Lógica modal LÓGICA COMPUTACIONAL LÓGICA MODAL. Sintaxis de la lógica modal proposicional. Mundos posibles

Transcripción

1 Lógica modal LÓGICA COMPUTACIONAL LÓGICA MODAL Francisco Hernández Qiroz Deartamento de Matemáticas Facltad de Ciencias, UNAM Página Web:.matematicas.nam.mx/fhq Facltad de Ciencias La lógica modal originalmente intentaba catrar el significado de los oeradores es necesario qe... y es osible qe... Estos oeradores no se eden definir or medio de fnciones booleanas. Otros concetos también se eden exresar como oeradores modales: temoralidad, acciones, conocimiento, etc. La semántica de estos concetos es similar a la semántica de necesidad y osibilidad. Esto ha ermitido alicar la lógica modal en ámbitos distintos a la filosofía: matemáticas, comtación, teoría de jegos, etc. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 1 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 2 / 32 Sintaxis de la lógica modal roosicional Mndos osibles La sintaxis de la lógica modal roosicional es: α ::= i q i r i α (α α) (α α) (α α) (α α) α α Los últimos dos oeradores modales no existen en el cálclo de roosiciones α se leerá osiblemente α α se leerá necesariamente α Alternatiamente, el oerador se ede definir en términos de (y iceersa): α def α. La semántica de la lógica modal no se ede definir con fnciones booleanas. En s lgar se emlean marcos donde es n conjnto de mndos osibles y F = W, R, W = {,,... } R W W es na relación de accesibilidad entre mndos. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 3 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 4 / 32

2 Satisfacción y erdad Las roosiciones atómicas no reciben n alor de erdad único, sino no or cada mndo osible. Sea F = W, R n marco y sea P 0 el conjnto de roosiciones atómicas. Una fnción de ealación es del tio e : P 0 W {V, F}. La relación de satisfacción = es relatia a F, a na ealación e y a n mndo esecífico W: F, e, = sii e(, ) = V P 0 F, e, = α sii F, e, = α F, e, = α ψ sii F, e, = α o bien F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α y F, e, = ψ F, e, = α ψ sii si F, e, = α imlica qe F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α sii F, e, = ψ El caso de los oeradores modales El caso de los oeradores modales es obiamente distinto: F, e, = α sii W. si R(, ) entonces F, e, = α F, e, = α sii W. R(, ) y F, e, = α Con estas definiciones, la satisfacción se ede generalizar: F, e = α sii W. F, e, = α. En este caso, diremos qe α es erdadera en e. Finalmente, definiremos alidez resecto a n marco F: y alidez en general F = α sii e. F, e = α, = α sii F. F = α. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 5 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 6 / 32 Ejemlos Un solo marco, dos ealaciones En las sigienes láminas se resentarán los marcos como gráficas dirigidas. Los értices corresonden a los mndos osibles, y y las aristas, a la relación de accesibilidad entre mndos. Las fórmlas atómicas erdaderas en n mndo se escribirán dentro del círclo corresondiente. Las fórmlas qe no aarecen en el círclo son falsas. En todos los casos se resenta dos eces el mismo marco, ero con ealaciones distintas en cada gráfica. En la tercera lámina se resenta n caso aarentemente aradójico de n marco con na relación de accesibilidad acía. r F, e, = F, e, = F, e = ( q r) q r q F, e, = F, e, = q F, e = ( r) (falla en ) q Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 7 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 8 / 32

3 Un solo marco, dos ealaciones y fórmlas álidas Un caso en aariencia aradójico F, e, = F, e, = F, e = F = F, e, = F, e, = F, e = F, e = F, e = F, e = F, e = ara toda fórmla α, F = α ero F = α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 9 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 10 / 32 Proiedades de la relación de accesibilidad En los ejemlos anteriores se do areciar qe la alidez de na fórmla deende de roiedades abstractas de la relación de accesibilidad. He aqí na lista de roiedades interesantes: P 1.. serial P 2. reflexia P 3,. simétrica P 4,,. transitia P 5,,. eclidiana P 6,,. = fncional arcial P 7.!. fncional P 8,. (. ) densa débil P 9,,. = conexa débil P 10,,. ( z. z z) dirigida débil Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 11 / 32 Esqemas modales Las roiedades anteriores corresonden con los sigientes esqemas de fórmlas álidas: S 1 α α D(α) S 2 α α T(α) S 3 α α B(α) S 4 α α 4(α) S 5 α α 5(α) S 6 α α S 7 α α Q(α) S 8 α α R(α) S 9 (α α β) (β β α) S 10 α α G(α) Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 12 / 32

4 Eqialencia entre roiedades de R y esqemas modales Reglas de inferencia Teorema. Sea F = W, R. Entonces F = S i sii R satisface P i. Demostración. Se rocede caso or caso. MP K N EN α β, α β (α β) ( α β) α α α β α β α β α β Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 13 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 14 / 32 Sistemas axiomáticos articlares Lógicas mltimodales Todos los sistemas axiomáticos ara lógica modal inclyen el axioma K y las reglas MP y N. La regla EN ede obtenerse a artir de K, MP y N. Otros sistemas son: KD KT KB K 4 K 5 Los sigientes sistemas reciben n nombre articlar S4 = KT4 S5 = KT5. En adelante, S designará la relación de dedcibilidad en n sistema S. Algnos sistemas son sbsistemas de otros, es decir, ss teoremas son teoremas de sistemas más oderosos. Por ejemlo KD5 α imlica S5 α α Una lógica mltimodal tiene na sintaxis similar a la lógica modal, salo qe ahora se centa con n conjnto de etiqetas L. Sea a L. La sintaxis de na lógica mltimodal es α ::= i q i r i α a α [a]α α [ ]α. Los símbolos modales anteriores no tienen na lectra niersalmente acetada. Una osibilidad es: a α se leerá desés de transitar or a, osiblemente α [a]α se leerá desés de transitar or a, necesariamente α α se leerá desés de calqier transición, osiblemente α [ ]α se leerá desés de calqier transición, necesariamente α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 15 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 16 / 32

5 Semántica de las lógicas mltimodales Un marco es na terna F = W, R, L, donde L es n conjnto de etiqetas y R W L W. Sean, W y a L. Si R(, a, ) escribiremos a. Finalmente, sea e : P 0 W {V, F} na ealación. Entonces F, e, = sii e(, ) = V P 0... F, e, = [a]α sii W. si a entonces F, e, = α F, e, = a α sii W. a y F, e, = α F, e, = [ ]α sii a L. W. si a entonces F, e, = α F, e, = α sii a L. W. a y F, e, = α Sistemas axiomáticos Los sigientes axiomas son ersiones mltimodales de D, B, 5 y G: [a]α b α α [a] b α a [b] c α a [b]α [c] d α Sin embargo, los sistemas mltimodales selen tener axiomas esecíficos relacionados con s dominio de alicación. Esto se erá en la sección de lógicas esecializadas. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 17 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 18 / 32 Lógicas esecializadas Lógica eistémica En esta ocasión abordaremos lógicas mltimodales con axiomas esecíficos: Lógica eistémica Lógica temoral Y, además, eremos el oerador no modal µ ara fórmlas recrsias. La lógica eistémica trata de catrar (arte de) la noción de conocimiento. La ersión qe eremos inclye (a) la existencia de arios agentes cognoscitios y (b) conocimiento común. Sean U n conjnto de agentes; A U a U; Entonces, la sintaxis de la lógica eistémica es: α ::= i q i r i α (α α) K a α E A α C A α K a α se leerá como el agente a sabe qe α E A α se leerá como todos los agentes en A saben qe α C A α se leerá como es conocimiento común entre los agentes en A qe α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 19 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 20 / 32

6 Semántica I La definición formal de la semántica hace qe El oerador K sea en realidad n oerador de necesidad en lógica mltimodal (con na modalidad or agente) K a α def [a]α. Las fórmlas con el oerador E sean abreiatras (en caso de qe A sea finito): E A α def K a α. a A Pero el conocimiento común es na noción distinta: C A α K a α K a K a α K b K a α a, b A. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 21 / 32 Semántica II De neo, se tiene n marco F = W, R, A, con R W A W, A n conjnto de agentes, W y na ealación e : P 0 W {V, F}. Entonces F, e, = sii e(, ) = V P 0... F, e, = K a α sii W. si a entonces F, e, = α F, e, = E A α sii a A. W. si a entonces F, e, = α F, e, = C A α sii W. si A entonces F, e, = α La relación A W W se define indctiamente: A 0 sii W A 1 sii a A. a A n+1 sii W. A n A 1 A sii n N. A n Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 22 / 32 Semántica III Sistema de demostración Nota. Obsérese la asencia de n oerador análogo a a. Podría definirse desde lego P a α def K a α, ero s interretación no corresonde claramente con na noción intitia de creencia, or ejemlo. Un sistema axiomático ara la lógica eistémica contienen los axiomas de S5 esecializados : K K a (α β) (K a α K a β) T K a α α 4 K a α K a K a α 5 K a α K a K a α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 23 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 24 / 32

7 Lógica temoral Sintaxis de LTL La lógica temoral formaliza na noción de tiemo discreta. Existen al menos dos ersiones: LTL lógica temoral de tiemo lineal; CTL lógica temoral de tiemo ramificado. En ambas n estado en el tiemo corresonde a n mndo en n nierso de Krike. La segnda considera la osibilidad de qe el tiemo se ramifiqe : ede haber arios ftros osibles y se eden hacer afirmaciones sobre qé asa en las otras ramas del tiemo. Aqí se abordará sólo la rimera lógica, or simlicidad. α ::= i q i r i α α α α. Los oeradores modales se leerán ahora de la sigiente forma: α α α α U β α ale en todos los estados ftros α ale en algún estado ftro α ale en el sigiente estado α ale en este estado y en estados ftros al menos hasta el momento en qe β alga o bien α ale hasta qe β alga. Los oeradores, y selen resentarse también como G, F y X, resectiamente. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 25 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 26 / 32 Semántica de la lógica temoral Algnas roiedades exresables en LTL Para definir la semántica, se tilizará n marco de Krike. reresenta la relación de accesibilidad y, s cerradra transitia y reflexia. F, e, = sii e(, ) = V P 0... F, e, = α sii W. si entonces F, e, = α F, e, = α sii W. si entonces F, e, = α F, e, = α sii W. y F, e, = α F, e, = α U β sii W. y F, e, = β y W. si y entonces F, e, = α Primero agregaremos na nea fórmla atómica F con la roiedad de qe Entonces F, e, = F W. halt def F el roceso se deto fin def halt el roceso se detendrá algún día inf def fin el roceso es infinito Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 27 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 28 / 32

8 Sistemas de demostración ara la lógica temoral Cálclo µ K N (α β) α β (α β) α β α α α (α β) α β (α β) α β α (α α) α α α El cálclo µ ermite reresentar roosiciones recrsias, i.e., qe se refieren a sí mismas. Consta de n conjnto de ariables X, Y, Z, X 0,... roosicionales y n solo oerador µ. Las fórmlas recrsias deben cmlir ciertas restricciones sintácticas ara qe la semántica esté bien definida. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 29 / 32 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 30 / 32 Sintaxis La sintaxis del cálclo µ roosicional es la sigiente: α ::= i q i r i α µx. α(x) donde X es na ariable roosicional. Intitiamente, si la fórmla α contiene a X como na de ss roosiciones atómicas, µx. α(x) es la fórmla qe reslta de sstitir a X en α or µx. α(x). Es osible definir n oerador dal νx. α(x) def µx. α( X). Pero la semántica de este oerador es diferente. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 31 / 32 Semántica Satisfacción, erdad y alidez se definen en términos del cálclo de roosiciones (modal). Para el caso del oerador µ combinado con lógica modal se tiene: F, e, = µx. α(x) sii F, e, = α [X/µX. α(x)]. Un ejemlo concreto es: α(x) = X β = µx. α(x) qe es satisfecha or n modelo en el qe sea erdadera en el resente o en algna transición ftra. Matemáticamente, la semántica de na fórmla sólo está bien definida si la arte α(x) cmle con la restricción de monotonía: X aarece bajo el alcance de n número ar de negaciones. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional Lógica modal 32 / 32