Análisis en el plano de fases

Transcripción

1 Análisis en el plano de fases Para un sistema lineal de segundo orden, ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω0 = ω0u(t) 2 (1) Definiendo como variables de estado, 1 = Salida del sistema (posición) Velocidad = d 1 dt (velocidad) 1 Salida La representación de (, 1 ) es el movimiento en el plano de fases (2 dimensiones). Para cada condición inicial ( 1 (0), (0)), eiste una trayectoria representativa del movimiento del sistema. Plano de fase p.1/33

2 Punto singular Definiendo el vector velocidad : V v = (ẋ 1, ẋ 2 ) módulo: V v = (ẋ 1, ẋ 2 ) = (ẋ 1 + ẋ 2 ) V v dirección: V v = tan θ = ẋ2 ẋ1 Si para un 1 y un, θ 1 ẋ 1 = 0 ẋ 2 = 0 } V v = 0 y tan θ = 0 0 indeterminada El punto ( 1, ) es un punto singular. Un punto singular es un punto de equilibrio pero "equilibrio" no implica estabilidad. Los p.s. se clasifican de acuerdo a la forma de las trayectorias a su alrededor, Nodo: Punto de convergencia/divergencia. Foco: Punto de convergencia/divergencia de una espiral. Vértice: Centro de trayectorias no convergentes. Punto de silla: Trayectorias con forma de silla. Plano de fase p.2/33

3 0 0 0 Punto singular jw jw 0 σ 1 σ 1 Nodo estable Foco estable jw jw σ 1 σ 1 Vértice Punto de silla Plano de fase p.3/33

4 Dibujo de trayectorias Los diagramas de trayectorias en el plano de fases ( retratos de fase ) se construyen en la práctica utilizando herramientas computacionales. No obstante, como sucede con algunas herramientas de sistemas lineales, es útil saber como bosquejar crudamente un retrato de fase. Se distinguen el método analítico y el método de isoclines. Sin embargo, en general no siempre es fácil construir el retrato de fase. Método analítico Presentamos dos métodos, De las epresiones para ẋ 1 (t) y ẋ 2 (t), eliminar el tiempo y llegar a una función del tipo g( 1,, c), siendo c las condiciones iniciales. El retrato se construye dibujando la curva resultante en el plano de fases para diferentes condiciones iniciales. A a partir de tan θ = d 1 y. d = f 2( 1, ) f 1 ( 1, ), resolver por integración una relación entre 1 Plano de fase p.4/33

5 Dibujo de trayectorias Ejemplo: Sistema masa-resorte. (Método uno) El sistema de la figura donde es el desplazamiento de la masa, tiene el modelo, ẍ + = 0 Asumiendo que la masa está inicialmente en reposo en la posición 0, de la descripción en espacio de estados con 1 = y = ẋ obtenemos la solución, 1 (t) = 0 cos(t) (t) = 0 sin(t) k=1 m=1 Elevando al cuadrado y sumando se elimina el tiempo llegando a, = 0 Que representa un círculo en el plano de fases, con radio dependiente de la condición inicial. Plano de fase p.5/33

6 Dibujo de trayectorias Ejemplo: Sistema masa-resorte. (Método dos) Notando que ẍ = dẋ d d dt, reemplazando en el modelo se obtiene, Integrando se obtiene, ẋ dẋ d + = 0 d d = = ctte = 0 1 Plano de fase p.6/33

7 EDL de orden dos Para el sistema lineal general, ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω 2 0 = ω 2 0u(t) los autovalores del polinomio característico s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 = 0 son, Sistema autónomo tipo cero (u(t) = 0) Definiendo 1 = y = ẋ 1 = ẋ. λ 1,2 = ξω 0 ± ω 0 ξ2 1 ẋ 1 = ẋ 2 = ω ξω 0 con solución, (t) = 1 (t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t Plano de fase p.7/33

8 EDL de orden dos Note que si ω 0 0 eiste un solo punto singular a saber, el origen. tan θ = ẋ2 ẋ 1 = 2ξω 0 ω Si = 0, tan θ = ω =. Las trayectorias cortan al eje 1 a 90. Si 1 = 0, tan θ = 2ξω 0 1 = constante. Las trayectorias cortan al eje con pendiente constante. Si 1, recta ω ξ = 0 tan θ = 0. Las trayectorias cortan la recta con pendiente nula. Si 1 =, tan θ = 2ξω 0 ω 2 0sign( 1 ) = constante. Las trayectorias cortan las rectas 1 = con pendiente constante. La respuesta temporal depende de ξ (forma), ω 0 (rapidez) y condiciones iniciales. Plano de fase p.8/33

9 0 SLH tipo cero no amortiguado ξ = 0 λ 1,2 = ±jω 0 Integrando, 2 = d = ω0 2 1 d ω = ctte = ω λ 1,2 imaginarios ξ = 0 VÉRTICE jw σ 1 Plano de fase p.9/33

10 0 SLH tipo cero sobre amortiguado ξ > 1 λ 1,2 = ω 0 ξ ± ω 0 ξ2 1 jw λ 1,2 reales λ 1 < 0; λ 2 < 0 NODO ESTABLE 0 σ 1 jw λ 1,2 reales λ 1 > 0; λ 2 > 0 NODO INESTABLE σ 1 Plano de fase p.10/33

11 0 SLH tipo cero sobre amortiguado jw λ 1,2 reales λ 1 y λ 2 signo contrario PUNTO DE SILLA σ 1 Plano de fase p.11/33

12 0 0 SLH tipo cero sub amortiguado 0 < ξ < 1 λ 1,2 = ω 0 ξ ± jω 0 1 ξ 2 λ 1,2 complejos Re(λ 1 ) < 0; Re(λ 2 ) < 0 0 < ξ < 1 FOCO ESTABLE jw σ 1 λ 1,2 reales λ 1 > 0; λ 2 > 0 FOCO INESTABLE jw σ 1 Plano de fase p.12/33

13 SL tipo cero forzado Sistema tipo cero forzado (u(t) = U = ctte) equivalente a, ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω 2 0 = ω 2 0U d 2 ( U) d( U) dt 2 + 2ξω 0 dt + ω 2 0( U) = 0 Los retratos de fase son idénticos al caso autónomo pero alrededor del punto (U, 0). Sistema tipo cero forzado (u(t) = U + V t) ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω 2 0 = ω 2 0(U + V t) Haciendo = e + U + V t, se obtiene: ẋ = ė + V ẍ = ë Plano de fase p.13/33

14 SL tipo cero forzado se obtiene, ë + 2ξω0ė + ω 2 0e = 2ξω 0 V = 2ξV ω 0 ω 2 0 Los retratos de fase de (e, ė) son idénticos al caso autónomo pero alrededor del punto ( 2ξV ω 0, 0). Plano de fase p.14/33

15 SL tipo uno ẍ + 2ξω 0 ẋ = u(t) Ecuación característica con autovalores en λ 1 = 0, λ 2 = 2ξω 0. Si u(t) = U = ctte: 1 = 2 = 2ξω 0 + ω0u 2 d d 1 = 2ξω 0 + ω 2 0U Si U = 0; todo punto del eje 1 es un punto singular ( = 0). 2=ω 0 2U/α tan θ = 2ξω 0 = ctte Si U = ctte 0: Puntos singu- 1 1 lares en = ω2 0 U 2ξω 0 Plano de fase p.15/33

16 SL tipo dos ẍ = ω 2 0u(t) Ecuación característica con autovalores en λ 1,2 = 0. Si u(t) = U = ctte, ẋ 1 = 2 = ω0u 2 d d 1 = ω2 0U 1 Si U = 0, todo punto del eje 1 ( = 0) es un punto singular. Además, tan θ = 0, luego la pendiente de la velocidad es cero (ecepto sobre el eje 1 ). se obtienen trayectorias parabóli- Si U 0 al integrar, d d 1 cas 1 10 = = ω2 0 U ( 1 2ω 2 0 U ) ( ) U<0 1 U>0 Plano de fase p.16/33

17 EDNL de orden dos En un sistema lineal usualmente eiste un solo punto de equilibrio (o una recta de puntos singulares). En un sistema no lineal, a menudo eiste más de un punto singular aislado. La estabilidad de sistemas lineales se caracteriza unívocamente por la naturaleza de los puntos singulares. Para sistemas no lineales, la estabilidad no solo depende de los puntos singulares en sí mismos. Consideremos el sistema de segundo orden, ẋ 1 = f 1 ( 1, ) ẋ 2 = f 2 ( 1, ) d = f 2( 1, ) d 1 f 1 ( 1, ) Un punto es singular si, f 1 ( 1, ) = f 2 ( 1, ) = 0. Una posibilidad de análisis local es linealizar el sistema no lineal por Taylor al rededor de los puntos singulares. Plano de fase p.17/33

18 Comportamiento local de SNL La linealización por Taylor implica la aproimación, ẋ 1 = f 1( 1, ) 1 1 = 1s ( 1 1s ) + f 1( 1, ) 1 = 1s ( s ) ẋ 2 = f 2( 1, ) 1 = s 1 = 1s = s ( 1 1s ) + f 2( 1, ) = s 1 = 1s = s ( s ) Que lleva al sistema linealizado en la forma, ẋ 1 = a 1 + b ẋ 2 = c 1 + d cuyo retrato de fase es ya conocido. El teorema de Hartman Grobman advierte sin embargo, que las propiedades cualitativas alrededor de un P.E. del retrato de fase del sistema N.L. se corresponden con la del sistema linealizado, solo si sus autovalores no están sobre el eje jω. Plano de fase p.18/33

19 SNL homogéneo ẍ + f(, ẋ) = 0 Con = 1 ; ẋ 1 = ẋ 2 = f( 1, ). ẋ 2 = f( { 1, ) P.S. ẋ 1 = 0 f( 1, 0) = 0 Ejemplo: ẍ + 0,6ẋ = 0 Posee dos puntos singulares, uno en (0, 0) (apro. foco estable) y el otro en ( 3, 0) (apro. punto de silla). Área de convergencia Inestable Área de divergencia Plano de fase p.19/33

20 SNL homogéneo Note que la descripción en el espacio de estado del sistema anterior es, ] [ ] [ẋ1 = 2 ẋ ,6 1 Cuya linealización alrededor del punto singular ( 1s, s ) es, ] [ ] [ ] [ẋ = 3 2 1s 0,6 ẋ 2 Con autovalores en λ 1,2 = 0,6± 0, s 2 ; y puede verificarse que (0, 0) es un foco estable mientras que ( 3, 0) es un punto de silla. Plano de fase p.20/33

21 Ej:1. Fricción de Coulomb Cuando el eje está en reposo, eiste una fuerza de fricción estática que se opone al giro del eje. Esta fuerza está limitada por dos valores (positivo y negativo) proporcionales al coeficiente de fricción estática. Una vez que el eje entra en movimiento, aparece una fuerza constante menor ( fricción de deslizamiento ) que se opone al movimiento y que es proporcional al coeficiente de fricción cinética. En el esquema de control de posición aparece como, θ i + - e + - (k/k)ns T KGK T n + - n Tc sgn(ωο) (Js+F) s θ 0 ntc -ntc Ωο Plano de fase p.21/33

22 Ej:1. Fricción de Coulomb Con las definiciones, ω0 2 = KK T ng, ξ v = J F 2 nkk T GJ, ξ T = nk nkkt GJ 2KJ ξ = ξ v + ξ T, d = T c KK T G Se obtiene, s 2 θ 0 + 2ξ v ω 0 sθ 0 = ω 2 0dsignΩ 0 + ω 2 0θ i ω 2 0θ 0 2ξ T ω 0 sθ 0 o en forma de e.d., θ 0 + 2ξω 0 θ 0 + ω 2 0θ 0 = ω 2 0θ i ω 2 0dsign θ 0 Que es una ecuación de segundo orden tipo cero, con entrada dependiente de θ 0. Plano de fase p.22/33

23 Ej:1. Fricción de Coulomb Puede verse que hay dos puntos singulares dependiendo del signo de, d d 1 = ω2 0(θ i dsign( )) 2ξω 0 ω s = 0 + 1s = θ i d O 1 (θ i d, 0) > 0 s = 0 1s = θ i + d O 2 (θ i + d, 0) < 0 Si ξ 1 entonces O 1 es un nodo. Si ξ < 1 todo punto entre O 1 y O 2 es un punto de equilibrio (el motor se queda clavado cuando no vence el par de la fricción). O 1 Como foco P 0 (-u 0,0) O1 O2 1 O 2 Como foco Plano de fase p.23/33

24 Ej:2. Limitación del error Θ i + e v ω 2 fe(e) Θ 0 - s(s+2ξω 0 ) δe v he m e δe e -he θ 0 (s) = f e (θ i θ 0 ) ω 2 0 s(s + 2ξω 0 ) θ 0 + 2ξω 0 θ 0 = ω 2 0f e (θ i θ 0 ) Se presentan dos casos dependiendo de (θ i θ 0 ). 1. Ecuación tipo cero con entrada m e ω 2 0θ i. θ i θ 0 < δ e f e (θ i θ 0 ) = m e (θ i θ 0 ) θ 0 + 2ξω 0 θ 0 + m e ω 2 0θ 0 = m e ω 2 0θ i 2. Ecuación tipo uno con entrada ±ω 2 0h e. (θ i θ 0 ) > δ e f e (θ i θ 0 ) = h e (θ i θ 0 ) < δ e f e (θ i θ 0 ) = h e θ0 + 2ξω 0 θ = ±ω 2 0 h e Plano de fase p.24/33

25 Ej:2. Limitación del error Se distinguen tres regiones (θ i = 0; 1 = θ 0 ; = θ 0 ): Región uno: 1 < δ e (tipo 1) Región dos: 1 < δ e (tipo 0) Región tres: 1 > δ e (tipo 1). Región I II III 2 Ec. Tipo ω 0 h e /2ξ δ e 0 δ e 1 Plano de fase p.25/33

26 Ciclos límite Los ciclos límite representan un fenómeno importante en los sistemas no lineales y puede ser deseable (ej: construcción de osciladores) o indeseable (ej: vibración de las alas de un avión). En el plano de fase, un ciclo límite se define como una curva cerrada aislada. Se distinguen tres tipos de ciclos límite, Trayectorias convergentes Divergentes Convergente Divergente Estable Inestable Semiestable Plano de fase p.26/33

27 Eistencia de C.L. Teorema de Poincare: Si N es el número de nodos, centros y focos; y S es el número de puntos de ensilladura encerrados por un C.L., entonces en un sistema autónomo de segundo orden se cumple N = S + 1 si eiste un ciclo límite. Poincare-Bendion: Si una trayectoria del sistema autónomo de segundo orden permanece en una región finita Ω, entonces uno de lo siguiente se cumple: La trayectoria va a un punto de equilibrio. La trayectoria tiende a un ciclo límite asintóticamente estable. La trayectoria es un ciclo límite. Teorema de Bendion (Ausencia de órbitas cerradas). Sea f( 1, ) = [f 1 ( 1, ), f 2 ( 1, )], y D una región simplemente conectada en R 2 tal que div(f) := f f 2 no es cero en D y no cambia de signo en D. Entonces D no contiene órbitas cerradas de ẋ = f(), R 2. D in R 2 Plano de fase p.27/33

28 Eistencia de C.L. Prueba del teorema de Bendion (por contradicción): Asuma que eiste una órbita cerrada γ en D, D in R 2 S f() n() γ Por el teorema de la divergencia de Gauss, γ f() n() = S div(f)ddy 0 = S div(f)ddy contradicción Ejemplo: (Ecuación de Duffin) ẍ + δẋ + 3 = 0 ẋ 1 = ẋ 2 = δ div(f) = δ No órbitas cerradas R 2. Plano de fase p.28/33

29 Mapa de Ponincaré Sea, ẋ = f(), R n y φ t (q) la solución iniciando en q luego de un tiempo t. R n 1 es un hiperplano transverso a φ(t). El mapa de Poincaré P : es P (q) = φ τ(q) (q) con τ(q) el tiempo del primer regreso. Σ P(q) q ϕ t (q) Plano de fase p.29/33

30 Mapa de Ponincaré Si una órbita periódica simple pasa a través de q, entonces P (q ) = q. Tal órbita se llama ciclo límite y q se llama un punto fijo de P. P(q ) = q La iteración q k+1 = P (q k ) converge a q?. Plano de fase p.30/33

31 Estabilidad de ciclos límite La linealización de P alrededor de q da una matriz W = P Q q tal que (q k+1 q ) (W(q k q ), si q k es próimo a q. Si todo λ i (W) < 1, entonces el ciclo límite correspondiente es localmente asintóticamente estable. Si λ i (W) > 1, entonces el ciclo límite es inestable. Ejemplo. Considere el sistema descrito por las ecuaciones, ẋ 1 = 1 1 ( 1 + 2) ẋ 2 = 1 + ( 1 + 2) Eiste ciclo límite?. Es estable?. Plano de fase p.31/33

32 Estabilidad de ciclos límite El sistema anterior puede describirse en forma más simple en forma polar. Sea 1 = r cos (θ) d 1 = cos (θ)dr r sin (θ)dθ = r sin (θ) d = sin (θ)dr + r cos (θ)dq Llevando a la transformación, ṙ = 1 θ r r cos (θ) sin (θ) r sin (θ) cos (θ) 1 Ahora, ẋ 1 = r(1 r 2 ) cos (θ) r sin (θ) ẋ 2 = r(1 r 2 ) sin (θ) + r cos (θ) lo que da, ṙ = r(1 r 2 ) θ = 1 Solo r = 1 es un equilibrio estable!. Plano de fase p.32/33

33 Estabilidad de ciclos límite La solución del sistema es: φ t (r 0, θ 0 ) = ( [1 + (r 2 0 1)e 2t ] 1/2, t + θ 0 ) Escogiendo = {(r, q) : r > 0, θ = 2πk}, el primer tiempo de retorno desde cualquier punto (r 0, q 0 ) es τ(r 0, θ 0 ) = 2π. El mapa de Poincaré es P (r 0 ) = [ 1 + (r 2 0 1)e 2 2π] 1/2 y r0 = 1 es un punto fijo. El ciclo límite que corresponde a r(t) = 1 y q(t) = t es localmente asintóticamente estable, ya que W = P dr 0 (1) = [ e 4π] y W = P dr 0 (1) = e 4π < 1. Plano de fase p.33/33