TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO UNITARIO

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1 TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO UNITARIO 9 En este caítulo 9. Las funciones circulares 9. Gráficas de las funciones seno coseno 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 9. Identidades eseciales 9.5 Funciones trigonométricas inversas 9.6 Ecuaciones trigonométricas Ejercicios de reaso Un oco de historia La eosición de la sección 8. desemboca directamente en una forma más analítica de estudiar la trigonometría, donde coseno seno se definen como las coordenadas, resectivamente, de un unto, ) en un círculo unitario. Esta interretación de seno coseno nos ermite definir las funciones trigonométricas como un número real, en lugar de un ángulo. Esta segunda aroimación a la trigonometría se utiliza en cálculo en alicaciones avanzadas de trigonometría. Además, una función trigonométrica de un número real se uede reresentar gráficamente como cualquier función ordinaria 5 f), donde la variable reresenta un número real en el dominio de f. Desde el unto de vista histórico, se desconoce quién realizó este imortante avance de los senos cosenos de ángulos a los senos senos de números reales. La forma de una cuerda de guitarra, fija en ambos etremos, se uede describir con las funciones trigonométricas de una variable. 89

2 9. Las funciones circulares Introducción En el caítulo 8 estudiamos las funciones trigonométricas de ángulos a sea en grados o radianes. En cálculo las ciencias es necesario considerar las funciones trigonométricas cuos dominios están formados or números reales no or ángulos. Para realizar la transición de ángulos a números reales debemos reconocer que a cada número real t corresonde un ángulo que mide t radianes. Como veremos a continuación, esta corresondencia se uede reresentar gráficamente con un círculo de radio centro en el origen en longitud de arco un sistema de coordenadas rectangulares. Este círculo se conoce como círculo unitario. De t radianes t la sección. se desrende que la ecuación del círculo unitario es 5. En esta sección nos centraremos en las funciones seno coseno. Las otras cuatro funciones trigonomé- tricas se estudiarán con ormenores en la sección 9.. Ahora consideraremos un ángulo central t en osición estándar, es decir, un ángulo cuo vértice se sitúa en el centro de un círculo su lado inicial coincide con el eje ositivo. Según la definición de medida en radianes ) de la sección 8., el ángulo t se define como + = t 5 s/r, la razón del arco subtendido de longitud s al radio r del círculo. Por el círculo unitario que se muestra en la FIGURA 9.., r 5, or tanto, t 5 s/ o t 5 s. En otras FIGURA 9.. Círculo unitario alabras: En un círculo unitario la medida en radianes de un ángulo de t radianes es igual a la medida t del arco subtendido. De lo anterior se desrende que ara cada número real t, el lado terminal de un ángulo de t radianes en osición estándar ha recorrido una distancia de t unidades en la circunferencia del círculo unitario: en sentido contrario al de las agujas del reloj si t 0 en el sentido de las agujas del reloj si t 0. Esta asociación de cada número real t con un ángulo de t radianes se ilustra en la FIGURA 9... t unidades t radianes, 0) t radianes, 0) t unidades a) t 0 b) t < 0 FIGURA 9.. El ángulo de t radianes subtiende un arco de longitud t unidades Funciones trigonométricas de los números reales Ahora estamos en condiciones de definir las funciones trigonométricas de un número real. Antes de roseguir, necesitamos la siguiente definición imortante. Definición 9.. Valores de las funciones trigonométricas El valor de una función trigonométrica de un número real t se define como el valor del ángulo de t radianes, siemre que ese valor eista. 90 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

3 Por ejemlo, el seno del número real / es sencillamente el seno del ángulo de /6 radianes que, como sabemos, es. Por tanto, no ha nada nuevo en realidad en evaluar las funciones trigonométricas de un número real. El círculo unitario es mu útil ara describir las funciones trigonométricas de los números reales. Si Pt) denota el unto de intersección del lado terminal del ángulo t con el círculo unitario 5 P, ) son las coordenadas rectangulares de este unto, entonces, or ) de la sección 8., tenemos sen t 5 r 5 5 cos t 5 r 5 5. Estas definiciones, además de las de las restantes cuatro funciones trigonométricas, se resumen a continuación. Definición 9.. Funciones trigonométricas Sea t cualquier número real Pt) 5 P, ), el unto de intersección en el círculo unitario con el lado terminal del ángulo de t radianes en osición estándar. Entonces, las seis funciones trigonométricas del número real t son: sen t 5 t a n t 5 cos t 5 cot t 5 ) s e c t 5 csc t 5. Por la rimera línea de ) de la definición 9.., de inmediato vemos que Para cualquier número real t, el coseno seno de t son las coordenadas, resectivamente, del unto P de intersección del lado terminal del ángulo de t radianes en osición estándar) con el círculo unitario figura 9..). + = P, ) = Pt) = cos t, sen t) t sen t cos t, 0) Como veremos en seguida, varias roiedades imortantes de las funciones seno coseno se ueden obtener de este resultado. Debido a la imortancia que tiene el círculo unitario en esta eosición, las funciones trigonométricas ) a menudo se conocen como funciones circulares. Varias roiedades de las funciones seno coseno se desrenden del hecho de que Pt) 5 cos t, sen t) se localiza en el círculo unitario. Por ejemlo, las coordenadas de Pt) deben satisfacer la ecuación del círculo: FIGURA 9.. Las coordenadas de Pt) son cos t, sen t) 5 Si sustituimos 5 cos t 5 sen t en la ecuación anterior, obtenemos el resultado conocido cos t sen t 5. Esta relación entre las funciones seno coseno es la más imortante de las identidades trigonométricas se conoce como identidad itagórica. Recuerde que esta identidad no es sólo válida ara los ángulos, como se elicó en las secciones 8. 8., sino que ahora vemos que también es válida ara todos los números reales t. Teorema 9.. Identidad itagórica Para todos los números reales t, sen t cos t 5 ) 9. Las funciones circulares 9

4 II sen t > 0 cos t < 0 0, ) sen t > 0 cos t > 0 I Límites de los valores de seno coseno Varias roiedades de las funciones seno coseno se desrenden del hecho de que Pt) 5 P, ) se localiza en el círculo unitario. Por ejemlo, se desrende que # # # # Puesto que 5 cos t 5 sen t, las inecuaciones siguientes equivalen a # cos t # # sen t # ) Las inecuaciones en ) también se ueden eresar con valores absolutos, como cos t # sen t #. Así, or ejemlo, no ha ningún número real t ara el cual sen t 5. Dominio rango Las observaciones en ) indican que tanto cos t como sen t ueden ser cualquier número comrendido en el intervalo [, ]. Por tanto, tenemos las funciones seno coseno, ft) 5 sen t gt) 5 cos t,, 0), 0) sen t < 0 sen t < 0 resectivamente, el dominio de cada una es el conjunto R de todos los números reales el cos t < 0 cos t > 0 rango es el intervalo [, ]. Los dominios rangos de las otras cuatro funciones trigonométricas se elicarán en la sección III IV 9.. 0, ) FIGURA 9.. Signos algebraicos de sen t cos t en los cuatro cuadrantes Signos de las funciones circulares Los signos de los valores de las funciones sen t cos t quedan determinados or el cuadrante en el que está situado el unto Pt), viceversa. Por ejemlo, si sen t cos t son negativos, entonces el unto Pt) el lado terminal del ángulo corresondiente de t radianes tiene que estar situado en el cuadrante III. En la FIGURA 9.. se muestran los signos de las funciones coseno seno cada uno de los cuatro cuadrantes. P) = cos, sen ) radianes FIGURA 9..5 El unto P) del ejemlo EJEMPLO Seno coseno de un número real Use la calculadora ara aroimar sen cos ofrezca una interretación geométrica de estos valores., 0) Solución Con la calculadora en modo de radianes, obtenemos cos < sen < Estos valores reresentan las coordenadas, resectivamente, del unto de intersección P) del lado terminal del ángulo de radianes en osición estándar, con el círculo unitario. Como se muestra en la FIGURA 9..5, este unto está situado en el segundo cuadrante, orque /,,. Esto también es de eserar en vista de la figura 9.., ues cos, la coordenada, es negativo sen, la coordenada, es ositivo. Periodicidad En la sección 8. vimos que los ángulos de t radianes t 6 radianes son coterminales, Por consiguiente, determinan el mismo unto P, ) en el círculo unitario. Por tanto, sen t 5 sen t 6 ) cos t 5 cos t 6 ) ) En otras alabras, las funciones seno coseno reiten sus valores cada unidades. También se desrende que ara cualquier entero n: sen t n) 5 sen t cos t n) 5 cos t. 5) Definición 9.. Funciones eriódicas Se dice que una función no constante f es eriódica si ha un número ositivo tal que ft) 5 ft ) 6) ara cada t en el dominio de f. Si es el número ositivo más equeño ara el cual 6) es verdadero, entonces se llama eriodo de la función f. 9 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

5 Las ecuaciones en ) imlican que las funciones seno coseno son eriódicas que el eriodo es #. Para entender que el eriodo de sen t es, observamos que eiste sólo un unto en el círculo unitario con coordenada, a saber, P/) 5 cos /)), sen /)) 5 0, ). Por tanto, sen t 5 sólo ara t 5, 6, 6, así sucesivamente. Por tanto, el valor ositivo más equeño osible de es. En resumen, la función seno ft) 5 sen t la función coseno gt) 5 cos t son eriódicas con eriodo ; es decir, ft) 5 ft ) gt ), resectivamente. Como referencia en el futuro, tenemos ara cada número real t. sen t ) 5 sen t cos t ) 5 cos t 7) EJEMPLO Usar la eriodicidad Evalúe a) sen 7/) b) cos /). Solución a) Debido a que 7/ es maor que uede escribirse 7, 5 se desrende de sen t ) 5 sen t, donde t 5 /, que b) Debido a que 7 sen 5 sen a b 5 sen 5! , d Véase la tabla 8.. Véase la rimera ecuación de 7). se desrende de cost n) 5 cos t, donde n 5 t 5 /, que 9 cos 5 cos a 6b 5 cos 5. Véase la segunda ecuación de 7). Proiedades de funciones imares ares La simetría del círculo unitario dota a las funciones circulares de varias roiedades adicionales. Para todo número real t, los untos Pt) Pt) en el círculo unitario se localizan en el lado terminal de un ángulo de t t radianes, resectivamente. Estos dos untos siemre serán simétricos con resecto al eje. La FIGURA 9..6 ilustra la situación ara un unto Pt) situado en el rimer cuadrante: las coordenadas de los dos untos son idénticas, ero las coordenadas tienen magnitudes iguales, ero signos ouestos. Las mismas simetrías serán válidas sin imortar el cuadrante que contenga Pt). Por tanto, ara ft) 5 sen t gt) 5 cos t cualquier número real t, ft) 5 ft) gt) 5 gt), resectivamente. Si alicamos las definiciones de funciones imares ares de la sección 5., tendremos el siguiente resultado: Pt) = cos t, sen t) t t P t) = cos t), sen t)) Teorema 9.. Funciones imares ares La función seno ft) 5 sen t es imar la función coseno gt) 5 cos t es ar; es decir, ara cada número real t, sent) 5 sen t cost) 5 cos t 8) FIGURA 9..6 Coordenadas de Pt) Pt) 9. Las funciones circulares 9

6 EJEMPLO Uso de las roiedades de funciones imares ares Obtenga los valores eactos de sen t cos t ara el número real t 5 /6. Solución Por 8), tenemos seno es una función imar sen a 6 b 5sen 6 5, d Véase la tabla 8.. coseno es una función ar cos a 6 b 5 cos 6 5!. Tenga en cuenta que los signos de las resuestas concuerdan con el hecho de que el lado terminal del ángulo /6 radianes está situado en el cuadrante IV. Para verificar las siguientes roiedades adicionales de las funciones seno coseno, se consideran las simetrías de los untos elegidos aroiadamente en el círculo unitario. Primero vimos los resultados de i) ii) en el siguiente teorema lanteado ara ángulos agudos en 5) de la sección 8.. P t = cos t, sen t = Teorema 9.. Proiedades adicionales Para todos los números reales t, i) cos a tb 5 sen t ii) sen a tb 5 cos t iii) cos t ) 5cos t iv) sen t ) 5sen t v) cos t) 5cos t vi) sen t) 5 sen t Pt) = cos t, sen t) Por ejemlo, ara justificar las roiedades i) ii) del teorema 9.. ara 0, t, /, considere la FIGURA Puesto que los untos Pt) P/ t) son simétricos con resecto, 0) a la recta 5, ara obtener las coordenadas de P/ t), intercambiamos las coordenadas de Pt). Por tanto, FIGURA 9..7 Justificación geométrica de i) ii) del teorema 9.. cos t 5 5 sen a tb sen t 5 5 cos a tb. En la sección 9. usaremos las roiedades i) ii) ara justificar dos fórmulas imortantes ara la función seno. EJEMPLO Uso del teorema 9.. En la tabla 8.. de la sección 8. vimos que cos /) 5 sen /6). Este resultado es un caso esecial de la roiedad i) del teorema 9..; con t 5 / vemos que alicación de la roiedad i) del teorema 9.. sen 6 5 sen a b 5 cos. Ángulo de referencia, segunda arte Como señalamos al rinciio de esta sección, ara cada número real t ha un ángulo único de t radianes en osición estándar que determina el unto Pt), que coordina cos t, sen t), en el círculo unitario. Como se muestra en la FIGURA 9..8, el lado terminal de todo ángulo de t radianes donde Pt) no está situado en un eje) 9 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

7 Pt) Pt ) Pt ) Pt ) t t t t t t Pt) Pt) FIGURA 9..8 El ángulo de referencia t es un ángulo agudo formará un ángulo agudo con el eje. En seguida odemos localizar un ángulo de t radianes en el rimer cuadrante que es congruente con este ángulo agudo. El ángulo de t radianes se conoce como ángulo de referencia ara cualquier número real t. Debido a la simetría del círculo unitario, las coordenadas de Pt ) serán iguales en valor absoluto a las coordenadas resectivas de Pt). Por tanto, sen t 5 6sen t cos t 5 6cos t Como se mostrará en los ejemlos siguientes, los ángulos de referencia se ueden usar ara obtener los valores de las funciones trigonométricas de todos los múltilos enteros de /6, / /. P =, EJEMPLO 5 Uso de un ángulo de referencia Obtenga los valores eactos de sen t cos t ara el número real dado: a) t 5 5/ b) t 5 /. Solución En rimer lugar, en cada arte obtenemos el ángulo de referencia corresondiente al número real t. a) Por la FIGURA 9..9, sabemos que un ángulo de t 5 5/ radianes determina un unto P5/) en el cuarto cuadrante tiene el ángulo de referencia t9 5 / radianes. Desués de ajustar los signos de las coordenadas de P/) 5 /,!/) ara obtener el unto P5/) 5 /,!/) del cuarto cuadrante, tenemos que ángulo de referencia T T 5 sen 5sen 5! 5 cos 5 cos 5. b) El unto P/) está situado en el tercer cuadrante tiene un ángulo de referencia / como se ilustra en la FIGURA Por tanto, sen a b 5sen 5! cos a b 5cos 5!. En ocasiones, ara obtener los valores trigonométricos de múltilos de las fracciones básicas de, debemos usar la eriodicidad o las roiedades de las funciones imares ares, además de los ángulos de referencia. 5 P =, 5 P =, FIGURA 9..9 Ángulo de referencia de la arte a) del ejemlo 5 P =, FIGURA 9..0 Ángulo de referencia de la arte b) del ejemlo 5 EJEMPLO 6 Uso de la eriodicidad el ángulo de referencia Obtenga los valores eactos de las coordenadas de P9/6) en el círculo unitario. Solución El unto P9/6) tiene las coordenadas cos 9/6)), sen 9/6). Para emezar, observamos que 9/6 es maor que, en consecuencia, debemos reescribir 9/6 como múltilo entero de más un número menor que. Por la división tenemos ) Las funciones circulares 95

8 5 P =, P =, 6 6 A continuación, or las ecuaciones de eriodicidad en 5) con n 5, sabemos que sen a 9 6 b 5 sen a5 6 b cos a9 6 b 5 cos a5 6 b. En seguida vemos, or la figura 9.., que el ángulo de referencia de 5/6 es /6. Puesto que P5/6) es un unto situado en el segundo cuadrante, su coordenada cos 5/6) es negativa su coordenada sen 5/6) es ositiva. Por último, usando el ángulo de referencia como se muestra en la figura 9.., simlemente ajustamos los signos algebraicos de las coordenadas de P/6) 5 cos/6)) sen/6): FIGURA 9.. Ángulo de referencia del ejemlo 6 9 cos 6 5 cos 5 6 5cos 6 5! 9 sen 6 5 sen sen 6 5. Por tanto, P9/6) 5!/, /). 9. Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 8, ara el número real t dado, a) localice el unto Pt) 5 cos t, sen t) en el círculo unitario b) obtenga los valores eactos de las coordenadas de Pt). No use la calculadora En los roblemas 9 a 6, ara el número real t dado, a) localice el unto Pt) 5 cos t, sen t) en el círculo unitario b) use la calculadora ara aroimar las coordenadas de Pt) En los roblemas 7 a, use la eriodicidad de sen t cos t ara obtener el valor eacto de la función trigonométrica. No use la calculadora. 7. sen cos 9 9. cos 0. sen a 5 b. cos 9. sen 0 7. sen 7. cos En los roblemas 5 a 0, justifique el lanteamiento dado con una de las roiedades de sen t cos t que estudiamos en esta sección. 96 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

9 5. sen 5 sen 6. cos /) 5 sen /) 7. sen ) 5 sen ) 8. cos cos.8 9. cos 0. 5 cos 0.) 0. cos.5 ) 5 cos.5. Puesto que cos t 5 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el segundo cuadrante, obtenga sen t.. Puesto que sen t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el segundo cuadrante, obtenga cos t.. Puesto que sen t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el tercer cuadrante, obtenga cos t.. Puesto que cos t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el cuarto cuadrante, obtenga sen t. En los roblemas 5 a 8, la coordenada del unto P5/8) en el círculo unitario es "!. Obtenga el valor eacto de la función trigonométrica dada. No use la calculadora cos 8 6. sen a 5 8 b 7. sen a 5 8 b 8. cos a 5 8 b En los roblemas 9 a, use el círculo unitario ara determinar todos los números reales t ara los cuales la igualdad dada es verdadera. 9. sen t 5!/ 0. cos t 5. cos t 5. sen t 5 Para la discusión. Suonga que f es una función eriódica con eriodo. Demuestre que F) 5 fa), a 0, es eriódica con eriodo /a. 9. Gráficas de las funciones seno coseno Introducción Una forma de estimular la comrensión de las funciones trigonométricas es eaminar sus gráficas. En esta sección eaminaremos las gráficas de las funciones seno coseno. Gráficas del seno del coseno En la sección 9. vimos que el dominio de la función seno, f t 5 sen t, es el conjunto de todos los números reales `, `, que su contradominio es el intervalo,. Como el eriodo de la función seno es, comenzaremos trazando su gráfica en el intervalo 0,. Se obtiene un bosquejo aroimado de la gráfica de la FIGURA 9..b) si se eaminan varias osiciones del unto Pt en el círculo unitario, como se ve en la figura 9..a). Cuando t varía de 0 a /, el valor de sen t aumenta de 0 hasta su valor máimo. Pero cuando t varía de / a /, el valor de sen t disminue desde hasta su valor P P ft) = sen t, 0 t 5 7 t 5 P P a) Círculo unitario b) Un ciclo de la gráfica de seno FIGURA 9.. Puntos Pt en un círculo, corresondientes a untos en la gráfica 9. Gráficas de las funciones seno coseno 97

10 Nota: cambio de símbolos mínimo,. Se ve que sen t cambia de ositivo a negativo cuando t 5. Cuando t está entre /, se ve que los valores corresondientes de sen t aumentan de a 0. Se dice que la gráfica de cualquier función eriódica, ara un intervalo de longitud igual a su eriodo, es un ciclo de su gráfica. En el caso de la función seno, la gráfica sobre el intervalo 0, de la figura 9..b) es un ciclo de la gráfica de f t 5 sen t. En adelante, recurriremos a los símbolos tradicionales ara graficar las funciones trigonométricas. Así, escribiremos f t 5 sen t en la forma f 5 sen o bien, simlemente 5 sen. La gráfica de una función eriódica se obtiene con facilidad trazando reetidamente un ciclo de su gráfica. En otras alabras, la gráfica de 5 sen en, or ejemlo, los intervalos, 0,, es la misma de la figura 9..b). Recuerde, de la sección 9., que la función seno es una función imar, orque f 5 sen 5 sen 5 f. Así, como se uede ver en la FIGURA 9.., la gráfica de 5 sen es simétrica con resecto al origen. = sen 5 7 FIGURA 9.. Gráfica de 5 sen Un ciclo Al trabajar de nuevo con el círculo unitario se uede obtener un ciclo de la gráfica de la función coseno g 5 cos en el intervalo 0,. En contraste con la gráfica de f 5 sen, donde f 0 5 f 5 0, en la función coseno se tiene g0 5 g 5. La FIGURA 9.. muestra un ciclo en rojo de 5 cos en 0,, junto con la etensión de ese ciclo en azul a los intervalos adacentes, 0,. En esta figura se ve que la gráfica de la función coseno es simétrica con resecto al eje. Es una consecuencia de que g sea una función ar: g 5 cos 5 cos 5 g. = cos 5 7 Un ciclo FIGURA 9.. Gráfica de 5 cos Un entero imar se uede escribir como n, donde n es un entero. Proiedades de las funciones seno coseno En este curso de matemáticas, en los que siguen, es imortante que conozca usted las coordenadas de las intersecciones de las gráficas de seno coseno con el eje ; es decir, las raíces de f 5 sen g 5 cos. Según la gráfica del seno en la figura 9.., se ve que las raíces de la función seno, o sea los números ara los que sen 5 0, son 5 0, ;, ;, ;, c son múltilos enteros de. En la gráfica del coseno en la figura 9.. se ve que cos 5 0 cuando 5 ;/, ;/, ;5/, c Esos números son múltilos enteros imares de /. Si n reresenta un entero, entonces n es un entero imar. Entonces, las raíces de f 5 sen de g 5 cos se ueden eresar en forma comacta como sigue. 98 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

11 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO El dominio de f) 5 sen el dominio de g) 5 cos es el conjunto de números reales, es decir, `, `). El rango de f) 5 sen el rango de g) 5 cos es el intervalo [, ] en el eje. Los ceros de f) 5 sen son 5 n, n un entero. Los ceros de g) 5 cos son 5 n )/, n un entero. La gráfica de f) 5 sen es simétrica con resecto al origen. La gráfica de g) 5 cos es simétrica con resecto al eje. L a s funciones f) 5 sen g) 5 cos son continuas en el intervalo `, `). Al alicar la le distributiva, el resultado en ) con frecuencia se escribe 5 / n. Como hicimos en los caítulos, se ueden obtener variaciones de las gráficas básicas de seno coseno mediante transformaciones rígidas no rígidas. En lo que queda de esta descrición eaminaremos gráficas de funciones de la forma 5 A sen B C D o bien 5 A cos B C D, ) donde A, B, C D son constantes reales. = sen Gráficas de 5 A sen D 5 A cos D casos eseciales de ): 5 A sen 5 A cos. Comenzaremos eaminando los Para A. 0, las gráficas de esas funciones son un estiramiento vertical o una comresión vertical de las gráficas de 5 sen o de 5 cos. En el caso de A, 0, las gráficas también se reflejan en el eje. Por ejemlo, como muestra la FIGURA 9.., se obtiene la gráfica de 5 sen estirando verticalmente la gráfica de 5 sen or un factor de. Nótese que los valores máimo mínimo de 5 sen están en los mismos valores de que los valores máimos mínimos de 5 sen. En general, la distancia máima de cualquier unto en la gráfica de 5 A sen, o 5 A cos, al eje, es 0 A 0. Al número 0 A 0 se le llama amlitud de las funciones o de sus gráficas. La amlitud de las funciones básicas 5 sen 5 cos es 0 A 0 5. En general, si una función eriódica f es continua, entonces, en un intervalo cerrado de longitud igual a su eriodo, f tiene un valor máimo M también un valor mínimo m. La amlitud se define or amlitud 5 M m. ) EJEMPLO Gráfica de coseno comrimida verticalmente Graficar 5 cos. Solución La gráfica de 5 cos es la de 5 cos comrimida verticalmente or un factor de, reflejada desués en el eje. Si A 5, se ve que la amlitud de la función es 0 A La gráfica de 5 cos en el intervalo 0, se muestra en rojo en la FIGURA FIGURA 9.. Estiramiento vertical de 5 sen = cos = cos = sen FIGURA 9..5 Gráfica de la función del ejemlo Las gráficas de 5 A sen D 5 A cos D 9. Gráficas de las funciones seno coseno 99

12 = + sen FIGURA 9..6 Gráfica de 5 sen deslazada unidad hacia arriba son las gráficas de 5 A sen 5 A cos deslazadas verticalmente hacia arriba cuando D. 0, hacia abajo cuando D, 0. Por ejemlo, la gráfica de 5 sen es la gráfica de 5 sen figura 9.. deslazada unidad hacia arriba. La amlitud de la gráfica de 5 A sen D, o de 5 A cos D sigue siendo 0 A 0. Nótese que en la gráfica de la FIGURA 9..6, el máimo de 5 sen es 5, en 5 /, el mínimo es 5 en 5 /. De acuerdo con ), la amlitud de 5 sen es, entonces, 5. Si se interreta a como comodín ara aartar lugar, en las ecuaciones ) ), se ueden determinar las coordenadas de las intersecciones con el eje de las gráficas de las funciones seno coseno, de la forma 5 A sen B 5 A cos B que veremos a continuación. Por ejemlo, ara resolver sen 5 0, de acuerdo con ) sucede que 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c, esto es, 5 0,, 5,, ; 5, así sucesivamente. Véase la FIGURA ; ; ; = sen = sen 5 7 Un ciclo de = sen Un ciclo de = sen FIGURA 9..7 Comaración de las gráficas de 5 sen 5 sen Tenga cuidado aquí; sen? sen. Gráficas de 5 A sen B de 5 A cos B Ahora eaminaremos la gráfica de 5 sen B ara B. 0. La función tiene amlitud, orque A 5. Como el eriodo de 5 sen es, un ciclo de la gráfica de 5 sen B comienza en 5 0 se comenzarán a reetir sus valores cuando B 5. En otras alabras, un ciclo de la función 5 sen B se comleta en el intervalo definido or 0 # B #. Esta desigualdad se divide entre B, se ve que el eriodo de la función 5 sen B es /B, que la gráfica en el intervalo 0, /B es un ciclo de su gráfica. Por ejemlo, el eriodo de 5 sen es / 5, or lo que un ciclo de la gráfica se comleta en el intervalo 0,. La figura 9..7 muestra que se comletan dos ciclos de la gráfica de 5 sen en rojo en azul en el intervalo 0,, mientras que la gráfica de 5 sen en verde ha comletado sólo un ciclo. En términos de transformaciones, se uede caracterizar el ciclo de 5 sen en 0, como una comresión horizontal del ciclo de 5 sen en 0,. En resumen, las gráficas de 5 A sen B 5 A cos B ara B. 0 tienen amlitud 0 A 0 eriodo /B, las dos. = cos = cos FIGURA 9..8 Gráfica de la función del ejemlo EJEMPLO Gráfica del coseno comrimida horizontalmente Determinar el eriodo de 5 cos graficar la función. Solución En razón de que B 5, se ve que el eriodo de 5 cos es / 5 /. Se llega a la conclusión que la gráfica de 5 cos es la de 5 cos comrimida horizontalmente. Para graficar la función se traza un ciclo del coseno con amlitud en el intervalo 0, / a continuación se usa la eriodicidad ara etender la gráfica. La FIGURA 9..8 muestra cuatro ciclos comletos de 5 cos el ciclo básico en rojo, la gráfica 00 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

13 etendida en azul un ciclo de 5 cos en verde en 0,. Nótese que 5 cos llega a su mínimo en 5 /, orque cos / 5 cos 5, llega a su máimo en 5 /, orque cos / 5 cos 5. Si B, 0 en 5 A sen B o 5 A cos B, se ueden usar las roiedades ar/imar vea 8 de la sección 9. ara escribir la función con B ositiva. Esto se ve en el siguiente ejemlo. EJEMPLO Gráfica del seno estirada horizontalmente Determinar la amlitud el eriodo de 5 sen A B. Graficar la función. Solución Como se requiere que B. 0, usaremos sen 5 sen ara reformular la función como sigue: 5 sen A B 5sen. Si se identifica A 5, se ve que la amlitud es 0 A Ahora bien, con B 5, se ve que el eriodo es / 5. Por consiguiente se uede interretar al ciclo de 5sen en 0, como un estiramiento horizontal una refleión en el eje, orque A, 0 del ciclo de 5 sen en 0,. La FIGURA 9..9 muestra que en el intervalo 0,, la gráfica de 5sen en azul comleta un ciclo, mientras que la gráfica de 5 sen en verde hace dos ciclos. = sen = sen FIGURA 9..9 Gráfica de la función del ejemlo Gráficas de 5 A sen B C 5 A cos B C Hemos visto que las gráficas básicas de 5 sen 5 cos se ueden estirar o comrimir verticalmente 5 A sen 5 A cos, se ueden deslazar verticalmente 5 A sen D 5 A cos D, estirarse o comrimirse horizontalmente 5 A sen B D 5 A cos B D. Las gráficas de 5 A senb C D 5 A cosb C D son las gráficas de 5 A sen B D 5 A cos B D deslazadas horizontalmente. En el resto de esta descrición nos concentraremos en las gráficas de 5 A sen B C 5 A cosb C. Por ejemlo, de acuerdo con la sección 5., la gráfica de 5 cos / es la gráfica básica del coseno deslazada hacia la derecha. En la FIGURA 9..0 la gráfica de 5 cos / en rojo en el intervalo 0, es un ciclo de 5 cos en el intervalo /, / en azul, ero deslazada horizontalmente / unidades hacia la derecha. De igual modo, las gráficas de 5 sen / 5 sen / son las gráficas básicas del seno deslazadas / unidades hacia la izquierda hacia la derecha, resectivamente. Véanse las FIGURAS Si se comaran las gráficas en rojo de las figuras 9..0 a 9.. con las gráficas de las figuras , se ve que la gráfica del coseno deslazada / unidades hacia la derecha es la gráfica del seno, = cos = sen = sen = cos FIGURA 9..0 Gráfica del seno deslazada horizontalmente = sen + FIGURA 9.. Gráfica del seno deslazada horizontalmente = sen FIGURA 9.. Senoide deslazada horizontalmente 9. Gráficas de las funciones seno coseno 0

14 la gráfica del seno deslazada / unidades hacia la izquierda es la gráfica del coseno la gráfica del seno deslazada / unidades hacia la derecha es la gráfica del coseno reflejada en el eje. En otras alabras, hemos comrobado gráficamente las identidades cosa sena b 5cos. b 5 sen, sena b 5 cos ) Ahora eaminaremos la gráfica de 5 A senb C ara B. 0. Como los valores de sen B C van de a, entonces A sen B C varía entre A A. Esto es, la amlitud de 5 A sen B C es 0 A 0. También, como B C varía de 0 a, la gráfica hace un ciclo comleto. Al resolver B C 5 0 B C 5, se ve que un ciclo se comleta cuando varía de C/B hasta C/B. Por consiguiente, la función 5 A sen B C tiene como eriodo C B Además, si f 5 A sen B, entonces C a B b 5 B. fa C B b 5 A sen Ba C b 5 A senb C. ) B El resultado de indica que se uede obtener la gráfica de 5 A sen B C deslazando la gráfica de f 5 A sen B horizontalmente, una distancia 0 C 0 B. Si C, 0, el deslazamiento es hacia la derecha, mientras que si C. 0, el deslazamiento es hacia la izquierda. El número 0 C 0 B se llama deslazamiento de fase, o desfasamiento, de la gráfica de 5 A sen B C. EJEMPLO Ecuación de un coseno deslazado La gráfica de 5 0 cos está deslazada / unidades hacia la derecha. Deducir su ecuación. Solución Si se escribe f 5 0 cos se alica la ecuación, se ve que fa b 5 0 cos a b o sea 5 0 cos a b. En la última ecuación se identificaría a C 5 /. El deslazamiento de fase es /. Téngalo en cuenta. Como cosa ráctica, el deslazamiento de fase de 5 A sen B C se uede obtener sacando B como factor común de B C. 5 A sen B C 5 A sen Ba C B b. Por comodidad, resumiremos la información anterior. GRÁFICAS DE UN SENO O COSENO DESPLAZADAS Las gráficas de 5 A senb C 5 A cosb C, B. 0, son, resectivamente, las de 5 A sen B 5 A cos B, deslazadas horizontalmente 0 C 0 / B. El deslazamiento es hacia la derecha si C, 0, hacia la izquierda si C. 0. El número 0 C 0 / B se llama deslazamiento de fase. La amlitud de cada gráfica es 0 A 0 el eriodo de cada gráfica es /B. 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

15 EJEMPLO 5 Gráfica del seno deslazada horizontalmente Graficar 5 sen /. Solución Para comarar, rimero graficaremos 5 sen. La amlitud de 5 sen es 0 A 0 5, su eriodo es / 5. Así, un ciclo de 5 sen se comleta en el intervalo 0,. Entonces, etendemos la gráfica hacia el intervalo adacente,, como se indica en azul en la FIGURA 9... A continuación se vuelve a escribir 5 sen / sacando como factor común de /: 5 sena b 5 sen a 6 b. 6 = sen = sen 7 6 FIGURA 9.. Gráfica de la función del ejemlo 5 En esta última forma se ve que el deslazamiento de fase es /6. La gráfica de la función dada, que se ve en rojo en la figura 9.., se obtiene deslazando /6 unidades hacia la derecha la gráfica de 5 sen. Recuerde que eso quiere decir que si, es un unto en la gráfica en azul, entonces /6, es el unto corresondiente en la gráfica roja. Por ejemlo, son dos coordenadas de intersecciones con el eje de la gráfica en azul. Por consiguiente, 5 0 /6 5 /6 5 /6 5 7/6 son coordenadas de intersecciones con el eje de la gráfica en rojo, deslazada. Estos números se indican con flechas en la figura 9... EJEMPLO 6 Gráficas deslazadas horizontalmente Determinar la amlitud, el eriodo, el deslazamiento de fase la dirección del deslazamiento horizontal de cada una de las funciones siguientes. a) 5 5 cosa5 b b) 58 sena b Solución a) Primero se identifican A 5 5, B 5 5 C 5 /. Entonces, la amlitud es 0 A 0 5 5, el eriodo es /B 5 /5. El deslazamiento de fase se uede calcular a sea or 0 0 / / 5 5 /0, o bien ordenando la función como sigue: 5 5 cos 5a 0 b. La última forma indica que la gráfica de 5 5 cos 5 / es la gráfica de 5 5 cos 5 deslazada /0 unidades hacia la derecha. b) Como A 5 8, la amlitud es 0 A Con B 5, el eriodo es / 5. El se saca como factor común de /, queda 58 sena b 58 sen a 8 b se ve que el deslazamiento de fase es /8. La gráfica de 5 8 sen / es la de 5 8 sen deslazada /8 unidades hacia la izquierda. EJEMPLO 7 Gráfica del coseno deslazada horizontalmente Graficar 5 cos. Solución La amlitud de 5 cos es 0 A 0 5, el eriodo es / 5. Entonces, un ciclo de 5 cos se comleta en el intervalo 0,. En la FIGURA 9.. se muestran dos ciclos de la gráfica de 5 cos. Las intersecciones con el eje de esta gráfica corresonden a los valores de ara los cuales cos 5 0. De acuerdo con, eso quiere decir que 5 n /, o sea 5 n /, n un entero. En otras alabras, ara n 5 0,,,,,, c se ve que 5 ; ; 5,, ;, así sucesivamente. Ahora, si se reacomoda la función dada como sigue: 5 cos = cos + ) = cos FIGURA 9.. Gráfica de la función del ejemlo 7 9. Gráficas de las funciones seno coseno 0

16 se ve que el deslazamiento de fase es. La gráfica de 5 cos en rojo en la figura 9.. se obtiene deslazando la gráfica de 5 cos una unidad hacia la izquierda. Eso quiere decir que las intersecciones con el eje son iguales ara ambas gráficas. I 0 0 It) = 0 sen 0 t 0 0 FIGURA 9..5 Gráfica de la corriente del ejemlo 8 60 t EJEMPLO 8 Corriente alterna La corriente I en ameres que asa or un conductor de un circuito de corriente alterna se determina con It 5 0 sen 0t, donde t es el tiemo eresado en segundos. Trazar el ciclo de la gráfica. Cuál es el valor máimo de la corriente? Solución La gráfica tiene una amlitud de 0, su eriodo es / Por consiguiente, se traza un ciclo de la gráfica del seno básica en el intervalo C0, 60D, como se ve en la FIGURA En la figura se ve que el valor máimo de la corriente es I 5 0 ameres, se resenta cuando t 5 0 de segundo, a que IA0B 5 0 sena0 # 0B 5 0 sen Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 6 alique las técnicas de deslazar, estirar, comrimir reflejar, ara trazar al menos un ciclo de la gráfica de la función.. 5 cos. 5 cos. 5 sen 8. FIGURA 9..7 Gráfica del roblema 8. 5 sen 5. 5 cos sen En los roblemas 7 a 0, la figura muestra un ciclo de una senoide o cosenoide. De acuerdo con la figura, determine A D deduzca una ecuación de la forma 5 A sen D, o 5 A cos D de la gráfica. FIGURA 9..8 Gráfica del roblema FIGURA 9..6 Gráfica del roblema 7 FIGURA 9..9 Gráfica del roblema 0 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

17 En los roblemas a 6, use las relaciones de la sección 9. ara determinar las intersecciones con el eje de la gráfica de la función indicada. No trace la gráfica.. 5 sen. 5cos. 5 0 cos. 5 sen sena b. FIGURA 9.. Gráfica del roblema 6. 5 cos En los roblemas 7 8, determine las intersecciones con el eje de la gráfica de la función, en el intervalo 0,. A continuación, alicando la eriodicidad, determine todas las intersecciones sen 8. 5 cos En los roblemas 9 a, la figura muestra un ciclo de una gráfica del coseno o seno. De acuerdo con la figura, determine A B, deduzca una ecuación de la forma 5 A sen B o 5 A cos B de la gráfica. 9.. FIGURA 9.. Gráfica del roblema. FIGURA 9..5 Gráfica del roblema FIGURA 9..0 Gráfica del roblema 9 En los roblemas 5 a, determine la amlitud el eriodo de la función. Trace cuando menos un ciclo de la gráfica sen FIGURA 9.. Gráfica del roblema sen 7. 5 cos cos. FIGURA 9.. Gráfica del roblema 9. 5 sen 0. 5 sen. 5 cos. 5 sen 9. Gráficas de las funciones seno coseno 05

18 En los roblemas a, determine amlitud, eriodo deslazamiento de fase de la función. Trace al menos un ciclo de la gráfica.. 5 sen a 6 b En los roblemas 9 50, verifique gráficamente la identidad. 9. cos 5cos 50. sen 5sen. 5 sen a b 5. 5 cos a b 6. 5 cos a 6 b 7. 5 cos a b Alicaciones diversas 5. Péndulo El deslazamiento angular u de un éndulo, resecto a la vertical en el momento t segundos, se determina con ut 5 u 0 cos vt, donde u 0 es el deslazamiento inicial cuando t 5 0 segundos. Véase la FIGURA Para v 5 rad/s u 0 5 /0, trace dos ciclos de la función resultante sen a b 9. 5 sen a b θ cos a b θ. 5 sen a b. 5 cos a b En los roblemas, escriba la ecuación de la función cua gráfica se describe en alabras.. La gráfica de 5 cos se estira verticalmente or un factor de, a continuación se deslaza 5 unidades hacia abajo. Un ciclo de 5 cos en 0, se comrime a 0, / el ciclo comrimido se deslaza / unidades horizontalmente hacia la izquierda.. Un ciclo de 5 sen en 0, se estira hasta 0, 8 a continuación, el ciclo estirado se deslaza / unidades horizontalmente hacia la derecha. La gráfica también se comrime verticalmente or un factor de, a continuación se refleja en el eje. En los roblemas 5 a 8, determine las funciones seno coseno, deslazadas horizontalmente, de manera que cada función satisfaga las condiciones dadas. Grafique las funciones. 5. Amlitud, eriodo /, deslazada / unidades hacia la derecha. 6. Amlitud, eriodo, deslazada / unidades hacia la izquierda. 7. Amlitud 0.7, eriodo 0.5, deslazada unidades hacia la derecha. 8. Amlitud 5, eriodo, deslazada / unidades hacia la izquierda. FIGURA 9..6 Péndulo del roblema 5 5. Corriente En cierto circuito eléctrico, la corriente I, en ameres, cuando el tiemo es t, en segundos es It 5 0 cos a0 t b. Trace dos ciclos de la gráfica de I en función del tiemo t. 5. Profundidad del agua La rofundidad d del agua, a la entrada de un uerto equeño cuando el tiemo es t, se modela con una función de la forma dt 5 A sen Bat b C, donde A es la mitad de la diferencia entre las rofundidades cuando las mareas son altas bajas; /B, B. 0, es el eriodo de la marea C es la rofundidad romedio. Suonga que el eriodo de la marea es de horas, que la rofundidad en la leamar marea alta es de 8 ies, que en la bajamar es de 6 ies. Trace dos ciclos de la gráfica de d. 5. Temeratura Fahrenheit Suonga que Tt sen t 8, 0 # t # es un modelo matemático de la temeratura Fahrenheit a las t horas desués de medianoche, en cierto día de la semana. 06 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

19 a) Cuál es la temeratura a las 8 a.m.? b) A cuál o cuáles horas T t 5 60? c) Trace la gráfica de T. d) Calcule las temeraturas máima mínima, los tiemos en que se resentan. Problemas ara calculadora En los roblemas 55 a 58, use una calculadora ara investigar si la función es eriódica. 55. f 5 sen a b 57. f 5 cos 58. f 5 sen Para la discusión En los roblemas 59 60, busque el eriodo de la función dada. 59. f 5 sen sen 60. f 5 sen cos f 5 sen 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas Introducción Se definen cuatro funciones trigonométricas más, en términos de recírocos cocientes de las funciones seno coseno. En esta sección eaminaremos las roiedades las gráficas de estas nuevas funciones. Comenzaremos con unas definiciones. Definición 9.. Otras cuatro funciones trigonométricas Las funciones tangente, cotangente, secante cosecante se reresentan or tan, cot, sec csc, resectivamente, se definen como sigue: sen tan 5 cot 5 cos cos, sen, ) sec 5 csc 5 cos, sen. ) Observe que las funciones tangente cotangente se relacionan como sigue: cot 5 cos sen 5 5 sen tan. cos De acuerdo con las definiciones en ) con el resultado anterior, cot, sec csc se llaman funciones recírocas. Dominio contradominio Debido a que las funciones en ) ) son cocientes, el dominio de cada función consiste en el conjunto de los números reales, eceto aquellos números ara los cuales el denominador es cero. Hemos visto en ), de la sección 9., que cos 5 0 cuando 5 n /, n 5 0, ;, ;, c, así el dominio de tan de sec es 5 0 n /, n 5 0, ;, ;, c6. De igual manera, de acuerdo con ) de la sección 9., sen 5 0 ara 5 n, n 5 0, ;, ;, c, or lo que el dominio de cot de csc es 5 0 n, n 5 0, ;, ;, c6. 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 07

20 Ya sabemos que los valores de las funciones seno coseno están acotados, esto es, que 0 sen 0 # 0 cos 0 #. De acuerdo con estas desigualdades, II III tan < 0 cot < 0 sec < 0 csc > 0 tan > 0 cot > 0 sec < 0 csc < 0 tan > 0 cot > 0 sec > 0 csc > 0 tan < 0 cot < 0 sec > 0 csc < 0 FIGURA 9.. Signos de las funciones tan, cot, sec csc en los cuatro cuadrantes I IV 0 sec 0 5 ` cos ` 5 $ ) 0 cos 0 0 csc 0 5 ` sen ` 5 $. ) 0sen 0 Recuerde que una desigualdad como ) quiere decir que sec $, o sec #. Por consiguiente, el contradominio de la función secante es `, <, `. La desigualdad en ) imlica que la función cosecante tiene el mismo contradominio `, <, `. Cuando se consideran las gráficas de las funciones tangente cotangente se ve que tienen el mismo contradominio: `, `. Si se interreta a como un ángulo, la FIGURA 9.. ilustra los signos algebraicos de las funciones tangente, cotangente, secante cosecante en cada uno de los cuatro cuadrantes. Se verifican con facilidad usando los signos de las funciones seno coseno que aarecen en la figura 9... TABLA tan cot sec csc 6 0 " " " " 0 " " " " EJEMPLO Regreso al ejemlo de la sección 9. Determinar tan, cot, sec csc ara 5 /6. t a n s e c Solución En el ejemlo de la sección 9. se vio que sen a 6 b 5sen 6 5 cos a 6 b 5 cos 6 5 ". Por consiguiente, de acuerdo con las definiciones en ) ): a 6 b 5 / "/ 5 " a 6 b 5 "/ 5 ", c s c, c o t a 6 b 5 "/ / 5 ", También se odría haber d usado cot 5 /tan a 6 b 5 / 5. La tabla 9.., que resume algunos valores imortantes de la tangente, cotangente, secante cosecante, se formó usando los valores de seno coseno de la sección 9.. Un guión en la tabla indica que la función trigonométrica no está definida en ese valor de en articular. Véanse también los roblemas 9 50 en los ejercicios 9.. Periodicidad Como las funciones seno coseno son eriódicas cada, cada una de las funciones en en tienen un eriodo de. Pero, de acuerdo con el teorema 9.. de la sección 9., iv) del teorema 9.. tan ) 5 sen ) cos ) 5 sen cos 5 tan. iii) del teorema 9.. Entonces, la eresión 5 imlica que tan cot son eriódicas, con un eriodo #. En el caso de la función tangente, tan 5 0 sólo si sen 5 0; esto es, sólo si 5 0, ;, ; así sucesivamente. Por consiguiente, el número ositivo menor ara el cual tan 5 tan es 5. La función cotangente tiene el mismo eriodo, orque es recíroca de la función tangente. Las funciones secante cosecante son eriódicas, con eriodo. Por consiguiente, sec 5 sec csc 5 csc 6) ara todo número real ara el cual estén definidas las funciones. 5) 08 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

21 Las funciones tangente cotangente son eriódicas, con eriodo P. Por consiguiente, tan 5 tan cot 5 cot 7) ara todo número real ara el cual estén definidas las funciones. Gráficas de 5 tan 5 cot Los números que hacen que los denominadores de tan, cot, sec csc sean iguales a cero corresonden a asíntotas verticales en sus gráficas. Por ejemlo, recomendamos al lector que con una calculadora verifique que tan S ` como S tan S ` como S. En otras alabras, 5 / 5 / son asíntotas verticales. La gráfica de 5 tan en el intervalo /, /, que muestra la FIGURA 9.. es un ciclo de la gráfica de 5 tan. Alicando la eriodicidad se uede etender el ciclo de la figura 9.. a intervalos adacentes de longitud, que se ven en la FIGURA 9... Las intersecciones con el eje en la gráfica de la función tangente están en 0, 0, ;, 0, ;, 0, c, las asíntotas verticales de la gráfica son 5 ;/, ;/, ;5/, c La gráfica de 5 cot se arece a la gráfica de la función tangente, véase la FIGURA 9... En este caso, la gráfica de 5 cot en el intervalo 0, es un ciclo de la gráfica de 5 cot. Las intersecciones con el eje de la función cotangente están en ;/, 0, ;/, 0, ;5/, 0 c las asíntotas verticales de la gráfica son 5 0, ;, ;, ;, c. Es un buen momento ara reasar el recuadro 7) de la sección 6.6. = tan = cot FIGURA 9.. Un ciclo de la gráfica de 5 tan FIGURA 9.. Gráfica de 5 tan FIGURA 9.. Gráfica de 5 cot Note que las gráficas de 5 tan 5 cot son simétricas con resecto al origen, orque tan 5 tan, cot 5 cot. Teorema 9.. Funciones imares La función tangente f) 5 tan la función cotangente g) 5 cot son funciones imares tales que tan ) 5 tan cot ) 5 cot 8) ara todo número real cuas funciones están definidas. Gráficas de sec csc Ya se sabe que ara 5 sec 5 csc, 0 0 $, or lo que no uede haber alguna arte de sus gráficas en la faja horizontal,, en el lano cartesiano. Por consiguiente, las gráficas de 5 sec 5 csc no tienen intersecciones con el eje. Tanto 5 sec como 5 csc tienen el eriodo. Las asíntotas verticales de la gráfica de 5 sec son las mismas que las de 5 tan, es decir, 5 ;/, ;/, ;5/, c Como 5 cos es una función ar, también lo es 5 sec 5 /cos. La gráfica 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 09

22 de 5 sec es simétrica con resecto al eje. Por otra arte, las asíntotas verticales de la gráfica de 5 csc son iguales a las de 5 cot, es decir, 5 0, ;, ;, ;,... Como 5 sen es una función imar, también lo es 5 csc 5 /sen. La gráfica de 5 csc es simétrica con resecto al origen. Un ciclo de la gráfica de 5 sec en 0, se etiende al intervalo, 0 or la eriodicidad o la simetría con resecto al eje en la FIGURA De igual modo, en la FIGURA 9..6 se etendió un ciclo de 5 csc en 0, al intervalo, 0, or eriodicidad o or simetría con resecto al origen. = sec = csc FIGURA 9..5 Gráfica de 5 sec FIGURA 9..6 Gráfica de 5 csc Transformaciones gráficas En forma arecida a las gráficas de seno coseno, se ueden alicar transformaciones rígidas no rígidas a las gráficas de 5 tan, 5 cot, 5 sec 5 csc. Por ejemlo, una función como 5 A tan B C D se uede analizar como sigue: estiramiento/comresión/refleión vertical T 5 A tan B C D c estiramiento/comresión horizontal al cambiar el eriodo deslazamiento vertical T c deslazamiento horizontal 9) Si B. 0, entonces el eriodo de 5 A tan B C 5 A cot B C es /B, 0) mientras que el eriodo de 5 A sec B C 5 A csc B C es /B. ) De las seis funciones trigonométricas, sólo las funciones seno coseno tienen amlitud. Como se vio en 9), el número A en cada caso se uede interretar como un estiramiento o una comresión vertical de la gráfica. Sin embargo, debe uno tener en cuenta que las funciones en 0) ) no tienen amlitud, orque ninguna de ellas tiene un valor máimo ni uno mínimo. EJEMPLO Comaración de gráficas Determinar el eriodo, las intersecciones con el eje las asíntotas verticales de la gráfica de 5 tan. Graficar la función en 0,. Solución Si hacemos que B 5, se ve de 0) que el eriodo es /. Como tan 5 sen /cos, las intersecciones con el eje de la gráfica están en las raíces de sen. De acuerdo con, de la sección 9., sen 5 0 ara 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

23 Esto es, 5 0, ;/, ;/ 5, ;/, ;/ 5, así sucesivamente. Las intersecciones con el eje están en 0, 0, ;/, 0, ;, 0, ;/, 0,... Las asíntotas verticales de la gráfica están en las raíces de cos. De acuerdo con de la sección 9., los números ara los que cos 5 0 se determinan como sigue: 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c Esto es, las asíntotas verticales son 5 ;/, ;/, ;5/,... En el intervalo 0,, la gráfica de 5 tan tiene tres cruces con el eje en 0, 0, /, 0, 0, dos asíntotas verticales, 5 / 5 /. En la FIGURA 9..7 hemos comarado las gráficas de 5 tan 5 tan en el mismo intervalo. La gráfica de 5 tan es una comresión horizontal de la gráfica de 5 tan. a) = tan en [0, ] EJEMPLO Comaración de gráficas Comarar un ciclo de las gráficas de 5 tan 5 tan /. Solución La gráfica de 5 tan / es la de 5 tan deslazada horizontalmente / unidades hacia la derecha. La intersección, 0, 0, de la gráfica de 5 tan, se deslazan a /, 0 en la gráfica de 5 tan /. Las asíntotas verticales 5 / 5 / ara la gráfica de 5 tan están deslazadas a 5 / 5 / de la gráfica de 5 tan /. En las FIGURAS 9..8a) 9..8b) se ve, resectivamente, que un ciclo de la gráfica de 5 tan en el intervalo /, / está deslazado hacia la derecha formando un ciclo de la gráfica de 5 tan / en el intervalo /, /. b) = tan en [0, ] FIGURA 9..7 Gráfica de las funciones del ejemlo a) Ciclo de = tan b) Ciclo de = tan /) en /, /) en /, /) FIGURA 9..8 Gráfica de las funciones en el ejemlo Como hicimos en el análisis de las gráficas de 5 A sen B C 5 A cos B C, se uede determinar la cantidad de deslazamiento horizontal de gráficas de funciones como 5 A tan B C 5 A sec B C, sacando el número B. 0 como factor común de B C. EJEMPLO Dos deslazamientos dos comresiones Graficar 5 sec /. Solución Descomondremos el análisis de la gráfica en cuatro artes, que serán or transformaciones. 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas

24 a) Comresión horizontal b) Comresión vertical refleión en el eje FIGURA 9..9 Gráfica de la función del ejemlo 5 c) Traslación horizontal d) Traslación vertical i) Un ciclo de la gráfica de 5 sec sucede en 0,. Como el eriodo de 5 sec es /, un ciclo de su gráfica ocua el intervalo 0, /. En otras alabras, la gráfica de 5 sec es una comresión horizontal de la gráfica de 5 sec. Como sec 5 /cos, las asíntotas verticales están en las raíces de cos. De acuerdo con la sección 9., se ve que 5 n o sea que 5 n, n 5 0, ;, ;, c 6 La FIGURA 9..9a) muestra dos ciclos de la gráfica de 5 sec ; un ciclo en /, 0 otro en 0, /. Dentro de esos intervalos, las asíntotas verticales son 5 /, 5 /6, 5 /6 5 /. ii) La gráfica de 5 sec es la de 5 sec comrimida verticalmente or un factor de, desués reflejada en el eje. Véase la figura 9..9b). iii) Se saca a como factor común de /, se ve en 5 seca b 5 sec a 6 b que la gráfica de 5 sec / es la de 5 sec, deslazada /6 unidades hacia la derecha. Si se deslazan los dos intervalos, /, 0 0, /, en la figura 9..9b), /6 unidades hacia la derecha, se ve en la figura 9..9c) que ha dos ciclos de 5 sec / en los intervalos /, /6 /6, 5/6. Las asíntotas verticales 5 /, 5 /6, 5 /6 5 / que se ven en la figura 9..9b) están deslazadas a 5 /, 5 0, 5 / 5 /. Observe que la intersección con el eje en A0, B de la figura 9..9b) ahora se mueve a A/6, B en la figura 9..9c). iv Por último se obtiene la gráfica 5 sec / de la figura 9..9d) deslazando la gráfica de 5 sec / en la figura 9..9c), dos unidades hacia arriba. CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

25 9. Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas llene la tabla resectiva.. tan cot. sec csc En los roblemas a 8 determine el valor indicado sin usar una calculadora.. cot 6. csca b 9 5. tan 6. sec 7 7. csca b 8. cota b 9. tan 5 0. tan a 6 b. sec. cot csc 5. sec 9 5. sec 0 ) 6. tan csc cot 70 ) En los roblemas 9 a use la información ara determinar los valores de las cinco funciones trigonométricas restantes. 9. tan 5, /,, 0. cot 5,,, /. csc 5, 0,,/. sec 55, /,,. Si cos 5 sen, determine todos los valores de tan, cot, sec csc.. Si csc 5 sec, determine todos los valores de tan, cot, sen cos. En los roblemas 5 a determine el eriodo, las intersecciones con el eje las asíntotas verticales de la función. Trace al menos un ciclo de la gráfica tan 6. 5 tan 7. 5 cot 8. 5cot 9. 5 tan a b 0. 5 cot a b. 5 cot. 5 tan a 5 6 b 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas

26 En los roblemas a 0 determine el eriodo las asíntotas verticales de la función. Trace al menos un ciclo de la gráfica.. 5 sec. 5 sec 5. 5 csc 6. 5 csc 7. 5 sec a b 8. 5 csc ) 9. 5 csc a b 0. 5 sec ) En los roblemas, use las gráficas de 5 tan 5 sec ara determinar los números A C ara los cuales la igualdad indicada es cierta.. cot 5 A tan C). csc 5 A sec C) Para la discusión. Ponga la calculadora en modo radián comare los valores de tan.57 tan.58. Elique la diferencia entre esos valores.. Use una calculadora en modo radián comare los valores de cot. cot Puede ser 9 csc 5 ara algún número real? 6. Puede ser 7 0 sec 5 0 ara algún número real? 7. Para cuáles números reales se cumle a) sen # csc? b) sen, csc? 8. Para cuáles números reales se cumle a) sec # cos? b) sec, cos? 9. Describa, desués trace, las gráficas de 5 0 sec csc Use la definición 5.. ara comrobar el teorema 9.., es decir, que f) 5 tan g) 5 cot son funciones imares. 9. Identidades eseciales Introducción En esta sección eaminaremos identidades trigonométricas. Una identidad trigonométrica es una ecuación o fórmula donde intervienen funciones trigonométricas, que es válida ara todos los ángulos o números reales ara los cuales están definidos ambos lados de la igualdad. Ha numerosas identidades trigonométricas, ero sólo se demostrarán las que tienen una imortancia esecial en los cursos de matemáticas de ciencias. Las fórmulas que se deducen en la descrición que sigue se alican a un número real también a un ángulo eresado en grados o en radianes. Identidades itagóricas En la sección vimos que el seno coseno están relacionados or la identidad básica sen cos 5. En la sección 8. vimos que al dividir a su vez estas identidades entre cos luego entre sen, obtenemos dos identidades más, una relacionada con tan al sec la otra con cot al csc. Estas identidades itagóricas son tan fundamentales ara la trigonometría que las trataremos otra vez ara referencias futuras. Teorema 9.. Identidades itagóricas Si es un número real ara el que están definidas las funciones, sen cos 5, tan 5 sec, cot 5 csc. ) ) ) Sustituciones trigonométricas En cálculo, con frecuencia es útil usar sustitución trigonométrica ara cambiar la forma de ciertas eresiones algebraicas donde intervienen radi- CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

27 cales. En general, eso se hace alicando las identidades itagóricas. El ejemlo que sigue ilustra la técnica. EJEMPLO Relanteo de un radical Transformar "a en una eresión trigonométrica que no tenga radicales, mediante la sustitución 5 a sen u, a. 0 / # u # /. Solución Si 5 a sen u, entonces "a 5 "a a sen u 5 "a a sen u 5 "a sen u 5 "a cos u. d ahora use del teorema 9.. Ya que a. 0 cos u $ 0 ara / # u # /, el radical original es igual que "a 5 "a cos u 5 a cos u. Fórmulas de suma diferencia Las fórmulas de suma diferencia de las funciones coseno seno son identidades que reducen cos, cos, sen sen a eresiones que contienen cos, cos, sen sen. Aquí deduciremos rimero la fórmula de cos, desués usaremos el resultado ara obtener las demás. Por comodidad, suongamos que reresentan ángulos eresados en radianes. Como se ve en la FIGURA 9..a), sea d la distancia entre P P. Si se coloca al ángulo en osición normal, como se ve en la figura 9..b), entonces d también es la distancia entre P P0. Al igualar los cuadrados de esas distancias se obtienen cos cos sen sen 5 cos sen o sea cos cos cos cos sen sen sen sen 5 cos cos sen. P ) = cos, sen ) P ) = cos, sen ) d P ) = cos ), sen )) d P0) =, 0) FIGURA 9.. La diferencia de dos ángulos a) b) En vista de la identidad, cos sen 5, cos sen 5, cos sen 5, or lo que la ecuación anterior se simlifica a cos 5 cos cos sen sen. 9. Identidades eseciales 5

28 Este último resultado se uede oner en acción de inmediato, ara determinar el coseno de la suma de dos ángulos. Como se ueden eresar como la diferencia, c o s 5 cos 5 cos cos sen sen. De acuerdo con las identidades ar-imar, cos 5 cos, sen 5 sen ; entonces, el último renglón es lo mismo que cos 5 cos cos sen sen. Los dos resultados que acabamos de obtener se resumen a continuación. Teorema 9.. Fórmulas de suma diferencia del coseno Para todos los números reales, cos 5 cos cos sen sen, cos 5 cos cos sen sen. ) 5) EJEMPLO Coseno de una suma Evaluar cos 7/. Solución que No ha forma de evaluar cos 7/ directamente. Sin embargo, obsérvese 7 radianes Como 7/ radianes es un ángulo del segundo cuadrante, el valor de cos 7/ es negativo. Al seguir, la fórmula de la suma ) da como resultado esto es ) del teorema cos 5 cos a b 5 cos cos sen sen 5!!! 5!!). Si " " 5 "6, este resultado también se uede escribir como cos 7/ 5 A" "6B /. Como "6. ", se ve que cos7/, 0, como era de eserarse. Para obtener las identidades corresondientes de suma o diferencia de la función seno, usaremos dos identidades: cos a b 5 sen sen a b 5cos. 6) Estas identidades fueron descubiertas en la sección 8., al deslazar las gráficas de seno coseno. Sin embargo, los dos resultados en 6 se ueden demostrar ahora, usando 5: 6 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

29 cos a b 5 cos cos sen sen 5 cos # 0 sen # 5 sen cero T c o s 5 cos a b 5 cos a a bb 5 cos cos a b sen sen a b Con esto se demuestra la rimera ecuación en 6). Con esto se demuestra la segunda ecuación en 6). 5 0 # cos a b # sen a b 5sen a b. Ahora bien, de acuerdo con la rimera ecuación de 6, el seno de la suma se uede escribir en la forma sen 5 cos a b 5 cos a a bb 5 cos cos a b sen sen a b d or ) 5 cos sen sen cos. d or 6) Este último renglón se escribe, or tradición, en la siguiente forma: sen 5 sen cos cos sen. Para obtener la diferencia, de nuevo alicaremos cos 5 cos sen 5 sen : sen 5 sen 5 sen cos cos sen 5 sen cos cos sen. Teorema 9.. Fórmulas de suma diferencia del seno Para todos los números reales, cos 5 cos cos sen sen 7) cos 5 cos cos sen sen 8) EJEMPLO Seno de una suma Evaluar sen 7/. Solución suma: Procederemos como en el ejemlo, ero usaremos la fórmula 7) de la 7 sen 5 sen a b 5 sen cos cos sen 5! esto es 7) del teorema 9..!! 5!!). 9. Identidades eseciales 7

30 Como en el ejemlo, el resultado se uede eresar como sen 7/ 5 A" "6B /. Como a se conoce el valor de cos 7/ or el ejemlo, también se uede calcular el valor de sen 7/ alicando la identidad itagórica ): sen 7 7 cos 5. Se deseja sen 7/ se toma la raíz cuadrada ositiva: 7 sen 5 7 cos Å 5 Å c " A "B d 5 Å " 8 5 " ". 9) Aunque el número en 9 no se arece al resultado que se obtuvo en el ejemlo, los valores son iguales. Vea el roblema 6 en los ejercicios 9.. También ha fórmulas de suma diferencia de la función tangente. Se uede deducir la fórmula de la suma con las fórmulas de suma del seno el coseno, como sigue: tan 5 sen cos 5 sen cos cos sen cos cos sen sen. 0) Ahora dividiremos numerador denominador entre 0 entre cos cos suoniendo que son tales que cos cos 0, tan 5 sen cos cos cos cos cos sen cos cos cos sen 5 sen cos cos cos cos tan tan tan tan. ) La deducción de la fórmula de la diferencia de tan se hace en forma arecida. Los dos resultados se resumen a continuación. Teorema 9.. Fórmulas de suma diferencia de la tan gente Para números reales ara los cuales están definidas las funciones, t a n 5 tan tan, tan tan t a n 5 tan tan. tan tan ) ) EJEMPLO Tangente de una suma Evaluar tan/. Solución Si consideramos que / es un ángulo en radianes, entonces radianes radianes. 8 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

31 En consecuencia de la fórmula : t a n esto es ) del teorema tan a tan 6 b 5 tan tan 6 tan 6! 5 5! désta es la resuesta ero se #! uede simlificar la eresión! 5! #! dse racionaliza el denominador!!! ) 5 5!!) 5 5!. El lector debe resolver este ejemlo usando / 5 / / ara ver que el resultado es el mismo. Hablando con roiedad, en realidad no necesitamos las identidades de tan ;, orque siemre se ueden determinar sen ; cos ; alicando las fórmulas ) a 8) a continuación siguiendo como en 0), esto es, formar el cociente de sen ; / cos ;. Fórmulas de ángulo doble Se ueden deducir muchas útiles fórmulas trigonométricas a artir de las fórmulas de suma difer encia. Las fórmulas de ángulo doble eresan el coseno el seno de en función del coseno el seno de. Si se igualan 5 5 en, se usa cos 5 cos, entonces cos 5 cos cos sen sen 5 cos sen. De igual forma, igualando 5 5 en 7), usando sen 5 sen, estos dos términos son iguales T T sen 5 sen cos cos sen 5 sen cos. Resumiremos estos dos últimos resultados. Teorema 9..5 Para todo número real, Fórmulas del coseno seno de ángulo doble cos 5 cos sen, sen 5 sen cos. ) 5) EJEMPLO 5 Uso de las fórmulas de ángulo doble Si sen 5,, /, determinar los valores eactos de cos sen. Solución Primero se calcula cos alicando sen cos 5. Como,, /, cos, 0 entonces se escoge la raíz cuadrada negativa: cos 5 " sen 5 Å a b " Identidades eseciales 9

32 De la fórmula ), de ángulo doble, c o s 5 cos sen "5 5 a b a b Por último, de acuerdo con la fórmula 5) de ángulo doble, sen 5 sen cos 5 a ba "5 b 5 "5 8. La fórmula tiene dos formas alternativas útiles. De acuerdo con ), se sabe que sen 5 cos. Sustituendo esta eresión en ) se obtiene cos 5 cos cos, es decir cos 5 cos. 6) Por otra arte, si en se sustitue cos 5 sen, se llega a cos 5 sen. 7) Fórmulas de mitad de ángulo Las formas alternativas 6) 7) de la fórmula de ángulo doble son el origen de dos fórmulas de mitad de ángulo. Al desejar cos sen de 6 7 se obtienen, resectivamente, cos 5 cos sen 5 cos. 8) El símbolo en 8 se sustitue con /, usando / 5, se obtienen las fórmulas siguientes. Teorema 9..6 Para todo número real, Fórmulas de mitad de ángulo del coseno el seno cos 5 cos, sen 5 cos, 9) 0) EJEMPLO 6 Alicación de las fórmulas de mitad de ángulo Determinar los valores eactos de cos 5/8 sen 5/8. Solución Si hacemos que 5 5/, entonces / 5 5/8, las fórmulas 9) 0) dan, resectivamente, cos a 5 8 b 5 a cos 5 b 5 c a " " bd 5 sen a 5 8 b 5 a cos 5 b 5 c a " " bd 5. 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

33 Como 5 /8 radianes es un ángulo del segundo cuadrante, cos 5/8, 0 sen 5/8. 0. En consecuencia se toma la raíz cuadrada negativa como valor del coseno, cos a 5 8 b 5 " " " 5, Å la raíz cuadrada ositiva como valor del seno sen a 5 8 b 5 " Å 5 " ". Notas del aula i) Se deben memorizar todas las identidades que se resentaron en esta sección? Pregúntelo a su rofesor, ero en oinión de los autores, cuando menos debería memorizar las fórmulas a 8,, 5 las dos fórmulas en 8. ii) Cuando se inscriba en un curso de cálculo, eamine el título de su libro de teto. Si en su título tiene las alabras Trascendentes temranas, casi de inmediato entrarán en acción sus conocimientos de las gráficas roiedades de las funciones trigonométricas. iii) Como se describió en las secciones.9.7, los temas rinciales de estudio en el cálculo son derivadas e integrales de funciones. Las identidades de suma 7 se usan ara determinar las derivadas de sen cos, vea la sección.. Las identidades tienen utilidad esecial en el cálculo integral. Reemlazar un radical or una función trigonométrica, como se ilustra en el ejemlo de esta sección, es una técnica normal ara evaluar algunos tios de integrales. También, ara evaluar integrales de cos sen se usarían las fórmulas de mitad de ángulo, en la forma que se resenta en 8: cos 5 cos sen 5 cos. En algún momento de sus estudios de cálculo integral se le edirá evaluar integrales de roductos como sen sen 5 sen 0 cos. Una forma de hacerlo es usar las fórmulas de suma o diferencia ara formar una identidad que convierta esos roductos a sea en una suma de senos o en una suma de cosenos. Vea los roblemas 66 a 70 en los ejercicios Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 8 roceda como en el ejemlo formule la eresión como eresión trigonométrica sin radicales, haciendo la sustitución indicada. Suonga que a. 0.. "a, 5 a cos u, 0 #u#. "a, 5 a tan u, /,u,/. " a, 5 a sec u, 0 #u,/. "6 5, 5 5 sen u, / #u#/ 5. "9, 5 sen u, /,u,/ 6. ", 5 " sec u, 0,u,/ 7. "7, 5 "7 tan u, /,u,/ 8. "5, 5 "5 cos u, 0 #u# 9. Identidades eseciales

34 En los roblemas 9 a 0, use una fórmula de suma o diferencia ara determinar el valor eacto de la eresión indicada. 9. cos 0. sen. sen 75. cos sen. cos 5 5. tan 5 6. cosa b 7. sena b 8. tan 9. sen 7 0. tan. cos 65. sen 65. tan 65. cos sen tan cos 5 8. sen 5 9. cos 7 0. tan En los roblemas a, use una fórmula de ángulo doble ara escribir la eresión dada como una sola función trigonométrica del doble del ángulo.. cos b sen b. cos t sen t. sen 5. cos a 9 b En los roblemas 5 a 0, use la información resentada ara determinar a) cos, b) sen c) tan. 5. sen 5!/, /,, 6. cos 5!/5, /,, 7. tan 5,,, / 8. csc 5,,, / 9. sec 5 5, /,, 0. cot 5, 0,, / En los roblemas a 8, use la fórmula de mitad de ángulo ara determinar el valor eacto de la eresión dada.. cos /). sen /8). sen /8). tan /) 5. cos sen 5 7. csc /) 8. sec /8) En los roblemas 9 a 5 use la información indicada ara determinar a) cos /, b) sen / c) tan /. 9. sen t 5, /, t, 50. cos t 5 5, /, t, 5. tan 5,,, / 5. csc 5 9, 0,, / 5. sec 5, 0,, cot 5, 90,, Si P P son untos del cuadrante II en el lado terminal de los ángulos, resectivamente, cos 5 sen 5, determine a) sen, b) cos, c) sen d) cos. 56. Si es un ángulo del cuadrante II, es un ángulo del cuadrante III, sen 5 8 7, tan 5, determine a) sen, b) sen, c) cos d) cos. Alicaciones diversas 57. Número de Mach La relación de la velocidad de un avión con la velocidad del sonido se llama número de Mach, M, CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

35 del avión. Si M., el avión roduce ondas sonoras que forman un cono en movimiento, como se ve en la FIGURA 9... Un estamido sónico se oe en la intersección del cono con el suelo. Si el ángulo del vértice del cono es u, entonces u sen 5 M. Si u 5 /6, calcule el valor eacto del número de Mach. 59. Área de un triángulo Demuestre que el área de un triángulo isósceles, con lados iguales de longitud, es A 5 sen u, donde u es el ángulo que forman los dos lados iguales. Véase la FIGURA 9... Pista: tenga en cuenta a u/, como se ve en la figura. θ θ/ FIGURA 9.. Avión del ro blema Ramificación cardiovascular Un modelo matemático del flujo de la sangre en un vaso sanguíneo grande indica que los valores ótimos de los ángulos u u, que reresentan los ángulos ositivos de las ramas menores vasos con resecto al eje del conducto inicial, se determinan con cos u 5 A 0 A A A 0 A cos u 5 A 0 A A A 0 A, donde A 0 es el área transversal del conducto inicial A A son las áreas transversales de las ramas. Véase la FIGURA 9... Sea c 5 u u el ángulo de ramificación, como se indica en la figura. a) Demuestre que cos c5 A 0 A A A A. b) Demuestre que, ara los valores ótimos de u u, el área transversal de las ramas, A A, es maor o igual que la del vaso inicial. Por consiguiente, el flujo de la sangre debe desacelerarse en las ramas. FIGURA 9.. Triángulo isósceles del roblema Alcance de un roectil Si un roectil, como or ejemlo una bala de atletismo, se lanza hacia arriba desde una altura h, en dirección que hace ángulo f con una velocidad v 0, el alcance R hasta donde llega al suelo se determina con R 5 v 0 cos f sen f"sen g fgh/v 0, donde g es la aceleración de la gravedad. Véase la FIGURA Se uede demostrar que el alcance máimo, R má, se logra si el ángulo f satisface la ecuación Demuestre que cos f 5 gh v 0 gh. R má 5 v 0 "v 0 gh g usando las ecuaciones ara R cos f, las fórmulas de medio ángulo de seno coseno, con t 5 f. A v 0 A 0 Flujo de la sangre φ θ θ ψ = θ + θ h FIGURA 9.. Ramificación de un vaso sanguíneo grande, del roblema 58 A Suelo R FIGURA 9..5 Proectil del roblema Identidades eseciales

36 Para la discusión 6. Elique or qué es de eserar que su calculadora muestre un mensaje de error cuando se trata de evaluar tan 5 tan 55 tan 5 tan 55? 7 " "6 6. En el ejemlo se demostró que sen 5. 7 Siguiendo el ejemlo, desués se demostró que sen 5 " ". Demuestre que estos resultados son equivalentes. 6. Elique cómo se odría eresar sen u en función de sen u. Ejecute sus ideas. 6. En el roblema 55, en qué cuadrante están P P? 65. En el roblema 56 en qué cuadrante está el lado terminal de? Y el lado terminal de? 66. Use las fórmulas de suma o diferencia, 5, 7 8 ara deducir las fórmulas de roducto a suma: sen sen 5 cos cos cos cos 5 cos cos sen cos 5 sen sen En los roblemas 67 a 70 use una fórmula de roducto a suma como las del roblema 66 ara eresar el roducto indicado como una suma de senos o una suma de cosenos. 67. cos u cos u 68. sen t cos t 69. sen sen sen 0 sen En los roblemas 7 7 use una de las fórmulas del roblema 66 ara hallar el roblema eacto de la eresión dada. 7. sen 5 sen 5 7. sen 75 cos 5 7. Demuestre la fórmula del doble ángulo ara la función tangente: tan 5 tan. tan 7. Demuestre la fórmula de mitad de ángulo ara la función tangente: tan 5 cos. cos En los roblemas 75 76, ruebe las fórmulas alternativas de mitad de ángulo ara la función tangente. [Pista: en el roblema 75, multilique el numerador el denominador de sen /) or sen/) desués eamine 5) 0)]. cos /) 75. tan 5 cos sen 76. tan 5 sen cos 77. Elique: or qué las fórmulas de los roblemas son más útiles que la fórmula del roblema 7? 9.5 Funciones trigonométricas inversas Recuerde que una función f es uno a uno si toda en su contradominio corresonde eactamente a una en su dominio. Introducción Aunque se ueden calcular los valores de las funciones trigonométricas de números reales o de ángulos, en muchas alicaciones se debe hacer la inversa: dado el valor de una función trigonométrica, determinar un ángulo o número corresondiente. Eso arece indicar que se deben usar funciones trigonométricas inversas. Antes de definir esas funciones, vamos a recordar de la sección 5.6 algunas de las roiedades de una función uno a uno su inversa f. Proiedades de las funciones inversas Si 5 f es una función uno a uno, ha entonces una función inversa única, f, con las roiedades corresondientes: CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

37 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS El dominio de f 5 contradominio de f. El contradominio de f 5 dominio de f. 5 f equivale a 5 f. Las gráficas de f f son refleiones en la recta 5. f f 5 ara toda en el dominio de f. f f 5 ara en el dominio de f. Al revisar las gráficas de las diversas funciones trigonométricas se ve con claridad que ninguna de esas funciones es uno a uno. En la sección 5.6 describimos que si una función f no es uno a uno, se odrá restringir la función a una arte de su dominio donde sí sea uno a uno. Entonces, se uede definir una inversa de f en ese dominio restringido. En el caso normal, cuando se restringe el dominio, uno se asegura de conservar todo el contradominio de la función original. Vea el ejemlo 7 en la sección 5.6. Función arco seno En la FIGURA 9.5.a) se ve que la función 5 sen en el intervalo cerrado /, / asume todos los valores en su contradominio,. Observe que toda recta horizontal que se trace ara cruzar la arte roja de la gráfica lo uede hacer cuando mucho una vez. Así, la función seno en este dominio restringido es uno-a-uno tiene una inversa. Para reresentar la inversa de la función que se ve en la figura 9.5.b) se usan normalmente dos notaciones: arcsen o sen, se leen arco seno de seno inverso de, resectivamente. = sen on, ) = sen en [ /, /] a) No es función uno-a-uno b) Sí es función uno-a-uno FIGURA 9.5. Restricción del dominio de 5 sen ara obtener una función uno-a-uno En la FIGURA 9.5.a) se ha reflejado una arte de la gráfica de 5 sen en el intervalo /, / la gráfica roja en la figura 9.5.b) en la recta 5 ara obtener la gráfica de 5 arcsen en azul). Para maor claridad, hemos reroducido esta gráfica en azul en la figura 9.5.b). Como indica esta curva, el dominio de la función arco seno es, el contradominio es /, /. = = sen = arcsen = arcsen a) b) FIGURA 9.5. La gráfica de 5 arcsen es la curva azul 9.5 Funciones trigonométricas inversas 5

38 Definición 9.5. Función arco seno La función arco seno, o función seno inverso, se define or arcsen si sólo si sen, ) donde # # / # # /. En otras alabras: El arco seno del número es aquel número o ángulo eresado en radianes entre / / cuo seno es. Precaución: sen 5 sen sen Al usar la notación sen es imortante tener en cuenta que no es un eonente; más bien reresenta una función inversa. La notación arcsen tiene la ventaja sobre la notación sen de que no ha en consecuencia no da ie a malas interretaciones; es más, el refijo arco se refiere a un ángulo, el ángulo cuo seno es. Pero como 5 arcsen 5 sen se usan en forma indistinta en cálculo en sus alicaciones, continuaremos alternando su uso, ara que el lector se sienta cómodo con ambas notaciones. EJEMPLO Evaluación de la función seno inverso Determinar a) sen arcsen, b) A B c) sen. Solución a) Si se hace que 5 arcsen, entonces, de acuerdo con, se debe encontrar el número o el ángulo en radianes que satisfaga sen 5, también / # # /. Ya que sen /6 5, /6 satisface la desigualdad / # # /, entonces 5 /6. b) Si se hace que 5 sen A B, entonces sen 5. Como se debe escoger a tal que / # # /, se ve que 5 /6. c) Si 5 sen, entonces sen 5 / # # /. Por consiguiente, 5 /. Lea este árrafo varias veces. En los incisos b) c) del ejemlo se tuvo cuidado de escoger a tal que / # # /. Por ejemlo, es un error frecuente ensar que como sen / 5, entonces or necesidad sen se uede suoner que es /. Recuerde: si 5 sen, entonces está sujeta a la restricción / # # /, / no satisface esta desigualdad. EJEMPLO Evaluación de una comosición Sin usar calculadora, calcular tanasen B. Solución Se debe calcular la tangente del ángulo de t radianes, cuo seno sea igual a, esto es, tan t, donde t 5 sen. El ángulo t se ve en la FIGURA Como cos t t tan t 5 sen t cos t 5 / cos t, se debe determinar el valor de cos t. De la figura 9.5. or la identidad itagórica sen t cos t 5, se ve que FIGURA 9.5. Ángulo t 5 sen del ejemlo a b cos t 5 o sea cos t 5 "5. 6 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

39 Por consiguiente, así tan t 5 / "5/ 5 "5 5 "5 5, tan asen "5 b 5 tan t 5 5. Función arco coseno Si se restringe el dominio de la función coseno al intervalo cerrado 0,, la función que resulta es uno-a-uno tiene inversa. A esta inversa se le reresenta or lo cual nos da la siguiente definición. arccos o cos, Definición 9.5. Función arco coseno La función arco coseno, o función coseno inverso, se define or 5 arccos si sólo si 5 cos, ) donde # # 0 # #. Las gráficas que se ven en la FIGURA 9.5. ilustran cómo se uede restringir la función 5 cos al intervalo 0, ara que sea uno-a-uno. La inversa de la función que muestra la figura 9.5.b) es 5 arc cos, o 5 arccos. = cos en, ) = cos en [0, ] 0 a) No es función uno a uno b) Sí es función uno a uno FIGURA 9.5. Restricción del dominio de 5 cos ara obtener una función uno a uno Si se refleja la gráfica de la función uno a uno en la figura 9.5.b) en la recta 5, se obtiene la gráfica de 5 arc cos, que muestra la FIGURA Note que en la figura se ve con claridad que el dominio el contradominio de 5 arc cos son, 0,, resectivamente. FIGURA Gráfica de 5 arc cos = arccos EJEMPLO Evaluación de la función coseno inverso Determinar a) arccos A!/B b) cos A!/B. Solución a) Si se hace que 5 arccos A!/B, entonces cos 5!/, 0 # #. Entonces, 5 /. b) Si 5 cos A!/B, tenemos cos 5!/, se debe determinar tal que 0 # #. Por consiguiente, 5 5/6, orque cos5/6 5! /. 9.5 Funciones trigonométricas inversas 7

40 t = cos t sen t FIGURA Ángulo t 5 cos del ejemlo EJEMPLO Evaluación de comosición de funciones Escribir sen cos como eresión algebraica en. Solución En la FIGURA se ha trazado un ángulo de t radianes cuo coseno es igual a. Entonces, t 5 cos, o 5 cos t, donde 0 # t #. Ahora, ara determinar sen cos 5 sen t, se usará la identidad sen t cos t 5. Así, sen t 5 sen t 5 sen t 5 " sencos ) 5 ". Se usa la raíz cuadrada no negativa de, orque el contradominio de cos es 0,, el seno de un ángulo t en el rimero o segundo cuadrantes es ositivo. Función arco tangente Si se restringe el dominio de tan al intervalo abierto /, /, entonces, la función que resulta es uno-a-uno or consiguiente tiene inversa. Esa inversa se reresenta or arctan o tan. Definición 9.5. Función arco tangente La función arco tangente, o tangente inversa, se define como sigue: 5 arctan si, sólo si 5 tan, ) donde `,, ` /,, /. Las gráficas de la FIGURA ilustran la forma en que se restringe la función 5 tan al intervalo abierto /, /, ara que sea función uno a uno. = tan = tan e /, /) = arctan FIGURA Gráfica de 5 arctan a) No es función uno a uno b) Función uno a uno FIGURA Restricción del dominio de 5 tan ara obtener una función uno a uno Si se refleja la gráfica de la función uno-a-uno en la figura 9.5.7b) en la recta 5, se obtiene la gráfica de 5 arctan, que se ve en la FIGURA En esa figura se ve que el dominio el contradominio de 5 arctan son, resectivamente, los intervalos `, ` /, /. 8 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

41 EJEMPLO 5 Evaluación de la tangente inversa Determinar tan. Solución Si tan 5, entonces tan 5, donde /,, /. Entonces, tan 5 5 /. EJEMPLO 6 Evaluación de comosición de funciones 5 Sin usar una calculadora, determinar sen AarctanA BB. Solución Si hacemos que t 5 arctan A 5 5 B, entonces tant 5. Se uede alicar la identidad itagórica tan t 5 sec t ara determinar sec t: 5 a b 5 sec t 5 s e c t 5 Å 9 5 Å 9 5 ". 5 En este último renglón se toma la raíz cuadrada ositiva, orque t 5 arctan A B está en el intervalo /, / el contradominio de la función arco tangente la secante de un ángulo t en el rimero cuarto cuadrantes es ositiva. También, de sec t 5 "/ se determina el valor de cos t, con la identidad recíroca: cos t 5 sec t 5 "/ 5 ". Por último, se uede usar la identidad tan t 5 sen t/cos t en la forma sen t 5 tan t cos t, 5 ara calcular sen Aarctan A BB Entonces, 5 sen t 5 tan t cos t 5 a ba " b 5 5 ". Proiedades de las funciones inversas Recordemos, de la sección 5.6, que f f 5, que f f 5 valen ara cualquier función f su inversa, bajo las restricciones adecuadas en. Entonces, ara las funciones trigonométricas inversas se tienen las siguientes roiedades. Teorema 9.5. Proiedades de las funciones trigonométricas inversas i) arcsensen 5 sen sen 5 si / # #/ ii) senarcsen 5 sensen 5 si # # iii) arccoscos 5 cos cos 5 si 0 # # iv) cosarccos 5 coscos 5 si # # v) arctantan 5 tan tan 5 si /,,/ vi) tanarctan 5 tantan 5 si `,,` EJEMPLO 7 Alicación de las roiedades inversas Sin usar calculadora, evaluar: a) b) cos sen asen acos c) tan atan b b b. 9.5 Funciones trigonométricas inversas 9

42 Solución a) De acuerdo con i de las roiedades de las funciones trigonométricas inversas, sen asen b 5. b) De acuerdo con la roiedad iv, cos cos ) 5. c) En este caso no se uede alicar la roiedad v, orque el número / no está en el intervalo /, /. Si rimero se evalúa tan / 5, entonces tan atan Vea el ejemlo 5 T b 5 tan 5. El siguiente sección se muestra cómo se usan las funciones trigonométricas inversas ara resolver ecuaciones trigonométricas. Nota final: las demás funciones trigonométricas inversas Las funciones cot, sec csc también tienen inversas, cuando se restringe su dominio en forma adecuada. Véanse los roblemas 9 a 5 en los ejercicios 9.5. Como esas funciones no se usan con tanta frecuencia como arctan, arccos arcsen, la maor arte de las calculadoras científicas no tienen teclas ara ellas. Sin embargo, cualquier calculadora que determine arcsen, arccos arctan se uede usar ara obtener valores de arccsc, arcsec arccot. A diferencia de que sec 5 /cos, se ve que sec /cos ; más bien sec 5 cos / ara 0 0 $. Ha relaciones similares ara csc cot. Véanse los roblemas 56 a 58 de los ejercicios Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a determine el valor solicitado sin usar una calculadora.. sen 0. tan!. arccos ) ". arcsen 5. arccos 6. arctan!) " 7. sen a b " 8. cos 9. tan " 0. sen ". arctan a b. arccos ). sen " a b. arctan 0 En los roblemas 5 a, determine el valor indicado sin usar una calculadora. 5. sen cos 5) 6. cos sen ) 7. tan arccos )) 8. sen arctan ) 9. cos arctan)) 0. tan sen 6)) 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

43 . csc sen 5). sec tan ). sen sen 5). cos cos 5)) 5. tan tan.) 6. sen arcsen 0.75) 7. arcsen asen 6 b 8. arccos acos b 9. tan tan ) 0. sen 5 asen 6 b. cos acosa bb. arctan atan 7 b En los roblemas a 0, escriba la eresión como una eresión algebraica en.. sen tan ). cos tan ) 5. tan arcsen ) 6. sec arccos ) 7. cot sen ) 8. cos sen ) 9. csc arctan ) 0. tan arccos ) En los roblemas a 8 trace la gráfica de la función.. 5 arctan arctan. 5 0 arcsen 0. 5 sen ) 5. 5 cos 6. 5 cos 7. 5 arccos ) 8. 5 cos arcsen ) 9. Se uede definir a la función arco cotangente con 5 arccot o 5 cot si sólo si, 5 cot, donde 0,,. Grafique 5 arccot e indique el dominio el contradominio de esta función. 50. Se uede definir la función arco cosecante con 5 arccsc o 5 csc si sólo si, 5 csc, donde / # # / 0. Grafique 5 arccsc e indique el dominio el contradominio de esta función. 5. Una definición de la función arco secante es 5 arcsec o 5 sec si sólo si, 5 sec, donde 0 # # /. Vea una definición alternativa en el roblema 5.) Grafique 5 arcsec e indique el dominio el contradominio de esta función. 5. Una definición alternativa de la función arco secante uede obtenerse restringiendo el dominio de la función secante a 0, / <, /. Con esta restricción, defina la función arco secante. Grafique 5 arcsec e indique el dominio el contradominio de esta función. 5. Use la definición de la función arco cotangente del roblema 9 e indique ara cuáles valores de es cierto que a) cot arccot 5 b) arccot cot Use la definición de la función arco cosecante del roblema 50 e indique ara cuáles valores de se cumle que a) csc arccsc 5 b) arccsc csc Use la definición de la función arco secante del roblema 5 e indique ara cuáles valores de se cumle que a) sec arcsec 5 b) arcsec sec Verifique que arccot 5 / arctan ara todos los números reales. 57. Verifique que arccsc 5 arcsen / ara 0 0 $. 58. Verifique que arcsec 5 arccos / ara 0 0 $. En los roblemas 59 a 6 use los resultados de los roblemas 56 a 58 una calculadora ara determinar el valor corresondiente. 59. cot csc.) 6. arccsc.5) 6. arccot 0.) 6. arcsec.) 6. sec.5 Alicaciones diversas 65. Movimiento de un roectil El ángulo de salida de una bala, ara que llegue a un blanco a una distancia R suo- 9.5 Funciones trigonométricas inversas

44 niendo que el blanco el arma están a la misma altura) satisface R 5 v 0 sen u, g donde v 0 es la velocidad inicial g es la aceleración de la gravedad. Si el blanco está a 800 ies del arma, la velocidad inicial es de 00 ies/s, calcule el ángulo de salida. Use g 5 ies/s. Pista: ha dos soluciones. 66. Deortes olímicos En el lanzamiento de martillo se uede demostrar que la distancia máima se alcanza con un ángulo de lanzamiento u medido desde la horizontal) que satisfaga cos u 5 gh v 0 gh, donde h es la altura del martillo sobre el suelo, en el lanzamiento, v 0 es la velocidad inicial g es la aceleración de la gravedad. Para v m/s h 5.5 m, calcule el ángulo ótimo de lanzamiento. Use g m/s. 67. Diseño de carreteras En el diseño de las carreteras los ferrocarriles, las curvas tienen un eralte ara roducir una fuerza centríeta que roorcione seguridad. El ángulo u ótimo ara un eralte se define con tan u 5 v /Rg, donde v es la velocidad del vehícu lo, R el radio de la curva g la aceleración de la gravedad. Vea la FIGURA Como indica la fórmula, ara determinado radio no ha un ángulo que sea correcto ara todas las velocidades. En consecuencia, las curvas tienen eralte ara la velocidad romedio del tráfico en ellas. Calcule el ángulo correcto de eralte ara una curva de 600 ies de radio, en una carretera secundaria donde las velocidades son 0 mh en romedio. Use g 5 ies/s. Pista: use unidades consistentes. R FIGURA Curva con eralte, del roblema Diseño de carreteras, continuación Si μ es el coeficiente de fricción entre el vehículo la carretera, entonces la velocidad máima v m a la que uede recorrer una curva sin resbalar se calcula con v m 5 gr tan u tan μ, donde u es el ángulo de eralte de la curva. Calcule v m en el camino secundario del roblema 67, si μ θ Cono volcánico 69. Geología Visto desde un costado, un cono de cenizas volcánicas se ve como un traezoide isósceles. Véase la FIGURA Los estudios de conos de ceniza que tienen menos de años indican que la altura H co del cono el ancho W cr del cráter se relacionan con el ancho W co del cono mediante las ecuaciones H co 5 0.8W co W cr 5 0.0W co. Si W co 5.00, con estas ecuaciones determine el ángulo f de la base del traezoide, en la figura φ Para la discusión H co W cr W co FIGURA Cono de ceniza volcánica del roblema Use una calculadora uesta en modo radián ara evaluar arctan tan.8, arccos cos.8 arcsen sen.8. Elique los resultados. 7. Use una calculadora uesta en modo radián ara evaluar tan tan, cos cos sen sen. Elique los resultados. 7. En la sección 9. vimos que las gráficas de 5 sen 5 cos se relacionan or deslazamiento refleión. Justifique la identidad φ arcsen arccos 5, ara toda en,, determinando una relación similar entre las gráficas de 5 arcsen 5 arccos. 7. Con una calculadora uesta en modo radianes, determine cuál de las siguientes evaluaciones trigonométricas inversas roducen un mensaje de error: a) sen, b) cos, c) tan. Elique or qué. 7. Analice lo siguiente: Cualquier función eriódica uede ser uno-a-uno? 75. Demuestre que arcsen 5 + arcsen 5 = arcsen [Pista: véase 7) de la sección 9.]. CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

45 S 9.6 Ecuaciones trigonométricas Introducción En la sección 9. eaminamos identidades, que son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que se satisfacen con todos los valores de la variable ara la cual están definidos ambos lados de la igualdad. En esta sección eaminaremos ecuaciones trigonométricas condicionales, esto es, ecuaciones que sólo son válidas ara ciertos valores de la variable. Describiremos técnicas ara determinar los valores de la variable si es que los ha que satisfagan la ecuación. Comenzaremos eaminando el roblema de determinar todos los números reales que satisfacen sen 5!/. Como indica la gráfica de 5 sen de la FIGURA 9.6., eiste una cantidad infinita de soluciones de esta ecuación: 7 c,,, 9, 7, c ) 5 c,,,, 9, c. ) = = sen FIGURA 9.6. Gráficas de 5 sen 5! / Observe que en cada lista de ) ), cada solución se uede obtener sumando 5 8/ a la solución anterior. Eso es una consecuencia de la eriodicidad de la función seno. Es común que las ecuaciones trigonométricas tengan una cantidad infinita de soluciones, or la eriodicidad de las funciones trigonométricas. En general, ara obtener soluciones de una ecuación como sen 5! /, lo más cómodo es usar un círculo unitario ángulos de referencia, no una gráfica de la función trigonométrica. Ilustraremos este método en el siguiente ejemlo. EJEMPLO Uso del círculo unitario Determinar todos los números reales que satisfagan sen 5! /. Solución Si sen 5! /, el ángulo de referencia de es / radianes. Ya que el valor de sen es ositivo, el lado terminal del ángulo está en el rimero o en el segundo cuadrantes. Así, como se ve en la FIGURA 9.6., las únicas soluciones entre 0 son 5 o 5. S Como la función seno es eriódica con eriodo, todas las soluciones restantes se ueden obtener sumando múltilos enteros de a estas soluciones: 5 n o 5 n, ) donde n es un entero. Los números que ve en ) ) corresonden, resectivamente, a n 5, n 5 0, n 5 n 5 en la rimera la segunda fórmulas en ). FIGURA 9.6. Círculo unitario del ejemlo Cuando uno se encuentra con una ecuación más comlicada, como sen 8 sen 5 0, 9.6 Ecuaciones trigonométricas

46 el método básico es desejar una sola función trigonométrica en este caso sería sen ) con métodos similares a los que se usan ara resolver ecuaciones algebraicas. EJEMPLO Solución de una ecuación trigonométrica mediante factorización Determinar todas las soluciones de sen 8 sen Solución Primero, se observa que se trata de una ecuación cuadrática en sen, que se factoriza como sigue sen sen 5 0. Esto imlica que sen 5 o sen 5. FIGURA 9.6. Círculo unitario del ejemlo La rimera ecuación no tiene solución, orque 0 sen 0 #. Como se ve en la FIGURA 9.6., los dos ángulos entre 0 ara los cuales sen es igual a son 5 6 o Por consiguiente, debido a la eriodicidad de la función seno, las soluciones son 5 6 n o n, donde n es un entero. EJEMPLO Verificación de soluciones erdidas Determinar todas las soluciones de sen 5 cos. ) Solución Para trabajar con una sola función trigonométrica, se dividen ambos lados de la ecuación entre cos, ara obtener tan 5. 5) cos 0 5, cos 5, cos 5, cos 5, etc. En general, cos n 5 n, donde n es un entero. 5 = 5 = FIGURA 9.6. Círculo unitario del ejemlo La ecuación 5) es equivalente a ) siemre cuando cos 0. Se observa que si cos 5 0, entonces, de acuerdo con ) de la sección 9., 5 n / 5 / n, donde n es un entero. Según la fórmula de suma del seno, Vea 7) en la sección 9. T n T sen a nb 5 sen cos n cos sen n 5n 0, estos valores de no satisfacen la ecuación original. Entonces, debemos determinar todas las soluciones de ), resolviendo la ecuación 5). Ahora bien, tan 5 imlica que el ángulo de referencia de sea / radianes. Ya que tan 5. 0, el lado terminal del ángulo de radianes uede estar en el rimer cuadrante o en el tercero, como se ve en la FIGURA Entonces, las soluciones son 5 n 0 T o 5 5 n, donde n es un entero. En la figura 9.6. se uede ver que estos dos conjuntos de números se ueden eresar en forma más comacta como sigue: Esto es consecuencia de que tan sea eriódica con eriodo. donde n es un entero. 5 n, CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

47 Pérdida de soluciones Al resolver una ecuación, si se divide entre una eresión que contenga una variable, se ueden erder algunas soluciones de la ecuación original. Por ejemlo, un error común en álgebra, al resolver ecuaciones como 5 es dividir entre, ara obtener 5. Pero si se escribe 5 en la forma 5 0, o 5 0, se ve que de hecho 5 0 o 5. Para evitar erder alguna solución se deben determinar los valores que hacen que la eresión sea cero, comrobar si son soluciones de la ecuación original. En el ejemlo, nótese que cuando se dividió entre cos, se tuvo cuidado de comrobar que no se erdieran soluciones. Cuando sea osible, es referible dividir entre una eresión variable. Como se ilustró con la ecuación algebraica 5, esto se uede hacer con frecuencia reuniendo todos los términos distintos de cero en un lado de la ecuación, ara entonces factorizar algo que no udimos hacer en el ejemlo ). El ejemlo ilustra esta técnica. EJEMPLO Solución de una ecuación trigonométrica factorizando Resolver sen cos 5 Solución " cos. 6) Para evitar dividir entre cos, esta ecuación se escribe como sigue: sen cos " cos 5 0 se factoriza: cos a sen cos " b 5 0. Entonces, a sea cos 5 0 o sen cos " 5 0. Como el coseno es cero ara todos los múltilos imares de /, las soluciones de cos 5 0 son 5 n 5 n, donde n es un entero. En la segunda ecuación sustituiremos sen cos or sen, de la fórmula de ángulo doble del seno, se obtiene una ecuación con una sola función trigonométrica: sen " 5 0 o sea sen 5 ". Entonces, el ángulo de referencia de es /. Como el seno es negativo, el ángulo debe estar en el tercero o en el cuarto cuadrantes. Como muestra la FIGURA 9.6.5, Vea 5 en la sección n o 5 5 n. Se divide entre resulta 5 n o n. 5 Por consiguiente, todas las soluciones de 6) son donde n es un entero. 5 n, 5 n, o n, = 5 = FIGURA Círculo unitario del ejemlo 9.6 Ecuaciones trigonométricas 5

48 En el ejemlo, si hubiéramos simlificado la ecuación dividiendo entre cos no hubiéramos comrobado si los valores de ara los cuales cos 5 0 satisfacen la ecuación 6), hubiéramos erdido las soluciones 5 / n, donde n es un entero. EJEMPLO 5 Uso de una identidad trigonométrica Resolver cos cos 5. Solución Se observa que la ecuación contiene el coseno de el coseno de. En consecuencia, usaremos la fórmula de ángulo doble del c oseno, en la forma cos 5 cos d Vea 6) de la sección 9.. ara reemlazar la ecuación or una ecuación equivalente que sólo contenga cos. Se ve que cos cos 5 se transforma en cos 5 0. Por lo anterior, cos 5 0, las soluciones son donde n es un entero. 5 n 5 n, Hasta ahora, en esta sección hemos considerado que la variable de la ecuación trigonométrica reresenta un número real, o bien un ángulo medido en radianes. Si la variable reresenta un ángulo eresado en grados, la técnica ara resolverla es la misma. θ = 0 0 θ = 0 0 EJEMPLO 6 Ecuación cuando el ángulo está en grados Resolver cos u 5, donde u es un ángulo eresado en grados. Solución Como cos u 5, el ángulo de referencia de u es 60 el ángulo u debe estar en el segundo o tercer cuadrantes. La FIGURA muestra que u 5 0, o u 5 0. Todo ángulo que sea coterminal con uno de esos ángulos también satisfará cos u 5. Estos ángulos se obtienen sumando cualquier múltilo entero de 60 a 0 o a 0. u n o u n, donde n es un entero. Este renglón se divide entre quedan FIGURA Círculo unitario del ejemlo 6 u n o u n. Soluciones etrañas En el ejemlo siguiente se ve que al elevar al cuadrado una ecuación se ueden introducir soluciones etrañas. En otras alabras, la ecuación resultante desués de elevar al cuadrado uede no ser equivalente a la original. EJEMPLO 7 Raíces etrañas Determinar todas las soluciones de tan a 5 sec a, donde a es un ángulo eresado en grados. 6 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

49 Solución La ecuación no se factoriza, ero veremos que si se elevan ambos lados al cuadrado se uede alicar una identidad fundamental ara obtener una ecuación que contenga una sola función trigonométrica. tan a 5 sec a tan atan a5sec a tan atan a5tan a tan a50 t a n a50. Los valores de a en 0, 60 ara los cuales tan a 5 0 son d a50 a580. Vea ) de la sección 9.. Como se elevó al cuadrado cada lado de la ecuación original se ueden haber introducido soluciones adicionales. Por ello es imortante comrobar todas las soluciones en la ecuación original. Si se sustitue a 5 0 en tan a 5 sec a, se obtiene la declaración cierta 0 5. Pero desués de sustituir a 5 80 se obtiene la declaración falsa 0 5. Por lo anterior, 80 es una solución adicional no válida, a 5 0 es la única solución en el intervalo 0, 60. Entonces, todas las soluciones de la ecuación son a50 60 n 5 60 n, donde n es un entero. Para n 0, son los ángulos que son coterminales con 0. Recuerde, de la sección 5., que la determinación de las intersecciones con el eje de la gráfica de una función 5 f equivale a resolver la ecuación f 5 0. En el siguiente ejemlo se usa lo anterior. EJEMPLO 8 Intersecciones de una gráfica Determine las rimeras tres intersecciones con el eje de la gráfica de f 5 sen cos en el eje de las ositivas. Solución Se debe resolver f 5 0; esto es, sen cos 5 0. Se ve que o bien sen 5 0, o cos 5 0. De sen 5 0 se obtiene 5 n, donde n es un entero; es decir, 5 n/, donde n es un entero. De cos 5 0 se obtiene 5 / n, donde n es un entero. Entonces, ara n 5, 5 n/ da 5, mientras que ara n 5 0 n 5, 5 / n da 5 / 5 /. Así, las rimeras tres intersecciones con el eje en el eje de las ositivas están en /, 0,, 0 /, 0. Uso de funciones inversas Hasta ahora, todas las ecuaciones trigonométricas han tenido soluciones que estaban relacionadas or ángulos de referencia con los ángulos eseciales 0, /6, /, / o /. Si éste no es ese caso, en la siguiente sección veremos cómo usar funciones trigonométricas inversas una calculadora ara determinar las soluciones. EJEMPLO 9 Resolución de ecuaciones usando funciones inversas Encuentre las soluciones de cos cos 5 0 en el intervalo [0, ]. Solución Reconocemos que se trata de una ecuación cuadrática en cos. En vista de que el lado izquierdo de la ecuación no se uede factorizar tal como está, alicamos la fórmula cuadrática ara obtener cos 5 6! Ecuaciones trigonométricas 7

50 En este momento odemos descartar el valor!)/8 <.8, orque cos no uede ser maor que. A continuación usamos la función coseno inversa la auda de una calculadora) ara resolver la ecuación restante: cos 5! 8 que imlica que 5 cos a! b <.0. 8 Por suuesto, en el ejemlo 9, si hubiéramos intentado calcular cos [!)/8] con una calculadora, habríamos recibido un mensaje de error. 9.6 Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 6 determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica, si reresenta un ángulo eresado en radianes.. sen 5!/. cos 5!/. sec 5!. tan 5 5. cot 5! 6. cos 5 En los roblemas 7 a determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica corresondiente, si reresenta un número real. 7. cos 5 8. sen 5 9. tan ! sec 5. csc 5.! cot 5 En los roblemas a 8, determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica resectiva si u reresenta un ángulo eresado en grados.. csc u 5!/. sen u 5! 5. cot u ! sen u 5 cos u 7. sec u 5 8. cos u! 5 0 En los roblemas 9 a 6 determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica resectiva si es un número real, u es un ángulo eresado en grados. 9. cos sen sen 5 0. sec 5 sec. tan! ) tan! 5 0. cos u cos u 5 0. sen u sen u cot u cot u sen u!) sen u! cos 5 8. sec 5 9. sen u 5 0. tan u 5. cot /) 5. csc u/) 5. sen sen 5 0. cos sen 5 5. cos u 5 sen u 6. sen u sen u cos u 5 7. sen sen tan u sec u sec sen 5 tan 0. cos u cos u 5. cot u 5 csc u. sen cos CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

51 . Å sen 5. sen "sen cos u "cos u cos u " tan u 5 En los roblemas 7 a 5, determine las tres rimeras intersecciones con el eje de la gráfica de la función, en el eje de las ositivas. 7. f) 5 5 sen ) 8. f 5 cos a b 9. f 5 sec 50. f) 5 cos 5. f) 5 sen tan 5. f 5 cos a b 5. f) 5 sen sen 5. f) 5 cos cos [Pista: escriba 5 ]. En los roblemas 55 a 58 haga la gráfica determine si la ecuación tiene soluciones. 55. tan 5. [Pista: grafique 5 tan 5 en el mismo conjunto de ejes]. 56. sen cot cos 5 0 En los roblemas 59 a 6, use una función trigonométrica inversa ara obtener las soluciones de la ecuación dada en el intervalo indicado. Redondee las resuestas a dos decimales cos cos 5 0, [0, ] 60. sen 8 sen 5 0, [/, /] 6. tan tan 5 0, /, /) 6. sen cos 5 0, [/, /] 6. 5 cos cos cos 5 0, [0, ] 6. tan tan 5 0, /, /) Alicaciones diversas 65. Triángulo isósceles En el roblema 59 de los ejercicios 9., el área del triángulo isósceles cuo vértice tiene ángulo u, como se ve en la figura 9.., es A 5 sen u. Si la longitud es con qué valor de u el área del triángulo será? 66. Movimiento circular Un objeto describe una traectoria circular centrada en el origen, con velocidad angular constante. La coordenada del objeto, en cualquier momento a los t segundos, es 5 8 cos t /. En qué momentos cruza el objeto al eje? 67. Número de Mach Use el roblema 57 de los ejercicios 9. ara determinar el ángulo del vértice del cono, de las ondas sonoras rovocadas or un avión que vuele a Mach. 68. Corriente alterna Un generador eléctrico roduce una corriente alterna de 60 ciclos, definida or It 5 0 sen 7 0 A t 6 B, donde It es la corriente en ameres a los t segundos. Calcule el valor ositivo más equeño de t ara el cual la corriente es de 5 ameres. 69. Circuitos eléctricos Si se alica un voltaje definido or V 5 V 0 sen vt a a un circuito en serie, se roduce una corriente alterna. Si V volts, v 5 0 radianes or segundo a 5 /6, cuándo el voltaje es igual a cero? 70. Refracción de la luz Un rao de luz asa de un medio como el aire a otro como un cristal. Sean f el ángulo de incidencia u el ángulo de refracción. Como se ve en la FIGURA 9.6.7, esos ángulos se miden resecto de una línea vertical. De acuerdo con la le de Snell, ha una c constante, que deende de los dos medios, tal que sen f 5 c. Suonga que cuando la luz asa de aire a un sen u cristal, c 5.7. Calcule f u tales que el ángulo de incidencia sea el doble del ángulo de refracción. Rao incidente Cristal φ Aire Rao refractado θ FIGURA Raos de luz en el roblema Caa de nieve Con base en datos recolectados entre , la suerficie de la caa de nieve S en el hemisferio norte, medida en millones de kilómetros cuadrados, se uede modelar or la función Sw 5 5 cos A 6 w 5 B, donde w es la cantidad de semanas desués del de enero. a) Cuánta caa de nieve indica esta fórmula ara mediados de abril? Redondee w al entero más cercano.) b) En qué semana la caa nevada será mínima, según la fórmula? c) En qué mes se encuentra esa semana? 9.6 Ecuaciones trigonométricas 9

52 Reaso de concetos Debe ser caaz de mencionar el significado de cada uno de los concetos siguientes. Funciones circulares: círculo unitario ángulo central ángulo de referencia Funciones eriódicas: eriodo de seno eriodo de coseno eriodo de tangente eriodo de cotangente eriodo de secante eriodo de cosecante Gráficas de funciones trigonométricas: ciclo amlitud diferencia de fase Identidades: itagórica imares ares Fórmulas eseciales: adición sustracción ángulo doble medio ángulo Funciones trigonométricas inversas: arcoseno arcocoseno arcotangente Gráficas de funciones trigonométricas inversas: arcoseno arcocoseno arcotangente Ecuaciones trigonométricas CAPÍTULO 9 Ejercicios de reaso Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-5. A. Verdadero/Falso En los roblemas a 0 conteste verdadero o falso.. Si tan t 5, entonces sen t 5 cos t 5.. En un triángulo rectángulo, si sen u5 entonces cot u5 60 6,.. sec 5 csc a b.. No ha ángulo t tal que sec t sen t 5 sen t. 6. sec u 5 tan u. 7., 0) es una intersección en de la gráfica 5 sen /). 8. A/, /"B es un unto de la gráfica de 5 cot. 9. El contradominio de la función 5 csc es `,, <, `. 0. La gráfica de 5 csc no cruza el eje.. La línea 5 / es una asíntota vertical de la gráfica de 5 tan.. Si tan ) 5 0., entonces tan Para la función f) 5 sen, el rango está definido or # #.. sen 0 5 sen 0 cos La gráfica de 5 sen /) es la gráfica de 5 sen deslazada / unidades hacia la derecha. 6. Las gráficas 5 sen ) 5 cos /) son iguales. 7. Como tan 5/ 5, entonces arctan 5 5/. 8. tan 8 5 tan La función f) 5 arcoseno no es eriódica. 0. arcsen A B 5 0. B. Llene los esacios en blanco En los roblemas a, llene los esacios en blanco.. Si sen u 5 5, 0, u,/ cos v 5 /"5, /, v,, entonces cos u v 5.. La intersección con el eje en la gráfica de la función 5 sec es.. El eriodo de la función 5 sen es.. La rimera asíntota vertical de la gráfica de 5 tan a b a la derecha del eje es. 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

53 5. La diferencia de fase en la gráfica de 5 5 cos ) es. 6. Si sen t 5 entonces cos at 6, b La amlitud de 50 cos a b es. 8. cos a 6 5 b El valor eacto de arccos acos 5 b El eriodo de la función 5 tan es.. La quinta intersección en en el eje ositivo de la gráfica de la función 5 sen es.. Si Pt) 5,! ) es un unto en el círculo unitario, entonces sen t 5.. Si cos 5!, donde /,,, entonces los valores eactos de sen 5, cos 5, sen 5, cos 5.. Por los resultados del roblema, tenemos que tan 5 tan sen t cos t 5 0. tan t cot t 5 En los roblemas, obtenga las soluciones de la ecuación dada en el intervalo /, /). Redondee las soluciones a dos decimales.. cos sen 5 0. tan tan 5 0 En los roblemas a 0, calcule el valor indicado sin usar calculadora.. cos ). arcsen ) 5. cot cos ) 6. cos arcsen 5) 7. sen sen ) 8. cos arccos 0.) 9. sen arccos 5 )) 0. arctan cos ) C. Ejercicios de reaso En los roblemas a, reresente gráficamente las funciones dadas. Indique la amlitud, el eriodo la diferencia de fase donde corresonda sen ). 5 cos. 5 0 cos a b. 5 cos a b En los roblemas 5 a 0 determine todas las t en el intervalo 0, que satisfagan la ecuación. 5. cos t sen t cos t sen t cos t sen t sen t sen t 5 tan t En los roblemas escriba la eresión como eresión algebraica en.. sen arccos ). sec tan ) En los roblemas a 6, dé dos ejemlos de la función trigonométrica indicada tal que cada una tenga las roiedades dadas.. Función seno con eriodo amlitud 6.. Función coseno con eriodo, amlitud diferencia de fase. 5. Función seno con eriodo /, amlitud diferencia de fase /. 6. Función tangente cua gráfica comleta un ciclo en el intervalo /8, /8). En los roblemas 7 a 0, la gráfica corresondiente se uede interretar como una transformación rígida/no rígida de la gráfica de 5 sen o de la gráfica de 5 cos. Deduzca la ecuación de la gráfica, usando la función seno. A continuación deduzca la ecuación de la misma gráfica, esta vez mediante la función coseno. Ejercicios de reaso

54 FIGURA 9.R. Gráfica del roblema 7 0. FIGURA 9.R. Gráfica del roblema 9 FIGURA 9.R. Gráfica del roblema 8 FIGURA 9.R. Gráfica del roblema 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario