CÁPITULO 4. METODOLOGÍA. Para la implementación de cualquier plan de pensiones es necesario, después de haber

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1 CÁPITULO 4. METODOLOGÍA Para la imlementación de cualquier lan de ensiones es necesario, desués de haber establecido las características de éste, el cálculo de las aortaciones que serán requeridas ara cubrir las obligaciones futuras. Debido a que tanto las aortaciones, como los beneficios, están sujetos a condiciones contingentes, como la muerte, el retiro o la invalidez, es necesario realizar los cálculos actuariales de ambos montos, de tal manera que éstos sean iguales. 4.1 Teoría de Decrementos Múltiles Si observamos el gruo de trabajadores de cierta emresa, nos damos cuenta que este gruo disminuirá or motivo de retiro, muerte o invalidez. Para estimar el número de ersonas que seguirán con vida, desués de varios años, el modelo de suervivencia simle 11, descrito en el libro de Actuarial Mathematics es adecuado; sin embargo, los lanes rivados de ensiones no sólo contemlan la muerte, sino la invalidez y el retiro. Aunque la resente tesis sólo contemla el ago de beneficios or jubilación, la constitución del fondo debe considerar las variables aleatorias corresondientes a la causa y al momento de la salida del lan. Dentro de la ciencia actuarial, a la salida de una ersona de un determinado gruo se le llama decremento; en las funciones biométricas, a esto se le refiere como Teoría de decrementos en curso (Bowers, 1997). 11 Actuarial Mathematics, Bowers, Caítulo 3 46

2 4.1.1 Probabilidades de Decremento Los cálculos actuariales contemlan las robabilidades de ermanecer o salir del gruo or alguna razón; las razones ara que un articiante ueda salir del lan de ensiones son muerte, invalidez y retiro. Identificaremos estas robabilidades de decremento en dos categorías: las robabilidades de decremento múltile y las robabilidades netas de decremento. Las robabilidades de decremento múltile, denotan la robabilidad que tiene una ersona, de salir del gruo en los róimos años a consecuencia de la causa j y estando sujeto a todas las causas. La notación utilizada es la siguiente: j q + h, con j = m, i, y donde: +h = es la edad actual de la ersona; = los años transcurridos; j q = es la robabilidad de salir or la causa j estando sujeto a todas las causas; j = es la causa de salida (muerte e invalidez). m = muerte; i = invalidez. Las robabilidades netas de decremento, se refieren a la robabilidad que, un articiante de edad +h, tiene de abandonar el gruo en los róimos años a consecuencia de la causa j, estando sujeto únicamente a esa causa y se denota or: q j + h, con j = m, i, y donde: 47

3 +h = es la edad actual de la ersona; = los años transcurridos; q ' j = es la robabilidad de salir or la causa j estando sujeto únicamente a esa causa; j = es la causa de salida (muerte e invalidez). Es osible definir un modelo de decremento individual, que deende únicamente de una ( j causa articular de decremento como se muestra a continuación, siendo µ ) () s la fuerza de decremento or la causa j tenemos: ( j) ( ) e[ t j t µ ( ) 0 s ds] =, (4.1) La fórmula 4.1 eresa la robabilidad de sobrevivir a la causa j, entre edades y +t, entonces la robabilidad de no sobrevivir a dicha causa es la siguiente: j j q = 1. (4.2) t t Relaciones Básicas ( j Siendo µ ) () s la fuerza de decremento de la causa j, la robabilidad de sobrevivir a todas las causas entre edades y +t, que se denota como: tenemos entonces: t ( T) (1) (2) ( n) t = µ 0 + µ + + µ e{ [ ( s) ( s)... ( s)] ds}, (4.3) n j = (4.4) ( T) t t i= 1 48

4 Este resultado no involucra aroimación alguna, se basa en el unto de que la fuerza de decremento es la misma que la del modelo de decrementos múltiles. Para nuestro caso odemos eresar la fórmula de la robabilidad conjunta de suervivencia como: t m = (1 q )(1 q ) (4.5) ( T ) i t t t = es la edad actual de la ersona; t = los años transcurridos; ( T ) = robabilidad de sobrevivir a todas las causas ( T ), entre edades y +t; m = muerte; i = invalidez. 4.2 Anualidades de Vida Una anualidad de vida es una serie de agos hechos continuamente durante intervalos de tiemo iguales, mientras el individuo sobreviva. Este ago uede ser temoral, limitado un determinado número de años, ó bien durante la vida entera del individuo. 12 La fórmula ara el cálculo de una anualidad vitalicia que aga una unidad monetaria al rinciio de cada año en que el articiante llegue con vida, es la siguiente: ä v = 0 =, (4.6) v 1 = (1 + i) = valor resente de una unidad monetaria años desués; 12 Actuarial Mathematics, Bowers. Caítulo 5 Anualidades de Vida 49

5 = robabilidad que una ersona de edad llegue con vida a edad +; a este tio de anualidad se le conoce como anualidad vitalicia contingente anticiada. Para el cálculo de una anualidad vitalicia vencida, es decir que aga una unidad monetaria al final de cada año, la fórmula emleada es la siguiente: a v = 1 =. (4.7) 4.3 Cálculo del Beneficio Algunos lanes de ensiones definen el beneficio como un orcentaje de la comensación legal que el trabajador recibiría en caso de desido o bien una cantidad muy cercana a ésta. En este trabajo de tesis se contemla un lan de beneficio definido, es decir, que con base en un monto de beneficio reviamente establecido, se obtendrá el monto de las aortaciones necesarias. Por lo que rimero se definirá el beneficio de jubilación, osteriormente se determinará su valor resente actuarial y finalmente se calculará el monto de las aortaciones que su valor actuarial sea igual que el de los beneficios. El beneficio or jubilación se manejará en términos de salarios mínimos, debido a que suonemos que éstos se actualizan año con año de acuerdo a la inflación y así, nos rotegeremos del imacto de ésta. 50

6 El beneficio ara este lan de ensiones quedará definido como: 1.5% del salario romedio de los últimos 12 meses or cada año que se haya cotizado en el lan. Por lo que quedará eresado de la siguiente manera: Donde: SIA B (, SIA ) = 1. 5 % (4.8) SMGA = Número de años comletos que se aortó al lan. SIA = Salario Anual cuando el articiante ingresó al lan. SMGA = Salario Mínimo General Anual de la zona de Puebla cuando el articiante ingresó al lan. El beneficio queda en función del número de años que se aortó al lan () y el salario anual del trabajador al momento de ingresar al lan (SIA). El factor 1.01 corresonde a la comensación del suuesto de que no hay ascenso de uestos. El cociente del SIA y el SMGA nos ermite manejar el beneficio en términos reales, considerándolo como número de salarios mínimos, los cuales se incrementan año con año de acuerdo a la inflación. El beneficio B es un monto anual, roducto de los doce agos efectuados a lo largo del año, en otras alabras el ago que el articiante recibirá al final de cada mes, corresonde a un doceavo del monto del beneficio anual B, es decir: B = 12 Bm, donde (4.9) B m = Pago que se efectúa al final de cada mes. 51

7 4.4 Valor Presente Actuarial El valor resente actuarial (VPA) es el valor de las obligaciones futuras que el lan de ensiones tiene ara con el articiante, calculadas a la fecha de valuación: VPA ( T ) (12 ) 5 ( T ) (12 ) m = v ( a + v a ) B (4.10) v = Valor resente de una unidad monetaria años desués. (T) = Probabilidad de sobrevivir a todas las causas de edad a edad +. (12 ) a = Anualidad cierta, temoral a 5 años que inicia a los 65 5 a años y que aga un doceavo al final de cada mes. ( 12) m 70 = Anualidad vitalicia que aga un doceavo al final de cada mes. = Número de años que aortó al lan. B = El beneficio que le corresonde al ensionado, dado en número de salarios mínimos. A manera de interretación de la fórmula 4.10 el VPA, se uede ver como una suma de anualidades, las cuales agan al final de cada mes, un doceavo del beneficio anual (B), es decir, el beneficio mensual. Dichas anualidades están multilicadas or la robabilidad de que el trabajador sobreviva a todas las causas, de edad a +, es decir, a 65 años, ya que es necesario que el trabajador llegue con vida a dicha edad ara que se comience a agar la ensión. Por último tenemos el factor de descuento v, que sirve ara traer a valor resente las anualidad y así considerarlas en la fecha de valuación del lan, es decir, al inicio y no en la fecha de retiro, ya que ésta varía ara cada trabajador. 52

8 Resecto a las dos anualidades: la rimera anualidad contemla el ago cierto de los beneficios de los rimeros cinco años, ya que en caso de muerte del articiante, este ago será ara su beneficiario; la segunda es una anualidad vitalicia que se refiere al ago de los beneficios desués del eriodo de garantía, a edad 70, la cual se encuentra multilicada or la robabilidad de sobrevivir de edad 65 a edad 70 y or el factor de descuento que sirve ara evaluar ambas anualidades en la misma fecha. 4.5 Cálculo de la Contribución Una vez que se ha definido el beneficio que se le otorgará al articiante y se ha calculado el VPA del mismo, se debe encontrar el monto de la contribución mensual, es decir, el ago mensual corresondiente al articiante, que tendrá que realizar el atrocinador del lan, ara cubrir las obligaciones al momento del retiro de los trabajadores. Como se había mencionado, el VPA de los beneficios debe ser igual al de las contribuciones. Por otra arte, el VPA de las contribuciones se uede ver como una anualidad contingente temoral que emezará a aortar desde edad hasta edad 65, únicamente si el articiante sigue con vida. Lo anterior se eresa en la siguiente fórmula: VPA= C (4.11) a (12) : 65 Desejando la contribución de la fórmula anterior, se obtiene: VPA C = (12) (4.12) a : 65 VPA = Valor resente actuarial de los beneficios. 53

9 C = Monto de la contribución anual, dado en número de salarios mínimos. a (12) = Anualidad contingente que aga un doceavo al final de : 65 cada mes, desde edad hasta edad 65. Es imortante recalcar que la contribución C es un monto anual, roducto de las doce contribuciones efectuadas a lo largo del año, en otras alabras el ago que el atrocinador realizará al final de cada mes corresonde a un doceavo del monto de la contribución anual C, es decir: C = 12, donde (4.13) C m C m = Contribución que se efectúa al final de cada mes. Debido al suuesto que las contribuciones y el ago de beneficios se cuantifican en años enteros 13, el fondeo ha de realizarse anualmente, entonces basta con el monto anual de la contribución y del beneficio, sin necesidad de obtener la contribución corresondiente ara cada mes. 4.6 Pago del Patrocinador El ago que tendrá que realizar el atrocinador del lan, ara cubrir las obligaciones al momento del retiro de los trabajadores, se uede ver como la suma de las contribuciones (definidas en la sección anterior) necesarias ara cada uno de los articiantes que sigan activos en el lan, es decir, sigan en el eriodo de contribución. Al momento en que un trabajador salga del lan o emiece recibir la ensión, ya no se realizará su contribución corresondiente. 13 Caítulo 3, Sección Suuestos Generales 54

10 Dado que las contribuciones corresondientes a cada uno de los trabajadores están eresadas en términos de salarios mínimos, la suma de éstas se debe multilicar or el valor del salario mínimo anual vigente ara obtener el resultado en términos monetarios. Finalmente el ago del atrocinador quedaría eresado como: P l t = C n=1 n SMGA l (4.14) P l = Pago del atrocinador en el año l. C n = Monto de la contribución anual corresondiente al trabajador n, dado en número de salarios mínimos. SMGA l = Salario Mínimo General Anual en el año l. 4.7 Reserva del Fondo de ensiones En las secciones 4.3 y 4.5 analizamos el valor resente actuarial de los beneficios y contribuciones con resecto a la articiación en el lan de ensiones. Estos valores resentes ara los articiantes, de manera individual, son necesarios ara entrar en el roceso que determine el valor resente actuarial agregado ara el lan. El atrocinador del lan de ensiones, requiere cerciorarse si realmente la contribución hecha será suficiente ara cubrir las obligaciones contraídas; el balance del ago de los beneficios es determinado mediante el costo actuarial o método de fondeo Actuarial Mathematics, Bowers, Caítulo 20 55

11 4.7.1 El factor de reserva El factor de reserva es la cantidad de dinero que se necesita tener cada año como reserva, si no hubiese decrementos entre los articiantes. Este factor es la esencia de la reserva, dado que ésta se obtiene de multilicar el factor or la robabilidad de sobrevivir al final del año. Dicho factor queda eresado de la siguiente manera: ( T ) + h + 1 h + 1V = ( hv + C ' B ' ) (1 + i a ) (4.15) Desejando la contribución de la fórmula anterior, se obtiene: h+ 1 V ( hv + C ' B' ) (1 + ia ) = (4.16) ( T ) + h+ 1 h 1 V + = factor de reserva en el año en curso h + 1; ( T ) + h+ 1 = V h robabilidad de que una ersona sobreviva un año a todas la causas; = factor de reserva del año anterior B = valor resente de los beneficios agados durante un año; C = valor resente de las contribuciones realizadas durante un año; i a = tasa anual de acumulación del fondo. La interretación de la fórmula anterior es la siguiente: la reserva terminal ara el año en curso es igual a la reserva terminal del año anterior más las contribuciones realizadas menos los beneficios agados, acumulados durante un año a una tasa de interés anual i a, ero contemlando la salida de trabajadores durante ese año, se divide entre la robabilidad 56

12 de continuar en el lan. Las fórmulas emleadas 15 ara la obtención del factor de reserva, deenden de la edad del articiante, en otras alabras, si es que se ha jubilado o no. Es imortante hacer notar que en la fórmula anterior tanto el beneficio B y contribución C, no corresonden al beneficio B y contribución C establecidos en las secciones 4.3 y 4.5 resectivamente, debido a que los últimos reresentan únicamente un monto anual, mientras que C y B reresentan el valor resente al rinciio del año, de las contribuciones y beneficios efectuadas durante ese año de manera mensual; or lo tanto ara determinar el valor de C y B, únicamente se obtiene el valor resente de C y B, es decir: C' a 1 (12) = C (4.17) Figura 4.1: Valor resente de las 12 contribuciones mensuales. Fuente: Elaboración roia. 15 Actuarial Mathematics, Bowers, Caítulo 8 y curso de Matemáticas Actuariales II, Prof. Luis Rubén Pérez Ramírez. 57

13 La Figura 4.1 muestra a la contribución C, dividida en los doce agos corresondientes a cada año; cada ago mensual C m es llevado al rinciio del año, es decir el valor resente al inicio del eriodo, esos doce agos están reresentados or C. Por otra arte tenemos que el valor resente de los beneficios mensuales es: B' a 1 (12) = B (4.18) Figura 4.2: Valor resente de los 12 agos mensuales de la ensión. Fuente: Elaboración roia. La Figura 4.2 muestra el valor resente al inicio del eriodo de los 12 agos mensuales de la ensión (B m ). La fórmula ara el cálculo del factor de reserva en el eriodo donde únicamente se realizan contribuciones, es decir antes de la edad de retiro, en el eriodo + h , es la siguiente: h + 1 V ( V + C ' ) (1 + i ) = h a ( T ) (4.19) + h

14 La interretación de la fórmula anterior es: la reserva terminal ara el año en curso es igual a la reserva terminal del año anterior más las contribuciones realizadas, ero como todo es al rinciio del año, se acumula una tasa de interés anual i a, ero or las salidas durante ese año, la reserva ya no es ara todos, or lo que se divide entre la robabilidad de continuar en el lan. Para el eriodo corresondiente, donde se comienzan a realizar el ago de los beneficios y ya no se realizan contribuciones, es decir ara + h , la fórmula es la siguiente: h + 1 V ( V B ' ) (1 + i ) = h a ( T ) (4.20) + h + 1 La interretación de ésta fórmula es similar a la anterior sólo que ésta contemla en lugar de las contribuciones, el ago de los beneficios La reserva total Podemos observar que la reserva individual tiene un comortamiento reestablecido, dado que se caracteriza de acuerdo al eriodo en que se encuentre, el rimero es donde únicamente se realizan contribuciones y el segundo ya no se hacen contribuciones ero eiste el ago de beneficios. La reserva terminal ara el año en curso, ara todo un gruo de n trabajadores articiantes, se calcula como la suma de las reservas de cada individuo: h+ 1 VTOTAL= h+ 1V 1+ h+ 1V 2+ h+ 1V h+ 1 V n 59

15 n h+ 1 VTOTAL = h+ 1V i (4.21) i= 1 Puesto que todas las reservas se encuentran en el mismo año no eiste algún roblema en sumar todas las reservar individuales. 60