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Transcripción

1 CPÍTULO V DESPLZMIENTO VECTORES [cm] 27,7[cm] 303,9[cm] Vlpríso Sntigo 13,4[cm] 23,8[cm] Mendoz MGNITUD 8,8 Concepción 8,7[cm] 8,6[cm] 4,3[cm] uenos ires 3,9[cm] 4,2[cm] ,0 [cm] ESCL 10 [cm] 40 Hemos indicdo que un cuerpo se mueve cundo cmbi de posición en el espcio. Es mu importnte en Físic sber medir ese cmbio de posición, introduciendo el concepto de desplzmiento. Este concepto debe contener e indicr no sólo l mgnitud del cmbio de posición, sino demás, l dirección en que se h efectudo el cmbio. Si un cuerpo se h movido de l posición l posición, no importndo qué trectori h seguido, definimos como desplzmiento de este cuerpo l trzo dirigido que v desde l posición l finl. El desplzmiento de, que podemos simbolizr por, es uno de los ejemplos del ente mtemático que indic mgnitud dirección, llmdo vector. * Supongmos que un turist cmin lo lrgo de 2 Norte desde 4 Poniente hst 2 Oriente. El desplzmiento correspondiente lo representmos por el vector: PO cu mgnitud, de cuerdo l escl del plno, es proximdmente 650[m]. * Otr person prte de l intersección entre 3 Poniente 4 Norte, nd por l 4 Norte hst l 1 Oriente, luego dobl bj por l 1 Oriente hst l 2 Norte PONIENTE 4 PONIENTE 4 NORTE 3 NORTE 2 NORTE 10 NORTE 9 NORTE 8 NORTE 7 NORTE 6 NORTE 5 NORTE 3 PONIENTE 2 PONIENTE 1 PONIENTE 11 NORTE VENID LIERTD 1 ORIENTE 2 ORIENTE L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 139 Conceptos Mgnitudes en Físic

2 El desplzmiento de est person, de proximdmente 470[m] de mgnitud, está indicdo por el vector d : TRYECTORI d DESPLZMIENTO * Desde l esquin de 5 Norte con Sn Mrtín, un petón se dirige por Sn Mrtín hst l 8 Norte en seguid regres por l 4 Poniente hst l 5 Norte. Su desplzmiento corresponde l vector Δ r de l figur. L mgnitud de este vector es proximdmente 200[m]. Δ r Ejemplo. Representemos, escl, l siguiente trectori de un móvil que prtiendo de un punto vij: 40[km] l S, luego 55[km] l E, 70[km] l N finlmente 20[km] l SO. Determinemos l distnci recorrid l mgnitud dirección del desplzmiento en este movimiento. Elegimos como sistem de referenci el punto inicil l dirección Sur Norte, con un escl decud dibujmos los sucesivos desplzmientos. L distnci recorrid lo lrgo de l trectori, es: ( )[km] = 185[km] d F F [km] L mgnitud del desplzmiento totl en este movimiento es igul l mgnitud del vector df dibujdo entre l posición inicil l finl F. Su vlor es de 44[km], proximdmente. L dirección del desplzmiento l podemos expresr medinte el ángulo formdo por el correspondiente trzo dirigido un dirección de referenci. En este L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 140 Conceptos Mgnitudes en Físic

3 cso el ángulo formdo por el vector proximdmente 69. df l dirección Sur-Norte es Fíjese que l representr l informción sobre el movimiento, hemos indicdo no sólo ls mgnitudes de los sucesivos desplzmientos, sino tmbién sus direcciones, sin ls cules no podrímos determinr l trectori descrit por el móvil. Similrmente, el desplzmiento resultnte qued determindo sin mbigüedd l indicr su mgnitud su dirección. Ejercicios. 5-1) Determine el menor vlor de l longitud de l trectori l mgnitud del vector desplzmiento pr ir desde l intersección de 6 Norte con Sn Mrtín, hst l intersección de 8 Norte con 2 Oriente. 5-2) Un niño en su biciclet efectú un circunvlción un mnzn de su ciudd, regresndo l mismo punto de prtid. Determine l mgnitud del desplzmiento. 5-3) Un jugdor de fútbol entrenndo trot 40[m] lo lrgo de l orill de l cnch después de girr en 30 hci l cnch, trot 20[m] más. Represente, escl, l trectori el desplzmiento del jugdor. Determine l mgnitud del desplzmiento su dirección respecto l orill de l cnch. Vocbulrio : esclres. En el estudio de l Físic encontrmos cntiddes como tiempo, ms, crg eléctric, tempertur, energí, etc., que quedn completmente expresds por un número rel un unidd de medición correspondiente. l trbjr, en el contexto de l Físic clásic no reltivist, con ls mgnitudes de este tipo de cntiddes físics, usmos el álgebr de los números reles, lo que está de cuerdo con los experimentos. Dichs cntiddes son cntiddes esclres. Tmbién en Físic encontrmos otrs cntiddes que sólo quedn determinds cundo se conoce, demás de su mgnitud, su dirección, que obedecen regls lgebrics propis. l igul que el desplzmiento, l velocidd, celerción, fuerz, torque, intensidd de cmpo eléctrico, etc. gozn de ls propieddes de los vectores. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 141 Conceptos Mgnitudes en Físic

4 Vectores: representción notción. Representmos los vectores por trzos dirigidos. D CD Simbolizmos los vectores por un expresión literl con un flech encim, por ejemplo:, E, CD. E C En el vector CD el orden de ls letrs indic el punto inicil el finl, respectivmente. L mgnitud, norm o módulo de un vector l expresmos encerrndo su símbolo entre doble brrs o quitndo l flech l expresión literl correspondiente. Por ejemplo: l mgnitud de l escribimos: = l mgnitud de CD l escribimos: CD = CD l representr vectores escl, l longitud de los trzos empledos l hremos proporcionl sus mgnitudes. Por ejemplo: P = P = P = P = P = P = P 1 P 2 P 3 = = 1,4 1 1 = = 4,2 2 2 = = 7, Vector cero o vector nulo. Un vector cu mgnitud es cero se denomin vector cero. Lo simbolizmos por 0 o simplemente 0. Convenimos que el vector 0 tiene culquier dirección. L mgnitud de todo vector no nulo es, por definición, un número positivo. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 142 Conceptos Mgnitudes en Físic

5 Vectores igules. Dos vectores que tienen l mism mgnitud l mism dirección son igules. L iguldd de vectores es, por convenio, independiente de sus posiciones. Por ejemplo, en l figur tenemos que: = b = c = b c unque dos vectores tengn igul mgnitud, ellos pueden ser diferentes. En l figur se muestr que: d = e, d e d e tmbién, unque: dirección de f = dirección de g, f g. f g Multiplicción de un vector por un esclr. l multiplicr un vector por un esclr λ result otro vector mgnitud es λ veces l mgnitud de : λ = λ λ cu cu dirección es igul l dirección de si λ> 0, opuest l de si λ< 0. λ, con λ= 1,5 > 0 λ, con λ= 1,5 < 0 Tmbién se suele decir que el vector que result l multiplicr un vector por un esclr λ negtivo ( λ < 0 ) tiene igul dirección sentido contrrio que el vector. L frse entre comills es equivlente dirección opuest. Nos sentiremos libres de usr culquier de estos convenios, siempre que no se presenten mbigüeddes de interpretción. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 143 Conceptos Mgnitudes en Físic

6 * Dos vectores prlelos b, no nulos, son proporcionles. Esto lo escribimos: = αb o b = β ( β = 1/ α ) * Tenemos ls siguientes relciones entre el esclr cero el vector cero : 0 = 0, pr todo vector, pr todo esclr λ λ 0 = 0 con lo cul, si λ u = 0, entonces λ = 0 o u = 0, o mbos. dición de vectores. L sum vectoril + b es por definición un vector cuo punto inicil es el inicil de cuo punto finl es el finl de b, colocdos como se muestr en l figur. Este método de relizr l dición de vectores es conocido como regl del triángulo. b b * De l figur djunt se infiere que: + b = b + es decir, l dición de vectores es conmuttiv. b b Otro método pr relizr l sum de dos vectores es conocido como l regl del prlelogrmo. Sen b dos vectores. Pr sumr los vectores se dibujn con su inicio en común. Luego se trz, por el extremo de cd uno, un prlel l otro. L sum + bes l digonl correspondiente l vértice con el inicio de los vectores. nlice este método pr comprobr que es coherente con l definición inicil de l sum de vectores. mbos métodos serán usdos en los futuros desrrollos. b L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 144 Conceptos Mgnitudes en Físic

7 * L multiplicción por un esclr es distributiv con respecto l dición de vectores. Es decir: λ ( + b) = λ + λb cu demostrción se reliz plicndo en l figur djunt los teorems de proporcionlidd de trzos en figurs semejntes. Mgnitud de l sum + b λ b λb * Si mbos vectores tienen igul dirección se cumple que: + b = + b b + b * Si los dos vectores son perpendiculres podemos plicr el Teorem de Pitágors obtenemos: + b = + b 2 2 b b * Si los vectores tienen direcciones opuests result: + b = b si > b + b b cundo b + b = b se cumple b + b lo que equivle decir que: + b = b L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 145 Conceptos Mgnitudes en Físic

8 En generl, l mgnitud de l sum + b depende de ls direcciones reltivs de de b, cumpliéndose que: b + b + b b b Rest de dos vectores. Se llm ditivo inverso del vector b l vector b que tiene l mism mgnitud que b l dirección opuest. Tl vector result de multiplicr b por el esclr 1: ( 1) b = b Pr efectur l rest b se sum vectorilmente l vector el ditivo inverso del vector b, es decir: b = + ( b) b b b b como se ilustr en l figur djunt. Observe que, si se ubicn los vectores con su origen en común se construe el prlelogrmo, un de sus digonles represent el vector + b, l otr, l diferenci b o b. En este último cso, l dirección del vector diferenci v hci el vector minuendo, es decir, el que está en el inicio de l rest. b b b b + b L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 146 Conceptos Mgnitudes en Físic

9 Ejemplos sobre operciones con vectores. * Ddo el vector indicdo en l figur, construmos los vectores b = 2, 7 c = 18,. Pr resolver este ejercicio recordmos que el vector b es prlelo (igul dirección) l vector su mgnitud (módulo, norm) es 2,7 veces mor : b= b = 27, = 27, = 27, 0,7 b El vector c tiene dirección contrri l del vector su módulo es 1,8 veces el módulo de. c = c = 18, = = 18, i = 18, 0,8 Note que, siendo el módulo del vector, es positivo ( >0 ) por tnto : b = 2,7 > 0 c = 1,8 > 0 * Se d un vector ddo. Determinmos el vector w = v u u = 2, 3d + 0, 8d v = 3,4d 1,9d Los vlores u v en función de d son : con lo cul : ( ) u = 2, 3d + 0, 8d = 2,3+ 0,8 d = 3, 1d v = 3, 4d 19d, = 3, 4 19, d = 15d, ( ) w = v u = 1,5d 3,1d = 1,6d ( 3,4 1,9 2,3 0,8) d Un form más direct de hcer tl diferenci es : w = 3,4d 1,9d 2,3d + 0,8d ( ) ( ) = = = 1, 6 d c donde L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 147 Conceptos Mgnitudes en Físic

10 * Un brco prte de un puerto recorre 120 [km] hci el Norte luego 270[km] hci el Noreste. Determinemos su ubicción finl respecto l punto de prtid. El recorrido del brco lo representmos, escl, en l figur djunt, donde P indic el puerto de prtid, el punto donde gir l NE l posición lcnzd. Entonces, los sucesivos desplzmiento están ddos por los vectores P, de módulos : N NE = P = 120[km] b = = 270[km] O φ P E S L ubicción finl del brco está determind por el vector P P = P + : Por tnto, l mgnitud del desplzmiento totl es d= P 365[km] dirección está dd por el ángulo φ 32, respecto l dirección Sur Norte. Es decir, el brco está 365[km] del puerto en dirección de 32 l Este del Norte. su * Dos vectores formn entre sí un ángulo de 52 ; el módulo de vle se 3,2[mm]. Cuál debe ser el módulo de pr que el vector perpendiculr? Pr resolver gráficmente este problem : Dibujmos escl el vector. En el inicio de copimos el ángulo de 52. Levntmos un perpendiculr l vector en su punto finl. L intersección de l perpendiculr con el ldo libre del ángulo nos determin el punto finl del vector. 52 Tomndo en cuent l escl usd, el módulo del vector result proximdmente igul 5,2 [mm]. * Demostremos que si O O son dos vectores no nulos no prlelos, culquier vector en el plno determindo por ellos puede ser expresdo en l form λ O +μo siendo λ μ dos esclres decudos. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 148 Conceptos Mgnitudes en Físic

11 Los vectores O O nos determinn un plno. Escogemos un punto C rbitrrio de ese plno. Por C trzmos prlels O O determinndo los puntos Entonces : OC = O ' + O' pero como : O ' = λ O O' = μ O result : OC = λo + μ O O C Hbiendo escogido un punto C de modo rbitrrio, hemos probdo que culquier vector coplnr con O O puede ser expresdo en l form λ O + μ O. =, b = O c = OC * Sen O tres vectores ddos con un punto común O, rbitrrio. Si los puntos, C son colineles se cumple que c = λ + μb con λ + μ = 1. De l figur podemos escribir que : = b C= c Pero C=μ por ser, C colineles. c = μ b, por tnto ( ) de donde c = μ b + ( 1 μ) Hciendo λ = 1 μ tenemos que : c = λ +μb buscábmos demostrr. O c b con λ +μ= 1, relción que C demás, en este cso ls longitudes de los trzos C C están en l rzón μλ. Un demostrción es l siguiente : Como C=μ, l longitud del trzo C es : =C = C =μ μ l longitud del trzo C es : es decir C :C = μ : λ C = C = ( 1 μ ) = λ L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 149 Conceptos Mgnitudes en Físic

12 * Demostremos que en un prlelogrmo ls digonles se dimidin. Sen = = b D Se P el punto de intersección de ls digonles. Y que los puntos finles de, P b son colineles. P =λ +μb con λ +μ= 1 b D P C Por otr prte ( ) P =ν + b De lo nterior deducimos que : λ +μ b =ν ( + b) λ ν = ν μ b. Es decir : ( ) ( ) por ser P con p q Sbiendo que l iguldd α p =βq nulos, sólo se cumple si α =β= 0, tenemos que : λ ν= 0 ν μ= 0 prlelo con C. Como demás λ +μ= 1, según condición nterior, result : 1 λ =μ=ν= 2 Por tnto, P es punto medio de C D. vectores no prlelos no * Demostremos que ls trnsversles de grvedd de un triángulo son concurrentes se cortn en l rzón 2:1 prtir del vértice. Sen D F puntos medios de dos ldos del triángulo. Hgmos = c, C= b D= d De cuerdo l resultdo del problem nterior. Se cumple de 1 d = ( b + c) 2 que F = c 2 E F P C D L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 150 Conceptos Mgnitudes en Físic

13 Se P el punto de intersección de ls trnsversles de grvedd con vértices en C. Entonces : λ P d ( = λ = b + c) 2 Como los puntos C, P F son colineles, podemos escribir : c P = ν b + μ siendo ν + μ = 1 2 por consiguiente : λ μ ( b + c) = ν b+ c 2 2 λ b μ λ = ν c demás, ddo que b c no son prlelos se cumple : λ 2 ν = 0 μ λ = considerndo ν + μ = 1, result : 2 μ = λ = 3 2 Luego : P = D, de donde 3 tmbién P:PD= 2:1 1 ν = 3 CP : PF = μ : ν = 2 :1 Procediendo de mner nálog pr ls dos trnsversles con vértice en, se complet l demostrción. Ejercicios. 5-4) Dibuje un vector culquier luego constru los vectores : 4 ; 3; 2,3 ; 2 ; 4 5 1, 9 5-5) Sen b c vectores ddos. Clcule ls siguientes sums de vectores : 2,3 b + 3,4 b 0,6 b + 0,8 b 5,8 b =? 4,1c 3,5 c + 3 c / 5 3c /10 =? 1,5b+ 3,5b 0,6b+ 0,8b =? 3,2c + 2,3c 1,7c + 1,4c =? 3b 4b 7b + b =? L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 151 Conceptos Mgnitudes en Físic

14 5-6) Sen, b c tres vectores prlelos que cumplen demás ls condiciones : = 1,7b b = 1,2c Exprese en función de b cd uno de los siguientes vectores : p = 0,6 + 1,4b 1,6c 2b 4c q = r = 1,2 2,3b + 2,3 c b 2c 4b t = + s = 2,3 1,2c u = 0,8 + 1,5b 2,3 c Exprese tmbién estos vectores en términos de luego en términos de c 5-7) Demuestre que b son prlelos si λ +μ b = 0 de cero. siendo λ μ distintos 5-8) Un eroplno vuel 180[km] hci el Este luego 120[km] 50 l Norte del Oeste. Determine gráficmente el desplzmiento resultnte (mgnitud dirección). 5-9) Efectúe gráficmente ls siguientes sums vectoriles : - Un vector de módulo 2,3[cm] hci el Este más un vector de módulo 3,1[cm] hci el Noreste. - Un vector de módulo 9,2[cm] hci el Este más un vector de módulo 12,4[cm] hci el Noreste. λ +λ b =λ + b? Compre mbs sums Se cumple ( ) 5-10) Se CD un prlelogrmo sen b = D. Exprese C, CD, C D en términos de = b. 5-11) Se dn dos vectores U V tles que U+ V = U V. Determine el ángulo que formn los vectores U V. Exmine posibiliddes. Comente. 5-12) Se un vector fijo sen el símbolo de todos los vectores de igul módulo que pero de dirección vrible. Exmine el vlor de l expresión, preocupándose en qué csos es mor, igul o menor que cero. D C L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 152 Conceptos Mgnitudes en Físic

15 5-13) Ddos dos vectores F 1 F 2 tles que F 1 = 5,0[N], F 2 = 4,2[N] F1+ F2 = 2,3[N], determine gráficmente el módulo de F 1 F 2 el ángulo que formn F 1 F ) Dibuje dos vectores culesquier. Verifique, por gráficos que se cumple ) Considere tres vectores, C que tienen un origen común O. Qué condiciones deben stisfcer tles vectores pr que O sus extremos sen los vértices un prlelogrmo? 5-16) Dibuje un vector p de 4,0[cm] de módulo, en dirección 70 l Este del Norte otro vector q de 6,5[cm] de módulo en dirección 130 l Este del Norte. Constru el vector r = 2p + 3q. Determine el módulo l dirección de r. 5-17) Dibuje un vector C. Constru dos vectores de tl modo que C se l sum de. l representr un vector ddo como l sum de dos vectores quedn éstos determindos sin mbiguëdd? 5-18) Dibuje un vector C. Exprese C como l sum de vectores que cumpln =. Discut si l solución es únic. 5-19) Dibuje un vector C. Exprese C como l sum de vectores tles que Es l solución únic? 5-20) Ddos los vectores p, q r, constru los vectores, b c tles que : q r p q p p r = p b = r + c = ) Ddos dos vectores c d, constru : u = 2c 3 d v = 5 c + d ) Se v un vector no nulo culquier. Exprese, en función de v, un vector en l dirección v que teng módulo uno. 5-23) Ddo un vector esclres λ μ, demuestre que λ( μ ) = μ( λ ). L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 153 Conceptos Mgnitudes en Físic

16 5-24) Sen C un triángulo equilátero de ldo, F el pie de l perpendiculr bjd desde el vértice C. Clcule los módulos de los vectores F, CF F+ FC. 5-25) Sen, b c tres vectores de igul módulo, cus direcciones formn ángulos de 0, con respecto cierto ro ddo. Determine l sum. + b + c 5-26) Constru un pentágono regulr. Desde su centro dibuje los vectores sus vértices. Determine l sum de tles vectores. 5-27) Sen,, C D cutro puntos no linedos situdos en un mismo plno. Encuentre tres puntos M, N Q, tles que :, N = C M = CD CQ = N 5-28) Considere dos puntos. Determine lo menos dos puntos Q tles que + Q = 2 Q. ( ) 5-29) Dos vectores p q son perpendiculres tienen mgnitudes 4 9. respectivmente. Determine gráficmente l mgnitud l dirección de p q Clcule l mgnitud de tl diferenci compárel con l obtenid gráficmente. 5-30) Un hexágono regulr está formdo por seis vectores de igul módulo. Sen f dos vectores dcentes. Exprese, en términos de f, los vectores correspondientes los otros ldos los vectores correspondientes ls digonles desde el punto. f 5-31) Ddo un triángulo C un punto, se pide completr un nuevo triángulo de modo que pr un punto O culquier se cumpl : O' = O ' + O O Cómo es el nuevo triángulo con respecto l primero? OC' = O ' + OC O 5-32) Considere dos puntos. Determine los menos un punto P tl que + P se ortogonl P. 5-33) Sen, b c tres vectores que tienen un punto inicil común O. Demuestre que si existen tres esclres λ, μ ν tles que λ + μ b + ν c = 0 λ + μ + ν = 0, entonces, los puntos terminles de, b c son colineles. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 154 Conceptos Mgnitudes en Físic

17 Componentes vectoriles de un vector. Hemos prendido que l dición de dos o más vectores d como resultdo un vector. Consideremos hor el problem recíproco : ddo un vector encontrr los vectores sumndos. Fácilmente nos dmos cuent que un vector se puede expresr como l sum de numerosos conjuntos de dos, tres o más vectores. p s r q v w u Por ejemplo, ddo el vector podemos escribir : = p + q+ r + s tmbién : = u + v + w como se muestr en l figur. Estos vectores no necesrimente están en un mismo plno. los vectores que sumdos dn el vector originl los llmremos componentes vectoriles del vector. En prticulr, podemos descomponer un vector en dos componentes vectoriles. El problem consiste en encontrr dos vectores u v que sumdos den un vector conocido. El problem sí presentdo no tiene solución únic. El problem qued determindo si gregmos l condición de que los vectores u v sen coplnres con el vector ddo que tengn direcciones fijs determinds. Se el vector ddo sen MM NN ls direcciones exigids. Trzndo por el punto finl ls prlels ess direcciones obtenemos los vectores b c que cumplen : = b + c Notemos que hor tenemos sólo un pr de vectores que sumdos dn. Por tnto, esos vectores son ls componentes vectoriles únics de con ls condiciones que hemos fijdo. M c N N b M L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 155 Conceptos Mgnitudes en Físic

18 Vector unimodulr. Ddo un vector u llmmos vector unimodulr en l dirección u l vector : u u u 0 = El vector ṷ tiene mgnitud o módulo 1 : crcteriz un determind dirección u ( ) u 1 u = u 1 u = u = Supong que l velocidd de un vión es : v = ( 350[ km / h ], hci el norte) L mgnitud de est velocidd es el esclr positivo v = 350[ km / h] Hgmos el producto del vector v por el esclr 1, es decir, dividmos el v vector por su propi mgnitud : 1 v v = = v v ( 350[ km h ], hci el norte) 350[ km h] El resultdo es un vector que tiene igul dirección que v, cu mgnitud es v 350[ km h] 1[ sin uniddes] v = 350 km h =, es decir, un vector unitrio : [ ] v v = ( 1[ sin uniddes ], hci el norte) Podemos designr este vlor usndo el símbolo ṷ norte, en donde l flech de vector h sido reemplzd por un pequeño techo que indic que el vector tiene mgnitud 1. unque el vector ṷ norte fue obtenido prtir de un velocidd, este vector en sí no tiene ningun relción con l velocidd del vión. Es un vector dimensionl de mgnitud 1 que punt hci el norte. En consecuenci puede ser utilizdo pr expresr culquier otro vector que esté en l dirección sur-norte. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 156 Conceptos Mgnitudes en Físic

19 Ejemplos. * L fuerz F = ( 17[N], en dirección sur) F = 17[N]ṷ norte * L velocidd del vión puede escribirse como : v = 350 km h ṷ, puede expresrse como : [ ] norte Podemos estblecer como principio generl que bst un solo vector unitrio pr expresr todos los vectores prlelos o ntiprlelos un dirección dd. Culquier vector prlelo u se puede escribir en l form α ṷ. Por ejemplo, si pα u : u p = pu u donde p u es positivo (negtivo) si p tiene igul (opuest) dirección que u. u p El módulo de p es : p = p u = p u = p u u u Esto es, el vlor bsoluto del esclr p u es igul l módulo del vector p. Componentes esclres de un vector. Volvmos considerr el problem de escribir un vector ddo como l sum de dos componentes vectoriles coplnres con direcciones fijs. Crctericemos tles direcciones fijs por dos vectores unimodulres ṷ v respectivmente. Se el vector ddo, podemos entonces escribir : = p + q Como p = α ṷ q = β v, siendo α β esclres, result : = α u+βv lo que solemos escribir : = uu+ v v estos números u p v le llmmos ls componentes esclres de en ls direcciones ṷ v respectivmente. Notmos que en el ejemplo dibujdo l componente esclr u es negtiv l v es positiv. v v ṷ q ṷ L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 157 Conceptos Mgnitudes en Físic

20 Ddo que el cálculo de ls componentes esclres de un vector es prticulrmente simple cundo ls direcciones fijds son perpendiculres, restringiremos nuestro estudio sistems de ejes coordendos ortogonles. Estos sistems de coordends son los de mor uso en los primeros niveles de Físic. Mediciones en triángulos semejntes con un ángulo común. Dibujmos un ángulo α. Construimos perpendiculres uno de sus ldos, formándose un conjunto de triángulos rectángulos, semejntes, con un ángulo común. Designmos por 1, 2, i..., n b 1, b 2,, b i, b n ls longitudes de los ctetos por c 1, c 2, c i,, c n ls longitudes de ls correspondientes hipotenuss. c i b i α i Pr cutro de tles triángulos medimos ls longitudes de sus ldos clculmos los cuocientes presentdos en l tbl. i [mm] b i [mm] c i [mm] 29,0 7,4 29,8 0,248 0,973 0,255 67,0 17,8 69,2 0,257 0,968 0,266 97,0 25,9 100,4 0,258 0,966 0, ,0 32,0 124,0 0,258 0,968 0,267 bi c i c i i bi i L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 158 Conceptos Mgnitudes en Físic

21 Procediendo de mner nálog con un ángulo diferente, obtuvimos los siguientes resultdos de l Tbl. i [mm] b i [mm] c i [mm] 27,0 58,3 646,4 0,905 0,419 2,159 36,0 77,7 85,7 0,907 0,420 2,158 42,0 90,5 99,8 0,907 0,421 2,158 51,0 110,0 121,3 0,907 0,420 2,157 bi c i c i i bi i β L geometrí estblece en los teorems de figurs semejntes que ls longitudes de ldos homólogos son proporcionles, es decir, que ls rzones entre ells son constntes. Medinte ls tbls nteriores queremos que usted visulice, en prticulr, que en triángulos rectángulos semejntes los cuocientes entre ls longitudes de los ldos tienen vlores constntes que dependen de los ángulos de esos triángulos. Consideremos un triángulo rectángulo. Con respecto l ángulo α, un cteto lo llmmos opuesto l otro dcente. Los cuocientes : cteto opuesto b = hipotenus c c cteto dcente = hipotenus c α cteto opuesto b = cteto dcente son crcterístics del ángulo α se designn por nombres especiles : b Seno de α..sen α = b/c Coseno de α..cos α = /c Tngente de α tg α = b/ Ests relciones se ls hemos presentdo usted pr que podmos operr con ells en el cálculo de componentes de vectores. Usted estudirá Trigonometrí en form fundmentl detlld en sus cursos de Mtemátic. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 159 Conceptos Mgnitudes en Físic

22 Ejemplos. * Consideremos un triángulo rectángulo isósceles. En él : 2 2 b = c = + b = 2 Por tnto : b 1 sen 45 = = = = 2 2 = cos 45 c 2 2 b tg45 = = 1 c 45 b * Consideremos un triángulo equilátero de ldo. Su ltur es h= 3 2 (plique Pitágors). Entonces : h sen 60 = = 3 2 0,866 = cos cos 60 = = 0,500 = sen 30 2 h tg 60 = = 2 3 1,732 2 tg 30 = = 1 h 3 0, h 60 /2 /2 * Dibujemos dos vectores tles que. Se C un vector en el plno determindo por que forme un ángulo α con el vector.. Entonces, pr el Determinemos dos esclres λ μ, tles que C=λ +μ cso dibujdo : λ = C cosα μ = C senα λ = μ = C C cosα senα α C C μ α λ L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 160 Conceptos Mgnitudes en Físic

23 En prticulr, si elegimos = = 1, result : C = λ= C cosα C = μ= C senα Los números C C son ls componentes esclres del vector C en ls direcciones de respectivmente. Tmbién decimos que C C son ls proecciones del vector C sobre ests misms direcciones. Componentes ortogonles de un vector. * Elijmos un sistem de dos ejes ortogonles. Denotemos por î ĵ los vectores unimodulres ( i j 1) = = en l direcciones del eje x del eje respectivmente. v v Se V un vector en el plno formdo por tles ejes. ĵ î α V x Este vector está determindo si conocemos su módulo, V = V, su dirección. Podemos indicr l dirección por el ángulo que V form con el eje x : α = V, î. v ( ) Tmbién el vector V está determindo por sus componentes en l dirección x en l dirección. V = C + C ( C X,C : componentes vectoriles) X = Vi x+ Vj ( V x,v : componentes esclres ) Donde Cx = Vx C = V mbs crcterizciones del vector V están relcionds por : ( v) ( ) Vx = V cos α V = V sen α v 2 2 V = Vx + V tg( α ) = V V v x α V V V V x L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 161 Conceptos Mgnitudes en Físic

24 Si V 0, sus componentes V x su módulo V positivo, los signos de V x cos( α v ), esto es de l dirección de V. V pueden ser positivs o negtivs. Siendo V dependen de los signos de ( ) sen α * l trbjr en el espcio euclidino de tres dimensiones escogemos un tríd de ejes perpendiculres entre sí. v Llmemos î, ĵ k los vectores unimodulres en ls direcciones de los ejes, x,, z respectivmente. z V Un vector V en el espcio lo expresmos como : V = V i + V j + V k x z Siendo V x, V V z sus componentes esclres o proecciones sobre los respectivos ejes. k î ĵ V x z z z V V V z V α V x x β V x γ V x c V x El módulo del vector V está ddo por : 2 2 V = V = c + V z, con c = Vx + V por lo tnto : V = V = V + V + V x z L dirección del vector V qued determind por los ángulos que él form con los vectores î, ĵ k : ( α= V, î ) ( β= V, ĵ ) ( γ= V, k ) los que se determinn, por ejemplo, usndo 2 2 cosα = Vx V, tgγ= Vx + V Vz L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 162 Conceptos Mgnitudes en Físic

25 otrs relciones nálogs que dejmos usted l tre de buscr. * El producto de un esclr λ por un vector = xi + j + Zk es : ( x z) λ =λ i + j + k =λ i +λ j +λ k x z * l expresr los vectores por sus componentes rectngulres, relizmos su dición en l siguiente form : + = ( xi + j + zk) + ( xi + j + zk) = xi + j + zk+ xi + j + zk = ( + ) i + ( + ) j + ( + ) k x x z z L sum sí obtenid es igul lo que result usndo el método geométrico ntes visto, como se puede comprobr en l figur djunt., entonces : Si S = + Sx = x + x S = + S x x x * Pr que los vectores = x i + j + zk b = bx i + b j + bzk sen igules, sus componentes deben ser igules, esto es : x = bx = b z = bz L iguldd de dos vectores en un espcio de tres dimensiones implic tres ecuciones esclres : L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 163 Conceptos Mgnitudes en Físic

26 Ejemplos. * Clculemos l sum de los vectores = 3,1 i 2 j + 7 k = 2,2 i + j + 0,2k. ( ) ( ) + = 3,1i 2 j + 7k + 2,2 i + j + 0,2k ( 3,1 2,2 ) i ( 2 1) j ( 7 0,2) k 0,9i j 7,2k = = + Le recomendmos que represente gráficmente los vectores, +. * Sen = 3i 6j + 8k b = 3i + 2j + 6k dos vectores ddos. Clculemos l mgnitud de b. ( ) ( ) b = 3i 6j + 8k 3i + 2j + 6k = 3 3 i j k ( ) ( ) ( ) 8j 2k 2 2 ( ) ( ) = + b = = 68 8,2 * Un vector de módulo 5,0 form un ángulo de 30 con el eje z. Su proección en el plno x form un ángulo de 45 con el eje x. Clculemos los componentes esclres del vector. El módulo de es = = 5 L proección p de sobre el plno x es: p = cos60 = 5,0 0,50 = 2,5 entonces : x = p cos45 2,5 0,71 1,8 = p sen45 2,5 0,71 1,8 = p cos30 5,0 0,87 4,4 z z p x L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 164 Conceptos Mgnitudes en Físic

27 Vector posición. Pr indicr l ubicción de un punto es necesrio elegir previmente un sistem de referenci. Tomemos como referenci un sistem de ejes coordendos ortogonles como origen O. En tl sistem, l posición de un punto P está dd por el vector OP cus componentes son ls x,,z del punto P. coordends { p p p} OP = x i + j + z k p p p Este vector OP es el vector posición del punto P suele notrse por r p = OP. z z p k O i ĵ x p p P x : L distnci del punto P l origen O es igul l módulo del vector posición OP d = OP = x + + Z OP p p p * Encontremos l distnci entre los puntos cus coordends, en un sistem de referenci escogido, son respectivmente : { x ; ;z } { x ; ;z } Los vectores posición de estos puntos son : r = O = x i + j + z k r = O = x i + j + z k De l figur vemos que l distnci entre los puntos es l mgnitud (norml, módulo) del vector : = = d Y que se cumple : O + = O Se tiene : = O O = r r z k 0 î ĵ O O x L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 165 Conceptos Mgnitudes en Físic

28 Expresndo este vector en término de sus componentes : ( ) ( ) ( ) = x x i + j + z z k obtenemos : ( ) ( ) ( ) d = = x x + + z z ** Clculemos l distnci entre los puntos ddos por 0;4,0; 2,0 m = 6,0 ; 3,0 ;1,0 m = { } [ ] { } [ ] (coordends expresds en metros). Represente los vectores O, O O = 0 i + 4,0 j 2,0 k = 4,0 j 2,0 k O = 6,0 i 3,0 j + 1,0 k = 6,0 i 3,0j + k = O O = 6,0 i 7,0 j + 3,0 k d = = ,0 = 94 9,7[ m]! Ejercicios. 5-34) Determine un vector que teng l mism dirección pero sentido contrrio que el vector = 3i 4k cuo módulo se ) Considere los siguientes vectores : = 3i 2j = i + 3 j C= 2 i 3 j D = 2 i 3 j Determine los vectores : +, C D, 2 3D, C 5D en form lgebric en form gráfic. Compre. 5-36) Determine los vectores pr los cules se tiene : + = 11i j = + 5 i 11 j 5-37) Un vector v de módulo 6,0 form un ángulo de 30 con el eje z. Su proección sobre el plno x form un ángulo de 60 con el eje x. L proección de un vector w sobre el eje z es 4,0. L proección del vector w en el plno x vle 6,0 hce un ángulo de 120 con el eje x. Clcule ls componentes esclres del vector v w. 5-38) Sen p = 2i 3j + 7k, q = i j + 10k, c = 3 i 5 j + 4k tres vectores que tienen un punto inicil común. Verifique si los tres puntos finles de esos vectores están sobre un mism rect. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 166 Conceptos Mgnitudes en Físic

29 5-39) Ddos los vectores = 3i+ 4j = i + j, clcule l mgnitud l dirección resultnte (sum), l mgnitud dirección de el ángulo entre. Resuelv este ejercicio gráficmente compre. 5-40) Ddo un vector, hg un discusión de ls posibiliddes pr un vector un esclr λ tl que se cumple l iguldd + =λ. 5-41) En referenci los vectores de l figur djunt se notn ls siguientes relciones: ) v + w x + z μ = 0 b) v + w+ x z μ = 0 v ω x μ c) x + + z +μ v w = 0 d) μ + v + z = x w z e) v + w + z = μ x H entre ells lguns corrects? F = 4i 2j + 3k ) Determine l mgnitud del vector = i+ j+ k 5-43) Ddo los vectores 1 F = 4 i + 2 j + k, clcule : F + F, F + F, F F F F ) Ls rists lterles de l pirámide de bse cudrd determinn los vectores,, C D. Si el módulo de cd uno de ellos es igul L, exprese el vector en término de los vectores, C D. D C 5-45) Considere los siguientes cutro pres de vectores : 2i j 3i+ 9j 3i 9j 2i+ 6j 3i j + 8i+ 2j 7i+ 7j 3i 3j Cuál de ellos corresponde dos vectores mutumente perpendiculres? L L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 167 Conceptos Mgnitudes en Físic

30 2 5-46) Cierto vector P cmbi con el tiempo según l relción P( t) = 2ti tj, siendo t el tiempo expresdo en segundos. Clcule el vlor de P( t ) en el instnte t = 2,0[ s]. 5-47) Determine los vectores pr los cules se tiene : + = 7j 6k = 3j + 12k 5-48) Sbiendo que = λ, exmine ls condiciones pr que : se igul λ se mor que se mor que 5-49) Dos persons prten de un mismo punto se mueven del siguiente modo : un de ells recorre 10[km] en l dirección del vector = 3i + 4j l otr recorre 5[km] en l dirección del vector b = 8i 6j. Determine l distnci que sepr mbs persons un vez finlizdos sus recorridos. 5-50) L medin de un triángulo es l rect que une los puntos medios de dos ldos. Demostrr, utilizndo vectores, que l medin mide l mitd del tercer ldo. C 5-51) Ddos los vectores = 4i+ 3k = 2 i k, clcule l mgnitud l. dirección de l resultnte (sum) l mgnitud dirección de l diferenci Resuelv tmbién este ejercicio gráficmente compre. 5-52) Considere los puntos, C ubicdos como se muestr en el sistem de coordends ortogonles de l figur djunt. Clcule : ( C) + ( + C) CO + x z C L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 168 Conceptos Mgnitudes en Físic

31 5-53) Ddo el vector = 3i+ 2j., clcule el vector unitrio  en l dirección de 5-54) En referenci l figur djunt se hn notdo ls igulddes : e = c + d e = b e = c + d e = b Son lguns de ells corrects? 5-55) Clcule el módulo de + b, siendo = 4 i 2 j e c b = 4 i + 3 j. b d 5-56) Un person prte de un punto P pr llegr otro punto Q debe recorre 5[km] en l dirección NE. Luego debe dirigirse l punto R pr lo cul debe recorrer otros 5[km] en l dirección del vector = 12 i + 16 j, estndo el eje x orientdo en l dirección SE. Determine el vector de desplzmiento totl. 5-57) Un tlet corre por un pist como l indicd en l figur. Represente gráficmente los vectores desplzmiento respecto l punto de prtid cundo ps por, C, D E. Determine l mgnitud l dirección de tles vectores. 100[m] C E D 5-58) Sbiendo que u = 6i + 12j siguientes firmciones : u = v u+ v = u v u es perpendiculr con v v = 12i + 6 j, exmine l vlidez de l u+ v = v u 5-59) Sen p = 2 i 3 j, q = i j r = 3i 5j tres vectores que tiene un punto inicil común. Verifique si los tres puntos finles de esos vectores están sobre un mism rect. 5-60) Clcule el módulo de i j el módulo de j + k. L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 169 Conceptos Mgnitudes en Físic

32 5-61) Dos trencitos corren por ví circulres como ls que se indicn en l figur. El tren demor 8[min] en dr un vuelt complet el tren sólo demor 4[min] en ello. Si mbos trenes prten simultánemente de l estción T, clcule pr 2[min] después de l prtid: - El vector posición r del tren con respecto l estción. - El vector posición r del tren con respecto l estción. - El vector desplzmiento reltivo r r de con respecto. 5-62) Ddo los vectores = 3i 3j+ k +. = i k, clcule +,, 5-63) Ddo el vector H= 3i + 4j, encuentre los vectores en l dirección del vector H en l dirección opuest, cus mgnitudes sen mbs igules uno. r T S N r 5-64) Sobre un cuerpo ctún dos fuerzs tl como se muestr en l figur. Los módulos de ess fuerzs vlen F = 40 kp F = 70 kp 1 [ ] 2 [ ]. Clcule l fuerz resultnte F1+ F2 60 F 1 F ) Sobre un cuerpo se plicn tres fuerzs, ls que expresds en un mism unidd, que no se indic, son : F 1 = 6î, F2 = 4 ĵ Clcule l fuerz resultnte F1+ F2 + F3 3 F = 6i + 4 j L. Lroze, N. Porrs, G. Fuster 170 Conceptos Mgnitudes en Físic