F F / 3 0 A 1 =

Transcripción

1 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (A) 8/05/0. De un paralelogramo ABCD se sabe que A = 3,4, B = 4,3, que las dos coordenadas del vértice C son positivas que la diagonal AC el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C D. De acuerdo con el enunciado se tiene que AC= BC AC= 5 Sea C = ( x, ), entonces con la doble condición establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, resuelto, nos dará las coordenadas del punto C. Será: Como AC= 5, se tiene: Luego, C = 0,0 o C = 7,7. AC= ( x 3) +( 4) BC = ( x 4) +( 3) } ( x 3) +( 4) = ( x 4) +( 3) ( x 3) +( 4) = ( x 4) +( 3) x +9 6 x = x +6 8 x x 8 = 8 x 6 x = ; x = (x 3) +( 4) = 5 ; x +9 6 x+x +6 8 x = 5 x 4 x+5 = 5 ; x 4 x = 0 ; x( x 7) = 0 ; x = 0, x = 7 Por otra parte, obtenemos el punto D como la traslación de vector BA del punto C. Será:. Dada la matriz A = BA = 3,4 4,3 =, D = C BA { D0,0 = D, D7,7 = D6,8 0 0 m 3 4 m a)( punto) Averiguar para qué valores del parámetro m existe inversa. b)( punto) Calcular la inversa para m = 0. c)( punto) Discutir el rango de A en función del parámetro m. a) Para discriminar hacemos det A = 0, será: 0 det A = 0 m 3 = m 4 m 4m 3 det A = 0 ; m 4m 3 = 0 ; m =, m = 3 Luego, para m R {,3} la matriz A tiene inversa. b) Calculamos A por Gauss, será: F F F 3 / F 0 0 / /3 F / / A =

2 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (A) 8/05/0 c) En la discusión del rango de e presentan tres casos según los valores que toma m, son: er caso: Para m m 3, como det A 0, el rango de A es 3. º caso: Para m =, resulta la matriz A es Tenemos el menor 4 0 0, luego el rango de 0 3 er caso: Para m = 3, resulta la matriz rango de A es Tenemos el menor 3 0, luego el Dadas las rectas a) (,5 puntos) Estudiar su posición. 3 x+ z+ = 0 { x +z +4=0 { x = 3t = t z = t a) (,5 puntos) Encontrar la recta que pasa por el punto P =,0, corta a las rectas r s. a) Estudiamos la posición de las rectas con los rangos de sus vectores directores. Será: {u r = 3,,,, =, 5, 7 A r :{ z = 0 z4=0 { = 5 A z= 9 r 0, 5, 9 { u s =,, 3,0, de donde, Luego, las rectas se cruzan. 5 7 rango u r, u s = rango =, porque 5 = rango u r, u s,a r = rango3 5 0 = 3, porque = 6 0 b) La recta t corta a las rectas r s, no dice que sea perpendicularmente, pasa por el punto P. Tenemos la siguiente situación: t corta a r determinan el plano : P, A r P, u r t corta a s determinan el plano : P, P, u s El corte de los planos α β determinan la recta t. Obtenemos los plano : : {P,0, A r P =,0, 0, 5, 9 =,5,8 u r =, 5, 7 {P,0, P =,0, 3,0, =,0, u s =,, ; ; x z = ( x )+5 0( z+) = 0 ; 5 x z 0 = 0 5 x+5 0 z 5 = 0 ; x+3 z 3 = 0 x z+ 0 = 0 ( x ) ( z+) = 0 ; x z = 0 x z 4 = 0 ; x z = 0

3 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (A) 8/05/0 Por tanto, t: { x3 z 3 = 0 x z = 0 4. Resuelve la ecuación x a a a a x a a = 0 a a x a a a a x Este tipo de determinantes se resuelve sumando a la primera fila (columna) el resto sacando la expresión x 3a de la primera fila (columna) como factor del determinante, por último, restando la primera fila (columna) multiplicada por a al resto de las filas. Será: x a a a =x 3a x 3a x 3a x 3a a x a a a x a a = x a a x a a a x a a a a x a a a x 3a a x a a = x 3ax a 3 a a x a = x a a a x 3a 0 x a 0 0 Igualando a cero la expresión obtenida resolvemos la ecuación, es deci { x 3a x a 3 = 0 x 3a = 0 ; x = ± 3a x a 3 = 0 ; x a = 0 ; x = ±a (triple) = 0 0 x a x a

4 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (B) 8/05/0. Dada la matriz A = 0, calcula: S = AA A 3 A n A = 0 A = 0 0 = 0 A 3 = 0 0 = 0 3 A n = 0 n Luego, la suma pedida e Método de inducción: ) Se cumple para n = : A = 0 ) Suponemos que se cumple para n : A n 0 = n 3) Demostramos que se cumple para n : S = n = A n 0 = n 0 = 0 n n n 0 nn. Sean los vectores u =,,3, v =,5,, x = 4,,3 z = 4,, 8 : a) ( punto) Se puede expresar x como combinación lineal de u de v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. b) ( punto) Se puede expresar z como combinación lineal de u de v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. c) ( punto) Son u, v z linealmente independientes? Justifica la respuesta. a) Es evidente que los vectores u v son linealmente independientes, a que no son proporcionales. Por consiguiente, para comprobar si el vector x es combinación lineal de los otros dos tenemos calcular el rango: rangou,v,x = rango = 3, porque = 53 0 Luego, el vector x no es combinación lineal de los otros dos, pues los tres son linealmente independientes. b) Realizamos una comprobación similar con el vector z : rangou,v,z = rango =, porque = 0 Luego, el vector z es combinación lineal de los vectores u v, pues los tres forman un sistema ligado. Aunque en este caso no sea complicado de averiguar visualmente la combinación lineal, vamos a realizar los pasos que haríamos en cualquier caso: z = u v ; 4,, 8 =,,3,5, Luego, z = uv. { 4 = = 5 8 = 3 { 4 = 8 = 3 = ; = c) Los vectores u, v z no son linealmente independientes, a que como hemos visto en el apartado anterior el vector z depende linealmente de los otros dos. 3

5 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (B) 8/05/0 3. Dadas las rectas r s de ecuacione x = = z x = a) ( punto) Estudia su posición. b) ( punto) Halla la recta que corta a r a s es paralela a la recta: t: x,, z =,,3,, a) Teniendo en cuenta la forma de las rectas estudiaremos la posición mediante la expresión de los rangos, será: de donde, { u r =,, A r 0,0,0 { u s =,,,,0 = z rango u r, u s = rango =, porque = 0 rango u r, u s,a r = rango 0 = 3, porque Por consiguiente, las rectas se cruzan. 0 = 0 b) Sea q la recta pedida que es paralela a la recta t, por tanto, tiene como vector uno proporcional al de t. Analicemos la situación: q corta a r determinan el plano : A r, u r, u q q corta a s determinan el plano :, u s, u q El corte de los planos α β determinan la recta q. Obtenemos los plano : : Por tanto, {A r 0,0,0 u r =,, u q = u t =,, {,,0 u s =,, u q = u t =,, ; ; x z = 0 3 x+ + z = 0 ; 3 x z = 0 x z = 0 6( x )+3( ) = 0 ; 6 x = 0 ; x = 0 3 x z = 0 q: { x = 0 4. Sea el sistema x z = 3 3} x 3 mz = 3 x m z = a) ( puntos) Determinar m para que el sistema tenga infinitas soluciones. Obtener todas esas soluciones. b) ( punto) Calcula razonadamente que no ha valores de m para los que el sistema no tenga solución. Para contestar a las dos preguntas discutimos el sistema para cualquier valor de m. Como es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas igualamos a cero el determinante de la matriz de los coeficientes, será: 4

6 EXAMEN: ALGEBRA Y GEOMETRÍA (B) 8/05/0 det M = 3 m 0 m m = = m m 0 = m m 0 m 0 detm = 0 ; m m = 0 ; m =, m = er caso: Para m R {,}, entonces rango M = rango M* = 3, por tanto, el sistema es compatible determinado. º caso: Para m =, las matrices del sistema son: 3 3 M = 3 M* = 3 3 Como la columnas primera cuarta de M* son proporcionales, el rango de M* es igual que el rango de M. Por otra parte, como 3 = 0, el rango de M es. En definitiva, rango M = rango M* =, por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos por determinante 3 z 3} 3} x = x = x 3 = 3 z} 3 z = 3 z = 3 z = 3 z 3 z} Luego, las infinitas soluciones del que dependen de un parámetro, son: x = 3 ; = 0 ; z = ; R 3 er caso: Para m =, las matrices del sistema son: 3 3 M = 3 M* = 3 3 Tenemos un caso similar al anterior donde rango M = rango M* =, por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos por determinante 3 z 3} 3} x = 3 z x = x 3 = 3 z} 3 z = 3z = 3z = 3 z 3 z} Luego, las infinitas soluciones del que dependen de un parámetro, son: x = 3 ; = ; z = ; R = 0 = z 5

7 EXAMEN: GEOMETRÍA (A) 8/05/0. De un paralelogramo ABCD se sabe que A = 3,4, B = 4,3, que las dos coordenadas del vértice C son positivas que la diagonal AC el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C D. De acuerdo con el enunciado se tiene que AC= BC AC= 5 Sea C = ( x, ), entonces con la doble condición establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que, resuelto, nos dará las coordenadas del punto C. Será: Como AC= 5, se tiene: Luego, C = 0,0 o C = 7,7. AC= ( x 3) +( 4) BC = ( x 4) +( 3) } ( x 3) +( 4) = ( x 4) +( 3) ( x 3) +( 4) = ( x 4) +( 3) x +9 6 x = x +6 8 x x 8 = 8 x 6 x = ; x = (x 3) +( 4) = 5 ; x +9 6 x+x +6 8 x = 5 x 4 x+5 = 5 ; x 4 x = 0 ; x( x 7) = 0 ; x = 0, x = 7 Por otra parte, obtenemos el punto D como la traslación de vector BA del punto C. Será:. Dados los planos BA = 3,4 4,3 =, D = C BA { D0,0 = D, D7,7 = D6,8 { : x k 4z = : kx z = 3 : xz = a) (,5 puntos) Para que valores de k determinan α β una recta r k? b) (,5 puntos) Estudiar la posición de cada una de las rectas r k respecto de γ. a) Para que los planos α β no determinen una recta tienen que ser paralelos, es decir, sus coeficientes tienen que ser proporcionale k = k = 4 Por tanto, los valores de k para que que cumpla la proporcionalidad, será: k = k ; k = ; k = ± k = 4 ; k = 4 Obviamente no se puede cumplir a la vez que k tome valores diferentes. En definitiva, los planos α β, no son paralelos para cualquier valor que tome k. b) Al introducir un tercer plano consideramos las dos matrices que representan la situación: k 4 M = k k 3 M* = k 4 Dado, por lo que vimos en el apartado anterior, que el rango de M como mínimo es, se pueden dar las siguientes situacione rangom = rangom* =, las rectas r k están en el plano γ. rangom = rangom* = 3, las rectas r k son paralelas al plano γ. rangom = rangom* = 3, las rectas r k cortan al plano γ, en el punto que es solución del sistema. 6

8 EXAMEN: GEOMETRÍA (A) 8/05/0 Discutamos la situación con el determinante de M, será: = k 4 detm k = k 4k 4k = k 5k 8 detm = 0 ; k 5k 8 = 0 ; k = 557 ; k = 5 57 er caso: Para k 557 k 5 57, las rectas cortan al plano. o caso: Para discriminar el resto de casos no trabajar con los valores, un poco engorrosos, obtenidos para k, lo haremos con el parámetro. Tenemos que averiguar el rango de M*, a que sabemos que el rango de M es. De M* tomamos un menor de orden 3 orlando a partir de un menor de orden de la matriz M que, inconfundiblemente, sea distinto de cero. Será: k 4 = 0 ; 3 = k 4 3k = 4k4 Expresión que para k = 557 o k = 5 57 es distinto de cero. Por tanto, rangom* = 3 las rectas son paralelas al plano. 3. Dadas las rectas a) (,5 puntos) Estudiar su posición. { 3x z = 0 x z4=0 { x = 3t = t z = t a) (,5 puntos) Encontrar la recta que pasa por el punto P =,0, corta a las rectas r s. a) Estudiamos la posición de las rectas con los rangos de sus vectores directores. Será: {u r = 3,,,, =, 5, 7 A r :{ z = 0 z4=0 { = 5 A z= 9 r 0, 5, 9 { u s =,, 3,0, de donde, Luego, las rectas se cruzan. 5 7 rango u r, u s = rango =, porque 5 = rango u r, u s,a r = rango3 5 0 = 3, porque = 6 0 b) La recta t corta a las rectas r s, no dice que sea perpendicularmente, pasa por el punto P. Tenemos la siguiente situación: t corta a r determinan el plano : P, A r P, u r t corta a s determinan el plano : P, P, u s El corte de los planos α β determinan la recta t. 7

9 EXAMEN: GEOMETRÍA (A) 8/05/0 Obtenemos los plano : : Por tanto, {P,0, A r P =,0, 0, 5, 9 =,5,8 u r =, 5, 7 {P,0, P =,0, 3,0, =,0, u s =,, ; ; x z = 0 5 x 5 0z = 0 ; 5x 55 0z 0 = 0 5x5 0z 5 = 0 ; x3 z 3 = 0 x z 0 = 0 x z = 0 ; x z = 0 x z 4 = 0 ; x z = 0 t: { x3 z 3 = 0 x z = 0 4. Encontrar el punto de intersección de la recta { x = = z = con el plano π, perpendicular a r, que pasa por el origen de coordenadas. Como r, entonces n = u r. Además, conocemos que el plano pasa por el origen: P = 0,0,0. Tenemos dos formas de obtener el plano: Método : : { P0,0,0 n = u r =,, Método : ; : x zk = 0 ; pasa por P 0 00k = 0 ; k = 0 ; x z = 0 : { P0,0,0 n = u r =,, ; : n PX = 0;,, x,, z = 0 ; x z = 0 Ahora, calculamos el punto Q de corte de la recta el plano. La recta tiene que cumplir el plano en el punto de intersección, será:,, ; = 0 ; 3 = 0 ; = 3 Q 3, 3, 3 = Q 4 3, 5 3, 3 8

10 EXAMEN: GEOMETRÍA (B) 8/05/0. Se consideran los cinco puntos cuas coordenadas son: P =,,, P =,,3, P 3 = 3,3,3, P 4 = 3,3,0, P 5 = 3,4,3. Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta, forman parte de un mismo plano? Consideramos los vectore P P = (,,3) (,,) = ( 3,3,) ; P P 3 = ( 3,3,3) (,,) = ( 4,4,) P P 4 = ( 3,3,0) (,,) = ( 4,4, ) ; P P 5 = ( 3,4,3) (,,) = ( 4,5,) Estos vectores estarán en el mismo plano si su conjunto tienen dimensión, es deci = 3, porque Luego, podemos concluir que los puntos P, P, P 3, P 4 P 5 no están en el mismo plano. rango( P P, P P 3, P P 4, P P 5 ) = rango( ). Sean los vectores u =,,3, v =,5,, x = 4,,3 z = 4,, 8 : = 0 a) ( punto) Se puede expresar x como combinación lineal de u de v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. b) ( punto) Se puede expresar z como combinación lineal de u de v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué. c) ( punto) Son u, v z linealmente independientes? Justifica la respuesta. a) Es evidente que los vectores u v son linealmente independientes, a que no son proporcionales. Por consiguiente, para comprobar si el vector x es combinación lineal de los otros dos tenemos calcular el rango: rangou,v,x = rango = 3, porque = 53 0 Luego, el vector x no es combinación lineal de los otros dos, pues los tres son linealmente independientes. b) Realizamos una comprobación similar con el vector z : rangou,v,z = rango =, porque = 0 Luego, el vector z es combinación lineal de los vectores u v, pues los tres forman un sistema ligado. Aunque en este caso no sea complicado de averiguar visualmente la combinación lineal, vamos a realizar los pasos que haríamos en cualquier caso: z = u v ; 4,, 8 =,,3,5, Luego, z = uv. { 4 = = 5 8 = 3 { 4 = 8 = 3 = ; = c) Los vectores u, v z no son linealmente independientes, a que como hemos visto en el apartado anterior el vector z depende linealmente de los otros dos. 9

11 EXAMEN: GEOMETRÍA (B) 8/05/0 3. Sean las rectas x = k = z { x = = z = a) ( punto) Hallar k para que r s sean coplanarias. b) ( punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. c) ( punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas. a) Teniendo presente que las rectas están dadas en forma continua en forma paramétrica la discusión respecto a su posición la realizamos con los vectores directores los puntos, como sigue: { u r =, k, A r,, Para que las rectas sean coplanarias se tiene que cumpli Como rango u r, u s, A r 3 { u s =,,,,0 k rango u r, u s,a r = rango entonces el menor de orden 3 tiene que ser cero k = 3 k 3 ; 3k 3 = 0 ; k = Luego, si k = las rectas son coplanarias. b) Para determinar el plano que contiene a las dos rectas tomamos de las mismas un punto los dos vectores directores, será: α: { (,,0) u r = (,, ) u s = (,,) ; x z = 0 4( x ) 4( ) = 0 ; 4 x = 0 ; x+ 3 = 0 c) Para k = es evidente que r s no son paralelas, a que sus vectores directores no son proporcionales. Por tanto, la recta t perpendicular a ambas lo tiene que ser en su punto de corte. Averiguado éste obteniendo el vector director de t como vector perpendicular al de r al de s, tenemos determinada la recta t. Será: Punto de corte: A t :{ Vector directo u t: { { =,, =,, = u t u r u t u s Luego, la ecuación de la recta t es A t 4, 4, 4 = A t 5 4, 7 4, = { = 3 { = 4 = 4 u r u s =,,,, = 4, 4,0 ; u t =,,0 t: x 5/ 4 = 7/ 4 = z / 0 4. Dadas las rectas r s de ecuacione x = = z x 0 = = z

12 EXAMEN: GEOMETRÍA (B) 8/05/0 a) ( punto) Estudia su posición. b) ( punto) Halla la recta que corta a r a s es paralela a la recta: t: x,, z =,,3,, a) Teniendo en cuenta la forma de las rectas estudiaremos la posición mediante la expresión de los rangos, será: de donde, { u r =,, A r 0,0,0 { u s =,,,,0 rango u r, u s = rango =, porque = 0 rango u r, u s,a r = rango 0 = 3, porque Por consiguiente, las rectas se cruzan. 0 = 0 b) Sea q la recta pedida que es paralela a la recta t, por tanto, tiene como vector uno proporcional al de t. Analicemos la situación: q corta a r determinan el plano : A r, u r, u q q corta a s determinan el plano :, u s, u q El corte de los planos α β determinan la recta q. Obtenemos los plano : : Por tanto, {A r 0,0,0 u r =,, u q = u t =,, {,,0 u s =,, u q = u t =,, ; ; x z = 0 3 x+ + z = 0 ; 3 x z = 0 x z = 0 6( x )+3( ) = 0 ; 6 x = 0 ; x = 0 3 x z = 0 q: { x = 0