Control Moderno: El espacio de estados

Transcripción

1 Lección 3 Control Moderno: El espacio de estados 1 Estados: Definición y ejemplo Estados: variables internas que describen la evolución del sistema. El conocimiento de estas variables en t = t 0 junto al conocimiento de la entrada para t t 0 determina el comportamiento del sistema para t t 0 Ejemplo ŷ(s) û(s) = ĝ(s) = Transformada inversa: 1 + s 1 + 2s + 5s 2 (1 + 2s + 5s2 )ŷ(s) = (1 + s)û(s) 5ÿ(t) + 2ẏ(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1) Definiendo: x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = ẏ(t) 1 5u(t), (1) es equivalente a Ecuación de estados Ecuación de salidas ẋ1 (t) = x 2 (t) u(t) ẋ 2 (t) = 1 5 x 1(t) 2 5 x 2(t) u(t) y(t) = x 1 (t) = [ 1 0 ] Solución [ ] única fijada una condición inicial x 1 (t 0 ) = x 10, x 2 (t 0 ) = x 20. x1 (t) =Vector de estados del sistema. x 2 (t) [ x1 (t) x 2 (t) ] 2

2 Estados: Formalismo Los sistemas de control: Evolucionan en el tiempo: T =conjunto tiempo, T R un intervalo (sistemas continuos) o T = Z o N (sistemas discretos) Variables externas: entradas (controles, perturbaciones, ruido,... ) y salidas (medidas o variables que deben controlarse). Debe especificarse: U= conjunto de valores de las entradas, U u( ) : T U}= conjunto de funciones de entrada o funciones de control. Y = conjunto de valores de las salidas. Variables Internas: Estados: variables que describen la evolución del sistema. Tres condiciones: (I) El estado actual y la función de control determinan los futuros estados del sistema: Dado x(t 0 ) = x 0 y una función de control u( ) U, x(t) determinado de forma única para todo t en un cierto intervalo T t0,x 0,u( ) de T (periodo de existencia de la trayectoria x( ) que comienza en x 0 en el instante t 0 bajo el control u( )). 3 Estados: Formalismo (II) Dado x(t 0 ) = x 0 el estado x(t) para t t 0 sólo depende de los valores u( ) en [t 0, t). (III) Los valores de las salidas en el instante t están determinados completamente por los valores en t de las entradas, u(t), y de los estados, x(t). Transición de estados: Aplicación que define la evolución de los estados (solución de las ecuaciones, generalmente). Es consecuencia de (I) y (II) x(t) = ψ(t; t 0, x 0, u( )), t T t0,x 0,u( ). ψ= función de transición de estados. Sólo depende de la restricción de u( ) a [t 0, t). X=conjunto de valores de los estados. Función de salidas: Por (III) existe y(t) = η(t, x(t), u(t)) que sólo depende de x(t) y u(t) para cada t. Ejemplo ẋ1 (t) = x 2 (t) u(t) ẋ 2 (t) = 1 5 x 1(t) 2 5 x 2(t) u(t) y(t) = [ 1 0 ] [ ] x1 (t) x 2 (t) 4

3 Sistemas diferenciales (i) T R es un intervalo abierto. (ii) U R m, Y R p y X R n abiertos. (iii) x(t) = ψ(t; t 0, x 0, u( )) es la única solución del P.C.I. 1 ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t t0, t T x(t 0 ) = x 0 (iv) η : T X U Y es continua. 1 Una condición suficiente para que tal solución exista y sea única es que f sea continua y continuamente diferenciable respecto a x (i.e., f x i y son continuas). 5 Sistemas recursivos o en diferencias finitas (i) T = N o Z. (ii) U, X, Y conjuntos no vacíos (iii) x(t) = ψ(t; t 0, x 0, u( )) es la única solución del sistema en diferencias finitas x(t + 1) = f(t, x(t), u(t)) con la condición inicial x(t 0 ) = x 0 con t 0 T, x 0 X y t t 0. 6

4 Sistemas lineales Un sistema dinámico es lineal si (i) U, U, X, Y son espacios vectoriales sobre K (un cuerpo). (ii) Las aplicaciones ψ(t; t 0,, ) : X U X (x(t 0 ), u( )) ψ(t; t 0, x(t 0 ), u( )) η(t,, ) : X U Y (x, u(t)) η(t, x, u(t)) son lineales para todo t, t 0 T, t t 0 En particular ψ(t; t 0, 0 X, 0 U ) = 0 X, t, t 0 T, t t 0 Sistemas Diferenciales ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) Sistemas en Diferencias x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) 7 Estados de equilibrio x X es un estado de equilibrio o estacionario de un sistema bajo el control u( ) si ψ(t; t 0, x, u( )) = x parar todo t T con t t 0. 0 X es un estado de equilibrio para los sistemas dinámicos lineales bajo el control u( ) = 0 U porque ψ(t; t 0, 0 X, 0 U ) = 0 X, t, t 0 T, t t 0. Si ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t T es la ecuación del sistema, para cada ũ( ) U, los estados de equilibrio bajo el control ũ( ) son las soluciones constantes de ẋ(t) = f(t, x, ũ(t)) (i.e., f(t, x e, ũ(t)) = 0) Es decir, sus soluciones de equilibrio: Si en un instante inicial t 0 T el estado es x(t 0 ) = x e y el sistema está bajo el control de ũ( ) entonces el estado de Σ es x(t) = x e para todo t t 0, t T. 8

5 Sistema carro-péndulo invertido M(ϕ) r = (J + ml 2 )(βu cṙ ml ϕ 2 sen ϕ) ml cos ϕ( mgl sen ϕ + c P ϕ) M(ϕ) ϕ = ml cos ϕ(βu cṙ ml ϕ 2 sen ϕ) (M + m)(c p ϕ mgl sen ϕ) M(ϕ) = (M + m)j + ml 2 M + m 2 l 2 sen 2 ϕ. Estados: x 1 = r, x 2 = ṙ, x 3 = ϕ, x 4 = ϕ (alternativamente x 1 = r, x 2 = ϕ, x 3 = ṙ, x 4 = ϕ) Ecuaciones de estado: x ẋ 1 [ 2 ] ẋ2 ẋ3 = 1 (J + ml 2 )( cx M(x 3 ) 2 (ml sen x 3 )x 2 4 ) ml cos x 3( mgl sen x 3 + c P x 4 ) + β J+ml2 M(x 3 ) u x [ 4 ] ẋ4 1 ml cos x M(x 3 ) 3 ( cx 2 (ml sen x 3 )x 2 4 ) (M + m)(c P x 4 mgl sen x 3 ) + β ml cos x 3 M(x 3 ) u Ecuaciones de salida: [ ] [ ] y = x y Estados de equilibrio o estacionarios para entrada nula (u(t) = 0): x =cte; i.e. ẋ = 0: x 2 = x 4 = 0, m 2 l 2 cos x 3 sen x 3 = 0, (M + m)mgl sen x 3 = 0 Estados estacionarios: x 1 = cte arbitraria y x 3 = 0 o π. Es decir, cualquier posición del carro con el péndulo en posición vertical. 9 Linealizaciones ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t T y(t) = η(t, x(t), u(t)) Sea x( ) una trayectoria correspondiente a un control ũ( ) y una C. I. (t 0, x 0 ) T X. Sean f y η continuamente diferenciables respecto a (x, u). Sean A(t) = C(t) = El sistema lineal ( fi x j (t, x(t), ũ(t)) ) n n ( ) ηi (t, x(t), ũ(t)) x j p n B(t) = D(t) = ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2) ( ) fi (t, x(t), ũ(t)) u j n m ( ) ηi (t, x(t), ũ(t)) u j p m es la linealización de (2) en torno a la trayectoria x( ) respecto a ũ( ) 10

6 Sistema carro-péndulo Linealización entorno al estado estacionario x = (r, 0, 0, 0) con control u(t) = 0 ( = M(0) = (M + m)j + ml 2 M): A = f 0 c(j+ml2 ) m 2 l 2 g x = M 0 (x= x,u=0) mlc (M+m)mgl 0 B = f β J+ml2 u = (x= x,u=0) 0, C = η x = (x= x,u=0) β ml Sistema de control linealizado: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) mlc P (M+m)c P [ ] Satélites de comunicaciones Origen: centro de la Tierra M T = Masa de la tierra M S = Masa del satélite G= cte de gravitación universal (6, N m2 Kg 2 ) Ω= velocidad angular de la Tierra (7, rad/seg) Posición del satelite: sobre el ecuador Coordenadas polares: (r, θ, ψ) (r, θ) Ecuaciones del movimiento (F r (t), F θ (t) fuerzas ejercidas por propulsores en el satélite en las direcciones radial y tangencial): M S r(t) = M S r(t) θ(t) 2 GM T M S r(t) + F 2 r (t) M S r(t) θ(t) = 2M S ṙ(t) θ(t) + F θ (t) Renombrando F r = F r /M S, F θ = F θ /M S r(t) = r(t) θ(t) 2 GM T r(t) + F 2 r (t) r(t) θ(t) = 2ṙ(t) θ(t) + F θ (t) 12

7 Órbita geoestacionaria Es la órbita geosíncrona (mismo periodo que la Tierra), circular y con inclinación cero (ψ = 0) Velocidades angulares iguales: θ(t) = θ 0 + Ωt Movimiento en dirección radial cero: r(t) = R 0 0 = M S R 0 Ω 2 GM ( ) 1 T M S GMt 3 R 0 = km Conclusión: r(t) = R 2 0 ( GMt Ω 2 con entrada nula. Estado estacionario? Ecuaciones de estado Cambio de Variables Ω 2 ) 1 3, θ(t) = θ0 + Ωt solución del sistema x 1 (t) = r(t) R 0 x 2 (t) = ṙ(t) x 3 (t) = θ(t) (θ 0 + Ωt) x 4 (t) = θ(t) Ω 13 Sistema: ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẋ 3 (t) = ẋ 4 (t) x 2 (t) (x 1 (t) + R 0 )(x 4 (t) + Ω) 2 GM T (x 1 (t) + R 0 ) 2 + F r(t) x 4 (t) 2x 2(t)(x 4 (t) + Ω) + F θ(t) x 1 (t) + R 0 x 1 (t) + R 0 Estado estacionario con control nulo: x(t) = (0, 0, 0, 0) (órbita geoestacionaria) 14

8 Linealización de las ecuaciones del movimiento del satélite Linealización en torno al estado estacionario con control nulo (x(t) = 0, u(t) = 0): f x = (x 4 + Ω) 2 + 2GM T (x 1 +R 0 ) 0 0 2(x R 0 )(x 4 + Ω) x 2 (x 4 +Ω) (x 1 +R 0 ) 2 F θ (x 1 +R 0 ) 2(x 4+Ω) 2 x 1 +R 0 0 2x 2 x 1 +R f u = x 1 +R 0 ( Sistema linealizado en torno a x = 0, u = 0 R0 3 = GM T ): Ω ẋ(t) = 3Ω R 0 Ω x(t) u(t) 0 2Ω R R 0 y(t) = ( ) x(t) 15 Estudio global vs local Se quiere aplicar una fuerza en la base del péndulo invertido amortiguado para devolverlo a la posición vertical (Recordemos la expresión para el par de fuerzas: x(t)f 2 (t) y(t)f 1 (t) = N(t) = mr 2 ω(t)): θ(t) = θ+sen θ+u cos θ (g = l, gm = 1, c = 1) Ecuaciones de estado : ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 2 (t) + sen x 1 (t) + u(t) cos x 1 (t) Retrato de fase del sistema no lineal Ecuaciones de estado sistema linealizado en torno a (x, u) = (0, 0) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) x 2 (t) + u(t) Retrato de fase del sistema lineal 16