A propósito de la Linealización

Transcripción

1 A propósito de la Linealización William Colmenares Universidad Simón Bolívar. Centro de Automática e Informática Resumen Unas notas muy breves sobre la linealización de sistemas no lineales 1. Una introducción muy corta En estas notas presentamos, por la vía de un ejemplo, algunas estrategias muy simples para linealizar sistemas no lineales. Recordemos que, cuando se trata de linealización, podemos hacerlo sobre un punto de equilibrio del sistema o sobre una trayectoria deseada. En el caso de los cursos de control, normalmente al hablar de linealización, ello se refiere al primero (linealizar alrededor de un punto de equilibrio). Ésto quiere decir, linealizar alrededor de un punto en el que todas las derivadas del sistema son cero. Es importante resaltar que, en general, la aproximación lineal se comportará como el sistema no lineal en la medida en que se opere en un punto muy cercano al de equilibrio y que dicha aproximación será peor en la medida en la que nos alejamos de ese punto. A continuación pasamos a describir, por la vía de un ejemplo, la técnica de linealización con una estrategia muy sencilla. 2. Sistema no lineal Masa - Resorte - Amortiguador Considere el Sistema Masa/Resorte/Amortiguador que se muestra en la figura (1). El resorte y el amortiguador sostienen a una masa (M) que se encuentra suspendida en el aire, por lo que, además de la fuerza externa (f) que se ejerce Tarea entregada en MA de febrero de 2009

2 Sistema Masa Resorte Colgante K b M x f Mg Figura 1. Sistema Masa Resorte Amortiguador sobre la masa, también hay que aplicar sobre ella la fuerza de la gravedad (Mg). La entrada del sistema es la fuerza u = f y la salida es la posición de la masa. El resorte que sostiene a la masa es no lineal y la fuerza de reacción es: f r = Kx 3. En lo que sigue consideraremos que dx/dt = ẋ Modelado por Variables de Estado Primero vamos a resolver el problema de modelado como uno de variables de estado. Como tenemos dos elementos que almacenan energía (la masa y el resorte) tendremos 2 variables de estado, a saber: la velocidad v y la fuerza en el resorte f r. En esta caso, por simplicidad, en lugar de la fuerza en el resorte vamos a escoger la posición de la masa x como la segunda variable de estado. Más adelante resolveremos el problema con v,f r como las variables de estado. Por ahora queremos concentrarnos en la linealización. Las ecuaciones de estado están asociadas a la derivada de la velocidad (Ley 2

3 de Newton) y a la derivada de la posición. Ellas son: M v = f bv f r + Mg (Suma de las fuerzas que actúan sobre la masa) (1) como f r no es variable de estado substituimos por su expresión en x y nuestro modelado queda completo, resultando: M v = f bv Kx 3 + Mg (Suma de las fuerzas que actúan sobre la masa) (2) Linealización Para linealizar, lo primero siempre es especificar el punto de operación, ésto es, especificar las relaciones entre las variables de estado y las entradas cuando las derivadas son cero. En nuestro caso: 0 = f b v K x 3 + Mg 0 = v (3) de donde resulta que: f = K x 3 Mg y v = 0. Se requiere del diseñador que especifique, bien la posición nominal del resorte ( x) o la fuerza nominal que se aplicará ( f). Para continuar, una vez determinado el punto para linealizar, quizás lo más práctico es sustituir por cada elemento no lineal su aproximación lineal expansión en serie de Taylor hasta el término lineal. En el caso del ejemplo, el único elemento no lineal es Kx 3 y para su aproximación lineal tenemos: Kx 3 K x 3 + 3K x 2 (x x) = K x 3 + 3K x 2 x reemplazamos en las ecuaciones de estado la expresión no lineal por su aproximación lineal resultando: M v = f bv K x 3 3K x 2 x + Mg (4) 3

4 Definamos ahora: v = v v f = f f y recordemos que ya hemos definido x = x x Observe que: v = v y que v = v, ẋ = ẋ y que f = f K x 3 + Mg, con lo que resultan las ecuaciones lineales: M v = f b v 3K x 2 x ẋ = v y = x (5) A partir de las ecuaciones de estado es fácil determinar la función de transferencia que resulta: G(s) = X F = 1 Ms 2 + bs + 3K x Algunos comentarios Observe que, a pesar de que teníamos en el modelo un elemento constante Mg, al linealizar ese elemento NO aparece, lo cual es un beneficio añadido de la linealización. Otro beneficio añadido de linealizar es que las condiciones iniciales de todas las variables son cero. Por estas dos razones, muchas veces, aún en los sistemas lineales (lo que quiere decir que quedarán en forma exactamente igual al linealizar) se trabaja con variables (equivalentes a linealizar) en lugar de las variables absolutas. En general, por simplicidad, aunque se haya linealizado, se utilizan los símbolos absolutos en lugar de los relativos aunque sean variables relativas. Ello para evitar la proliferación de símbolos. Así en nuestro sistema linealizado escribiríamos: G(s) = X F = 1 Ms 2 + bs + 3K x 2 entendiendo que ambas variables en realidad son variables. 4

5 2.2. Otro enfoque al modelado En el caso del ejemplo que nos ocupa, por ser tan sencillo hubiéramos podido aplicar directamente la Ley de Newton y terminar con el modelo: Mẍ = f bẋ Kx 3 + Mg Para linealizar, como siempre, lo primero es determinar el punto de equilibrio, i.e., todas las derivadas puestas en cero, con lo que nos hubiera resultado: 0 = f K x 3 + Mg con ese punto de operación reemplazamos el elemento no lineal por su aproximación lineal en la ecuación, resultando: Mẍ = f bẋ K x 3 3K x 2 x + Mg y recordando que ẍ = ẍ, ẋ = ẋ y substituyendo el valor de f resulta: M ẍ = f b ẋ 3K x 2 x con lo que obtenemos la misma función de transferencia Modelando con la fuerza del resorte En el modelado inicial hubiéramos podido escoger a las variables v,f r, para ello observe que f r = Kx 3 por lo que f r = 3Kx 2 ẋ = 3K( f 3 r /K) 2 v. Las ecuaciones de estado quedan: v = f bv f r + Mg (Suma de las fuerzas que actúan sobre la masa) f r = 3K( 3 f r /K) 2 v (6) Dejamos para el estudiante la linealización sobre el término no lineal de la segunda ecuación. El resultado debe ser exactamente el mismo porque, aunque tenemos infinitas representaciones en variables de estado sólo hay una como función de transferencia. 5