Linealización de Modelos

Transcripción

1 Caítulo Linealización de Modelos Debido a que la mayoría de herramientas ara el análisis de sistemas y diseño de sistemas de control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disoner de métodos ara linealizar modelos La linealización generalmente consiste en una exansión en series de Taylor de la ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un unto de oeración de nido naturalmente or el sistema o seleccionado arbitrariamente ara satisfacer alguna necesidad de control 1 Exansión en Series In nitas Cuando un modelo es muy comlejo matemáticamente es necesario recurrir a técnicas como las reresentaciones en series in nitas Las soluciones en series in nitas son usadas generalmente ara aroximar el valor de una función en un unto arbitrario con cierto grado de recisión Exansión en Series de Taylor f (x) = 1X k=0 1 k! d k f (x) k Donde f (x) es la exansión alrededor del unto x 0 : (x x 0 ) k (1) x0 Derivada de una función escalar or un vector Dados: f (x) :1 1 y x : m 1 df (x) = (x) m (x) m () 1

2 1 Derivada de una función vectorial or un escalar Dados: f (x) :n 1 y x :1 1 df (x) 1 n 1 n (x) () Derivada de una función vectorial or un vector Dados: f (x) :n 1 y x : m 1 df (x) 1 (x) (x) n 1 (x) n (x) 1 1 (x) m (x) m n 1 n 1 (x) m n n (x) m 1 (x) (x) n 1 (x) n (x) m () Modelo escalar no-lineal de una variable de estado = f (x (t)) () Aroximando f (x (t)) or una exansión en series de Taylor alrededor de un unto de oeración x o f (x (t)) = f (x o )+ (x x o )+ 1 d f ( ) (x x o ) + t:o:s: () tiene: Desreciando los términos de segundo orden y los de orden suerior (t:o:s:), se f (x (t)) ' f (x o )+ (x x o ) ()

3 18 El unto de oeración debe satisfacer la condición de ser un unto de equilibrio de la ecuación de estado, es decir f (x o )=0 (8) En este caso los untos de oeración no son arbitrarios Se de ne la variable x ± = x x o ; entonces ± = = (x x o )= x ± (9) De niendo A, y re-escribiendo la ecuación (9) se tiene: ± = Ax ± (10) Modelo escalar no-lineal de una variable de estado y una variable de entrada = f (x (t) ;u(t)) (11) Aroximando f (x (t) ;u(t)) or una exansión en series de Taylor alrededor de un unto de oeración x o ;u o f (x (t) ;u(t)) = f (x o ;u o )+ (x x o )+ (u u o )+ f ( ) (x x o ) + f ( ) (u u o ) + f ( ) (x x o )(u u o )+t:o:s: (1) Truncando la serie desués de los términos de rimer orden se tiene: f (x (t) ;u(t)) = f (x o ;u o )+ (x x o )+ (u u o ) (1) Además el unto de oeración debe satisfacer la condición f (x o ;u o )=0; donde x o generalmente uede ser seleccionado arbitrariamente ajustando el valor de la entrada u o : De niendo A,, B,, x ± (t) =x (t) x o y u ± (t) =u (t) u o

4 19 Entonces se tiene: ± (t) = Ax ± (t)+bu ± (t) (1) Si además se tiene un señal de salida y (t) =g (x (t) ;u(t)) (1) Aroximando la función no-lineal g (x (t) ;u(t)) or una exansión en series de Taylor y truncando los términos de orden suerior se tiene: g (x (t) ;u(t)) = g (x o ;u o )+ (x x o )+ (u u o ) (1) De niendo C,, D, Entonces se tiene:, y o = g (x o ;u o ) y ± (t) =y (t) y o y ± (t) =Cx ± + Du ± (1) 8 Modelo con múltiles estados, múltiles entradas y múltiles salidas _x 1 (t) _x (t) _x n 1 (t) _x n (t) = f 1 (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) f (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) f n 1 (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) f n (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) (18) y 1 (t) y (t) y q 1 (t) y q (t) = g 1 (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) g (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) g q 1 (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) g q (x 1 (t) ;x (t) ;::: ;x n (t) ;u 1 (t) ;u (t) ;::: ;u m (t)) (19) Usando notación vectorial: _x (t) =f (x (t) ; u (t)) (0) y (t) =g (x (t) ; u (t)) (1)

5 0 Extendiendo al caso vectorial la exansión en series de Taylor hecha ara el caso escalar se tiene: _x ± (t) =Ax ± (t)+bu ± (t) () Donde: y ± (t) =Cx ± (t)+du ± (t) () x ± = x x o, u ± = u u o, y ± = y y o, y o = g (x o ; u o ) A = B = C = D = (dim(a) =n n) (dim(b) =n m) (dim(c) =q n) (dim(d) =q m) 9 Ejemlo de linealización Tanque: dm vc (t) = _m i (t) _m o (t) () Asumiendo que la densidad del uido es constante y que el área transversal del tanque es constante se tiene: m (t) =½V (t) () V (t) =Ah (t) () Donde: _m (t) =½F (t) ()

6 1 m : masa ½ : densidad V : volumen A : área transversal h : nivel F : ujo Substituyendo se tiene: dm vc (t) dv (t) dh (t) = ½ = ½A (8) Finalmente dh (t) A = F i (t) F o (t) (9) Si a la salida el ujo es turbulento y ocurre a través de una obstrucción se tiene F o (t) =C d h (t) (0) Substituyendo dh (t) A = F i (t) C d h (t) (1) Si se selecciona como salida el nivel del tanque se tiene que la realización física no-lineal que reresenta el sistema es = f (x (t) ;u(t)) = C d 1 x (t)+ u (t) () A A y (t) =g (x (t) ;u(t)) = x (t) () Donde: x (t) : h (t) u (t) : F i (t) y (t) : h (t) Si se desea controlar la salida (el nivel) alrededor un setoint, x o = h ref : Se rocede de la siguiente manera: y o = h ref! x o = h ref! u o = Cd h ref Nota: Para calcular el valor de u o se debe recordar que =0 () Conociendo los valores que de nen el unto de oeración se tiene: A = href = C d A x (t) 1= = C d () Ah ref

7 B = = 1 = 1 A A () C = D = =1j xo;u o =1 () =0j xo;u o =0 (8) Estas oeraciones ermiten escribir la siguiente realización linealizada = Ax (t)+ Bu (t) (9) y (t) =Cx (t)+du (t) (0) 10 Ejercicio Linealize el sistema dado de manera tal que el unto de oeración ermita que el setoint sea y ref = unidades Construya la realización que reresenta al sistema linealizado _x 1 _x _x = x x 1x + e u 1 u 1 x x 1 x x x 1 +ln(x 1) (1) Sugerencia: use la función fzerom de MATLAB y (t) =x 1 x ()