REPASO de LÍMITES de FUNCIONES y CONTINUIDAD

Transcripción

1 REPASO de LÍMITES de FUNCIONES y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2

3 I) IDEA INTUITIVA DE f() L Ejemplo : L función f() no está definid en ; investigr, rellenndo ls siguientes tbls (medinte clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En l práctic, los límites no se suelen clculr de est form, sino operndo: ( )( ) ( ) Es decir, nótese que l f() del enuncido se comport como l rect y, slvo en (punto en el cul no está definid); por lo tnto, su representción gráfic es: f() GRÁFICAMENTE Vemos que cundo ls se cercn - (flech izqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden. Y todo ello es independiente de que, ectmente en, l función no está definid. Conclusiones: º Pr que eist límite hn de coincidir los límites lterles. º A efectos de f(), no hy que tener en cuent lo que ocurre ectmente en, sino en ls proimiddes; de hecho, hy csos en los que en un punto no eiste imgen pero sí límite (como en el ejemplo nterior), y est es precismente l utilidd del concepto de límite. º De todos modos, normlmente eisten límite e imgen, y mbos coinciden, como en el siguiente ejemplo: Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

4 Ejemplo : Dd f(), obtener numéricmente, medinte ls siguientes tbls, f() : -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() Es decir, cundo ls se cercn - (flech izqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden. En este cso, l función sí está definid precismente en, y su vlor es ; es decir, en este ejemplo límite e imgen coinciden (lo cul, por cierto, es lo más hbitul). Vemos hor un ejemplo de función en el que no hy límite: si Ejemplo : Dd f() se pide: ) Representrl. b) Hllr f() gráficmente. si f() f() f() En este cso, l cercrnos - por l rm izquierd, ls imágenes tienden ectmente - (unque precismente en no tengn el vlor esperdo, sino ; de nuevo, téngse en cuent que efectos del límite no hy que tener en cuent lo que hce l función ectmente en el punto sino en sus proimiddes ), mientrs que l cercrnos por l rm derech, ls imágenes tienden ectmente. Por lo tnto, como no coinciden los límites lterles, el límite globl no eiste. Podrímos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirín en lguno de los csos del siguiente esquem; v eistir límite cundo sólo en los tres primeros supuestos: f() f() L f() f() L f() f() f() f() f() [ f() L unque f() ] f() L f() / f() [ unque f() ] Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

5 Como resumen: «A efectos gráficos, no v hber f() cundo en ls dos rms no coinciden» II) f(). ASÍNTOTA VERTICAL Ejemplo : Vemos fácilmente que l función f() no está definid en ; investigr, rellenndo ( ) ls siguientes tbls (inténtese sin clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr nlític y gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 f(),,, f() f() f() f() ANALÍTICAMENTE En l práctic, se procede sí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gráficmente, l situción es l siguiente: GRÁFICAMENTE X A.V. Es decir, cundo ls se cercn - (flech izqd; rm izquierd) ls imágenes correspondientes tienden hcerse infinitmente grndes i.e., y cundo ls se proimn (flech dch.; rm derech) ls imágenes tienden tmbién. Y todo ello, volvemos insistir, es independiente de que concretmente en l función no está definid. Est es precismente l utilidd de l noción de límite: incluso unque l función no esté definid en un punto, el límite d cuent del comportmiento de l función en dicho punto. En el ejemplo nterior, se dice que f() present un síntot verticl en. Observciones: º Cundo por sustitución direct en un límite obtengmos k/, utomáticmente tenemos que plnter límites lterles, pr discernir si el denomindor es o - Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

6 º Nótese que, l hor de clculr un límite, en el momento en que sustituymos en l función, desprece el símbolo de. º Un función nunc puede cortr su síntot verticl, obvimente. Definición de síntot verticl: f() o - A.V. Ejemplo 5: Estudir nlíticmente present l función? y eplicr gráficmente l situción. Qué síntot verticl III) f() L. ASÍNTOTA HORIZONTAL Ejemplo 6: Estudir, medinte l siguiente tbl de vlores, 5 f() 5 5 En l práctic, como, lógicmente podemos desprecir el efecto de sumr o restr un número finito, por lo cul podemos proceder de l siguiente form: y 5 y A.H. 5 Es decir, cundo (o -), nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo. Nótese que esto sólo tiene sentido cundo (o -)! Ést será un técnic muy utilizd pr clculr límites. Gráficmente, l situción es l del gráfico l mrgen. Es decir, cundo ls se hcen cd vez más grndes, ls imágenes correspondientes tienden proimrse cd vez más, pero sin llegr lcnzr jmás el vlor. Se dice entonces que f() present un síntot horizontl de ecución y. Definición de síntot horizontl: f() L y L ( o ) A.H. Observciones: º L gráfic puede cortr l A.H. pr vlores finitos de (En cmbio, recordr que l gráfic de un función nunc puede cortr un A.V.) Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

7 º En el próimo tem veremos un tercer tipo: ls síntots oblicus IV) f(). RAMAS INFINITAS Ejemplo 7: Obtener ( ) medinte l siguiente tbl de vlores: f() ( ) y Es decir, cundo ls se hcen cd vez más grndes, ls imágenes correspondientes tienden hcerse tn grndes como quermos, como qued reflejdo en l gráfic. En l práctic, y como y hemos comentdo en el prtdo nterior, cundo (o -) nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo: ( ) De nuevo, dviértse que est form de proceder sólo tiene sentido cundo (o -), no cundo tiende un número finito. En el ejemplo nterior, se dice demás que f() present un rm infinit. Regl práctic: P() (o ) (o ) (tº de myor grdo) V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES º) «El límite -en cso de eistir- es único» [ ] g() º) f() ± g() f() ± es decir, «El límite de l sum (diferenci) es l sum (diferenci) de los límites». º) [ f() g() ] f() g() es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». f() f() º) (siempre y cundo g() ) g() g() 5º) k k es decir, «El límite de un constnte es igul dich constnte» [ ] f() 6º) k f() k es decir, «Ls constntes multiplictivs pueden slir (o entrr) en el límite». g() g() 7º) Límite de un potenci: [f()] [ f()] Ejemplo: e e Tods ests propieddes son válids independientemente de que o un vlor finito. Su demostrción ecede el nivel de este curso. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

8 8º) Límite de un ríz: n n f() f() 9º) Límite de un logritmo: log f() log f() VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES SUMAS Y RESTAS: k - INDTDO Nótese que no podemos concluir que - se siempre igul, puesto que mbos pueden ser, en generl, de distinto orden ; por lo tnto, el resultdo de - tendrá vlores distintos dependiendo de cd ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultdo es indetermindo, o bien que se trt de un indeterminción. L myor prte de ls indeterminciones se deshcen operndo. Vemos un sencillo ejemplo justifictivo: INDTDO. Es decir, en este cso concreto - h resultdo ser igul, pero veremos muchos más ejemplos en los que puede resultr otro número (incluido, por supuesto ), o, o -, o incluso no eistir. si k > PRODUCTOS: (-)- - (-) k INDTDO. si k o si k < Vemos un ejemplo justifictivo de l indeterminción nterior: INDTDO. COCIENTES: si k > operr hcer lterles k si k < y/o si k o k ± ± INDTDO INDTDO k hcer lterles Vemos ejemplos prácticos de lgunos de los csos nteriores: ) [( ) ] ( ) En el cso de un incógnit, sí es cierto que -, o -, etc. es igul cero; hor bien, dviértse que en el cso de - estmos hblndo de límites, es decir, mbos no tienen por qué ser ectmente igules, sino que pueden ser de distinto orden. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

9 b) INDTDO c) ( )( ) INDTDO ( ) d) (o bien, ±) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si > POTENCIAS: INDTDO. si o si < < si n < INDTDO. si n o si n > n - INDTDO. Nótese que ( ) ; por ejemplo: / LOGARITMOS: log - log Ln - Ln Como conclusión, hemos visto un serie de indeterminciones que podemos resumir en siete csos:, ±, (±), -, ±, (±), ± VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS º) Límites de polinomios: P() (o ) (o ) (tº de myor grdo) º) Límites de cocientes de polinomios: ) P() «Se resuelve fctorizndo numerdor y denomindor (hbitulmente por Ruffini) y Q() einndo continución el fctor - que figur repetido en mbos términos de l frcción» Ejemplo: 8 ( )( ) 6 INDTDO ( )( ) Ejercicio finl tem (Repso límites): Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

10 b) P() «Se resuelve recurriendo en numerdor y denomindor los términos de myor grdo Q() de cd polinomio» Ejemplos: ) - INDTDO b) INDTDO c) INDTDO d) Est regl se puede generlizr, en ciertos csos funciones que no sen polinómics: INDTDO 5 INDTDO / / Ejercicio finl tem (Repso límites): º) Límites de funciones irrcionles: ) «Se resuelve multiplicndo numerdor y denomindor por el conjugdo de l epresión rdicl, y operndo continución» Ejemplo: ( )( ) ( )( ) ( )( ) INDTDO ( ) Observciones: º Cso de eistir dos epresiones rdicles, un en el numerdor y otr en el denomindor, hbrí que relizr el procedimiento nterior dos veces (un por cd epresión). º Si se trt de dos ríces con distinto índice, tendremos que psrls índice común: ( ) ( ) 6 INDTDO ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Eiste otr form lterntiv, en generl más lborios, que consiste en dividir numerdor y denomindor por l myor potenci de que prezc en mbos polinomios. El conjugdo de un binomio rdicl consiste en cmbir el signo intermedio de éste; por ejemplo, el conjugdo de es Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

11 b) «Se resuelve dividiendo numerdor y denomindor por l myor potenci efectiv 5 de que prezc en culquier de ls epresiones» Ejemplo: INDTDO Obsérvense en el ejemplo nterior dos detlles importntes: L entr dividiendo en un ríz cudrd tmbién dividiendo, pero l cudrdo. El hecho de dividir por l myor potenci efectiv de nos grntiz que los límites prciles que precen l finl serán siempre cero. En lgunos csos -tl y como y se h indicdo nteriormente-, y con mucho cuiddo, podemos desprecir términos de menor orden en un polinomio (siempre y cundo, y no se dé el cso -); por ejemplo, el límite nterior podrí clculrse más fácilmente sí: INDTDO c) «Se resuelve: º) Multiplicndo y dividiendo por el conjugdo de l epresión rdicl, y operndo continución; en lgunos csos (cundo el numerdor resultnte depend de ), como l indeterminción no desprece sino que ps ser /, demás hy que recurrir l siguiente pso: º) Dividimos continución numerdor y denomindor por l myor potenci efectiv de» ) Ejemplos: ( ) ( )( ) INDTDO b) ( ) ( )( ) INDTDO INDTDO 5 El djetivo «efectiv» lude l hecho de que hy que tener en cuent que, por ejemplo, en l epresión se comport como sino, de form efectiv, como, l no Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

12 Nótese que en el primer ejemplo h bstdo con plicr el primer pso del procedimiento, mientrs que en el segundo h hbido que plicr los dos psos. En ciertos csos, l indeterminción se puede "resolver simple vist", teniendo en cuent que los son de distinto orden, y no es necesrio operr. Por ejemplo: ( ) ddo que el primer fctor se comport como /, y, por tnto, "domin" en el infinito l otro fctor. Cuiddo!: esto no se podrí plicr, por ejemplo, l siguiente cso: ( ) y que mbos términos son del mismo orden; quí no nos quedrí más remedio que operr. Conclusión: A l hor de resolver simple vist un indeterminción con, y sólo en el cso en que ±, podemos desprecir un constnte que esté sumndo (o restndo) un término en. En los csos en que - y l ríz es de índice pr, se recomiend hcer el cmbio de vrible z-, que hce que z, como puede verse en el siguiente ejemplo: cmbio de vrible -z z z z z z z z INDTDO z z z z z z z z z z z z Ejercicio finl tem (Repso límites): º) Indeterminciones que se resuelven operndo: Alguns indeterminciones, sobre todo del tipo o -, se "deshcen" en lgunos csos operndo. Por ejemplo: / INDTDO ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 ( ) Ejercicio finl tem (Repso límites): 5º) Indeterminción : L indeterminción se puede resolver plicndo l siguiente fórmul 6 práctic: f() g( ) e [ f ( ) ] g( ) Válid sólo si es! 6 Puede buscrse un demostrción en Internet. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

13 Ejemplo: INDTDO e ( ) ( ) ( ) e e e e NOTA: En el próimo tem veremos un form más práctic pr resolver, no sólo este cso de indeterminción, sino ls tres de tipo eponencil, que se conoce como "Regl de L'Hôpitl". 6º) Regl práctic: «Culquier función eponencil (de bse > ) es un infinito de orden superior culquier potenci» P() o bien, P() (donde >) n Por otr prte, «Ls potencis son infinitos de orden superior los logritmos». Por lo tnto, podemos concluir que, en el infinito, log < P() <. Esto es muy fácil de entender si comprmos sus gráfics y observmos su comportmiento en el infinito: log Ejemplos: Completr (vése el primer ejemplo): ) e 5 6 c) ( e ) e) log b) 5 ln d) f) ( ln ) NOTA: Culquier de estos límites puede comprobrse hciendo un tbl. Ejercicios finl tem (Repso límites): y ss. VIII) CONTINUIDAD Intuitivmente, un función es continu cundo se puede dibujr sin levntr el lápiz del ppel. Más formlmente, se define función continu en un punto de l siguiente form: f() continu en f() f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite ) y que mbos coincidn Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

14 (En cso de no ser continu en un punto, se dice que es discontinu). Por etensión, diremos que un función es continu en un intervlo cundo lo es en todos los puntos de dicho intervlo. Vmos recordr de nuevo el esquem-resumen visto en el prtdo I del tem, e investigr en cd uno de los cutro csos si l función es continu en, pr lo cul plicremos los tres requisitos de l continuidd rrib menciondos; observmos que l función es continu en sólo en el primer supuesto: f() f() L f() f() f() f() CONTINUA en f() f() L f() DISCONTINUA en f() L f() f() f() f() L f() f() DISCONTINUA en / f() f() DISCONTINUA en Nótese que en el último cso l función es discontinu, independientemente de que eist o no imgen. Este hecho conduce los siguientes 5 tipos de discontinuiddes: ) Evitble: «L función no es continu en, pero finito»; se llm evitble porque podemos f redefinir f() f() de modo que l función psrá ser continu. A este tipo responden los supuestos º y º nteriores. ) De ª especie: Eisten tres tipos:.) De slto finito: «Eisten mbos límites lterles y son finitos, pero no coinciden». El slto viene ddo por l diferenci entre los límites. A este cso pertenece el º gráfico..) De slto infinito: «Un límite lterl es finito y el otro infinito». Se present entonces un síntot verticl, pero por un ldo. Gráficmente, l situción es l siguiente: f() A.V. f() - - y f() f() Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

15 .) Asintótic: «Los dos límites lterles son infinitos». Se d entonces un síntot verticl, por mbos ldos. Gráficmente, l situción puede ser l siguiente: f() A.V. o bien: f() A.V. f() - - y f() - f() f() ) Esencil, o de ª especie: «Uno, o los dos límites lterles, no eiste» NOTA: En l práctic, l hor de clsificr un posible discontinuidd, bst con decir si es evitble, o, en cso contrrio, si es de slto finito, o de slto infinito, o sintótic, o esencil (es decir, no es necesrio ludir l especie). Regls pr estudir l continuidd de ls funciones más hbitules: º) «L sum (o rest) de funciones continus es tmbién un función continu» «Ídem pr el producto» º) «Ls funciones polinómics son continus IR» g() º) Función rcionl: f() es discontinu en los que nuln el denomindor h() (pues entonces h() no eistirá imgen) º) Función irrcionl: pr f() g() es continu en los tles que g() (pues, en cso contrrio, no eistirá imgen 7 ) (NOTA: Si el índice es impr, en principio serí continu IR) 5º) Función logrítmic: f() log g() es continu en los tles que g()> (pues, en cso contrrio, no eistirá el logritmo; nótese que en este cso se eige que el rgumento del logritmo se estrictmente positivo) (NOTA: Est regl es válid se cul se l bse del logritmo) 6º) «sen, cos y son continus IR» Ejercicio : Dd f(), estudir su continuidd en Aplicndo los tres requisitos de l continuidd, vemos que fll el º, y que / f() f() es discontinu en f() continu IR-{} 7 Obvimente, tmbién hbrí que estudir l continuidd de g() en sí, y lo mismo puede decirse pr ls siguientes regls. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

16 (Nótese que ello es independiente de que eist límite, como de hecho ocurre: ( )( ) ( ) Por lo tnto, se trt de discontinuidd evitble, es decir, bstrí redefinir l función de l siguiente form: f() si si pr que psr ser continu en si Ejercicio : Dd f(), estudir su continuidd. Cso de ser discontinu, 5 si redefinirl pr que pse ser continu. Ejercicio : Representr ls siguientes funciones, y estudir su continuidd. Cso de presentr discontinuiddes, clsificrls rzondmente: ) f() b) f() ln si si > Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

17 c) f() Continuidd lterl: Se dice que un función es continu por l derech bjo l siguiente condición: f() continu en f() f() Análogmente se define l continuidd por l izquierd. Observciones: º Obvimente, - f() continu en y f() continu en º L continuidd lterl se suele plicr funciones definids por rms. Ejercicios finl tem (Continuidd): Teorem de Bolzno 8 : f continu en [,b] signo f() signo f(b) c (,b) tl que f(c) Con plbrs: «Si un función es continu en un intervlo cerrdo, y tom distinto signo en mbos etremos de dicho intervlo, eistirá entonces l menos un punto intermedio de tl intervlo en el que l función se nule» f() B Interpretción gráfic: Es obvi: Si l función tiene que evolucionr de form continu desde A hst B, tendrá que cortr necesrimente l menos un vez l eje en lgún punto intermedio del intervlo (NOTA: Puede eistir más de un vlor intermedio c que verifique el teorem). A c b Aplicciones: Demostrción de l eistenci de ríces de un ecución y/o cotción de ésts, comprobr que dos funciones se cortn, comprobr que un función tom un determindo vlor, etc. (ver ejercicios). Ejercicios finl tem (Continuidd): y ss. Ejercicios PAEG: B jun 9; A jun (f y g se cortn) A, b jun ( P.I.) B sept ; A b sept (BolznoRolle) 8 Bernrd Bolzno (78-88), scerdote y mtemático checo, quien demostró rigurosmente tl teorem. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

18 REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Pr que eist límite de un f() en un punto hn de coincidir los límites lterles en dicho punto. A efectos del f() no tenemos en cuent lo que ocurre ectmente en, sino en ls proimiddes. De hecho, hy csos en los que no eiste f() pero sí el lím (de hí l utilidd de l noción de límite). El límite de l sum es l sum de los límites, y lgo precido ocurre con el producto, cociente, potenci, ríz, logritmo, etc. Esto es muy útil l hor de clculr límites. Límites infinitos e indeterminciones (completr, con yud del profesor): SUMA Y RESTA: k - -- PRODUCTO: (-) - (-) si k > k si k si k < COCIENTE: si k > si k k si k < k ± ± k POTENCIA: si > si si < si n < si n si n > n ( ) LOGARITMOS: log log log log ln ln ln e ln con lo cul los 7 tipos de indeterminción son:,,, -, ±,, Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

19 . Hllr los siguientes límites (en el º miembro figur l solución): ) b) c) d) e) h) i) j) 5 ± k) ± 5 l) o) (*) p) q) r) f) g) ± m) 5 ( ) n) ± s). Ídem: ) b) c) d) e) f) g) - h) i) j) k) l) 5 m) 6 n) o) p) 5 q) r) s) t) u) v) [ ] Ln( ) Ln( ). ) 5 b) 5 c) 5 d) 7 e) f) 7 g) ( ) h) i) 5 j) ( ) Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

20 6 k) l) / m) - n) (Ayud: Reducir índice común) o) ( ) p) q) ( ) r) ( ) s) ( ) t) 6 u) v) w) ) y) z) α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ε) 6 ζ) ( ) η) θ) ( ) ι) κ) λ) µ) 5 / (Ayud: Aplicr el conjugdo dos veces) ν). ) b) c) d) e) f) g) (*) i) ± ( ) ( ) ( ) h) ± j) 5 k) l) ± e m) e n) o) ( ) e p) ( 5 ) q) r) s) e e e t) 6 u) v) w) ) y) z) 6 sen log ln ln n n n α) ( ) β) ( ln ) γ) e 7/ Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

21 δ) ( ) ε) log e ζ) sen η) 5. Dds ls siguientes funciones, obtener: i) Los límites que se indicn. ii) L ecución de ls posibles síntots. iii) Dom(f) e Im(f): ) si b) f() < si f(); f(); f() f() f(); f(); f() c) f() d) f(); f(); f(); f() f() f(); f(); f(); f() 6. Dd l función si si (,) 5 5 f() si (,5] si (5,7) si 7 se pide (por este orden): ) f(), f(), f(5) y f(7) Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

22 b) f(); f(); f(); f(); f(); f() 5 7 c) Representción gráfic d) Dom(f) e Im(f) 7. Clculr los límites lterles de ls siguientes funciones en los puntos que se indicn. Representrls gráficmente: ) b) e si si f() en f() si < en y si > si > c) f() -5 en 5 d) f() en y - (Soluc: ) / ; b) y / ; c) ; d) ) 8. Clculr los vlores del prámetro pr que se verifiquen ls siguientes igulddes: ) 5 5 b) (Soluc: -/; ) 9. Comprobr los siguientes límites construyendo un tbl propid medinte clculdor: ) ( ) b) c) ( ) sen sen d) e) (S). Dd l función si f() si < b si > clculr los vlores de los prámetros y b pr que eistn los límites en y (Soluc: -, b/8) (S). Dr un ejemplo de un función f() definid pr todo que no teng límite cundo (S). Discutir ( ) (Soluc: si ; - si >; si <) en función de los vlores del prámetro Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

23 EJERCICIOS de CONTINUIDAD º BACH. RECORDAR: f() continu en f() f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist límite ) que demás eist imgen ) y que mbos coincidn si. Dd f() se pide: ) Representción gráfic. si b) Estudir nlíticmente l continuidd lterl en c) A l vist del prtdo nterior, indicr su continuidd.. Ídem con f() en. Estudir l continuidd de ls siguientes funciones: ) f() b) f() 5 6 c) f() d) f() sen e) f() f) f() 6 g) i) f()log () j) f()ln( -) k) f()ln( ) f() h) f()tg (Soluc: ) discont. sintótic en ; b) discont. sintótic en y ; c) continu R; d) discont. sintótic en n π donde n Z; e) continu en (,); f) continu en (-,-) (, ); g) continu R; h) discont. sintótic en (n) π/; i) continu en (-,) ; j) continu en (-,-) (, ); k) continu R). TEORÍA: Si un función no está definid en, puede ocurrir que f() 5? Puede ser en ese cso continu en dicho punto? Completr los rzonmientos ñdiendo ejemplos. 5. Estudir l continuidd de ls siguientes funciones (en cso de presentr discontinuiddes, decir de qué tipo se trtn): si < si si (,) ) f() b) f() si c) f() si < si (, ) si > Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

24 d) si f() 6 si > e) f() si (,) si [, ) f) si < si > f() si < g) si < si f() si < h) - si (-,] si (, ) f() - si (,] i) si (, f() si (,] e si (, ) ] j) si f() Ln si << si (Soluc: ) discont. de slto finito en ; b) discont. evitble en ; c) discont. evitble en ; d) continu R; e) discont. sintótic en y de slto finito en ; f) discont. de slto finito en ; g) discont. de slto finito en y ; h) discont. de slto finito en ; i) discont. de slto finito en -; j) discont. de slto en y de slto finito en ) 6. (S) Probr que l función f() 7 8 no es continu en e indicr qué tipo de discontinuidd present en dicho punto. (Soluc: no es continu pues f(); discontinuidd evitble) 7. Considerr l siguiente función: f() ) Es discontinu en lgún punto? Por qué? b) En l función no está definid. Amplir est función de modo que se continu R. (Soluc: discontinu en pues f(); bst hcer f()) 8. (S) L función f() no está definid en. Hllr el vlor de pr que se posible definir el vlor de f(), resultndo sí un función continu. Indicr tmbién l epresión de l nuev función resultnte. (Soluc: -; f()6) 9. Hllr el vlor de k pr que l función 9 si f() k si se continu R (Soluc: k6) Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

25 . Clsificr ls discontinuiddes de l siguiente función: f() (Soluc: discont. de slto finito en -; discont. evitble en ). Estudir l continuidd de l siguiente función: f() 5 si / 5/ si / (Soluc: discontinu sintótic en ). Estudir l continuidd de l siguiente función, epresrl como función trozos y representrl: f() (Soluc: discont. de slto finito en ). (S) Clculr cuánto debe vler pr que l siguiente función se continu R, y representrl en dicho cso: si f() si > (Soluc: ). (S) Se consider l función f() Ln si (,) b si [, ) Determinr los vlores de y b pr que f() se continu y f(). (Soluc: y b-) 5. (S) Dd l función si < f() b si < si hllr y b pr que l función se continu y dibujr l gráfic de l función en dicho cso. (Soluc: y b-) 6. Dd l función Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

26 si f() m n si < > si hllr los vlores de m y n pr que f() se continu. (Soluc: m, n) 7. Ídem: si (, ) f() si [,] b si (, ) (Soluc: -/, b-5) 8. Ídem: (Soluc: -, b) < ln( b) si si f() si < 9. Ídem: si < f() c si < 5 si 5 b si < (Soluc: -5, b5, c). L siguiente función se llm Función de Dirichlet : f() si si Q No es un función elementl, y que es discontinu en todos sus puntos. Rzonrlo. Teorem de Bolzno : RECORDAR: f() continu en [,b] c (,b) / f(c) signo f() signo f(b) Se utiliz pr demostrr l eistenci de ríces de un ecución en un intervlo. En honor l mtemático lemán Johnn Dirichlet (85-859), que fue quien l ideó. Bernrd Bolzno (78-88), scerdote y mtemático checo, quien demostró rigurosmente tl teorem. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

27 . Demostrr que l ecución -7 tiene l menos un solución en el intervlo [,] (NOTA: En todos estos problems, y de cr l PAEG, enuncir previmente el teorem, y dr l finl del ejercicio un interpretción gráfic del resultdo).. (S) Demostrr que l ecución π e tiene un solución en el intervlo (,). Cuál es? (Soluc: /ln π) 7. Dd l función f(), puede comprobrse fácilmente que en el intervlo [,] tom imágenes de distinto signo, y, sin embrgo, nunc se nul en el interior de dicho intervlo. Contrdice esto el teorem de Bolzno? Rzonr l respuest.. Demostrr que l ecución cos tiene l menos un solución en el intervlo (,) 5. Probr que l ecución tiene lgun ríz rel. Aproimr su vlor (por tnteo) hst ls décims. (Soluc:,7) 6. ) Demostrr que l ecución - tiene l menos un ríz en [,] b) Obtener tods sus ríces por Ruffini, y comprobr l vlidez de lo obtenido ntes. 7. ) Probr que l función f() - -5 cort l eje en el intervlo (-,-) b) Buscr otro intervlo en el que eist un solución de l ecución - -5 y proimr su vlor hst ls décims. 8. Probr que ls gráfics de Ln y e - se cortn en lgún punto. Comprobrlo gráficmente. 9. Probr que ls gráfics de f()sen y g()/ se cortn en lgún punto del intervlo (π,5π/). Rzonr que l ecución ln crece de solución.. Probr que f() -5 tom lgun vez el vlor. Demostrr que f() - y g()ln se cortn l menos en un punto del intervlo (,) Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl