APUNTES DE MATEMÁTICAS
|
|
- Milagros Acuña Coronel
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicente Adsuara Ucedo
2 TEMA 4: LA RECTA 4. Ecuación ectorial de la recta Una recta queda determinada por un punto A y un ector libre no nulo paralelo a ella que se llama ector de dirección de la recta. y A X ( x, y ) r x x Vamos a obtener la relación ectorial que caracteriza a todos los puntos de la recta r. Si X (x, y) es un punto cualquiera de la recta r, el ector AX tiene la dirección de y en consecuencia son linealmente dependientes, es decir son proporcionales, luego: AX t, t R Según la figura: OX OA+ AX es decir OX OA+ t OX Si a es el ector de posición del punto A y x es el ector de posición del punto X: x a + t que es la ecuación ectorial de la recta r. Ejemplo: La ecuación de la recta r que pasa por el punto (, -) y tiene por ector (, 3) es: (x, y) (, -) + t (, 3) 8
3 4. Ecuaciones Paramétricas y en forma continua de una recta De la ecuación ectorial de la recta r: (x, y) (x, y ) + t (, ) (x, y) (x + t, y + t ) es decir: x x + t y y + t que son las ecuaciones paramétricas de la recta. El escalar t R se llama parámetro, y para cada alor de t se obtiene un punto distinto de la recta. Ejemplo: Calculemos las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A (, -3) y tiene por ector de dirección al ector MN, siendo M (0, 5) y N (-, 3). Las componentes MN son: (- 0, 3 5) (-, -), por lo que las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x t y -3 t 4.3 Ecuación en forma continua de una recta En las ecuaciones paramétricas de la recta se puede eliminar el parámetro t despejando en cada una de ellas e igualando las expresiones resultantes: x x y y que es la ecuación de la recta en forma continua. Para expresar esta ecuación solo necesitamos conocer un punto que dé la recta A (x, y ) y un ector paralelo a ella (, ). Ejemplo: 9
4 La ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto (3, 5) y tiene por ector de dirección (-, 3) es: 4.4 Ecuación general de una recta De la ecuación en forma continua de la recta: x x y y, con 0 y 0 se obtienen las siguientes expresiones: x 3 5 y 3 (x x ) (y y ) x - x y - y x - y + y - x en la que llamando: A, B - y C y - x, resulta: A x + B y + C 0 que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. La única condición restrictia es A y B no pueden ser cero al mismo tiempo ya que el ector (0, 0) no define ninguna dirección. En todos los casos el ector de dirección de la recta endrá dado por: ( ) ( B A),, Ejemplo: Dada la ecuación de la recta en forma general: x 3y + 5 0, amos a escribirla en las formas: ectorial, paramétrica y continua: El ector de dirección será: (3, ) 30
5 Necesitamos encontrar ahora un punto que pertenezca a la recta : si a x le damos el alor obtenemos para y el alor 3, luego el punto A (, 3) pertenece a la recta y por tanto la ecuación ectorial será: ( x, y ) (, 3 ) + t ( 3, ), t R Las ecuaciones paramétricas: x + 3t y 3+ t Y la ecuación continua: x y 3 3 Ejemplo: Determina la ecuación general de una recta sabiendo que esta determinada por el punto A (, 5) y por el ector de componentes (-, ). La ecuación ectorial será: (x, y) (, 5) + t(-, ) Las ecuaciones. Paramétricas: x t y 5+ t La ecuación continua: x 5 y Operando: x 4 -y + 5 x + y 9 0 3
6 4.5 Recta que pasa por dos puntos. Pendiente de una recta Sean dos puntos A (x, y ) y B (x, y ) de una recta r. A B Entonces AB es un ector de dirección de la recta: AB (, ) (x x, y y ) Y sustituyendo estas componentes en la ecuación continua de la recta, resulta: x x x x y y y y que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A (, 3) y B (, -5). x y x + 8 y 8x + y 0 3
7 Se define la pendiente de una recta como el cociente de la segunda componente de un ector de dirección de la recta entre la primera, siendo esta última distinta de cero. Se denota con la letra m: m, con. 0 Si 0, la recta es paralela al eje OY y no tiene pendiente. Si la recta iene dada por su ecuación general: Ax + By + C 0, entonces un ector de dirección es (-B, A) y por tanto su pendiente es: A m B La pendiente de una recta no depende del ector de dirección elegido para su determinación, sino que tiene siempre un alor constante. 4.6 Ecuación punto-pendiente de una recta De la forma continua de la ecuación de una recta: x x y y, se obtiene: y y ( x ) y como m, resulta: x y y m (x x ) Que es la ecuación punto pendiente de la recta. Así pues una recta queda determinada cuando se conocen un punto de ella y su pendiente. Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 5) y tiene pendiente /3. y 5 /3 (x ) de donde: 33
8 3y 5 x, luego x 3y Ecuación explícita de la recta Despejando y en la ecuación punto-pendiente: y mx -mx + y, llamando b y mx : y mx + b que es la ecuación explícita de la recta. El término independiente b es la ordenada correspondiente a x 0, por lo que se le llama ordenada en el origen de la recta y mide la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje OY. Ejemplos: a) Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es: x + 3 y Solución: x y x +, de donde m y b b) Escribir la ecuación explícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x 3 t y 5 + t x y 5 Solución: x 4 3y + 5, por tanto: 3 9 y x
9 c) Encuentra un ector de dirección de la recta y 3x 5 Solución: La pendiente es m 3, luego los posibles ectores son: (, 3), (, 6), (3, 9), etc. 4.8 Ecuación segmentaria o canónica de una recta La ecuación segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que esta determina sobre los ejes de coordenadas: a se llama abcisa en el origen de la recta b se llama ordenada en el origen de la recta ( 0, b ) b a ( a, 0 ) La ecuación de la recta que pasa por los puntos: (a, 0) y (0, b) es: x x x x y y y y x a y b 0 a b 0 x a a y b x a + y b x y, es decir + a b con a, b 0 Que es la ecuación segmentaria de la recta. Los alores de a y b se pueden obtener fácilmente de la ecuación general: 35
10 Si hacemos y 0 resulta x a Si hacemos x 0 resulta y b Una recta carece de forma segmentaria en los siguientes casos: Caso : Recta paralela al eje X y b Caso : Recta paralela al eje Y x a 36
11 Caso 3: Recta que pasa por el origen y m x En los casos y, como ya se ha isto tampoco existe forma continua. Recordemos además que en el caso la pendiente es cero, y en el caso no hay pendiente. EJERCICIOS RESUELTOS: ) Hallar la ecuación segmentaria de la recta que pasa por P (-, ) y tiene por ector de dirección a (3, -4). Solución: x + 3t De las ecuaciones paramétricas: y 4t x + y se obtiene la forma continua: 3 4 y de ésta la ecuación general: 4 x 8 3y 3 4x + 3y Entonces, si y0, x-5/4 a, y si x 0, y -5/3 b, luego la ecuación será: x y + 5/ 4 5/ 3 37
12 x y ) Dada la recta r en forma canónica: + 5 escribir la ecuación general y la ecuación ectorial de r. Solución: 5x y -0 5x y (ecuación general). (-, 0) es un punto de r, y el ector de dirección (-B, A) (, 5), luego: (x, y) (-, 0) + t(, 5) es la ecuación ectorial. 4.9 Incidencia de puntos y rectas Sean un punto P (x, y ) y una recta r : Ax + By + C 0 del plano afín: El punto P es incidente con la recta r, o el punto P pertenece a la recta r, o la recta r pasa por el punto P, cuando las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la recta. Es decir: Si P r Ax + By + C 0 Si P r A x + B y + C 0 La sustitución de las coordenadas del punto puede hacerse en cualquiera de las formas de la ecuación de la recta. 4.0 Condición de alineación de tres puntos Se dice que tres puntos distintos del plano P (x, y ), Q (x,y ) y R (x 3, y 3 ) están alineados cuando los tres pertenecen a una misma recta. 38
13 La recta que pasa por P y Q será: x x x x y y y y Si el punto R también pertenece a esta recta deberá satisfacerla: x x 3 x x y y 3 y y, con x x, y y También podemos analizar el tema de tres puntos alineados: P, Q y R diciendo que lo estarán si los ectores: PQ y QR tienen la misma dirección, es decir sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Veamos si los puntos P (, 3), Q (-, -3) y R (3, 7) están alineados. La recta PQ: x y x + 6-3y + 9 6x 3y x y + 0 Y sustituyendo las coordenadas de R: es decir las coordenadas de R satisfacen la ecuación de la recta PQ, por tanto los tres puntos están alineados. De otra forma: PQ (-, -3 3) (-3, -6) QR (3, 7 3) (, 4) Que son ectores paralelos ya que sus componentes son proporcionales: Haz de rectas Sea un punto P (x, y ) del plano: 39
14 El conjunto de rectas del plano que pasan por el punto P se llama haz de rectas de értice P. Todas las rectas que pasan por el punto P (x, y ) se pueden escribir en la forma punto-pendiente, a excepción, como ya se sabe, de la recta ertical x x 0, que no tiene pendiente. Por tanto: Haz de rectas de értice P: { y y m( x x ) m R} { x x 0}, Es decir, al ariar m en R se obtienen todas las rectas del haz menos una. Así, el haz de rectas de értice P (3, 5) es el conjunto formado por la recta y3, paralela al eje y, y todas las demás que pasan por P con cualquier alor real de la pendiente: Haz de P { y 5 m( x 3 ), m R} { x 3} EJERCICOS RESUELTOS ) Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C 0 Solución: Cualquier recta paralela a r: A x + B y + C 0 debe cumplir que su ector de dirección tenga unas componentes proporcionales a las del ector de dirección de la recta r, es decir: A B A B Si además guarda también proporcionalidad con los términos independientes, entonces las rectas son coincidentes. Luego el haz formado por todas las rectas paralelas a r tendrá por ecuación: Ax + By + k 0, k R ) Hallar la ecuación del conjunto de rectas paralelas a la recta: x
15 Solución: x + 3y + k 0, k R 3) Hallar la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta 5x + y 0 y determinar la recta del haz que pasa por el punto P (, -). Solución: Haz de rectas paralelas: 5 x + y + k 0, k R Y la que pasa por (, -) deberá satisfacer la ecuación anterior: 5 + k 0 k -3 luego la recta buscada será: 5x + y 3 0 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (3, 5) y es paralela a la recta: x 3y Solución: La recta paralela pedida es : x 3y + k 0, k R Si además debe pasar por el punto P: k k 0 k 9 Luego la recta que cumple las dos condiciones será: x 3y ) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y es paralela a la recta t. r: x + t y t s: x + 3y 5 0 t: x y + 3 Solución: Escribamos la recta en forma general: x y + x y + 4 x y 5 0 4
16 El punto de intersección de r y s aparecerá al resoler el sistema formado por r y s: ( y + 5) x y 5 0 x y y 5 0 x + 3y 5 0 4y y 5 0 7y -5, y -5/7 x (-5/7) + 5, x 5/7 La recta t en forma general es: -3x + y 6 3x y Luego la ecuación de todas las rectas paralelas a t: 3x y + k 0, k R Como debe pasar por el punto ( 5/7, - 5/7 ): 3 5/7 (-5/7) + k 0 75/7 + 0/7 + k k 0 k - 85/7 Por tanto la ecuación buscada será: 3x y 85/7 0 x 4y
Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u )
1.3. La recta en el plano afín La recta está formada por puntos del plano en una dirección dada. La ecuación de la recta es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir las coordenadas de un punto
Más detallesEcuación Vectorial de la Recta
Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene
Más detallesTEMA 2: EL PLANO AFÍN
TEMA : EL PLANO AFÍN En la primera mitad del siglo XVIII nació una rama completamente nuea de la Matemática que surge por la necesidad de relacionar las curas del plano con las ecuaciones algebraicas de
Más detallesTEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Más detallesel blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de rectas pág. 1 RECTAS
el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de rectas pág RECTS Ecuación de una recta es la relación que erifican todos los puntos del plano que se encuentran sobre ella y sólo ellos Una recta queda determinada
Más detallesTema 6 La recta Índice
Tema 6 La recta Índice 1. Ecuación vectorial de la recta... 2 2. Ecuaciones paramétricas de la recta... 2 3. Ecuación continua de la recta... 2 4. Ecuación general de la recta... 3 5. Ecuación en forma
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesTEMA 5. GEOMETRÍA EN EL PLANO
TEMA 5. GEOMETRÍA EN EL PLANO. SISTEMAS DE REFERENCIA Y COORDENADAS Un sistema de referencia en el plano consta de dos rectas perpendiculares (llamadas ejes de coordenadas) que se cortan en el punto 0
Más detallesBloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta
Bloque 2. Geometría 3. La recta 1. Definición de recta Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares, cuyo corte es el punto 0 de
Más detallesTEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
Alonso Fernández Galián Tema 6: Geometría analítica en el plano TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias, ) por medio
Más detallesTEMA 4 VECTORES VECTORES TEMA 4. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS VECTOR FIJO. VECTOR LIBRE. SUMA DE VECTORES LIBRES
TEMA 4 VECTORES VECTOR FIJO. VECTOR LIBRE. Un ector fijo en IR 2 está determinado por dos puntos A y B, llamados respectiamente, origen y extremo del ector. Su representación gráfica es una flecha que
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPara localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. R es una cuaterna { O,i, j, k}
Geometría afín del espacio MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMA DE REFERENCIA. ESPACIO AFÍN Para localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. Definición: Un sistema de referencia
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas., es decir, los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, por
Más detallesPROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesEjercicios resueltos
ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas.,
Más detallesG E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A
G E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A. PUNTO MEDIO D E UN SEGME NTO. S IMÉTRICO DE U N PUNTO Sean A y a,a b B,b las coordenadas de dos puntos del plano que determinan el segmento AB. Las coordenadas
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS)
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo formado por dos rectas que se cortan en un punto, o bien por dos rectas que se
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesDado un vector fijo, existen infinitos vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido
1. VECTORES. DEFINICIONES. OPERACIONES Un vector fijo AB queda determinado por dos puntos, el origen A y el extremo B Se llama módulo del vector AB a la distancia que hay entre A y B. Se designa por AB
Más detallesx + 1 y 4 z x + 3 y z 1 x 3 y 2 z + 8
Paralelismo y perpendicularidad MATEMÁTICAS II 1 1 Una recta es paralela a dos planos secantes, a quién es también paralela? Una recta paralela a dos planos secantes también es paralela a la arista que
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Dada la recta del plano de ecuación x 6y + = 0, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. La recta x 6y + = 0 pasa por el punto (0,
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesTEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN. Vectores (1) y E de los correspondientes extremos.
TEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN Vectores (1) 1.- Sea el vector AB, en el que el punto A(3, 2) es el origen y B(5, 6) el extremo. a) Si cada uno de los puntos C(9, 3), D( 4,4) y
Más detallesTeoría Tema 9 Repaso a la geometría en dos dimensiones de 1ºBachillerato
página 1/17 Teoría Tema 9 Repaso a la geometría en dos dimensiones de 1ºBachillerato Índice de contenido Ecuación vectorial, paramétrica, cartesiana y general de la recta en dos dimensiones...2 Pendiente
Más detallesUNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 3.A.1 Características de un lugar geométrico 3.A ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA Se denomina lugar geométrico a todo conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad o que
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)
LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico
Más detallesDISTINTOS TIPOS DE ECUACIONES DE UNA FUNCIÓN LINEAL
DISTINTOS TIPOS DE ECUACIONES DE UNA FUNCIÓN LINEAL Apunte teórico DISTINTOS TIPOS DE ECUACIONES DE UNA FUNCIÓN LINEAL Hasta ahora hemos trabajado con funciones lineales indicando que una función lineal
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesGEOMETRÍ A ANALÍ TÍCA
GEOMETRÍ A ANALÍ TÍCA En este tema estudiaremos vectores (definición, características, operaciones) de forma geométrica y analítica. Además veremos los conceptos de vector director, pendiente de una recta
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 171 a 189
TEM. GEOMETRÍ NLÍTIC SOLUCIONES DE LS CTIVIDDES Págs. 7 a 89 Página 7. (4, 7 ) (7, ). ( 4, ) (7, 6). a) (4 7, 8 ) (, 7) ( 4, 6) (, 8) c) ( 4, 9 ) (, 8) d) (8 8, ) (6, 4) Página 7 4. a) (, ) t (, 9); (4,
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesLA RECTA. Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada.
LA RECTA Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
EL PLANO ECUACIÓN GENERAL El plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo n, el plano perpendicular a n que contiene a p es el lugar geométrico de los puntos p tales que p p n o p p o.
Más detallesGeometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:
5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3
Más detallesUnidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones.
Unidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones. 5 SOLUCIONES 1. Al ser u v =(,5,11), se tiene que ( u v) w = ( 17,13, 9 ). Como v w =( 3,, 7), por tanto u ( v w) = ( 19,11, 5).. Se tiene que: 3. Queda:
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesVectores equipolentes. Vector libre. Componentes de un vector
1.- VECTORES. OPERACIONES Vector fijo Un vector fijo AB es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en B Todo vector fijo AB tiene tres elementos: Módulo: Es la longitud del segmento AB.
Más detallesDISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO
DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Dado un plano definido por su ecuación general, Ax + By + Cz + D, el ector n ( A, B, C) es perpendicular al plano. Dados dos puntos cualesquiera
Más detallesCurs MAT CFGS-13
Curs 2015-16 MAT CFGS-13 Sigue la GEOMETRÍA (Nunca han puesto nada de esto, pero está en el programa) Definición de vectores Definición de vector: Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto
Más detallesLa ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín
La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Si la ecuación solamente tiene
Más detallesVECTORES : Las Cantidades Vectoriales cantidades escalares
VECTORES En física hay dos tipos de cantidades: Las Cantidades Vectoriales son aquellas que tiene tanto magnitud como dirección y sentido sobre la dirección), mientras que las cantidades escalares son
Más detallesGENERALIDADES DE LA LINEA RECTA
JOSE VICENTE CONTRERAS JULIO LICENCIADO EN MATEMATICAS Y FISICA http://www.jvcontrerasj.com http://www.jvcontrerasj.3a2.com/ Una línea recta es el conjunto de todos los puntos que se obtienen con la expresión
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesFUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL ) a) Determine pendiente, ordenada al origen y abscisa al origen, si es posible. b) Grafique. -) a) y = ( x ) aplicando propiedad distributiva y= x se
Más detallesTeoría Tema 6 Ecuaciones de la recta
página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6
Más detallesLa recta en el plano.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 La recta en el plano. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas. Representación
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO 1º Trimestre Autor: Vicente Adsuara Ucedo TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO 1.1 Vectores Fijos Dos puntos distintos A y B determinan una recta que llamaremos la recta r. También
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesSolución. También se observa que el punto N es el punto medio del segmento MB, es decir
MODELOS GEOMETRÍA 1 Ejercicio n 4 de la opción A de septiembre de 2007 [1 25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres partes iguales. [1 25 puntos]
Más detallesPágina 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio 1. 2. 3. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a: ax 4y z 1 y az a x 14y 2az 8 Dada la recta x 4 y z 1, 5 2 averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido
Más detallesA. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES
RESUMEN DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II A. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES Un vector fijo de origen A y extremo B, siendo A y B puntos del espacio, es un segmento orientado caracterizado por:
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesUnidad 6 Geometría euclídea. Producto escalar
Unidad 6 Geometría euclídea Producto escalar PÁGINA 131 SOLUCIONES 1 La recta 4 x 3y + 6 = 0 tiene de pendiente 4 m = 3 4 Paralela: y 1 = ( x ) 4x 3y 5 = 0 3 4 Perpendicular: y 1 = ( x ) 3x + 4y 10 = 0
Más detallesMATEMÁTICAS II. 2º BACHILLERATO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS II. º BACHILLERATO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA REAL COLEGIO NTRA. SRA. DE LORETO FUNCACIÓN SPÍNOLA.- Halla la ecuación del plano, a. que pasa por A(,, 0) es perpendicular a w, 0 b. que pasa por
Más detallesTEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación general de la recta. Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección (llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta. Tipos de ecuaciones
Más detallesDepartamento de matemáticas
Geometría con solución Problema 1: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 2:
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4º ESO A
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4º ESO A 1. Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A(1,4) y B(0,-1) en todas sus formas: vectorial, continua, punto-pendiente, explícita y general.
Más detallesObserva que : OA + AB = OB a + AB = b AB = b a
.- PUNTOS EN EL ESPACIO Sistema de referencia Un sistema de referencia en el espacio es un conjunto formado por un punto de referencia O y la base ortonormal canónica B = i, j, k. Se representa así:. En
Más detallest'' B' t' La recta "t" es la trayectoria de la gota de agua
EJERCICIO 1 ABD y BDC son dos planos que forman parte de un tejado. Trazar una horizontal del plano ABD de cota 3 Dibujar la trayectoria de una gota de agua que parte de un punto medio de la recta BC B"
Más detalles2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL ESPACIO Y LOS VECTORES. AXIOMAS DEL ESPACIO AFÍN Entendemos por espacio afín tridimensional como el conjunto de puntos del espacio intuitivo
Más detallesResolución Guía de Trabajo. Geometría Analítica.
Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería TEMUCO, Agosto 8 de 01 Departamento de Matemática y Estadística Resolución Guía de Trabajo. Geometría Analítica. Fundamentos de Matemáticas. Profesores:
Más detallesPara localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia.
Rectas y planos en el espacio MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL ESPACIO Para localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. Definición:
Más detallesGEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1, 0, [1,5 puntos]
Matemáticas II Pruebas de Acceso a la Universidad GEOMETRÍA Junio 94 1 Sin resolver el sistema, determina si la recta x y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1 Razónalo
Más detallesGuía de Matemática Segundo Medio
Guía de Matemática Segundo Medio Aprendizaje Esperado:. Analizan la ecuación de la recta; establecen la dependencia entre las variables y la expresan gráfica y algebraicamente.. Identifican e interpretan
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte
Más detallesECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS Una recta en el plano está determinada cuando se dan dos puntos cualesquiera de la recta, o un punto de la recta y su dirección (su pendiente o ángulo de inclinación). La
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesb) Halle el punto de corte del plano π con la recta que pasa por P y P.
GEOMETRÍA 1- Considere los puntos A(1,2,3) y O(0,0,0). a) Dé la ecuación de un plano π 1 que pase por A y O, y sea perpendicular a π 2 : 3x-5y+2z=11. b) Encuentre la distancia del punto medio de A y O
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesUnidad 5: Geometría Analítica
Unidad 5 Geometría Analítica 5. Ecuaciones de una recta Los planos y las rectas son objetos geométricos que se pueden representar mediante ecuaciones. Encontraremos la ecuación vectorial de una recta r
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesUn sistema de referencia en el plano es un par formado por un punto, llamado origen, y una base de vectores, R = {O, 1, 2}.
INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesIDENTIFICAR LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR
8 REPSO POO OJETIVO IDENTIFICR LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR Nombre: Crso: Fecha: Vector: segmento orientado determinado por dos pntos: (a, a ), origen del ector, y (b, b ), extremo del ector. Coordenadas
Más detallesEl análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.
Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 1. PUNTOS Y VECTORES OPERACIÓN TEORÍA Y FORMULACIÓN EJEMPLO Coordenadas de un punto Punto medio de un segmento Dividir un segmento en n partes iguales Coordenadas de un vector (
Más detallesUnidad 6: punto B. - Módulo de. equipolentes. a) Suma. u v. y v. Ejercicio: dee los números
Unidad 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO 1. VECTORES LIBRES: ESTRUCTURA Un vector fijo AB es un segmento orientado que tienee su origen en e el punto A y su extremo en el punto B. - Módulo de
Más detallesRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 6 7 8 9 0 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,, ) y tiene la dirección del vector k. ACTIVIDADES x 7 y z Halla la ecuación continua
Más detallesEjercicios de Rectas y planos.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Rectas, planos. Pág 1/9 Ejercicios de Rectas y planos. 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detalles101 EJERCICIOS de RECTAS
101 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(5,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detalles