24 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2013.

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1 El Instituto Politécnico Nacional a través de la Escuela Superior de Física y Matemáticas CONVOCAN A ESTUDIANTES DE SECUNDARIA Y PREPARATORIA O SU EQUIVALENTE A PARTICIPAR EN EL: 4 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 013 El examen de la 1ª etapa se realizara el sábado 4 de mayo del 013 a las 9:30 am en la siguiente sede: Sede Región Norte: Colegio Montes de Oca Campus Tzompantle Calle Guayabos agrios No 337 Col Tzompantle Cuernavaca, Morelos Tel (01-777) o wwwmontesdeocaedumx Director: Arq Víctor Manuel Sánchez González victormanuel_arq@hotmailcom Coordinador Regional: IQ José Arias Trejo Joelelmagnifico@hotmailcom Las inscripciones quedan abiertas a partir del 0 de febrero hasta el 1 de mayo del 013, a través del portal wwwesfmipnmx/fermat Podrán participar todos los jóvenes, inscritos en cualquier año de secundaria o preparatoria Solo se aceptaran 10 estudiantes por nivel (si la escuela cuenta con secundaria y preparatoria podrá participar con 0 alumnos, 10 por nivel) y por campus (puede participar según sea el caso con 10 o 0 alumnos por campus) Se aceptan inscripciones individuales El examen es de opción múltiple y consta aproximadamente de 5 a 30 reactivos, con una duración aproximadamente de 3 horas El examen de la ª etapa se llevara a cabo el de septiembre en las siguientes sedes: Instituto Politécnico Nacional Universidad Autónoma de Yucatán Universidad Autónoma de Guadalajara Los resultados de la 1ª etapa serán publicados 15 días después de aplicado el examen a través de los portales wwwesfmipnmx/fermat, wwwacmororgmx y Nota: cualquier cambio en la convocatoria será publicado en la página Para mayores informes enviar correo: noejonhatan@eleducadorcom A T E N T A M E N T E Ing Noé Jonhatan Gómez Hernández Delegado Estatal para el Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat

2 1 Concurso Nacional Pierre Fermat 01 Examen para Nivel Secundaria Primera Etapa Instrucciones: No utilizar celular (éste deberá de estar apagado), calculadora ó cualquier otro medio en el cual se puedan realizar operaciones aritméticas No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el conocimiento propio de la matemática Deberá de contestar los siguientes problemas de opción múltiple Duración de Examen: 3:00 horas Problemas Problema 1 Un número entero x, con 1 x < 1, es tal que satisface la ecuación 5 x = 17 1, donde 5 x es la notación de un número mixto Cual es el valor de x? 1 (a) 4 (b) 44 (c) 46 (d) 48 Problema Sea x un número real Cuál de las siguientes relaciones enlistadas deberá de cumplirse si x satisface las relaciones 0 < 5(1 x) 1? (a) 5 x < (b) 1 x < 5 (c) 1 x < 5 (d) 5 x < 1 Problema 3 base 10? El número (0101) 3 está dado en base 3 Qué número es en (a) 59 (b) 59 7 (c) 59 3 (d)

3 Problema 4 Establezca cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas tiene por solución a la fracción (a) 9x 8x + 10 = 0 (b) 9x + 8x 10 = 0 (c) 9x 48x + 50 = 0 (d) 9x + 48x + 50 = 0 Problema 5 Sean a y b dos números reales tales que b = + + a, donde ( ) b 4 a 6 a Cuál es el valor del número? 4 (a) (a + 1) (b) a + 1 (c) a (d) + a Problema 6 Sea n un número entero positivo tal que n se expresa en notación decimal como n = a 1 a 0 Si n es divisible por 1, cuál de las siguientes afirmaciones entre los dígitos a 0 y a 1 de n se debe de cumplir? (a) a 0 a 1 es divisible por 3 (b) a 0 a 1 es divisible por 5 (c) a 0 a 1 es divisible por 7 (d) a 0 a 1 es divisible por 9 Problema 7 incógnitas Cuál es la solución del sistema de dos ecuaciones lineales con dos x 3 y = 1 6 x + y 3 = 1 6?

4 3 (a) ( ) 1 13, 5 13 (b) ( 1 13, 5 ) 13 (c) ( 1 13, 5 ) 13 (d) ( 1 ) 13, 5 13 Problema 8 El sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y = 3 7x + 4y = 1 admite una única solución, y dicha solución se encuentra en la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y = ax + b, con a, b R, a 0 Cuál es la ecuación cuadrática? (a) y = 15x + 10 (b) y = 15 10x (c) y = 10 15x (d) y = 10x + 15 Problema 9 En el plano R, considere la recta y = 3x + Si esta recta se translada paralelamente sobre el eje x tres y media unidades hacia la izquierda, cuál es la ecuación de la recta obtenida? (a) y = 6x + 5 (b) y = 3x 5 (c) y = 6x 5 (d) y = 3x + 5 Problema 10 El conjunto de puntos de la recta numérica que están entre 1 y 1, considerando a 1 y 1, se le llama intervalo cerrado con extremos 1 y 1, y es denotado por [ 1, 1]; es decir, [ 1, 1] = {x R 1 x 1} Sea f : [ 1, 1] R dada por f(x) = 1 x Determinar el número real f(1 e 4 ), donde e es el número que es base de la función exponencial (a) 1 e 4 e 4 (b) e4 e 4 (c) e4 1 e 4 (d) e 4 e 4

5 4 Problema 11 Cuántas soluciones reales tiene la ecuación (x 4) 3 = x 4? (a) Ninguna solución (c) Dos soluciones (b) Una solución (d) Tres soluciones Problema 1 Cuál de las siguientes relaciones es la correcta? ( ) ( ) (a) ln 013 π < 0 (b) ln 013 π = 0 ( ) 01 (c) ln 013 π > 0 (d) Ninguna de las anteriores Problema 13 ( Cuál es el valor del número real ln e ln(e3 ) )? (a) 3 (b) e 3 (c) ln(3) (d) 1 3 Problema 14 Cuál es el número real x que satisface la ecuación 4 = log (log (x))? (a) (b) 4 (c) 8 (d) 16 Problema 15 Un triángulo rectángulo tiene como uno de sus ángulos interiores al ángulo θ, donde 0 < θ < 90, y la longitud de su hipotenusa es de cos(θ) Cuáles deben de ser las longitudes de sus catetos?

6 5 (a) sen (θ) y cos(θ) (b) cos (θ) y sen(θ) (c) cos (θ) y cos(θ) (d) sen (θ) y sen(θ) Problema 16 Cuáles de las siguientes identidades trigonométricas es la correcta? (a) cos (θ) + cos (90 θ) = 1 (b) cos (θ) = cos (90 θ) (c) cos (θ) + cos (90 θ) = 1 (d) cos (θ) + cos (90 θ) = 1 Problema 17 Cuál es la ecuación de la recta en el plano xy que es tangente a la circunferencia con centro en el punto (0, 1) y radio 5 unidades, la cual es paralela al eje de las x s? (a) y = 4 (b) x = 5 (c) y = 5 (d) x = 4 Problema 18 Sea T 0 = ACB un triángulo rectángulo el cual tiene longitudes en sus catetos de 5 y 3 unidades, donde C es el vértice que soporta el ángulo recto Por ejemplo, se pude suponer que el segmento AC tiene longitud de 5 unidades Considere los puntos medios de los catetos del triángulo T 0, denotados por A 1 y B 1, y los unimos por un segmento de recta Notemos que si consideramos el triángulo T 1 = A 1 CB 1, éste es un triángulo rectángulo Ahora, con el triángulo rectángulo T 1, hacemos el mismo procedimiento realizado con el triángulo T 0, es decir, consideramos los puntos medios de los catetos del triángulo T 1, denotados ahora por A y B, y los unimos por un segmento de recta para formar el triángulo rectángulo T = A CB Bajo este procedimento, supóngase que hemos construído los triángulos T 0, T 1,, T 0 Cuál es el área del triángulo T 0?

7 6 (a) (b) (c) (d) Problema 19 Un círculo C es tal que el promedio de su perímetro de circunferencia junto con su área es 3π/ Cuál debe de ser su radio? (a) 1 (b) 1 (c) 3 (d) Problema 0 Dos círculo C 1 y C, de áreas A 1 y A, perímetros P 1 y P, y radios r 1 y r respectivamente, son tales que A 1 A = π y P1 + P = 16π Cuántas unidades deben de valer r 1 y r? (a) r 1 = 3 y r = 1 (b) r 1 = y r = 3 (c) r 1 = 1 y r = 3 (d) r 1 = 3 y r = Problema 1 Hay tres grupos de primer año en el turno matutino de una secundaria, a saber, 1 A, 1 B y 1 C A mediados del ciclo escolar, tres alumnos de primer año de secundaria provenientes de otras ciudades ingresan a esta secundaria, y deberán de ser distribuidos cada uno de ellos en algún grupo de tal manera que ninguno de ellos coincida con los otros De cuantas maneras estos alumnos pueden ser distribuidos? (a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) 1 Problema Elija una de las opciones siguientes que corresponda a la ecuación del círculo en el plano que tiene centro en el punto (1, 1) y radio unidades (a) (x 1) + (y 1) = (b) (x 1) + (y + 1) = (c) (x + 1) + (y 1) = (d) (x + 1) + (y + 1) =

8 7 Problema 3 Una esfera de radio r unidades está inscrita en un cubo Cuál es el volumen contenido en el cubo que está fuera de esfera? ( ) ( ) ( ) 3 4π 4π 3 4 4π (a) r 3 (b) r 3 (c) r Problema 4 (d) ( 4π 1 3 ) r 3 Una agencia de venta de autos pretendía obtener, en el año 011, una venta de un lote de autos de un modelo específico por la cantidad de $ , pero únicamente tuvo una venta de $ Si a los autos vendidos se les hubiera aumentado la cantidad de $ sobre su precio, entonces se hubiera obtenido la cantidad de dinero en venta esperada Cuál es la cantidad de autos en el lote? Cuál es el costo de cada uno de los autos? (a) Lote: 19 autos Costo: $ (b) Lote: 10 autos Costo: $ (c) Lote: 96 autos Costo: $ (d) Lote: 48 autos Costo: $ Problema 5 De acuerdo con la figura de abajo, se tiene un cŕculo C, en donde el ángulo θ del triángulo COA está dado en radianes Cuál es el área de la región limitada por los segmentos CA y AB, junto con el arco BC? C C 1 ) θ O A B (a) 1 (c) 1 ( θ + cos(θ) ) ( θ + sen(θ) ) (b) 1 (d) 1 ( θ sen(θ) ) ( θ cos(θ) )

9 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 011 Examen para Nivel Secundaria Primera Etapa Instrucciones: No utilizar ningún tipo de dispositivo electrónico con el que se puedan realizar operaciones No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el conocimiento propio de la matemática Deberá de contestar los siguientes problemas de opción múltiple Duración de Examen: 3:00 horas Problemas Problema 1 Si x = 6, donde 3 3 es una fracción mixta, ¾cuál es el valor de x? (a) 3 1 (b) 1 3 (c) 1 3 (d) (e) 1 Problema En un poblado del estado de Oaxaca se realizó una encuesta a hombres y mujeres de entre 16 y 18 años que estudian y/o trabajan Algunos de los resultados obtenidos fueron los siguientes: Las dos terceras partes de ellos estudia y trabaja; de los que estudian y no trabajan, la cuarta parte tienen pocos recursos para continuar sus estudios y son 3501 jóvenes; y de los que no estudian y trabajan corresponde a un total de 473 jóvenes ¾Cuál es la población total de jóvenes encuestados (a) 5606 (b) 5066 (c) 5607 (d) 507 (e) 5608 Problema 3 Un autobús foráneo va a una velocidad de 85 kilómetros por hora ¾Cuál es la velocidad equivalente del autobús en metros por segundo? (a) 363 m/s (b) 365 m/s (c) 368 m/s (d) 364 m/s (e) 369m/s Problema 4 Supóngase que se tiene tres números reales a, b y c los cuales satisfacen las relaciones a < 0 < b y c < 0 ¾Cuál de las siguientes relaciones es la correcta? (a) b ac < b (b) b ac = b (c) b ac > b 1

10 Problema 5 Considere el segmento de la recta numérica que tiene por extremos 1/3 y 7/5 ¾Cuál es el número real x que se encuentra dentro del segmento considerado, sabiendo que éste se encuentra cerca del extremo 1/3, a una distancia de la tercera parte de la longitud del segmento? (a) 9/45 (b) 10/45 (c) 11/45 (d) 1/45 (e) 13/45 Problema 6 El número 011 es un número primo el cual se puede expresar en la forma: 011 = ( 1005) + 1 = (3 670) + 1 = (6 335) + 1 Es decir, para ciertos números naturales n y q se puede tener que 011 = nq+1 Establezca si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Dados n y q números naturales, se tiene que 011 = nq + 1 si y sólo si n divide a 010 (a) Verdadero (b) Falso Problema 7 Establezca la fracción algebraica que es equivalente a la siguiente: 1 x + y y (a) x + y + y y (b) x + y y x (c) x + y + y x (d) x + y y x (e) x + y + y y Problema 8 El polinomio f(x) = x 3 8x + 17x 10 se factoriza en la forma f(x) = (x 1)( x)g(x), donde g(x) es un polinomio lineal ¾Quién es el polinomio g(x)? (a) g(x) = 3 x (b) g(x) = 4 x (c) g(x) = 5 x (d) g(x) = 6 x (e) g(x) = 7 x

11 Problema 9 Usando la relación x n 1 = (x 1)(x n 1 +x n + +x+1) adecuadamente en dos ocaciones, al polinomio f(x) = x 01 1 lo podemos factorizar en la forma f(x) = (x 1)(x x x )g(x), para algún polinomio g(x) ¾Cuál debe de ser el grado del polinomio g(x)? (a) 504 (b) 503 (c) 50 (d) 501 (e) Problema 10 Seleccione la relación que sea la correcta, si es que la hay (a) ln(40) = 4 ln() + ln(10) ln(5) (b) ln(40) = 4 ln() + ln(5) ln(10) (c) ln(40) = 5 ln() + ln(5) (d) ln(40) = 4 ln() + ln(10) 4 ln(5) (e) Ninguna de las anteriores Problema 11 Considere la función f : R R dada por la relación f(x) = x ¾Cuál es el valor de f(π 1)? (a) π 1 (b) π + 1 (c) π π + 1 (d) π + π + 1 (e) π Problema 1 De nuevo, considere la función del problema anterior, es decir, f : R R dada por la relación f(x) = x Seleccione la relación que sea la correcta, si es que la hay (a) f((x 1) 1) = f(x 1)f(1) (b) f((x 1) 1) = f(x)f(x ) (c) f((x 1) 1) = f(x(x )) (d) f((x 1) 1) = f(x(x + ) (e) Ninguna de las anteriores Problema 13 La velocidad de la luz es de c = km/s Albert Einstein estableció la famosa Teoría Especial de la Relativa la cual, entre una de sus consecuencias, dio como resultado la llamada Paradoja de los Gemelos, y que consiste en lo siguiente: Si un gemelo A viaja en una nave espacial a una velocidad v cercana a la velocidad de la luz, entonces el gemelo B que se queda en la Tierra observará que ha envejecido más que el gemelo

12 4 A, después de que ha retornado el gemelo A a la Tierra La solución a esta paradoja se establece por el signicado que tiene la fórmula: t = t 0 1 v /c, donde t 0 y t son ciertas mediciones de intervalos de tiempo Supógase que se conocen los valores de t 0, t y, por supuesto, c ¾Cómo se debe de calcular el valor de v? (a) v = c 1 t 0/t (b) v = c (1 t 0)/t (c) v = c (1 t )/t 0 Problema 14 es el valor de x? De acuerdo con la porciónde recta numérica que se muestra abajo, ¾cuál 1/3 x /5 (a) 13 7 (b) 14 7 (c) 15 7 (d) 16 7 (e) 17 7 Problema 15 Considere los puntos en el plano P = ( 1, 1), Q = (0, 1) y R = (1, 0), los cuales forman un triángulo ¾Cuál es el área del triángulo que forman? (a) 3/ (b) 5/ (c) 7/ (d) 9/ (e) 1/ Problema 16 En un triángulo rectángulo con longitud en su hipotenusa de c unidades y ángulo interior θ < 90, elija la opsición con la que se puede calcular el área del triágulo con los datos dados (a) c cos (θ)/ (b) c cos(θ) sen(θ)/ (c) c sen (θ)/ (d) c sen (θ)/ (e) c sen (θ)/

13 Problema 17 Considere un triángulo rectángulo ABC el cual tiene longitudes en sus catetos de y 3 unidades Sea h unidades la altura determinada sobre la hipotenusa del trángulo ABC ¾Cuál es el valor de h? (a) 3 unidades (b) 6 (c) 6 13 unidades (d) 6 13/13 unidades (e) 6/13 5 Problema 18 ¾Cuál es la media aritmética de los números 1,,, 100? (a) 50 (b) 503 (c) 505 (d) 50,7 (e) 51 Problema 19 plano Elija la posibilidad correcta que pueda ocurrir entre dos rectas en el (a) Tienen dos puntos de intersección (b) Tienen una innidad de puntos de intersección (c) Ninguna de las anteriores Problema 0 Un barril cilíndrico de base circular y de 13 metros de altura tiene una capacidad de 100π litros ¾Cuál es el diámetro del barril? (a) 4 39/13 (b) 39/13 (c) 4 39/13 (d) 6 39/13 (e) 8 39/13 Problema 1 Determine el valor correcto que falta en la siguiente diferencia: - 3 km 80 m 15 cm 13 mm km 98 m 17 cm 15 mm km 981 m cm 8 mm (a) 1 (b) 8 (c) 97 (d) 13 (e) 45

14 6 Problema Establezca la factorización de la expresión algebraica: ( x /3 y 5/3 + xy ) ( x /3 y 5/3 xy ) + ( xy + x 7/3 y 4/3) ( xy x 7/3 y 4/3) (a) ( x 7/3 y 4/3 x /3 y 5/3) ( x 7/3 y 4/3 + x /3 y 5/3) (b) ( x /3 y 5/3 + x 7/3 y 4/3) ( x /3 y 5/3 x 7/3 y 4/3) (c) ( x 7/3 y 5/3 + x /3 y 4/3) ( x 7/3 y 5/3 x /3 y 4/3) (d) ( x 7/3 y 5/3 x /3 y 4/3) ( x 7/3 y 5/3 x /3 y 4/3) (e) ( x 7/3 y 5/3 + x /3 y 4/3) ( x 7/3 y 5/3 + x /3 y 4/3) Problema 3 Se tiene un hexágono regular cuya apotema mide 3/14 unidades ¾Cuál es la medida de cada uno de sus lados? (a) 3/7 (b) 7 3/ (c) 3/7 (d) /3 (e) 7/7 Problema 4 Carlos es un obrero de familia que tiene dos hijos: Alberto y Beatríz De su salario que recibe mensualmente, al inicio del ciclo escolar, el 60 % lo usará en la compra de útiles escolares para sus hijos Pero, como Beatríz va en la secundaria y Alberto en la primaria, Carlos gastará el 73 % para Beatríz ¾Cuál es el porcentaje de salario de Carlos que le corresponderá a su hijo Alberto en este caso? (a) 168 % (b) 17 % (c) 7 % (d) 7 % (e) 16 % Problema 5 De acuerdo con la gura de abajo, ¾cuál es la longitud del segmento DC? El segmento OD es una de las alturas del triángulo AOB C A C r D B O r (a) r(1 ) (b) r( ) (c) r( + ) (d) r(3 ) (e) r(3 + )

15 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 01 Examen para Nivel Medio Superior Primera Etapa Instrucciones: No utilizar celular (éste deberá de estar apagado), calculadora ó cualquier otro medio en el cual se puedan realizar operaciones aritméticas No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el conocimiento propio de la matemática Deberá de contestar los siguientes problemas de opción múltiple Duración de Examen: 3:00 horas Problemas Problema 1 Cuantas cadenas de cinco caracteres se pueden hacer usando dos letras y tres dígitos (sin repetir alguna letra o número) de la siguiente forma LLDDD? a) 7 10 b) 7*6*10*9*8 c) d) Problema Cuántas cadenas de cinco caracteres se pueden hacer usando tres letras y dos dígitos de la siguiente forma LLLDD? a) 7 10 b) 7*6*5*10*9 c) d) Problema 3 Cuántas cadenas de cuatro dígitos se pueden formar? a) 10 4 b) 10*9*8*7 c) d) Una infinidad Problema 4 Cuántas cadenas de cuatro dígitos se pueden formar, si debe haber al menos dos 4? a) 10 4 b) 10*9*8*7 c) 600 d) 10 4 / Problema 5 Cuántas cadenas de cuatro dígitos se pueden formar, si el primero debe ser impar? a) 10 4 b) 10 4 / c) d) 10 4 /5 1

16 Problema 6 Cuántos números menores o iguales que 000 son divisibles por 9? a) 00 b)1 c) d) 3 Problema 7 Cuántos números menores o iguales que 000 son divisibles por 3, pero no por 5? a) 531 b) 53 c) 533 d) 534 Problema 8 Cuántos números menores o iguales que 000 nos son divisibles por 3? a) 131 b) 13 c) 133 d) 134 Problema ( ) 9 Cuántas maneras hay de repartir 0 chocolates a un grupo de 6 niños? 0 a) b) 0*19*18*17*16*15 c) 0 6 d) Problema 10 De cuantas formas puedo elegir tres números impares ( del ) 1 al 100? 50 a) 3 3 b) 5 3 c) 3 5 d) 3 Problema 11 En un reclusorio hay 78 prisioneros Si se sabe que se van a fugar cuatro de ellos en cuatro diferentes días De cuantas formas puede pasar esto? a) 78 4 b) 4 78 c) 78*77*76 d) 78!/74! Problema 1 Considere la siguiente figura Cuál de las siguientes expresiones relaciona la medida de los ángulos? a) m β + m γ < m α b) m β + m γ > m α c) m β + m γ = m α d) m β + m α = m γ

17 3 Problema 13 Qué valor de x satisface la siguiente ecuación? ln x = ln + ln( + ( ) + ln + + ) ( + ln + ) a) 1 b) c) d) Problema 14 Cuál es el valor de la integral π/ 0 sen 3 θ dθ a + b ab cos θ? 1 a) 15a 3 b [(a 3 b)3 (a + 3ab + b ) a + b (a 4 11a b + b 4 )] 1 b) 15a 3 b [(a 3 b)3 (a + b) a + b (a 4 11a b + b 4 )] 1 c) 15a b [(a b)3 (a + ab + b ) a + b (a 4 11a b + b 4 )] 1 d) 15a b [(a b)3 (a + 3ab + b ) a + b (a 4 11a b + b 4 )] Problema 15 Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras A, A, A, I, I, N, N, N, N, D, D? a) 3!!4!! b) 11!-3!!4!! c) 11!/3!!4!! d) 3!!4!!/11! Problema 16 Sean a, b R tales que 0 < b a Cuál de las siguientes desigualdades es cierta a) ln a b a b a c) a b a a + b b ln b a a + b b b) a b a + b ln a a b d) a b ln a a b a + b b Problema 17 La distancia entre dos postes es de 10 metros, como se muestra en la siguiente figura

18 4 La longitud de cada poste es de 3 y 5 metros A manera de soporte, un cable que une la parte superior de los dos postes se sujeta a un punto en el piso, localizado sobre la línea que une los dos postes Con respecto al punto A donde debe situarse el punto P de manera que la longitud del cable sea el mínimo a) 5 b) 5 4 c) 15 d) 15 4 Problema 18 Qué tipo de triángulo es posible construir con lados cuyas longitudes sean:,4,6? a) Equilatero b) Isósceles c) Escaleno d) Ni uno Problema 19 Se quiere recubrir un área de 65 cm utilizando simultáneamente cuadrados de 4 cm y 5 cm sin que se traslapen Cuál de los siguientes enunciados es la solución al problema a) Tiene infinidad de soluciones b) No tiene solución c) Tiene solución única d) Tiene dos soluciones Problema 0 Considere un cubo de lado uno, se realiza un corte que pasa por tres de sus vértices tal como se muestra en la siguiente figura Cuántos cortes adicionales con esta característica se pueden hacer en el cubo? Después de realizar los cortes se genera un poliedro Cuál es su volumen? a) 1 corte y el volumen es 3 3 b) 1 corte y el volumen es 1 c) 3 cortes y el volumen es d) 3 cortes y el volumen es 1 3 3

19 Problema 1 ( Todos los puntos ) racionales (x, y) del círculo x( + y = 1 están dados por: 1 m a) (x, y) = 1 + m, m 1 m b) (x, y) = 1 + m 1 + m, m ) ( ) ( 1 + m) 1 m c) (x, y) = 1 + m, m 1 m d) (x, y) = 1 + m 1 + m, m 1 + m Donde m recorre todos los números racionales 5 Problema Considere tres enteros positivos a, b, c tales que a + b > c Se tiene la ecuación ax + by = c, cuál de los siguientes enunciados es válido para la ecuación: a) Tiene infinidad de soluciones enteras b) No tiene soluciones enteras c) Sólo tiene soluciones enteras positivas d) Tiene un número finito de soluciones enteras Problema 3 Se tiene un tablero cuadrado, este se perfora para representar fracciones utilizando pija y ligas Las fracciones se representan en forma lineal y en forma de área, y estas son medios, tercios, cuartos y así sucesivamente hasta un décimos Cuántas perforaciones tiene el tablero? a) 373 b) 469 c) 753 d) 1089 Problema 4 Hay dos rectas que pasan por el punto (4, 1) y forman triángulos de área 3 en los cuadrantes II y IV Cuáles son sus pendientes? 3 a) m = 4 ± 11 7 b) m = 11 ± 4 7 c) m = 4 ± 7 11 d) m = 11 ± Problema 5 Dado el triángulo ABC y el triángulo DEF ambos de mismo perímetro (1), y se sabe que el triángulos ABC es rectángulo y que el triángulo DEF es equilátero Cuál tiene mayor área? a) ABC b) DEF c) Igual d) No se sabe

20 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 011 Examen para Nivel Medio Superior Primera Etapa Instrucciones: No utilizar ningún tipo de dispositivo electrónico con el que se puedan realizar operaciones No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el conocimiento propio de la matemática Deberá de contestar los siguientes problemas de opción múltiple Duración de Examen: 3:00 horas Problemas Problema 1 x 1 Al simplicar la expresión x 1 x x 1 + x resulta (a) 0 (b) 1 (c) x (d) x 1 (e)x + 1 Problema Al simplicar la expresión x 1+x 1 1 x 1 x resulta (a) 1 (b) x (c) x 1 x (d) x 1+x (e) x (1 x)( 1 x) Problema 3 ¾Cuántas parejas de enteros x y y existen con x y tales que x + y = 010? (a) 0 (b) 1 (c) (d) 3 (e) 4 Problema 4 Un rectángulo con lados a y b tiene un perímetro de 8u, si una de sus diagonales mide 10u, entonces el área del rectángulo es, (a) 36 (b) 40 (c) 48 (d) 84 (e) 96 Problema 5 Si x+1 =,5, entonces el valor de 3x es (a) 9 (b) 3 (c) 1 (d) 3 (e) 9 1

21 Problema 6 El valor exacto de la expresión Sen ( 7π 1 ) es (a) 1+ 3 (b) 3 + (c) + 6 (d) + 3 (e) Problema 7 Si n y k son enteros tales que Sen (k π) = Cos (n π ) = 0 Entonces n + k puede obtener el valor (a) 0 (b) 1 (c) (d) 4 (e) 8 Problema 8 El punto de la recta y = x + 5 más cercano al punto (0, 5) es, (a) ( 7 0,5, 0,5) (b) ( 5, 0) (c) (, 3) (d) (, 3) (e) (0, 5) Problema 9 ¾Cuál de las siguientes cantidades se puede expresar como cociente de dos enteros? 1 la cantidad de veces que cabe el radio de un círculo en su circunferencia, longitud de la diagonal de un cuadrado con un lado de longitud entera, 3 altura de un triángulo equilátero con un lado de longitud entera, 4 área de un círculo con un radio entero, 5 ninguna de las anteriores Problema 10 El máximo común divisor de dos enteros m y n es 1, si m < n ¾cuál de las siguientes armaciones es válida? 1 no hay un primo que divida a m y n al mismo tiempo, el número primo 1 divide a m y n, 3 sólo hay un primo que divide a m y n, 4 m divide a n, 5 ninguna de las anteriores Problema 11 A un tablero de ajedrez T de 8 8 se le han quitado los dos cuadrados de 1 1 que están en las esquinas de una diagonal ¾Cuál es el mayor número de chas de dominó de 1 que se pueden acomodar sobre el tablero T sin que estas se translapen? (a) 8 (b) 9 (c) 30 (d) 31 (e) 3

22 Problema 1 El área de un triángulo con vértices en los puntos (0, 1), (1, 4) y (7, ) es, (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) (e) 0 3 Problema 13 En una escuela solo hay alumnos que nacieron entre el primero de enero de 1999 y el 31 de diciembre de 005 ¾Cuál es el menor número de alumnos que se deben inscribir a un grupo para estar seguros que hay al menos dos alumnos que nacieron el mismo año y el mismo mes? (a)60 (b)61 (c)7 (d)73 (e)85 Problema 14 ¾Cuál es la probabilidad de que un alumno contestando aleatoriamente este examen responda de manera correcta todos los ejercicios? (a)5 5 (b)5 6 1 (c) 5 5 (d)5 5 (e) Problema 15 Cuántas raíces reales tiene el polinomio f(x) = (ax +bx+c)(cx +bx+a) si a > 0, b < 0 y c < 0 (a)0 (b)1 (c) (d)3 (e)4 Problema 16 Un triángulo equilátero tiene sus vértices sobre una circunferencia de perímetro 4π El área del triángulo es, (a) 3 (b) 3 (c) 3 3 (d) 3 3 (e) Problema 17 Calcule el perímetro del círculo descrito por la ecuación x x + y 4y + 1 = 0 (a)4π (b)6π (c)8π (d)π (e)π Problema 18 Suponga una circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (, ) y (0, ) Calcule el área de tal circunferencia (a)9π (b)4π (c)π (d) π 4 (e)π

23 4 Problema 19 Eliseo, Oscar y Abelardo tienen 1 dulces Si Oscar le da 3 dulces a Eliseo, Abelardo le da un dulce a Oscar y Eliseo le da dulces a Abelardo, entonces todos ellos quedan con la misma cantidad de dulces ¾Cuantos dulces tenía Abelardo inicialmente? (a)5 (b)4 (c)1 (d) (e)3 Problema 0 Suponga un pentágono convexo ABCDE, en el cual todos sus lados tienen la misma longitud Si los ángulos en A y en B son rectos, ¾Cúal es la medida del ángulo en D? (a)90 (b)10 (c)45 (d)60 (e)75 Problema 1 Calcule el coeciente del termino x 5 que resulta al expandir la siguiente expresión (x + ) 4 (x + 3) 3 (a)31 (b)30 (c)13 (d)57 (e)85 Problema A partir de un cuadrado de lado dos, se construyen todos los cuadrados posibles que tengan al menos dos vértices en común con él ¾Cuál será el área cubierta por todos los cuadrados construidos? (a)8 (b)6 (c)3 (d)0 (e)4 Problema 3 La suma de todos los divisores de 10 5 esta dada por: (a) (b) (c) (6 1)(5 6 1) (d) (e) Problema 4 El área de un octágono regular de lado a esta dada por: (a) a (b) ( 4 + ) a (c) ( 4 ) a (d) ( ) a (e) ( + ) a Problema 5 En la igualdad x+1 + x = 3 y+ 3 y se sabe que tanto x como y son números enteros ¾Cuál es el valor de y? (a)0 (b)1 (c) (d)3 (e)4