Análisis Matemático I

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1 Análisis Matemático I Práctica No. Paralelo Yuri Miranda Gonzáles Agosto 07 Contenido Introducción. Relaciones y funciones Reaso de inecuaciones 4 Funciones eseciales 5 Alicaciones de funciones 4 6 Límites 5 7 Eeriencia con Matlab y Scienti c Work Place 6 Introducción.. Resumir en media lana: tres conclusiones a su criterio, del Caítulo "La Naturaleza de la Economía Matemática" de Alha Chiang, Fundamentos de Economía Matemática.. Leer el Documento: Introducción a la economía matemática y a la modelización - Albrieu R. UBA, de las áginas a 5. (se encuentra en lecturas de la ágina de la materia). Resumir máimo en media lana: tres conclusiones a su criterio sobre el uso de las matemáticas en economía. Relaciones y funciones. Para cada una de las siguientes relaciones, determinar el dominio, rango e indicar si es o no función. (a) A = f(; ); (; ); (; ); (4; ); (5; 4)g (b) A = (; y) : y = + si: 0 ; y = 5 si: < 8) (c) A = (; y) : y = si: jyj 4) (d) A = (; y) : y = si: < < ). Si: f() = + 6 hallar: f(); f(0); f(a); f(y ); f() q. Si: f() = 4 hallar: f( ); f(4); f(a ); f( + ) 4. Si: g() = hallar: g(0); g(); g( ) 5. Si: f() = hallar: f(4) f()

2 6. Hallar el dominio y el rango de las siguientes relaciones, también comente si es o no función, caso contrario comente la razón de or que no es función. (a) y = 0 5 (b) y = 4 (c) y = (d) y = 5 (e) y = (f) y = (g) = + y (h) 4 = + y 7. Se de nen las siguientes funciones: determinar: h() = g(t) = t + 4 t (a) g(7) g() ; h(4) g(0) ; g()+ h() 8. Se tiene la función f() = y g() = ( + ) 9. Se tiene h() = y g(y) = y +y, hallar g(h()) 0. Se tiene f() = 8 y g() = además q() = 0. Se ide hallar: q[f( ) + g()] Reaso de inecuaciones. Obtener el cojunto solución de las siguintes inecuaciones: (a) < 0 4 (b) 4 < (c) 5 4 (d) 8 (e) 4 < 0 (f) j + 8j 4 (g) Hallar el conjunto solución de: +4 7 < (h) , Solution is: (i) 4 > 7 6 (j) 4 (k) > + + 5; [ 4; 5 [ [ ; ] (l) El fabricante de cierto roducto or suerte uede vender todo lo que roduce, a un recio de Bs.60 cada artículo. Gasta Bs.40 en materia rima y mano de obra al roducir cada artículo, y tiene costos adicionales ( jos) de Bs..000 a la semana, en el roceso de roducción. Hallar el número de unidades que debería roducir y vender ara obtener una utilidad de al menos Bs..000 a la semana.

3 (m) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán roducir sus roios emaques, que la emresa ha estado adquiriendo de roveerdores eternos a Bs.,0 cada uno. La fabricación de los emaques incrementaría los costos generales de la emresa en Bs.800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de Bs.0,60 or cada emaque. Cuántos emaques deberá usar la emresa al mes ara justi car la decisión de fabricar sus roios emáques? 4 Funciones eseciales. Sea la siguiente función lineal f(). Hallar dicha función si se sabe que f( ) = y f() =. Hallar el dominio de las siguientes funciones: (a) f() = sen (b) f() = arccos( + ) Rta:( ; ) [ [ ; ) \ ( ; ] (c) f() = log( + + ) Rta:( ; ) [ (; ) (d) f() = log( + ) (e) f() = (f) f() = + + Rta:[ ; 0]. Una función f() se denomina función ar si: y f() es imar si: f( ) = f() f( ) = f() En los siguientes ejercicios determinar cuales son funciones ares e imares: (a) f() = log( + ) (b) f() = ( + ) + ( ) (c) Demostrar que la multilicación de dos funciones ares o de dos funciones imares es una función ar. (d) Demostrar que el roducto de una función ar con una imar es una función imar. 4. En los siguientes ejercicios, determinar si la función es eriódica o no y hallar el eriodo t (a) f() = sen (b) f() = 0sen() (c) f() = tan 5. Sea la siguiente función:f() = ; hallar f(f(f())) Rta: 6. Sea la siguiente función: f( ) = :Hallar f( + ) 7. Sea una función eonencial con argumento negativo. Se tiene los siguientes números ; ; que constituyen una rogresión aritmética. Demostrar que los numeros f( ); f( ); f( ) forman una rogresión geométrica. 8. Demostrar que f() + f(y) = f( +y + +y ); cuando f() = log( ) 9. Sea la siguiente función: hallar la función inversa y gra car f() y f () g() = ( ) ( )

4 0. Si f() = + 7, hallar (fof )(). Gra car y analizar las características de las siguientes funciones: (a) f() = 4 9 (b) f() = (c) f() = (d) f() = e 5 Alicaciones de funciones. Para cierto roducto, si el recio es Bs.4 or unidad, los consumidores comrarán unidades mensuales. Si el recio es Bs. 5 or unidad, los consumidores comraran unidadwes mensuales. (a) Suoniendo que la curva de la demanda es una línea recta determine su ecuación. (b) La ecuación de oferta ara estre roducto es: 8 < = : ; + ( q 000 ) 0 q ( q 5000 ) 6000 q Determine el unto de equilibrio y la cantidad total gatada or los consumidores en este roducto en el recio de equilibrio.. Hallar la recta aralela a la recta f() = 4 que asa or el unto (,6). Interretar las siguientes ecuaciones de funciones lineales: (a) f() = 5 + (a) f() = 4 4. Como se estableció en clases, la función demanda (u oferta) intenta reresentar una relación entre la cantidad demandada () y el recio de un servicio o de un bien (), desestimando otras variables que se relacionan con la demanda (ingresos, referencias, etc). = f(): (a) Se sabe que la función demanda de un bien se estima como lineal y además se tiene que si el recio del bien es de 70 Bs. se demanda una cantidad de 40 unidades, desues de un tiemo si el recio es de 40Bs. la cantiad demandada es de 0 unidades. Hallar la función demanda su dominio y su imágen y gra carla. (b) Si la función demanda de un roducto se uede eresar mediante: + 80 = 0 i. Reresentar grá camente la función y hallar su domínio y su imágen ii. Cuál es el mayor recio que estarían disuetos a agar los consumidores or dicho roducto? iii. Cuál es la mayor cantidad que demandarían or dicho roducto? (c) De las siguientes funciones, indicar cuál uede reresentar una función oferta y cuál una función demanda y justi car la resuesta i. = 4 4 ii. 0 = 0 iii. = 00 iv. = + 0 v. =

5 5. De las funciones demanda y oferta 6 + = 0 y = 4 resectivamente, hallar el unto de equilibrio analíticamente y grá camente. 6. Determinar analiticamente y gra camente el unto de equilibrio de las curvas de demanda ( + 5)( 6) = 80 y oferta = La función ingreso relacionada a un emresa donde la cantidad roducida solo deende del nivel de roducción, uede de nirse como I() = () donde () es la curva de la demanda y esta en función de la cantidad. (a) Si se conoce que la función demanda de un bien esta dada or + ingreso del roductor. 00 = 0, hallar la función 8. La función costo C() tiene dos comonetes: el costo jo y el costo variable. El costo jo es el costo que ermanece constante a cualquier nivel de roducción. Matemáticamente se de ne como el costo de roducir ninguna unidad es decir: CF = C(0): Por otro lado el costo variable es el que cambia con el nivel de roducción: CV () = C() C(0) (a) Si la función costo de un bien esta dada or la curva: hallar el costo jo y el costo variable. c() = La funcion bene cio esta directamente relacionada con las funciones ingreso y costo a través de la relación: Be() = I() C() (a) Si la función costo de un roducto esta reresentada or la eresión C() = y se conoce que la demanda de dicho roducto esta dada or = (000 ). Hallar la función bene cio y tambien el bene cio a un nivel de roducción de 00 unidades. 0. Tanto ara la función costo y bene cio se uede establecer la función media unitaria, dividiendo or la cantidad roducia, de la siguinete manera: de esta manera se obtiene: El costo medio uniatrio: C() = C() El ingreso medio unitario: I = I() = () El bene cio medio unitario: B() = Be() f() = f() = () (a) Si se conoce que la función bene cio de una emresa es Be() = + 7 0, hallar el bene cio medio y ara que valores de se obtiene un bene cio medio ositivo. 6 Límites. Usando la de nición de límite, demostrar la eistencia de los siguientes límites, hallando el valor de ; ara los " establecidos: (a)! 4 = 4 si " = 0:004 hallar (b)! (7 0 + ) = 5 si " = 0:00 hallar 5

6 (c)! = 4 si " = 0:05 hallar (d)! 4 = si " = 0:07 hallar (e)! = si " = 0:0 hallar (f)! 7 = 4 si " = 0:0 hallar. Hallar los siguientes límites 6 + (a) :! 4 (b)! (a + ) n a n (c)!0 5 (d)! (e)! (f)!0 (g) (h) (i) Sol : Sol : : : + Sol : + : ( + ) ( )! !! (j)!a (k)! ( (l)!64 + q + + Sol : : 9 Sol : (a + ) + a a Sol : a (a ) ) : 8 4 : (m) 4 4! Sol : 5!4 5 (n) (o) ( )! () ( + 8) 4 Sol : e!0 (q)!0 4 e (r) 8 e!0 e 6 e Sol : e 4 7 Eeriencia con Matlab y Scienti c Work Place. Resolver los ejercicios de a) a h) ara el reaso de inecuaciones mediante matlab.. Escribir el scrit de matlab ara resolver el ejercicio de funciones eseciales inciso b) (de nir un vector razonable ara la grá ca) 6

7 . Resolver los ejercicios de a) a h) ara el unto de límites mediante matlab 4. Realizar los ejercicios a anteriores con sw5 y comentar en una tabla las ventajas y desventajas entre sw5 y matlab. Fecha de entrega: sabado 6 de agosto 06 (sin el unto 7) 7