemlo Gram Schmidt Energías y distancias Energía de na señal y distancias entre señales se calclan de forma eficiente a artir de las reresentaciones vectoriales de las señales Energía de na señal E i = E{s i (t)} = Z s i (t) dt = a i = NX j= a i,j Distancia entre dos señales d (s i (t), s k (t)) = s Z s i (t) s k (t) dt v = a i a k = t N X a i,j a k,j j= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 39 / 48 Ejemlo Gram Schmidt Energías y distancias () Coordenadas en la rimera base a = a = a = 4 Coordenadas en la segnda base a = a = a = a 3 = a 3 = Energías y distancias (indeendientemente de la base elegida) E =, E =, E = 3, E 3 = 3 d(s, s )=, d(s, s )= 5, d(s, s 3 )= d(s, s )= 9, d(s, s 3 )= 5, d(s, s 3 )= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 4 / 48

121 Ejemlo Gram Schmidt Conclsiones La base ortonormal qe ermite reresentar las M señales no es única Es válido calqier conjnto de N señales ortonormales qe ermitan reresentar cada na de las M señales de forma exacta La energía de cada na de las señales y la distancia entre las mismas será la misma ara calqier base ortonormal La elección de na base otra sólo sondrá na rotación del sistema de referencia c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Esacios vectoriales 4 / 48 Ejemlo ara M = Candidatos ara s (t), s (t) s 6 (t) T t s 6 (t) T t s 6 (t) T t s 6 (t) T t Conjnto Conjnto s 6 (t) s 6 (t) T t T t s 6 (t) T t s (t) 6 T t Conjnto 3 Conjnto 4 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 4 / 48

122 Distancias entre las señales d(s i (t), s j (t)) = s Z s i (t) s j (t) dt Primer conjnto Segndo conjnto d(s (t), s (t)) = s Z T ( ) dt = T d(s (t), s (t)) = s Z T dt = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 43 / 48 Distancias entre las señales Tercer conjnto s Z T t t d(s (t), s (t)) = sin sin dt T T s Z T s ale t = 8 sin T t t dt = 4 t T sin cos T T T = T Carto conjnto s Z T t t d(s (t), s (t)) = sin cos dt T T s Z T t t = 4 8 sin cos dt = T T T ya qe Z T t t 8 sin cos T T dt = ale T sin t T T = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 44 / 48

123 Energía media or símbolo Conjnto alez E s =E [E{s(t)}] =E s(t) dt X P (s(t) =s i (t)) M = i= Z s i (t) dt Conjnto E s = E s = Z T Z T dt + dt + Z T Z T dt = T + T = T dt = 4T + = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 45 / 48 Energía media or símbolo Z T Z T t cos T sin t T dt = T ale t T + t cos T dt = T ale t t T cos T sin sin t T t T T T = T = T Conjnto 3 Conjnto 4 E s = ( ) T + ( ) T = T E s = () T + () T = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 46 / 48

124 Ejemlo ara M = Candidatos ara s (t), s (t) s 6 (t) T t s 6 (t) T t s 6 (t) T t s 6 (t) T t Conjnto Conjnto s 6 (t) s 6 (t) T t T t s 6 (t) T t s (t) 6 T t Conjnto 3 Conjnto 4 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 47 / 48 Base y constelación Se define na base ara las M señales Se obtiene la reresentación vectorial de cada señal s i (t) $ a i = 6 4 a i, a i, a i,n Relación de la señal con la reresentación discreta s i (t) = XN j= a i,j j(t) Facilita la medida de energía y distancias E{s i (t)} = a i = NX j= v a i,j, d(s i (t), s k (t)) = a i a k = t N X a i,j a k,j j= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 48 / 48

125 Base y constelación Conjnto T 6(t) T T t a r T a r T (t) a =[a, ]=+ T, a =[a, ]= T s (t) =a (t) s (t) =a (t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 49 / 48 Base y constelación Conjnto T 6 (t) T T t a r a r T (t) a =[a, ]=+ T, a =[a, ]= s (t) =a (t) s (t) =a (t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 5 / 48

126 Base y constelación Conjnto 3 T 6 (t) T t T a r T a r T (t) a =[a, ]=+ T, a =[a, ]= T s (t) =a (t) s (t) =a (t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 5 / 48 Base y constelación Conjnto 4 T 6 (t) T t T a = ale a, a, = T T ale T 6(t) T, a = t T 6 r a ale a, a, = s (t) =a, (t)+a, (t) s (t) =a, (t)+a, (t) ale a r T T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 5 / 48

127 Distancias entre las señales Constelación v d(a i, a k )= a i a j = t N X a i,j a k,j j= Primer conjnto: a =+ T, a = r T d(a, a )= (+ T) ( T) = T Segndo conjnto: a = T, a = d(a, a )= r Tercer conjnto: a =+ T, a = Carto conjnto: a = d(a, a )= d(a, a )= ale T r r (+ T) () = T T (+ T) ( ale, a = T T) = T ( T) () + () ( T) = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 53 / 48 Energía media or símbolo Constelación E s =E [E{s(t)}] = = MX i= MX i= XN A (a i ) a i,j j= Conjnto (símbolos eqirobables) E s = A (a i ) E{a i } + T + T = T + T = T Conjnto (símbolos eqirobables) E s = + T + () = 4T + = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 54 / 48

128 Energía media or símbolo Constelación () Conjnto 3 (símbolos eqirobables) E s = + T + T = T + T = T Conjnto 4 (símbolos eqirobables) E s = ale T +() + ale () + T = T + T = T Mínima energía ara nas distancias entre símbolos dadas En este caso Conjnto y Conjnto 3 reqieren menos energía ara la misma distancia F Para nas distancias entre símbolos dadas, se minimiza la energía si la media de la constelación es nla E [a i ]= 6 4 E[a i, ] E[a i, ] E[a i,n ] = = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 55 / 48 Mínima E s ara nas distancias entre símbolos Media nla Ejemlo en esacio D: símbolos a = B Media B Distancia entre símbolos A A A, a = B + A a r a r B A B B+ A (t) Energía media or símbolo (símbolos eqirobables) E s = E{a } + E{a } = (B A) + (B + A) = B + A AB + B + A + AB = B + A Contribción media: B Contribción distancia: A Mínima energía or símbolo ara na distancia A Media nla (B = ) E s = A c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 56 / 48

129 Resesta en frecencia de las señales Conjnto y Conjnto 6 S i (j) T Señales aroiadas ara transmisión en canales con bena resesta en bajas frecencias Conjnto 3 y Conjnto 4 6 S i (j) + T (rad/s) T Señales aroiadas ara transmisión en canales con bena resesta en torno a la frecencia T radianes/s + T (rad/s) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 57 / 48 Diseño del modlador digital Selección de las M señales Restricciones a tener en centa Energía de las señales (Es ) Distancia (medida de arecido) entre señales: d(si (t), s j (t)) Adecación a las características del canal: si (t) h(t) =s i (t) Reresentación discreta (vectorial) de las señales Constelación de M ntos reresentando las señales F M vectores a i de dimensión N F Permite evalar energías y distancias (indeendientemente de la base) Base ortonormal de dimensión N F N fnciones ortonormales, j(t) F Permite evalar la adecación a las características del canal (indeendientemente de la constelación) Si j(t) h(t) = j (t), 8j, entonces s i (t) h(t) =s i (t), 8i Restricciones constelación base F Dimensión del esacio de señales, N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 58 / 48

130 Modelo de comnicación digital B b [`] B[n] A[n] Codificador Modlador Modlador Digital s(t)? Canal ˆB b [`] ˆB[n] Decisor q[n] Demodlador r(t) Demodlador Digital División del modlador digital en dos módlos Codificador Modlador División del demodlador digital en dos módlos Demodlador Decisor Reresentaciones intermedias vectoriales: A[n] y q[n] Reresentación discreta de las señales en n esacio vectorial de dimensión N definido or na base { j (t)} N j= Simlifican notablemente el diseño del transmisor y recetor c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 59 / 48 Descrición de cada módlo Codificador Define la reresentación vectorial de la señal asociada a cada símbolo (constelación) F ntervalo de índice n: vector A[n] reresentando s(t) en nt ale t < (n + )T Criterios de diseño (ara seleccionar la constelación) F F Energía Distancia ( arecido ) entre señales (restaciones) Modlador Define la base ortonormal del esacio de señales Criterios de diseño (ara seleccionar las N fnciones j (t)) F Adecación a las características del canal Demodlador Convierte la señal recibida, or intervalos de símbolo, en vectores en el esacio de señales definido or la base { j (t)} N j= F ntervalo de índice n: vector q[n] reresentando r(t) en nt ale t < (n + )T Decisor Comara el arecido entre la señal recibida y las M osibles señales {s (t), s (t),, s M (t)} ara decidir símbolos F F Medida de distancia sobre las reresentaciones vectoriales Comara las distancias de: Vector de la señal recibida en el intervalo de símbolo: q[n] Vectores de los M osibles símbolos: a i, ara i {,,, M } c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Modelo del sistema 6 / 48

131 Demodlador r(t) q[n] Demodlador Obtiene la reresentación en tiemo discreto de la señal recibida r(t) Proyección en el esacio de señales ND del modlador q[n] = 6 4 q [n] q [n] [n] q N r(t) en base ortonormal { (t), (t),, N (t)} Proceso de la señal a tramos: or intervalos de símbolo F En q[n] se tiene la reresentación discreta de r(t) en el intervalo de símbolo asociado a A[n], ie, nt ale t < (n + )T Cálclo de la royección Proyección en na base ortonormal: rodcto escalar F Proceso del rimer intervalo de símbolo: q[] q =[q, q,, q N ] T ntervalo: ale t < T q j = hr(t), j(t)i = Z r(t) j (t) dt = Z T r(t) j (t) dt c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 6 / 48 Demodlador or correlación mlementación directa del rodcto escalar Banco de N correladores con { j (t)} N j= Proceso del rimer intervalo de símbolo q j = hr(t), j(t)i = Z T r(t) j (t) dt q h, i 6 (t) R T dt q r(t) q h, i r r r r r(t) 6 (t) R T dt q r r r r q N h, N i 6 N (t) R T dt q N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 6 / 48

132 Ejemlos de imlementación Conjntos de señales anteriores candidatos a imlementar el modlador r(t) 6 T R T dt q a) r(t) 6 r T sen t T R T dt q r(t) R T dt q 6 r t T sen T b) 6 r T cos t T R T dt q c) a) Conjntos y b) Conjnto 3 c) Conjnto 4 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 63 / 48 Demodlador mediante filtros adatados Filtrado de la señal con n banco de N filtros Resesta de los filtros: hk (t), con k =,,, N Salida del filtro de índice k y k (t) =r(t) h k (t) = Z r( ) h k (t ) d Filtros adatados a los elementos de la base ortonormal Resesta del filtro adatado Señal de salida del filtro y k (t) = Z h k (t) = k( t) r( ) k( (t )) d Valor de la señal yk (t) en el instante t = y k () = Z r( ) k( ) d hr(t), k(t)i = q k F Coordenada de índice k de la salida del demodlador c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 64 / 48

133 Demodlador mediante filtros adatados () Banco de N filtros adatados Filtros adatados a los N elementos de la base ortonormal Proceso del rimer intervalo de símbolo F Mestreo en t = de la salida de los filtros q ( t) r(t) q ( t) r r r r r r q N N ( t)? t = c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 65 / 48 Demodlador con filtros adatados casales Soorte ara la resesta de los elementos de la base Fnciones k (t) definidas en ale t < T Soorte de los filtros adatados hk (t) = k ( t) F Fnciones k ( t) definidas en T < t ale F Resestas al imlso NO casales (anticasales) F mlementación real NO es osible mlementación real de los filtros adatados Conversión en resesta casal: retardo de T segndos h T k (t) =h k (t T) = k( (t T)) = k(t t) Prodcto escalar (ara obtener coordenada qk ) F Usando h T k (t) se retarda T segndos la señal de salida y T k (t) =r(t) h T k (t) =y k (t T) F Hay qe retardar el instante de mestreo T segndos q k = hr(t), k(t)i = y k () =y T k (T) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 66 / 48

134 Demodlador mediante filtros adatados casales () Banco de N filtros adatados casales Retardo de T segndos en la resesta de los filtros Proceso del rimer intervalo de símbolo F Retardo de T seg en el instante de mestreo: t = T q (T t) r(t) q (T t) r r r r r r q N N (T t)? t = T c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 67 / 48 Demodlador con fljo indefinido de símbolos Se ha analizado el roceso de la rimera observación q q[] Obtención de q[n]: roceso de r(t) en nt ale t < (n + )T h 6 (t nt) R q [n] (n+)t nt dt (T t) q [n] r(t) h 6 (t nt) R q [n] (n+)t nt dt q q q q r(t) (T t) q q q [n] q q h 6 N (t nt) R q N [n] (n+)t nt dt CORRELADORES N (T t) q N? t =(n + )T FLTROS ADAPTADOS (Casales) [n] NOTA: se ha reresentado el caso general ara na osible base { k (t)} comleja, anqe en este caítlo sólo se considera el caso real c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 68 / 48

135 Proiedad del filtro adatado Máxima relación S/N Filtrado de na señal s(t) más rido n(t) con filtro h(t) s(t) n q(t) q h(t) 6? t = n(t) S : Energía en q debida a la señal s(t) F s(t) es na señal real determinista N : Energía en q debida al rido n(t) F Modelo de rido: roceso aleatorio estacionario, blanco y gasiano, con estadísticos S n (j) = N, R n( ) = N ( ) Cálclo de la relación señal a rido (S/N) S N Energía en q debida a s(t) Energía en q debida a n(t) F Búsqeda del filtro real h(t) qe maximiza la relación S/N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 69 / 48 Proiedad del filtro adatado Máxima relación S/N () Salida del filtro q(t) =(s(t)+n(t)) h(t) =s(t) h(t)+n(t) h(t) = Z Valor en el instante t = q = q() = Z s( ) h(t ) d + s( ) h( Relación señal a rido en q Cálclo de E[ s ] F ) d {z } término de señal s Z Z + S = E[ s ] N q E[ z ] Procesado de s(t), señal determinista h E s i = s = Z n( ) h(t n( ) h( {z } término de rido z s( ) h( ) d ) d ) d = s + z (valor determinista) Cálclo de E[ z ] F Procesado de n(t), señal aleatoria Cálclo del valor eserado de z teniendo en centa los estadísticos de la señal de rido n(t) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 7 / 48

136 Proiedad del filtro adatado Máxima relación S/N () Estadísticos de n(t) Densidad esectral de otencia S n (j) = N ; Atocorrelación R n( ) = N ( ) Cálclo de E z h E z i ale Z + =E Z + = Z + n( ) h( Z + Z + N = ( ) {z } R n ( ) = N Z + Z + ) d n( ) h( E[n( ) n( )] h( ) h( ) d d {z } R n ( ) h( ) d = N h( ) h( ) d d Z + ) d h( ) d = N E{h(t)} NOTA: se ha alicado la roiedad de la integral de na delta mltilicando a na fnción Z + f (x) (x x ) dx = f (x ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 7 / 48 Proiedad del filtro adatado Máxima relación S/N (V) Relación señal a rido S = s N q E[z ] = Z s( ) h( N E{h(t)} Desigaldad de CachySchwarz ara s(t) y h( Z s( ) h( ) d ) d t) reales Z Z ale s( ) d h( ) d La igaldad (valor máximo) se obtiene ara h( t) = s(t), R Relación señal a rido máxima: S máx = h(t) N q Z N s( ) h( ) d E{h(t)} h( t)= s(t) Z Z s( ) d s( ) d = N E{s(t)} = E{s(t)} N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 7 / 48

137 Proiedad del filtro adatado Máxima relación S/N (V) De este resltado se obtienen dos conclsiones: Para señales reales, la relación señal a rido a la salida se hace máxima cando h(t) = s( t) ara calqier valor de (excetando = ) y, articlarmente, ara el filtro adatado h(t) =s( t) Para señales comlejas se llega a la misma conclsión ero con el filtro adatado comlejo h(t) =s ( t) La relación señal a rido a la salida del filtro adatado no deende de la forma esecífica de s(t), sino únicamente de s energía y de la densidad esectral de otencia de rido a la entrada del filtro c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 73 / 48 Demodlador Modelo estadístico de q ara A = a i Modelo de la salida del demodlador q asmiendo: Elección ótima del modlador ara el canal Base ortonormal : h j (t), k(t)i = F Z T j(t) Adecación al canal canal gasiano: j(t) h(t) = ( k (t) dt =, si k 6= j [j k], si k = j j (t) r(t) =s(t)+n(t) Símbolo transmitido es A = a i =[a i,, a i,,, a i,n ] T F Señal generada en el rimer intervalo de símbolo ale t < T: Coordenada de índice k de q q k =hr(t), k(t)i = Z T = NX = a i,j j= a i,j Z T Z T j(t) r(t) j(t) A s(t) = N X j= a i,j j(t) Z T k (t) dt = (s(t)+n(t)) Z T k (t) dt + n(t) N k (t) dt + z X k = k (t) dt {z } z k a i,j [j k (t) dt k]+z k = a i,k + z k j= j= c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 74 / 48

138 Canal discreto eqivalente Modelo comleto de la observación q dado qe A = a i 3 3 a i, z a i, q = z = a i + z a i,n Canal discreto eqivalente z N A s(t) Modlador r(t) Canal Demodlador q A Canal Discreto Eqivalente q q = A + z c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 75 / 48 Canal discreto eqivalente Modelo estadístico ara z Modelo ara n(t) es n roceso aleatorio gasiano Coordenadas {z, z,, z N } son variables aleatorias conjntamente gasianas F Caracterización fnción densidad de robabilidad conjnta gasiana Parámetros: Vector de medias / Matriz de covarianzas Media de cada coordenada alez T E[z k ] = E n(t) k (t) dt = Covarianza entre dos coordenadas ale Z T Cov(z j, z k ) =E[z j z k ]=E n(t) Z T Z T = Z T = = N Z T Z T E[n(t) n ( )] {z } R n (t )= N (t ) Z T E[n(t)] {z } m n (t)= Z T j (t) dt j (t) k( ) dt d N (t ) j (t) k( ) dt d j (t) k(t) dt = N [j k] k (t) dt = n ( ) k( ) d Variables aleatorias zj y z k (k 6= j) incorreladas indeendientes c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 76 / 48

139 Distribciones marginales y conjntas ara z Distribción marginal k N f zk (z k )= e z N Gasiana de media nla y varianza N f zk (z k )=N, N Distribción conjnta (ara z =[z, z,, z N ] T ) f z (z) = NY k= f zk (z k )= PN ( N ) e k= N/ z k N = ( N ) z N e N/ Gasiana Ndimensional de media nla y varianzas N f z (z) =N N, N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 77 / 48 Distribciones condicionales ara q dado A = a i Canal discreto eqivalente q = A + z Distribción ara cada coordenada dado A = a i q k = a i,k + z k, con f zk (z k )= N e f qk A(q k a i )= N e (q k a i,k ) N N z k N a i,k, N Gasiana de media ai,k y varianza N Distribción de la observación conjnta dado A = a i NY f q A (q a i )= f qk A k (q k a i,k )= = k= PN ( N ) e (q k a i,k ) k= N/ N q ai N e N a N ( N ) N/ i, N Gasiana Ndimensional de media ai y varianzas N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Demodlador 78 / 48

140 Decisor q[n] ˆB[n] Decisor Estima la secencia de símbolos transmitidos B[n] Estima de esta secencia símbolo a símbolo En el instante discreto n: F F Se rocesa la observación en n, ie, q[n] Se estima el símbolo transmitido en n, ie, ˆB[n] Objetivo de diseño Minimizar la robabilidad de error de símbolo Pe Decisión ara P e = P(ˆB[n] 6= B[n]) mínima c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 79 / 48 Diseño del decisor Regiones de decisión Alfabeto de M osibles valores B[n] {b, b,, b M } Forma de establecer la decisión ara na observación q[n] División del dominio de q[n] en M regiones disjntas F F F Cada región k se asocia a n símbolo b k Se decidirá ˆB[n] =b k cando q[n] k Por eso se denominan regiones de decisión Establecimiento de las regiones de decisión Hay qe hacer la división del dominio de q[n] ara cmlir el criterio de diseño del decisor F Minimización de la robabilidad de error de símbolo Pe NOTA: Recerde qe hay na asociación nívoca B[n] =b i $ A[n] =a i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 8 / 48

141 Desarrollo del decisor Desarrollo ara el rimer símbolo: q q[] ˆB ˆB[] Probabilidad de error ara n caso concreto Caso en qe observando q = q se decide ˆB = b i P (q=q ˆB=b i ) e =P(B 6= b i q = q )= P(B = b i q = q ) = B q (b i q ) Probabilidad condicional B q (b i q ) Probabilidad a osteriori Probabilidad de error ara n decisor tonto (constante) Decisión es siemre ˆB = b i, ara calqier valor de q Promedio de la robabilidad de error cando se decide ˆB = b i, ara todos los osibles valores de q h i Z P (ˆB=b i,8q) e =E fq (q ) P (q=q ˆB=b i ) e = B q (b i q ) f q (q ) dq = = Z f q (q ) dq Z B q (b i q ) f q (q ) dq Z B q (b i q ) f q (q ) dq c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 8 / 48 Desarrollo del decisor () Probabilidad de error sando REGONES DE DECSÓN División del dominio de q en M regiones disjntas {k } M k= Se decide ˆB = b i si la observación q cae en i Probabilidad de error: MX Z P e = B q (b i q ) f q (q ) dq i i= Minimización de la robabilidad de error Se minimiza maximizando el segndo término (rojo) f q (q ) es indeendiente del símbolo transmitido o decidido Para cada valor de q sólo se ede variar la B q (b i q ) qe se sma eligiendo b i entre no de los M osibles valores de {b k } M k= F Esto eqivale a modificar la definición de { k } M k= Diseño de las regiones de decisión CRTERO MAXMO A POSTEROR Asignación de n valor del dominio de la observación q = q a la región de decisión qe maximiza la robabilidad a osteriori q i si B q (b i q ) > B q (b j q ), 8 j 6= i En el caso: B q (b i q )= B q (b k q ) > B q (b j q ), 8 j 6= {i, k} F Asignación arbitraria de q a i o k c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 8 / 48

142 Regiones de decisión ara P e mínima Un ejemlo,5 B q (b q) B q (b q) B q (b q) B q (b 3 q) q s s s s a a a a 3 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 83 / 48 Regiones de decisión ara P e mínima Un ejemlo,5 B q (b q) B q (b q) B q (b q) B q (b 3 q) q s s s s a a a a 3 3 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 84 / 48

143 Criterio Maximo A Posteriori (MAP) Desarrollo Probabilidades a osteriori B q (b i q ) Regla de Bayes B q (b j q )= B(b j ) f q B (q b j ) f q (q ) Teniendo en centa qe B = bj imlica qe A = a j y viceversa f q B (q b j ) f q A (q a j ) Criterio MAXMO A POSTEROR (MAP): Se asigna q a i si B (b i ) f q A (q a i ) f q (q ) > B(b j ) f q A (q a j ) f q (q ) Como f q (q ) es na cantidad no negativa j =,, M, j 6= i q i si B (b i ) f q A (q a i ) > B (b j ) f q A (q a j ) A (a i ) f q A (q a i ) > A (a j ) f q A (q a j ) 8j 6= i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 85 / 48 Criterio MAP con f q A (q a i ) gasianas Ejemlo: Caso binario (M = ) B (b )= A (a )=/3y B (b )= A (a )=/3 A (a ) f q A (q a ) a q q a q =(, q ), =[q, ) A (a ) f q A (q a ) B (b ) < B (b ) ó A (a ) < A (a ) ) d(q, a ) < d(q, a ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 86 / 48

144 Criterio de Máxima Verosimilitd Acrónimo ML (Maximm Likelihood) Se alica cando los símbolos son eqirobables B (b i )= A (a i )= M, 8i En ese caso, q se asigna a la región i si f q A (q a i ) > f q A (q a j ) 8j 6= i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 87 / 48 Criterio ML (b i eqirobables) f q A (q a ) f q A (q a ) a q a q q = a + a, =(, q ), =[q, ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 88 / 48

145 Criterio MAP (b i no eqirobables) A (a ) f q A (q a ) A (a ) f q A (q a ) a q q a q =(, q ), =[q, ) B (b ) < B (b ) ó A (a ) < A (a ) ) d(q, a ) < d(q, a ) Si los símbolos no son eqirobables se tiende a hacer mayor la región de decisión de los símbolos más robables c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 89 / 48 Caso f q A (q a i ) gasiana y B (b i )=/M Criterio ML: q ertenece a i si ( N ) N/ e q ai N > e q a i N > e q ( N ) e N/ q a j N N aj 8j 6= i 8j 6= i La exonencial es na fnción monótona creciente e a > e b, a > b q a i > q a j 8j 6= i N N Mltilicando or N y qitando el signo negativo q a i < q a j 8j 6= i Alicando la definición de la norma de n vector q a i = NX k= q,k a i,k = d(q, a i ) Criterio de mínima distancia eclídea q i si d(q, a i ) < d(q, a j ), 8j 6= i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 9 / 48

146 Decisor de Mínima Distancia Símbolos eqirobables Distribción f q A (q a i ) gasiana (rido gasiano) NOTA: En realidad, también se cmlirá ara calqier distribción simétrica resecto del origen (fnción ar) y decreciente en el caso D, ya qe en ese caso dos distribciones con distinta media se cortarán en el nto medio entre ambas medias, o ara fnciones de base radial decrecientes en el caso ND d(, a ) q d(, a ) r r r r d(, a M ) mín d(, a i ) ˆB = b i i c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 9 / 48 Cálclo de la robabilidad de error Cando se transmite el símbolo B = b i (o A = a i ) Distribción de la observación fq A (q a i ) Probabilidad de error condicional P e B=bi = P e A=ai P e ai Si se transmite el símbolo B = B i F Se rodce n error cando se decide ˆB = b j 6= b i F Esto ocrre cando al Z transmitir a i la observación q / i P e ai = f q A (q a i ) dq q/ i Probabilidad de error total Se romedian las robabilidades de error condicionales P e = MX i= A (a i ) P e ai F Para símbolos eqirobables A (a i )= M P e = MX P e ai M c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación i= MDCG Decisor 9 / 48

147 Ejemlo Caso nidimensional (N = ) y binario (M = ) Constelación a =+A, a = A Símbolos eqirobables A (a )= A (a )= Regiones de decisión Umbral q = =[, ), =(, ) a a s s A +A q = q Probabilidad de error P e = A (a ) P e a + A (a ) P e a = P e a + P e a c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 93 / 48 Probabilidad de error B = b f q A (q a ) s s A +A q Distribción f q A (q a ) gasiana de media +A y varianza N / Z P e a = f q A (q a ) dq = Q q/ A N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 94 / 48

148 Probabilidad de error B = b f q A (q a ) s s A +A q Distribción f q A (q a ) gasiana de media A y varianza N / Z P e a = f q A (q a ) dq = Q q/ A N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 95 / 48 Probabilidad de error total nterretación gráfica P e = P e a + P e a = Z f q A (q a ) dq + Z f q A (q a ) dq q / q /,5 f q A (q a ),5 f q A (q a ) r r q A +A,5 f q A (q a ),5 f q A (q a ) q r r q q A +A c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 96 / 48

149 Resltado general caso D binario eqirobable En este caso, se tienen las sigientes condiciones Regiones de decisión F F Umbral en el nto medio de los dos símbolos q = a + a Distancia de cada símbolo al mbral d(a, q )=d(a, q )= d(a, a ) Probabilidad de error P e = Q d(a, a ) N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 97 / 48 Esacio D Mário Ejemlo: M = 4, símbolos eqirobables A (a i )= 4 Constelación: a = 3, a =, a =+, a 3 =+3 Regiones de decisión: mbrales q =, q =, q 3 =+ =(, ], =(, ], =(, +], 3 =(+, +) 3 a a a a 3 t t t t q Probabilidades de error condicionales P e a = Q, P e a = Q N / Probabilidad de error total P e = 4 MX i=, P e a = P e a, P e a3 = P e a N / P e ai = 3 Q N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 98 / 48

150 Cálclo P e a a Distribción f q A (q a ) Gasiana de media a = 3 y varianza N / Probabilidad de error ntegrar fq A (q a ) fera de Z P e a = f q A (q a ) dq = Q q/ N / q c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 99 / 48 Cálclo P e a Distribción f q A (q a ) a Gasiana de media a = y varianza N / Probabilidad de error ntegrar fq A (q a ) fera de Z P e a = f q A (q a ) dq = Q q/ N / q c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48

151 Cálclo P e a Distribción f q A (q a ) a Gasiana de media a =+ y varianza N / Probabilidad de error ntegrar fq A (q a ) fera de Z P e a = f q A (q a ) dq = Q q/ N / q c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48 Cálclo P e a3 Distribción f q A (q a 3 ) a q 3 Gasiana de media a3 = 3 y varianza N / Probabilidad de error ntegrar fq A (q a 3 ) fera de 3 Z P e a3 = f q A (q a 3 ) dq = Q q/ 3 N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48

152 Ejemlo binario D Símbolos eqirobables A (a )= A (a )= Constelación ale ale A a =, a = A Regiones de decisión: frontera q = q = q = ale q q : q q = ale q q = : q q < q 6 s a a s A q A q = q c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 33 / 48 q Distribciones f q A (q a ), f q A (q a ) (A = ) c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 34 / 48

153 Cálclo de las robabilidades de error Hay qe integrar las distribciones condicionales ara a y ara a fera de ss regiones de decisión ntegrales de gasianas en D en n semilano No existen exresiones analíticas ni tablas nméricas c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 35 / 48 Cambio de sistema de coordenadas Se ede realizar n cambio de coordenadas Uno de los ejes asa or los dos ntos de la constelación Se gira la constelación 45 o (sin cambiar escala) q = (q q ), q = (q + q A) A 6 s q a a s A q q 6 a a s @R q q a 6 q a s s A + A q El valor de la segnda coordenada es nlo ara ambos símbolos c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 36 / 48

154 Cambio de sistema de coordenadas Se ede realizar n cambio de coordenadas Uno de los ejes asa or los dos ntos de la constelación Se gira la constelación 45 o (sin cambiar escala) q = (q q ), q = (q + q A) Neva constelación (se mantiene la distancia) " # " # + a A =, a A = F Se ede eliminar la segnda coordenada : Esacio D a r a r A + A q c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 37 / 48 Desarrollo formal del cambio de coordenadas Transformación ara el cambio de coordenadas q = (q q ), q = (q + q A) Si el símbolo transmitido es a, entonces q = a, + z, q = a, + z Lo qe imlica qe q y q toman la forma q = (a, + z ) (a, + z ) = ((A + z ) ( + z )) = A + (z z ) A=a {z} {z } a, z q A=a = (a, + z )+(a, + z ) A = ((A + z )+( + z ) A) = (z + z ) {z } z Si el símbolo transmitido es a entonces q = a, + z, q = a, + z Lo qe imlica qe q y q toman la forma q A=a = (a, + z ) (a, + z ) = (( + z ) (A + z )) = A {z } + (z z ) {z } a, z q A=a = (a, + z )+(a, + z ) A = (( + z )+(A + z ) A) = (z + z ) {z } z c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 38 / 48

155 Desarrollo formal del cambio de coordenadas () Coordenadas de la neva constelación ale + a A ale =, a = A No hay término de señal en la segnda coordenada Términos de rido Terminos z y z roorcionales a z z yaz + z, resectivamente Son indeendientes (gasianos e incorrelados) Cov(z z, z + z )=E[(z z )(z + z )] = E[z z ]= N N = F Estadísticos z Se ede descartar la segnda coordenada (no hay señal y el término de rido z es indeendiente de z ) E[z ]=E ale (z z ) = E[z ] ± E[z ]= " # Var(z )=E (z z ) = E[z ]+ E[z ] E[z z ]= N + N = N c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 39 / 48 Resltado general caso binario eqirobable Siemre es osible encontrar n cambio de coordenadas con no de los ejes asando or los dos ntos de la constelación Lo relevante es la distancia entre los ntos En este caso, se tienen las sigientes condiciones Regiones de decisión ara símbolos eqirobables F F Umbral en el nto medio de los dos símbolos q = a + a Distancia de cada símbolo al mbral d(a, q )=d(a, q )= d(a, a ) Probabilidad de error P e = Q d(a, a ) N / c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48

156 Decisor Mario en esacio mltidimensional Ejemlo: constelación de 6 símbolos con regiones formando na retícla alineada con los ejes q y q q a a a a 3 s s s s +3 a 4 a 5 a 6 a 7 s s s s a 8 a 9 a a s s s s q a a 3 a 4 a 5 s s s s 3 c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48 Cálclo de la robabilidad de error ara a 6 Coordenadas del símbolo: a 6 = ale + + Distribción fq A (q a 6 ): gasiana D en a 6 ( = N /) f q A (q a 6 )=N a 6, N ale = N +, N + Cálclo de la robabilidad de error condicional P e a6 Región de decisión Cadrado ale q < y ale q < F No hay exresiones analíticas ara calclar directamente la integral de na gasiana fera de este cadrado c Marcelino Lázaro, 4 Teoría de la Comnicación MDCG Decisor 3 / 48