UNIDAD. Vectores y rectas

Transcripción

1 UNIDAD 6 Vectores y rects L os ectores fcilitn el estudio de los elementos del plno y los prolems que se pueden estlecer entre ellos En su origen, el concepto de ector prece en Físic pr crcterizr cierts mgnitudes que poseen dirección y sentido; se emple en Geometrí pr, fundmentlmente, conertir ls operciones geométrics en un cálculo Aunque los ectores se utilizn en Físic pr representr mgnitudes dirigids, ls operciones con ectores y lo que hoy en dí se conoce como cálculo ectoril son un inento del siglo XIX deido l mtemático inglés Willim Rown Hmilton ( ) y l lemán Hermnn Günther Grssmnn ( ) Durnte el siglo XIX y principios del XX, este cálculo sufrió modificciones en su expresión originl hst conertirse en lo que hoy conocemos como ector y sus operciones Willim Rown Hmilton (Wikimedi Commons) En est Unidd didáctic definimos lo que es un ector y lguns de ls operciones que podemos relizr con ellos Aplicmos los ectores pr resoler lgunos prolems geométricos sencillos, pr crcterizr ls rects en el plno y nlizr sus posiciones reltis: secntes, prlels y coincidentes Estudimos el producto esclr de dos ectores pr resoler de un form eficiente prolems de ángulos, perpendiculridd de rects y distncis en el plno Con el estudio de l Unidd nos proponemos lcnzr los ojetios siguientes: Reconocer un ector gráficmente y por sus coordends, sí como operr con ellos Hllr ls ecuciones prmétrics, generl y explícit de un rect 3 Determinr cuáles son l posiciones reltis que pueden doptr dos rects 4 Clculr el producto esclr de dos ectores y conocer sus propieddes 5 Aplicr el producto esclr pr hllr el ángulo que formn dos ectores y dos rects 6 Clculr distncis entre puntos, puntos y rects, y rects prlels en el plno 38

2 VECTORES RECTAS Operciones gráfics Coordends de un ector Vector de dirección Operciones con coordends Ecuciones de un rect Producto esclr Posiciones reltis de dos rects Prlelismo de rects Ángulo de dos ectores Vectores perpendiculres Ángulo de dos rects Rects perpendiculres Distnci de un punto un rect ÍNDICE DE CONTENIDOS VECTORES 40 OPERACIONES CON VECTORES 4 Multiplicción de un ector por un número 4 Sum de ectores 4 3 Rest de ectores 4 4 Alguns propieddes de ls operciones con ectores 4 3 BASE, SISTEMA DE REFERENCIA Y COORDENADAS 43 3 Bse y coordends 43 3 Operciones con ectores expresdos por sus coordends Vectores de l mism dirección o colineles Coordends de un ector AB 45 4 DOS PROBLEMAS SENCILLOS 46 4 Coordends del punto medio del segmento AB 46 4 Condición de lineción de tres puntos 47 5 RECTAS EN EL PLANO 48 5 Ecuciones prmétrics y generl 48 5 Ecución explícit Alguns rects especiles 50 6 OTRAS FORMAS DE DETERMINAR UNA RECTA 5 6 Ecución de l rect que ps por dos puntos 5 6 Ecución de l rect que ps por un punto P(x 0, y 0) y tiene pendiente m 5 7 PARALELISMO DE RECTAS 53 8 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 55 8 Ángulo de dos ectores 55 8 Definición de producto esclr 55 9 ÁNGULO DE DOS RECTAS RECTAS PERPENDICULARES 57 9 Ángulos de dos rects 57 9 Vectores perpendiculres Rects perpendiculres 57 0 DISTANCIAS 59 0 Distnci entre dos puntos 59 0 Distnci de un punto un rect 59 39

3 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS Vectores Dos puntos A y B del plno determinn el segmento AB ; cundo en este segmento estlecemos un orientción, es decir, A es el origen y B es el extremo, entonces l segmento orientdo AB lo simolizmos por AB y lo llmmos ector Un ector AB es por tnto un segmento orientdo Si huiésemos tomdo B como origen y A como extremo, el ector serí BA BA Todos los ectores tienen ls siguientes crcterístics: Módulo de AB es l distnci entre A y B El módulo del ector AB se simoliz por AB Dirección de AB es l rect que contiene los puntos A y B, o culquier otr rect prlel ell Sentido, en todo segmento de extremos A y B cen dos sentidos: el que de A B y el que de B A En el ector AB el sentido de A B Como hemos definido l dirección de un ector como l rect que contiene l ector o culquier otr rect prlel ell, podemos encontrrnos con rios ectores AB, CD, EF y MN, que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, tl como emos en l figur En est situción decimos que AB, CD, EF y MN son ectores equipolentes y los representmos como que AB CD EF MN o como que AB = CD = EF = MN Nosotros mos usr est segund form y hlremos de ectores igules en lugr de equipolentes Podímos her diujdo más ectores igules AB, pero lo relmente importnte es que si todos son igules no tiene much importnci cuál es el origen del ector sino su módulo, dirección y sentido Por este motio todos los ectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido que AB se simolizn por un letr minúscul con un flechit encim, por ejemplo Qué son AB, CD, EF y MN de? Pues son loclizciones del ector, un con origen en A y ls otrs con origen en C, E y M, respectimente En culquier punto del plno podemos situr un loclizción de siempre que teng el mismo módulo, dirección y sentido que Es decir, ddo un punto culquier M, entonces existe otro punto N tl que MN = Pr ello, no hy más que trzr rects prlels, como puedes precir en l ilustrción En ocsiones l ector se le llm ector lire y cd un de sus loclizciones AB, CD, EF y MN, ector fijo A prtir de hor empleremos indistintmente los ectores lires,, o sus loclizciones, AB 40

4 Operciones con ectores Multiplicción de un ector por un número Si un ector lo multiplicmos por 3 otenemos el ector 3, que tendrá l mism dirección y sentido que, pero su módulo (longitud) será triple El producto por es el ector, que tiene sentido opuesto Al multiplicr el ector por / otenemos /, cuyo módulo es l mitd En resumen, si multiplicmos un número m por el ector otenemos un nueo ector m con ls siguientes crcterístics: El módulo de m es igul l lor soluto de m, por el módulo de, simólicmente m = m L dirección de m es l mism que l de El sentido de m es el mismo que si m > 0; cundo m < 0, el sentido de m es opuesto Si multiplicmos 0 por, otenemos el ector 0, es decir, 0 = 0 El ector 0 es quel en el que coinciden origen y extremo Sus loclizciones son del tipo AA = BB = CC ; por supuesto, no tiene dirección y el módulo es cero Sum de ectores L sum de los ectores y w es otro ector, que simolizmos por + w, y que otenemos del siguiente modo: prtir de un punto culquier A, trzmos un loclizción de, se est AB, y prtir de B diujmos un loclizción de w, se est BC, entonces el ector AC es un loclizción de + w En l segund figur osermos que l sum de ectores cumple l propiedd conmutti 3 Rest de ectores L diferenci de los ectores y w, escrito w, es el ector que sumdo con w nos d, es decir, w + ( w ) = En l figur hemos diujdo el único ector que cumple est condición: w Tmién podemos diujr w, que es un ector que sumdo con nos d w Eidentemente, w y w sólo difieren en el sentido, pues tienen igul módulo y dirección 4

5 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 4 Alguns propieddes de ls operciones con ectores Propiedd sociti: se pueden sumr más de ectores,, w, u, cumpliéndose que ( +w )+u = +(w +u ) Propiedd conmutti: + w = w + Existe el ector cero: + 0 = 0 + = Existe el ector opuesto: + ( ) = 0 Al sumr un ector su opuesto, otenemos el ector 0 Propiedd sociti pr l multiplicción por números: m (n ) = (m n), pr culesquier números reles m y n Distriutis: (m + n) = m + n, distriuti respecto l sum de números m( + w ) = m + m w, distriuti respecto l sum de ectores Multiplicción por l unidd: w = w Ddos y w de distint dirección, trz w, w y w +3 w w w w w w +3 3 Actiiddes Si u y son los ectores del diujo, trz u +, + u y u u Si, u y w son tres ectores, diuj u, 3, u + + w u w 3 Diuj un triángulo ABC: ) encuentr dos puntos D y E tles que AD =AC AB y AE = AB AC ) Cómo están situdos los puntos A, D y E? 4

6 3 Bse, sistem de referenci y coordends 3 Bses y coordends Se llm se de los ectores del plno todo pr de ectores no nulos y de distint dirección Simolizremos un se sí: { i, j } Dd un se { i, j } culquier otro ector del plno u se puede escriir como sum de múltiplos de los ectores de l se, sí: u = xi + yj ; o, dicho de otr mner, pr todo ector u existen un pr de números (x, y) tles que u = xi + yj y, demás, este pr de números es único Es fácil ilustrr l ide de se: si trzmos los ectores u, i y j con origen en O, l diujr por el extremo de u rects prlels i y j, ésts cortrán l prolongción de i y j en los puntos M y N Los ectores OM y ON son proporcionles i y j, respectimente, luego OM = x i y ON = y j y su sum es x i + y j = u Los números (x, y) son ls coordends del ector respecto l se { i, j } Un sistem de referenci está formdo por un punto O del plno y un se { i, j } Se represent por l tern {O, i, j } Con un sistem de referenci podemos signr tmién coordends culquier punto del plno No se trt de desechr el modo que conocemos de signr coordends crtesins un punto del plno, sino de fundmentrlo sore conceptos más simples Decimos que un punto P tiene coordends (x, y) respecto l sistem de referenci {O, i, j }, si el ector OP es igul xi + yj, OP = xi + yj L figur djunt ilustr el modo de triuir coordends culquier punto del plno Cundo en el sistem de referenci {O, i, j } los ectores i y j son ortogonles o perpendiculres y de módulo l unidd de longitud, decimos que el sistem de referenci es ortonorml En lo sucesio, y por comodidd, ls ilustrciones se hrán sore un sistem de referenci ortonorml como estmos costumrdos er Además lo que llmmos ejes de coordends, eje de sciss (x) y eje de ordends (y), son ls rects que se cortn en O y contienen i y j, respectimente Hll ls coordends de A y B con respecto l sistem de referenci {O, OA, OB } Supongmos que el sistem de referenci es el de l figur, entonces OA = OA + 0 OB, luego ls coordends son A(, 0) OB = 0 OA + OB, luego ls coordends son B(0,) O B A 43

7 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 3 Operciones con ectores expresdos por sus coordends Tods ls operciones gráfics relizds con ectores pueden hcerse numéricmente con sus coordends Ls coordends del ector 0 son (0, 0), es decir, 0 = (0, 0) Si u = (x, y) y = (x, y ) son dos ectores igules, u =, sus coordends son igules: x = x e y = y Si u = (x, y) y = (x, y ), entonces el ector u + = (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) Si u = (x, y) y m es un número rel, entonces mu = m(x, y) = (mx, my) Si u = (x, y) y = (x, y ) y m y n números reles, entonces ls coordends de mu + n son: mu + n = = m(x, y) + n(x, y ) = (mx + nx, my + ny ) 3 Ddos u = (3, ) y w = (, 4) determin ls coordends de: ) u ; ) w ; c) u + 5 w ; d) u w ; e) w u ; f) u + 3 w ) u = (3, ) = (6, ); ) w = ( )(, 4) = (, 4); c) u + 5 w = (3, ) + 5(, 4) = (3, ) + ( 5, 0) = (, ); d) u w = (3, ) (, 4) = (4, 3); e) w u = (, 4) (3, ) = ( 4, 3) ; f) u + 3 w = (3, ) + 3 (, 4) = ( 6, ) + ( 3, ) = ( 9, 0) 33 Vectores de l mism dirección o colineles Llmmos ectores colineles los que tienen l mism dirección Si u = (x, y) y = (x, y ) tienen l mism dirección, entonces existe un número rel k tl que u = k, es decir, (x, y) = k (x, y ) o x = kx e y = ky En consecuenci, firmr que dos ectores tienen l mism dirección es lo mismo que firmr que sus coordends son proporcionles o que ls coordends de uno de ellos son igules ls del otro multiplicds por un número Luego son colineles si x y = = k x y s 4 Diuj en el plno el ector = ( 4, 6) y el ector / Pr diujr = ( 4, 6) en el plno elegimos un punto culquier Si l primer coordend, x, es positi, nos moemos l derech x uniddes y si es negti, x uniddes hci l izquierd; prtir de quí, si l segund coordend, y, es positi, nos moemos y uniddes hci rri y si es negti, hci jo Uniendo el origen del moimiento con su extremo otenemos el ector En nuestro cso elegimos un punto culquier, nos moemos prtir de él 4 uniddes l izquierd y luego 6 hci rri Uniendo el origen con el extremo del recorrido otenemos el diujo de = ( 4, 6) El ector / = / ( 4, 6) = (, 3) En l figur hemos diujdo los dos ectores con distinto origen y, como emos, son colineles Es decir, si multiplicmos ls coordends de un ector por un número, result otro ector de l mism dirección que el primero 44

8 5 Aerigu si tienen l mism dirección los siguientes pres de ectores: ) = ( 4, 6) y w = (6, 9), ) u = (4, 6) y = ( 3, 4); c) w = ( 3, ) y u = (, / 3) Son colineles si sus coordends son proporcionles ) = ( 4, 6) y w 4 6 = (6, 9) tienen l mism dirección porque = 6 9 ) u = (4, 6) y = ( 3, 4) no tienen l mism dirección porque c) w = ( 3, ) y u 3 = (, / 3 ) tienen l mism dirección porque = 3 6 Hll el módulo, dirección y sentido del ector = ( 4, 6) El diujo de = ( 4, 6) nos indic que el módulo es l hipotenus del triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 4 = 4 y 6 = 6, luego = = ( 4) + 6 = 5 En consecuenci, el módulo de un ector u = (x, y) culquier es: u = x + y = ( 4, 6) 80 α α Pr conocer l dirección de erigumos el ángulo que form el ector con el semieje positio de sciss Llmémosle α, su suplementrio es 80º α, es gudo, y semos por l definición 6 6 de tngente que tg (80º α) =, luego 80º α = rctg (con l clculdor SHIFT Tn ( 6 4 ) = ) El ángulo que uscmos α = 80º 56º 8' 35,76'' = = 56º 8' 35, 76'', 4 4 = 3º 4' 4,'' El sentido de un ector sólo puede determinrse comprándolo con otro de l mism dirección y tendrán sentido contrrio si formn ángulos, con el semieje OX, que difieren en 80º 34 Coordends de un ector AB Si conocemos el origen, A(x, y ), y el extremo, B(x, y ), de un ector, cuáles son ls coordends del ector AB? Si desde un punto del plno, por ejemplo O, trzmos los ectores OA, AB y OB, como emos en l figur, se cumple l iguldd ectoril OB = OA + AB ó OA + AB = OB Despejndo AB, result AB = OB OA, que trducido coordends dice que ls coordends de AB son: AB =(x, y ) (x, y )=(x x, y y ) Actiiddes 4 Siendo que u = (4, 6) y = (, 6) clcul: ) 3u + ; ) u + ; c) /( u ) + /3( u + ) 5 Ddos A(3, 4), B(, 4), C( 9, 5) y D( 4, 3): ) son AB y CD colineles?; ) son AD y BC colineles? 6 Ddos A(4, 5) y B(, 8): ) Determin ls coordends de AB y BA ) Diuj los ectores AB y BA c) Hll el módulo y dirección de AB y BA 7 Ddos los ectores = (3, 5) y w = ( 3, 5): ) Diuj los ectores Cómo son y w? ) Hll el módulo y dirección de y w 8 Determin m y n pr que los ectores = (m, 3) y w = (, n) sen colineles con u = (7, 3 ) 45 O A B

9 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 4 Dos prolems sencillos 4 Coordends del punto medio del segmento AB Ls coordends del punto medio Mxy (, ) del segmento de extremos Ax (, y) y Bx (, y) ls hllmos de l iguldd ectoril AM = AB, expresd en coordends: ( x x, y y) = ( x x, y y) Igulndo coordends: B x x x+ x x x =, x x = x x, x = x x+ x, x = x+ x, x = y y y+ y y y =, y y = y y, y = y y+ y, y = y+ y, y = M x x y y Luego M + +, A s 7 Hll el punto medio M del segmento de extremos A(, 3) y B( 4, ) Hll el punto medio del segmento de extremos A y M x+ x y+ y Como ls coordends del punto medio son:, = + ( 4) 3+, = (, ) ; entonces M(, ) El punto medio del segmento AM, llmémosle N, será Diuj sore ppel cudriculdo los puntos A, B, M y N 8 Hll ls coordends de dos puntos que diidn l segmento de extremos A(5, 5) y B( 4, ) en tres prtes igules En l figur emos que los puntos M y N diiden l segmento AB en tres prtes igules B Y demás AM = AB = ( 4 5, 5) = ( 3, ) y AN = AM N 3 3 Luego AN = ( 3, ) = ( 6, 4) Ls coordends de M y N ls M clculmos de los ectores de posición de M y N, OM y ON, sí: A OM = OA + AM = ( 5, 5) + ( 3, ) = (, 3) ON = OA + AN = ( 5, 5) + ( 6, 4) = (, ) Los puntos uscdos son: M(, 3) y N(, ) O 9 Hll el simétrico de un punto A(5, 6) respecto otro B(, ) Se A el punto simétrico de A respecto B, entonces B es el punto medio del segmento AA Es decir, si A (x, y), ls coordends de B (, ) serán igules : 5 = + x = 5= 7 = 6 + y, x ( ) ;, y = 4+ 6= 0 El punto simétrico de A es A ( 7, 0) + ( ) 3 + ( ), =,, es decir, N, 46

10 4 Condición de lineción de tres puntos Los puntos A(x, y ), B(x, y ) y C(x 3, y 3 ) están linedos si los ectores AB y AC tienen l mism dirección; si esto ocurre ls coordends de los ectores son proporcionles, es decir, AB = kac ó (x x, y y ) = k(x 3 x, y 3 y ) Igulndo coordends x x = k(x 3 x ) y y y = k(y 3 y ) En consecuenci, los puntos A(x, y ), B(x, y ) y C(x 3, y 3 ) están linedos si se cumple que x x y y = ó ( x x) ( y3 y) = ( x3 x) ( y y) x x y y Están linedos los puntos M(0, ), N(3, ) y P(, /3)? x x 3 0 y y Sí están porque = y x3 x 0 y y son igules: 3( / 3 ) = ( ), 4 = 4 3 = y 3 / 3 0 = 0 3 / y que sus productos cruzdos Actiiddes 9 Hll un punto en el segmento de extremos A(, ) y B(,3) que lo diid en dos prtes, l más próxim A dole que l otr 0 Determin m pr que los tres puntos A(0, 3), B(4, ) y C(7, m) estén linedos Hll el simétrico del punto A( 4,3) respecto l punto B(, ) Pr ser más Se puede generlizr y diidir un segmento en tnts prtes como quermos Lo primero que hy que tener en cuent es que si queremos n prtes, necesitmos n puntos pr logrrlo Si AB es el segmento y M es el primer punto, se erificrá que AM = AB y que OM = OA + AM = OA + AB n n Con M tendremos que OM = OA+ AM = OA+ AB, pues OM = AM Así, los siguientes puntos se pueden n otener o ien prtir de OA o ien se otienen sumndo l nterior n AB En lugr de prr en el punto M n, que es el último que necesitmos pr efectur l prtición, prmos en el punto Mn, que dee ser B De este modo, tenemos un mecnismo de control que nos permite compror si los cálculos son correctos o no 47

11 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 5 Rects en el plno 5 Ecuciones prmétrics y generl A Se un punto del plno A(x, y ) y un ector no nulo = (, ), entonces el conjunto de puntos P tles que AP y son colineles, o tienen l mism dirección, es un rect que identificremos como l rect que ps por A y tiene como ector director ; simólicmente (A, ) Pr otener l ecución de est rect, si P(x, y) es un punto culquier de l rect, los ectores AP = ( x x, y y ) y =(, ) son colineles y por tnto AP = k o O x x = k ( x x, y y ) = k(, ), luego Despejndo x e y otenemos ls ecuciones prmétrics de y y = k x = x+ k l rect: donde k R y = y + k, Pr cd lor rel que le demos k determinmos un punto de l rect Ls ecuciones prmétrics no son únics, pues dependen del punto elegido y del ector de dirección x x y y Despejndo k en cd ecución prmétric e igulndo, k = =, llegmos l ecución x x y y continu = k P Ést tiene poco interés, pero como es un proporción, plicndo l propiedd fundmentl de l proporciones, se otiene (x x ) = (y y ), x y x + y = 0 Est últim ecución se llm ecución generl o implícit de l rect y se costumr escriir sí: x + y + c = 0 en donde =, = y c = x + y Es eidente que si nos dn un rect por su ecución generl, como = y =, el ector = (, ) es un ector de dirección o director de l rect s Determin un punto y un ector director en ls siguientes rects: ) x + 4y = 0; ) 3x + y 6 = 0; c) x + 4 = 0; d) y = 5 ) El punto se determin fácilmente hciendo x = 0 ó y = 0 en l ecución de l rect Si hcemos y = 0, result que x = El punto de l rect es (, 0) Un ector director = (, ) = ( 4, ) ) El punto se determin fácilmente hciendo x = 0 y result que y = 6 Un ector director = (, ) = (, 3) c) El punto será x = 4 y pr l ordend, y, culquier lor, por ejemplo: (4, 0) Un ector director = (, ) = (0, ) d) El punto será y = 5 y pr l scis, x, culquier lor, por ejemplo: (0, 5) Un ector director = (, ) = (, 0) 48

12 Diuj l rect que ps por un punto A(, ) y tiene ector director = (3, ) Diuj l rect que ps por un punto B(, ) y tiene ector director w = (, 3) A = 3 α = 3 = - α B = 80º α Con origen en el punto A diujmos el ector = (3, ) Luego, prolongándolo en los dos sentidos, otenemos un trzdo de l rect L tngente del ángulo, α, que form l rect con l dirección positi del eje de sciss es tgα = = 3 Si trzmos, con origen en B, el ector w = (, 3) y luego lo prolongmos, otenemos l rect que ps por B y tiene ector director w En l figur hemos diujdo est rect y osermos que l tngente del ángulo, 80º α, que form con el sentido positio del eje sciss, es opuesto l tngente de α, por suplementrios; en consecuenci: 3 3 tg( 80º α) = tg α = = = Luego el cociente entre l segund y l primer coordend del ector de dirección de l rect nos inform de l tngente del ángulo que ést form con el sentido positio del eje de sciss 5 Ecución explícit L ecución generl tmpoco es únic porque, no es difícil de er, ls ecuciones x y + = 0 y 3x 3y + 3 = 0 corresponden l mism rect Sin emrgo, si despejmos y en l ecución generl, otenemos l ecución explícit de l rect y ést y sí es únic: x + y + c = 0; y = x c ; y x c = L ecución y = x c se llm ecución explícit de l rect y no hy más que un Es costumre simolizrl sí: y = mx + n El número m se llm pendiente de l rect e inform de su inclinción o pendiente, pues m = = = que, como imos en ls figurs del ejemplo nterior, es l tngente del ángulo que form l rect con el semieje positio de sciss Por otr prte, el número n es el lor que lcnz y cundo en l ecución explícit hcemos x = 0; por est rzón se denomin ordend en el origen 49

13 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 3 Determin ls ecuciones prmétrics, generl y explícit de l rect que ps por A(, 3) y tiene como ector director = (3, ) x = x+ k x = + 3k Ls ecuciones prmétrics son, en es y = y + k te cso Despejndo k e igulndo otene y = 3+ k mos l ecución continu que es un proporción x x y y = x y + 3, = En un proporción los productos cruzdos 3 son igules: ( x ) = 3( y+ 3) Hciendo operciones y psndo todo l primer miemro, otenemos l ecución generl: x 3y = 0 Si despejmos l y se lleg l ecución explícit: y = x+ o y = x Alguns rects especiles En l ecución generl x + y + c = 0 no pueden ser simultánemente = 0 y = 0: c Si = 0, l ecución generl se reduce y + c = 0, y =, y esto signific que todos los puntos de l rect c c tienen ordend Luego y = es un rect prlel l eje de sciss que ps por el punto ( 0, c ) c Si = 0, l ecución generl se reduce x+ c = 0, despejndo x result x = Se trt de un rect cuyos puntos tienen scis c c y en consecuenci será prlel l eje de ordends y ps por el punto (, 0) Los ejes de coordends son rects que tienen su ecución Los puntos del eje de sciss tienen todos ordend cero, luego su ecución es y = 0 Por el contrrio, los puntos del eje de ordends tienen scis nul, su ecución será x = 0 El pso de l ecución explícit, y de ests rects especiles l generl, lo hemos resumido en el cudro siguiente: Ecución Ecución generl Vector director Pendiente Actiiddes y = mx + n mx + y n = 0 = (, m) m x = k x k = 0 = (0, ) no está definid y = k y k = 0 = (, 0) 0 Determin ls ecuciones prmétrics, generl y explícit, de l rect que ps por A y tiene como ector director en los siguientes csos: ) A(0, 3) y = ( 4, 3); ) A(6, ) y = (, ); c) A(, 8) y = (0, 3) 3 Hll un punto y un ector de dirección de ls siguientes rects: x y ) x + 3y 7 = 0; ) x 3y +4 = 0; c) y 6 = 0; d) x + 4 = 0; e) x + y 8 = 0; f) = 0 4 Determin l ecución explícit y l pendiente de ls rects siguientes: ) 5x y + 5 = 0; ) x 4y + 8 = 0; c) 6x + 6y = 0; d) x + 5 = 0 50

14 6 Otrs forms de determinr un rect 6 Ecución de l rect que ps por dos puntos Semos que dos puntos determinn un rect Cómo hllmos l ecución de l rect que ps por los puntos A(x, y ) y B(x, y )? Muy sencillo, l rect uscd ps por el punto A o B y tiene como ector director AB A prtir de quí hllmos ls ecuciones prmétrics, continu, generl y explícit de l rect que ps por los dos puntos Vemos el ejemplo 4 Determin ls ecuciones prmétrics, continu, explícit y generl de l rect que ps por los puntos A(, 3) y B(, 4) Tommos uno de los puntos, por ejemplo A(, 3), y un ector de dirección AB = ( 37, ) Ls ecuciones prmétrics x = 3k x son: Despejndo k e igulndo otenemo y = 3+ 7k s l expresión y = + 3 Multiplicndo en cruz llegmos 3 7 l ecución generl: 7( x ) = 3( y + 3), 7x+ 3y 5= 0 Despejndo y en est últim, llegmos l ecución explícit: 7 5 y = x Ecución de l rect que ps por un punto P(x 0, y 0 ) y tiene pendiente m Como l ecución explícit de un rect es y = mx + n, si conocemos m únicmente nos flt hllr n Al ser P(x 0, y 0 ) un punto de l rect se cumple que y 0 = mx 0 + n, luego n = y 0 mx 0 Sustituyendo en l ecución explícit, se otiene y = mx + y 0 mx 0 Est ecución se memoriz fácilmente si se escrie sí: y y 0 = m(x x 0 ) y se denomin ecución punto pendiente De ell psmos fácilmente l explícit, despejndo y, o l generl, psndo todos los términos l primer miemro 5 Hll ls ecuciones explícit y generl de l rect de pendiente m = que ps por A(3, ) L que hemos denomindo ecución punto pendiente es: y y 0 = m(x x 0 ) Sustituimos (x 0, y 0 ) por (3, ) y m por y result: y ( ) = (x 3), y + = x + 6, y = x + 5 (ecución explícit) Psndo todo l primer miemro otenemos l generl: x + y 5 = 0 5

15 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS Actiiddes 5 Determin ls ecuciones prmétrics, generl y explícit de l rects que psn por los puntos A y B en los siguientes csos: ) A(0, 3) y B( 4, 3); ) A(6, ) y B(, ); c) A(, 7) y B(0, 3) 6Hll ls ecuciones explícit y generl de l rects que psn por el punto A y tienen pendiente m en los siguientes csos: 4 ) A(, 3) y m = 3; ) A(, 5) y m = 3 7Determin un punto, l pendiente y un ector de dirección de ls rects: ) y = 7x _ x ; ) y = x; c) y= 4; d) y = 3 5 8Determin l ecución explícit y l pendiente de: ) 5x y + 5 = 0; ) x 4y +7 = 0; c) x 6y=0; d) y + 5 =0 Pr ser más L ecución explícit o l punto-pendiente son ls ecuciones que se usn cundo se trtn ls rects desde un punto de ist funcionl, como representción gráfic de l función linel (en el cso de ls rects y = mx) o como representción gráfic de l función fín (en el cso de ls rects y = mx+ n) Aquí hemos isto cómo otenerls desde otro punto de ist, unque, oimente, el resultdo otenido es el mismo L pendiente de l rect m está relciond con el ángulo que form l rect con l prte positi del eje OX En concreto, l pendiente es l tngente de dicho ángulo Oser que de l gráfic otenemos que m Δy = = = tgα Así, si queremos Δx erigur el ángulo que formn dos rects entre sí podemos usr sus pendientes y l tngente de l diferenci de dos ángulos: tgα tgα m m tg ( α α)= α α = rc tg + tgα tgα + m m L únic corrección que hy que hcerle l fórmul procede de definir el ángulo que formn dos rects como el menor de los dos posiles Como mos son suplementrios, el ángulo que formn dos rects siempre será menor o igul que 90º, por lo que su tngente siempre será positi Pr eitr prolems con el signo, deido un elección u otr de ls pendientes, usmos el lor soluto y qued: tgα tgα tg α α, rctg tg α tgα α α m ( )= = m + + m m Por ejemplo, el ángulo que formn ls rects r : y = 3x y s : y = x+ serí ( ) ( ) = = 3 4 ángulo( r, s)= rc tg rc tg rc + 3 t g = 63º 6' 6'' 5

16 7 Prlelismo de rects Si dos rects son prlels, determinrán ángulos igules con l dirección positi del eje de sciss o, lo que es equilente, tendrán l mism pendiente Cundo tenemos dos rects dds por sus ecuciones explícits, erigur si son o no prlels consiste en oserr si son igules los coeficientes de l x Es eidente que ls rects y = 3x + e y = 3x 5 son prlels, tienen l mism pendiente Si ls rects están dds por sus ecuciones generles, x + y + c = 0 y x + y + c = 0, l psrls explícits result y Si son prlels, tendrán l mism pendiente, entonces x c y x c = e = Lo señldo hst hor podemos resumirlo en el cudro siguiente: = o = o = Ecuciones Rect r Rect r Condición de prlelismo explícit y = mx + n y = m x + n m = m generl x + y + c = 0 x + y + c = 0 = s 6 Determin ls ecuciones generl y explícit de l rect que ps por A(, ) y es prlel l rect r: 4x 5y = 0 L prlel uscd tendrá el mismo ector de dirección, luego será: 4x 5y + c = 0 Pr determinr c le imponemos l condición de que pse por A(, ) y, l sustituir en l ecución, result 4 5 ( ) + c = 0, c = 4 L ecución generl de l prlel es: 4x 5y 4 = L explícit se otiene despejndo y: 5y = 4x + 4, y = x Determin ls ecuciones explícit y generl de l rect que ps por A(, ) y es prlel l rect r: y = 3x En este cso l prlel uscd tendrá l mism pendiente; luego será: y = 3x + n Pr determinr n le imponemos l condición de que pse por A(, ) Sustituyendo en l ecución result: = 3 + n, n = 5 L explícit de l prlel es: y = 3x 5; y l generl: 3x + y + 5 = 0 Posiciones reltis de dos rects Es oio que si dos rects no son prlels entonces se cortn en un punto o, dicho de otr form, son secntes Ls coordends del punto de corte se otienen resoliendo el sistem linel formdo por ls ecuciones de cd rect Si ls rects tienen por ecuciones x + y + c = 0 y x + y + c = 0, ls soluciones del sistem, x + y + c = 0, nos dn ls coordends del punto de corte x + y + c = 0 53

17 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS Tmién puede ocurrir que ls dos ecuciones que nos dn correspondn l mism rect o, expresdo de otro modo, que ls rects sen coincidentes Y esto ocurre cundo el sistem tiene infinits soluciones y semos que esto sucede si un de ls ecuciones es múltiplo de l otr, es decir, si son l mism ecución después de simplificrls correctmente Resumimos reemente en un cudro ests considerciones: Rects Condiciones Soluciones del sistem Secntes Prlels Coincidentes solución únic c = no tiene solución c c = = infinits soluciones c 8 Determin l posición relti de ls rects x+ ( ) y = 0 y ( + ) x+ y = 0 Un form de ordr este prolem es resoler el sistem formdo por ls dos ecuciones Pero más cómodo es comprr los coeficientes de ls dos ecuciones: ( ) = = = + ( + )( ) 4 ( ) = ; = ; = c Se cumple que =, luego se trt de dos rects prlels Si huiésemos resuelto el sistem formdo c por sus ecuciones, erímos que no tiene solución, pero serí más lorioso = Actiiddes 9 Aerigu si ls rects r :( + ) x y = 0 y s:( ) x+ ( 3)y + = 0 son prlels o coincidentes 0 Entre ls siguientes cutro rects hy dos coincidentes y dos prlels Aerigu cuáles son: x y r: 8x+ 0y + 0= 0; r : = 0; r3 : x 5y 30 = 0; r4 : 0, 8x y = 0 5 Hll l ecución generl de l rect que ps por A y es prlel r en los siguientes csos: x y ) A(, ) y r : x 3y + 3= 0; ) A(, ) y r : x+ y + = 0; c) A(, 4) y r : y = 4 ; d) A( 0, ) y r : + =

18 8 Producto esclr de dos ectores Si queremos resoler prolems de distncis de puntos, de puntos rects, de perpendiculridd y de ángulos que formn dos ectores y dos rects, necesitmos definir un nue operción entre ectores llmd producto esclr El producto esclr fcilitrá l resolución de todos esos prolems 8 Ángulo de dos ectores Antes de definir el producto esclr hlremos del ángulo que formn dos ectores El ángulo que formn dos ectores y w es el menor de los ángulos que determinn dos loclizciones de estos ectores con el mismo origen En l figur osermos que l diujr los ectores con el mismo origen se formn dos ángulos Uno myor o igul que 80º y otro menor o igul Los ectores formn un ángulo de 0º cundo tienen l mism dirección y sentido, mientrs que cundo tienen l mism dirección y sentidos opuestos, el ángulo que formn es 80º w α < 80º 8 Definición de producto esclr Definimos el producto esclr de dos ectores = (, ) y w = (w, w ) de dos mners distints: w = w+ w w = w cos (, w) Propieddes De ls dos forms de definir el producto esclr se deducen ls siguientes propieddes: Conmutti: u = u Distriuti: u ( + w ) = u + u w Asociti: k( u ) = (k u ) pr todo número rel k Multiplicción por el ector 0 Si 0, entonces 0 = 0 Pr todo ector, 0 = + = + ( ) = ( ) = ó = cos(, ) = ( ) cos 0º = Lo que permite redefinir el módulo de un ector como = = + = = + Si elemos l cudrdo Luego eremos que ls dos expresiones son igules, y empleremos un u otr en función de los dtos que conozcmos 55

19 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS 9 Ddos u = (, ), = ( 3, 4), w = (5, ), comprue ls propieddes del producto esclr: conmutti: u = u, distriuti: u ( + w ) = u + u w y sociti: k( u ) = (k u ) pr todo número rel k Conmutti: u = ( 3) + ( ) 4 = 4; u= ( 3) + 4 ( ) = 4 Distriuti: ( u + w ) = (, ) [ ( 3, 4) + (5, )] = (, ) (, 3) = ; u + u w = (, ) ( 3, 4) + (, ) (5, )= = 4 + = Asociti: k( u ) = k(, ) ( 3, 4) = 4k; (ku ) = (k, k) ( 3, 4) = 4k Equilenci entre ls dos definiciones u En l figur hemos diujdo un triángulo de ldos u, yu u Los ldos del triángulo ( u, ) miden u = u + u, = + y u = ( u ) + ( u ) (estos módulos pueden expresrse en función del producto esclr) Aplicndo el teorem del coseno en este triángulo, u = u + u + + u ( u ), donde (u, cos, ) es el ángulo que formn los ectores u y Como un módulo l cudrdo es igul un ríz cudrd eled l cudrdo, tenemos: u = ( u + u ) = (u ) + (u ) = u + u + + ( ) ( ) u cos ( u, ) u + u + u+ u= u+ u + + u cos ( u, ) Simplificndo qued u u = u cos ( u, ) y diidiendo por, se lleg l expresión u + u = = u cos u,, ( ) que nos confirm que ls dos definiciones que hemos ddo del producto esclr son igules Un plicción de est últim iguldd es el cálculo del ángulo que determinn dos ectores Es eidente que despejndo cos ( u, ), otenemos cos(, u + u u ) = u 0 Clcul el ángulo que formn los ectores u = (, ) y = ( 4, ) Solución : u+ u 4 + ( ) cos( u, ) = = = = 0, u + ( ) Con un clculdor el ángulo ( u, ) cuyo coseno es 0, se hll sí: - SHIFT cos = SHIFT º 7º 33 54,8 El signo de cos( u, ) depende del numerdor de l frcción porque el denomindor siempre es positio, luego podemos firmr que: Si u + u > 0, entonces cos( u, ) > 0 y 0º < ángulo ( u, ) < 90º Si u + u < 0, entonces cos( u, ) < 0 y 90º < áng ulo ( u, ) < 80º Si u + u = 0, entonces cos( u, ) = 0 y ángulo ( u, ) = 90º Actiiddes Determin l medid del ángulo que formn los ectores AB y AC siendo A(, 3), B(6, 0) y C(4, ) 3 Si A(, 3), B(6, 0) y C(4, ) son los értices de un triángulo, diújlo y determin l medid de los ángulos del triángulo 56

20 9 Ángulo de dos rects Rects perpendiculres 9 Ángulos de dos rects s r suplementrio s r Dos rects que se cortn formn cutro ángulos igules dos dos l ser opuestos por el értice Se llm ángulo de dos rects l menor de ellos igules El ángulo que formn dos rects, r y s, es igul o suplementrio l que formn sus ectores de dirección, como es fácil de consttr en l figur djunt Como el ángulo de dos rects es el menor de los dos ángulos suplementrios, entonces será gudo y tendrá coseno positio; ddo que l diferenci entre el coseno de dos ángulos suplementrios es el signo, esto nos muee definir el coseno del ángulo que formn ls rects sí: u + u cos ángulo( r, s ) = cos ángulo( u, ) = u + u + u + u ángulo( r, s ) = rc cos u 9 Vectores perpendiculres Rects perpendiculres Si los ectores = (, ) y w = (w, w ) formn un ángulo de 90º, es decir, son perpendiculres u ortogonles, como cos 90º = 0, se cumplirá que w = w + w = w cos90º = 0 Es decir, y w son perpendiculres si su producto esclr es cero, w = 0 Esto nos lle firmr que dos rects son perpendiculres u ortogonles si sus ectores de dirección tmién lo son Ahor, si ls rects están dds en form generl r: x + y + c = 0 y s: x + y + c = 0, sus ectores de dirección son = (, ) y w = (, ), respectimente Como w = 0, entonces ( ) ( ) + = 0 ó + = 0 Cundo ienen dds en form explícit r:y = mx + n e s:y = m x + n l psrls form generl, r: mx +y n = 0 y s: m x + y n = 0, emos que sus ectores directores son = (, m) y w = (, m ), respectimente; ddo que w = 0, result que w = ( ) ( ) + ( m) ( m ) = 0 ó m m = = 57 u u + u + u + u + u = Es decir, u Hllr el ángulo que formn ls rects r: x 3y+ 3= 0 y sy : = 7x 3 Solución : u + u Semos que cos ángulo( r, s ) = Vmos determinr ls coordends o componentes de los ectores de u dirección u y de r y s Un ector director de r es u = (, ) = ( 3, ) ; si escriimos s en f orm generl, multiplicndo por 3 y psndo todo l primer miemro, result: x+ 3y+ = 0 Luego = ( 3, ) En consecuenci, 3 ( 3) + ( ) 5 cos ángulo( rs, ) = = = 0, ( ) ( 3) + ( ) Con un clculdor el ángulo( r, s ), cuyo coseno es 0, se hll sí: - SHIFT cos 0, = SHIFT º 48º 0 47,39

21 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS Resumiendo: Ecuciones Rect r Rect s Condición de ortogonlidd explícits y = mx + n y = m x + n m m = generles x + y + c = 0 x + y + c = 0 + = 0 En este momento, que conocemos ls condiciones de perpendiculridd, podemos resumir en un tl todos estos hechos y otros que conocemos: s Hll un ector perpendiculr = (, 5) Ecución Pendiente Vector director Vector perpendiculr x + y + c = 0 m = = (, ) w = (, ) y = mx +n m = (, m) w = ( m, ) x = x+ k y = y + k m = = (, ) w =(, ) El modo más sencillo de hllr un ector perpendiculr otro es ller l ª componente l lugr de l ª y l ª l lugr de l ª, con el signo cmido; sí, (5,) y culquier múltiplo de este ector son perpendiculres l ector ddo Los ectores (5,) y ( 5, ) tienen el mismo módulo que (,5) Hll l ecución de un rect perpendiculr r: y = _ x + que pse por el punto A(, ) Escriimos l rect en form generl r: x + y = 0 Como pr otener un ector perpendiculr otro intercmimos ls componentes y un de ells le cmimos el signo, l rect perpendiculr tiene por ecución r : x + y + c = 0 Sustituyendo ls coordends de A en est ecución clculmos c: + ( ) + c = 0, c = 5 L ecución es r : x + y + 5 = 0 El producto de ls pendientes de dos rects perpendiculres es igul, luego m = con lo que r : y = x + n; sustituimos ls coordends de A(, ) pr clculr n: = + n, n = 5 L ecución explícit es r : y = x 5 y corresponde l ecución generl encontrd ntes Actiiddes 4 Hll el ángulo que formn los siguientes pres de rects: ) x y + 3 = 0 e y = x + 8; ) y = 3x + 5 e y = _ x + ; c) x y + 3 = 0 e y = Los ldos de un triángulo están contenidos en ls rects r : 4x 3y = 0, r : x + 5y 33 = 0, y r 3 : 3x + y 4 = 0 Hll: ) los értices del triángulo; ) los ángulos del triángulo 6 Ddo el triángulo de értices A(, 5), B(6, ) y C(, 3), determin: ) ls rects que contienen ls lturs del triángulo; ) ls ecuciones de ls meditrices del triángulo 7 Hll el simétrico del punto A(4, 6) respecto l rect r: x + y 6 = 0 (Indicción: Hllmos l rect que contiene A y es perpendiculr r L intersección de ls rects d el punto medio del segmento AA, siendo A el simétrico de A respecto r) 58

22 0 Distncis 0 Distnci entre dos puntos L distnci entre dos puntos P(p, p ) y Q(q, q ) l definimos como el módulo del ector PQ Como PQ = (q p, q p ), Distnci (P, Q) = PQ = PQ PQ = ( q p ) + ( q p ) Oimente coincide con l distnci clculd emplendo el teorem de Pitágors 4 Determin un punto de l rect r : x+ y 8= 0 que equidiste de los puntos A(, 3) y B( 3, 8) Solución : Se Mx (, y) el punto uscdo de l rect r Dee cumplir que pertenece r : x+ y 8= 0 y distnci ( A, M) = = ( x+ ) + ( y 3) = distnci ( B, M) = ( x 3) + ( y 8) ( x+ ) + ( y 3) = ( x 3) + ( y 8) ; x + 4x+ 4+ y 6y + 9= x 6x+ 9+ y 6y x+ 0y 60= 0 x+ y 6= 0 Ls coordends de M x+ y 6= 0 deen cumplir ms condiciones, luego son l solución del sistem Resoliéndolo result M(, 7) x+ y 8= 0 0 Distnci de un punto un rect Ddos un punto P y un rect r, definimos l distnci de P r como l longitud del segmento perpendiculr trzdo desde P r y l simolizmos por d(p, r) El prolem de clculr l distnci de P r lo podemos resoler del modo siguiente: P r º hllmos l ecución de l rect s que ps por P y es perpendiculr r; º l intersección de r y s, Q, d el pie del segmento perpendiculr trzdo de P r; Q 3º l distnci de P r es igul que l distnci de P Q e igul PQ s Este procedimiento pr clculr est distnci nos proporcion un fórmul fácil de recordr y fácil de plicr que, con cierto trjo, mos deducir seguidmente: Se r: x + y + c = 0; el ector w = (, ) es perpendiculr r y ls ecuciones prmétrics de l rect s x = p + k que ps por P(p, p ) y es perpendiculr r son, con k R y = p + k L intersección de r y s es el punto Q que, por pertenecer s, tiene de coordends (p +k, p +k) Hllmos el lor de k pr que Q pertenezc tmién r Sustituyendo en r, se otiene ( p+ k) + ( p + k) + c = 0 p+ k + p + k + c = 0 k( + ) = p p c p+ p + c p + p + c p+ p + c k = Ls coordends de Q son p p, p+ p + c p + p + c 3 Clculmos d( P, r) = PQ= p p, p p + + = p+ p + c p+ p + c =, + + = p+ p + c p+ p + c ( ) + ( ) = + + p + p + c = ( + ) = + ( p + p + c) + () p+ p + c = + ( ) = ( ) () p+ p + c p p c, pues l eler p p c tomndo l prte positi de l ríz siempre será positio y estmos 59

23 6 UNIDAD VECTORES Y RECTAS Se otiene p+ p + c dp (, r)= PQ= + Es decir, l distnci de un punto un rect se otiene sustituyendo ls coordends del punto en l ecución de l rect, hllndo el lor soluto de este resultdo y diidiéndolo por el módulo del ector perpendiculr l rect 5 Hll el áre del triángulo de értices A(, 3), B( 6, 0) yc( 4, ) Solución : Tommos AB como se y l distnci de C l rect que ps por A y B como ltur Clculmos l se: AB = ( 6 ( ), 3) AB = 8 + ( 3) = 73 es l longitud de l se Clculmos l ltur: l rect que ps por A y B tiene ector director AB = (8, 3), luego se rá 3x+ 8y + c = 0 ; sustituyendo ls coordends de B, se otiene 8 + c = 0 c = 8 l rect es 3x+ 8y 8 = 0 L distnci de C l rect que ps por A y B es d( C, rect AB) = ( ) 8 4 = = l ltur del triángulo Luego, 8 + ( 3) 73 4 Áre del triángulo = se ltur = 73 = 7 uniddes cudrds 73 Actiiddes 8 Ddos los puntos A(4, ) y B( 3, ) y ls rects r : 4x 3y = 0 y s : x + y 6 = 0, hll: ) l distnci de A B; ) l distnci de A r y s; c) l distnci de B r y s 9 Hll l distnci entre ls rects prlels r: 3x 5y + 4 = 0 y s: 3x 5y 6 = 0 30 Hll un punto del eje de ordends que equidiste de ls rects 3x y + 6 = 0 y x + 3y 6 = 0 3 Hll un punto de l rect x + y 6 = 0 que equidiste de los puntos A( 4, ) y B(, 4) 3 Se llm hz de rects de centro P(x 0, y 0 ) l conjunto de tods ls rects que psn por el punto P L ecución del hz es y y 0 = m(x x 0 ), y pr cd lor que demos m otenemos un rect del hz Hll l ecución de l rect del hz de centro P(, 3) y que dist del origen Pr ser más Ls ecuciones de un rect Ls ecuciones prmétrics de un rect, que hemos deducido del hecho de que los ectores AP = ( x x, y y ) y = (, ) son colineles y por tnto AP = k, dependen del punto A y del ector elegidos Por ello, un rect se descrie medinte un infinidd de ecuciones prmétrics l rir tnto el punto de prtid como el ector director L ecución generl de un rect x + y + c = 0 puede precer multiplicd por un número culquier y exhiir un specto diferente kx + ky + kc = 0 pr cd número rel k, siempre que k 0 L ecución explícit de un rect y = mx + n es únic, como tmién son únicos l pendiente y l ordend en el origen El porqué del nomre de producto esclr En Fisic un mgnitud es esclr cundo no tiene direccion, como el olumen y l tempertur, y es ectoril cundo tiene direccion y sentido, como l elocidd y l celerción En el producto esclr que hemos definido se multiplicn dos ectores y se otiene un número; de hí l denomincion de producto esclr 60

24 Recuerd ü Vectores colineles son los que tienen l mism dirección Si u = (x, y) y = (x', y') son colineles, entonces x y cumplen l condición siguiente: o xy' = x'y x = y = ü Si conocemos el origen, A(x, y ), y el extremo, B(x, y ), de un ector, ls coordends de AB son (x x, y y ) x+ x y+ y ü Ls coordends del punto medio, M(x, y), del segmento de extremos A(x, y ) y B(x, y ) son, x x = k ü Ls ecuciones prmétrics de l rect son: donde k R y y = k ü L ecución generl o implícit de l rect se escrie sí: x + y + c = 0 ü L ecución explícit de l rect es únic y se escrie sí: y = mx + n ü L ecución de l rect que ps por un punto P(x 0, y 0 ) y tiene pendiente m es y y 0 = m(x x 0 ) ü Prlelismo de rects: Ecuciones Rect r Rect r Condición de prlelismo explícit y = mx + n y = m x + n m = m generl x + y + c = 0 x + y + c = 0 = ü Posiciones reltis de dos rects: Rects Condiciones Soluciones del sistem Secntes solución únic Prlels Coincidentes ü El producto esclr de dos ectores = (, ) y w = (w, w ) se define de dos mners distints: w = w+ w = w cos(, w) ü Rects ortogonles o perpendiculres: Ecuciones Rect r Rect s Condición de ortogonlidd explícits y = mx + n y = m x + n m m = generles x + y + c = 0 x + y + c = 0 + = 0 ü Vectores directores y ectores perpendiculres un rect: Ecución Pendiente Vector director Vector perpendiculr x = x+ k y = y + k m = = (, ) w =(, ) ü L distnci entre dos puntos P(p, p ) y Q(q, q ) l definimos como el módulo del ector : Distnci (P, Q) = PQ = PQ PQ = ( q p ) + ( q p ) ü L distnci de un punto P(p, p ) un rect r: x + y + c = 0 iene dd por l expresión: p+ p + c dp (, r) = PQ= + c = no tiene solución c c = = infinits soluciones c x + y + c = 0 m = = (, ) w = (, ) y = mx +n m = (, m) w = ( m, ) 6