Leccion 6. Espacio tangente. Espacio cotangente.
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- Alejandro Hidalgo Castellanos
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1 Leccion 6. Espcio tngente. Espcio cotngente. Estudir: 1 14, Introduccion 1. El objetivo de est leccion es probr que los vectores tngentes X en hcen justici su nombre, ie., que el conjunto T (X de todos los vectores tngentes X en x tiene l estructur de un R-espcio vectoril El espcio (vectoril tngente T (X F 0 (/ F 0 ( 2 2. Cundo definimos T (X como derivciones lineles ctundo sobre ls funciones definids en lgun entorno de, ie., v : F( R, o ms exctmente sobre germenes de funciones, v : F( R, es sencillo dotr T (X de l estructur de R-espcio vectoril. Bst con definir, (v + w(f : v(f + w(f, pr v, w T (X, f F(, λ R. (λv(f : λ(v(f 3. Sinembrgo, en este cso l demsotrcion de que dim T (X n dim X es tecnicmente complicd Vemos que ocurre en el cso en que T (X se define trves de clses de equivlenci de curvs El espcio (vectoril tngente T (X C(X,. 5. En est subseccion nlizmos l estructur lgebric de T (X desde el punto de vist de ls clses de equivlenci de curvs tngentes en un punto. 6. (Recordtorio Se T (X definido como C(X,, p : C(X, C(X, : α p(α con p(α(f (f α (0. 7. (prop. Sen v p(α, w p(β T (X y sen λ, µ R. Entonces existe un vector tngente p(γ T (X tl que pr tod funcion f F( se tiene que p(γ(f λv(f + µw(f. 1 Vese Wrner, pp
2 8. (Recordtorio Se α C(X, un curv diferencible. L ecucion de l curv en l crt coordend (U; ξ, U viene dd por α i r i ξ α ξ i α. Dds ls ecuciones de l curv en el sistem de coordends, est qued definid por α(t ξ (r 1 ξ α,..., r n ξ α ξ (ξ 1 α,..., ξ n α. 9. (demo. Se X un vriedd diferencible n-dimensionl. Se (U; ξ un sistem de coordends de X centrdo en (ie., U, ξ( 0 R n, con coordends ξ i r i ξ. Construimos l curv γ C(X, estbleciendo en primer lugr sus ecuciones γ i r i ξ i γ como γ i λα i + µβ i. Ests curvs son diferencibles y estn definids en un entorno de 0 I R. L curv γ qued entonces definid como γ(t ξ (γ 1 (t,..., γ n (t, que es diferencible y stisfce γ(0 ξ (λα 1 (0 + µβ 1 (0,..., λα n (0 + µβ n (0 ξ (0 por lo que γ pertenece C(X,. Si f F(, se tiene ( ( d(f γ (f ξ p(γ(f (0 ( (f ξ ( d(r i ξ α λ dr i (0 ( ( d(f α d(f β λ (0 + µ λv(f + µw(f λp(α + µp(β. (ξ(γ(0 (0 (0 + µ ( d(r i ξ (λα + µβ ( (f ξ dr i (0 L sum de vectores tngente en T (X C(X, qued si definid pr λ µ 1 tl que p(γ p(α + p(β y el producto por un esclr qued definido l tomr por ejemplo λ 0. En consecuenci T (X C(X, tiene l estructur de espcio vectoril. 10. (prop. dim T (X dim X n. 11. (demo. Se (V ; η un sistem de coordends de X en, y consideremos l fmili de curvs τ j C(X,, 1 j n, dds por sus ecuciones (τ j i η i ( + δj i t tl que τ 1 (t (η 1 ( + t, η 2 (,..., η n (, τ 2 (t (η 1 (, η 2 ( + t, η 3 (,..., η n (, τ n (t (η 1 (,..., η n (, η n ( + t. Se trt por tnto de un fmili de rects fines prlels los ejes de coordends cnonicos de R n trsldds l punto η(. Vmos ver que (0 ( d(r i ξ β (0 2
3 l fmili {p(τ 1,..., p(τ n } es un bse de T (X. Se f F(, entonces, ( d(f τj p(τ j (f (0 ( ( f η d(r i η τ j (η( (0 ( f η (η(δj i ( f η r j (η( donde hemos utilizdo que ( d(r i η τ j (0 ( d(η i ( + δj it (0 δ i j. Consideremos l combincion linel n v(ηi p(τ i, con v p(α pr glun α C(X,, ( n v(η i p(τ i (f v(η i p(τ i (f ( d(η i α (0 ( f η (η( ( f η (η( ( d(f α (0 v(f ( f η ( d(η i α (η( (0 ( d(r i η α (0 Tenemos pues que v n v(ηi p(τ i, es decir, los vectores p(τ i T (X, 1 i n formn un sistem generdor de T (X. Vemos que son dems linelmente independientes. Si existe un combincion linel tl que λ i p(τ i 0 se tien que pr todo j, 1 j n, 0 (λ i p(τ i (η j λ i δ j i λj ( d(η λ i j τ i (0 ( λ i d(η j ( + δ j i t (0 3
4 implicndo λ j 0, j, 1 j n. Por tnto, p(τ i son linelmente independientes y l fmili (τ i 1 i n es un bse de T (X, y se tiene que dim T (X n dim X. 12. Est demostrcion relcion l definicion de T (X como C(X, y l notcion introducid en l leccion precedente l definir vectores tngente en sistems de cooredends medinte el diccionrio siguiente: ( η i p(τ i v v i ( η i v v(η i p(τ i 6.4. El espcio (vectoril tngente T (X A R n 13. Denoto por A ls crts de X en. 14. Tl vez, l form ms sencill de ver que T (X es un espcio vectoril de dimension n es comprobr que, l definirlo como el conjunto de clses de equivlenci de pres (c, v donde c (U, ϕ es un crt de X en, ie., c A y v es un vector de R n, con l relcion de equivlenci dd por (c, v (c, v si l Jcobin D(ϕ ϕ en ϕ( trnsform v en v, T (X hered l estructur de espcio vectoril de R n. 15. En efecto se [c, v] T (X el vector tngente X en, y (c, v un representnte de l clse de equivlenci en A R n. ( Definimos el producto por un esclr como λ[c, v] : [c, λv] pr todo λ R. (b Pr todo pr de vectores tngente, [c, v], [c, v ] T (X tomemos los representntes (c, v, (c, v A R n. Est clro que ls crts c (U, ϕ, c (U, ϕ A contienen el punto X por lo que su interseccion es no nul. Podemos tomr un segundo representnte (c, v de l clse de equivlenci [c, v ], donde l nuev crt en es c c y v : D(ϕ ϕ (ϕ (v. Es obvio que (c, v (c, D(ϕ ϕ (ϕ (v representn l mism clse de equivlenci [c, v ] [c, D(ϕ ϕ (ϕ (v ], y podemos definir l sum en T (X como [c, v] + [c, v ] [c, v] + [c, D(ϕ ϕ (ϕ (v ] [c, v + D(ϕ ϕ (ϕ (v ]. 4
5 16. Ddo que, pr crts dds c (U, ϕ, c (U, ϕ en X, l pliccion D(ϕ ϕ (ϕ( : R n R n es linel, por lo que ls operciones definids en el epigrfe nterior no dependen de los representntes escogidos. 17. Vemos otro punto de vist. Se c (U, ϕ un crt de X en. Definimos l pliccion θ c : R n T (X como sigue. R n de tl modo que (c id {c} R n A R n P T (X θ c (v : P (c id(v P(c, v [c, v] 18. (prop. Se c (U, ϕ un crt de X en. θ c : R n T (X es un isomorfismo de espcios vectoriles. 19. (demo. L inyectividd de θ c es obvi. Comprobemos l supryectividd. Se [c, v ] T (X, entonces c es un crt de X en y por tnto U U. L pliccion del cmbio de crt entre c y c viene dd por (ϕ ϕ. Por tnto [c, v ] P(c, v P(c, D(ϕ ϕ (ϕ(v [c, D(ϕ ϕ (ϕ(v ] θ c (D(ϕ ϕ (ϕ(v L supryectividd de θ c qued demostrd, por lo que θ c : R n T (X es isomorfismo. L linelidd de θ c se desprende de l linelidd de D(ϕ ϕ (ϕ(, y en consecuenci T (X hered l estructur de espcio vectoril n- dimensionl. 20. L identificcion de [c, v] T (X con l notcion introducid pr vectores tngente en l leccion precedente se efectu como sigue. Se c (U; ξ un sistem de coordends ξ (ξ 1,..., ξ n de X en, y se v (v 1,..., v n un vector de R n θ c (v [c, v] 6.3. Espcio cotngente 1 i n ( v i ξ i 21. Llmmos espcio cotngente X en, X, y lo denotmos por T (X, (o tmbien por T (X l espcio vectoril dul de T (X, ie., Hom(T (X; R. Por tnto, dim T (X n. A los elementos de T (X se los denomin 1-forms en. 5
6 22. (Recordtorio Denotremos por, el emprejmiento de un espcio vectoril V con su dul V, de tl modo que si u V, α V, entonces escribiremos u, α α, u : α(u R. 23. Se f F(, X, entonces f define un elemento de T (X usulmente denotd por d f (o tmbien por (df, llmd diferencil de f en, trves de v, d f d f, v v(f, v T (X. 24. (prop. Se (U; ξ un sistem de coordends de X en, entonces ls 1- forms, (d ξ i 1 i n formn un bse de T (X, l bse dul de ( / ξ i. 25. ( d ξ i, ξ j ( ( ξ j (ξ i ξi (ξ i ξ j ( ξ r j (ξ( ( (r i ξ ξ r j (ξ( ri r j (ξ( δi j. por lo que, si v 1 i n vi ( / ξ i T (X, d ξ j, v (d ξ j (v v j 6
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