SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Transcripción

1 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. U sistema de ecuacioes lieales es u cojuto de m ecuacioes co icógitas de la forma: a x + a2 x2 + a3 x3 + + a x b a2 x + a22 x2 + a23 x3 + + a2 x b 2 () ai x + ai2 x2 + ai3 x3 + + ai x bi am x + am2 x2 + am3 x3 + + am x bm dode: los a ij so los COEFICIENTES (úmeros o parámetros reales coocidos) x, x 2, x 3,, x so las INCOGNITS o valores que hay que determiar b, b2,, bi,, bm so los TÉRMINOS INDEPENDIENTES del sistema. So úmeros o parámetros coocidos. E el caso particular de que todos los térmios idepedietes sea ulos, el sistema recibe el ombre de SISTEM HOMOGÉNEO. Cuado el úmero de icógitas es pequeño se suele utilizar ombres distitos para cada ua: x,y,z,t,... EJEMPLO. U sistema de ecuacioes lieales es de la forma: 2x + y z 2 x 2y+ z 0 3x + 2z 5 SOLUCION DE UN SISTEM DE ECUCIONES LINELES. U cojuto de valores ( s, s 2, s 3,, s ) es solució del sistema () cuado al sustituir dichos valores e lugar de las icógitas las ecuacioes se trasforma e idetidades. Ejemplo: E el sistema del ejemplo aterior, la tera (,,) es decir x, y, z, es solució ya que RESOLVER u sistema de ecuacioes es hallar el cojuto de todas las solucioes del sistema. SISEMS DE ECUCIONES LINELES 36

2 EXPRESION DE UN SISTEM DE ECUCIONES LINELES EN FORM MTRICIL. Sea u sistema lieal de m ecuacioes co icógitas de la forma: a x + a x + a x + + a x b a x + a x + a x + + a x b a x + a x + a x + + a x b i i2 2 i3 3 i i a x + a x + a x + + a x b m m2 2 m3 3 m E este sistema podemos cosiderar las siguietes matrices: a a2 a3 a a2 a22 a23 a2 a a a a a a a a m m2 m3 m m m llamada MTRIZ DE COEFICIENTES j a j a2 j a 3 j a mj MTRIZ COLUMN DE COEFICIENTES X x x2 x x X 3 MTRIZ DE INCÓGNITS b b2 B b b m Bm 3 MTRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES Como las matrices y X se puede multiplicar (el úmero de columas de coicide co el úmero de filas de X), el sistema aterior podemos expresarlo e forma matricial de la siguiete maera: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 37

3 o de forma abreviada: X B. a a2 a3 a x b a2 a22 a23 a2 x2 b2 a3 a32 a33 a 3 x 3 b 3 a a a a x b m m2 m3 m m Tambié podríamos expresarlo como combiació lieal de las matrices columa de los coeficietes, de la forma: EJEMPLO: x + x + x + + x B El sistema 2x y+ 2z 5 x+ 2y 5 3x+ y+ z 0 se expresaría e forma matricial de la siguiete maera: 2 2 x y 3 z 0 o tambié x y z 3 0 CLSIFICCION DE LOS SISTEMS. Cuado resolvemos u sistema de ecuacioes lieales os podemos ecotrar ate las siguietes situacioes: a) El sistema o tiee solució. E este caso recibe el ombre de SISTEM INCOMPTIBLE. b) El sistema tiee solució y se llama SISTEM COMPTIBLE Detro de los sistemas compatibles se distigue dos casos: DETERMINDOS: si tiee solució úica. INDETERMINDOS: si tiee ifiitas solucioes depediedo de uo o más parámetros. Para resolver sistemas hasta ahora se ha utilizado los métodos de SUSTITUCION, IGULCION y REDUCCION. Veremos este curso otro método de resolució, el método de GUSS, que os viee a geeralizar el método de reducció. SISEMS DE ECUCIONES LINELES 38

4 SISTEMS EQUIVLENTES. Dos sistemas de ecuacioes se dice que so EQUIVLENTES si tiee el mismo cojuto solució, es decir, toda solució del primer sistema tambié lo es del segudo sistema y viceversa. Evidetemete, dos sistemas equivaletes debe teer el mismo úmero de icógitas, pero o es ecesario que tega el mismo úmero de ecuacioes. Criterios de equivalecia.. Si e u sistema se cambia el orde de las ecuacioes o el de las icógitas, el sistema que se obtiee es equivalete al primero (esecialmete es el mismo). 2. Si se multiplica o se divide los dos miembros de ua ecuació de u sistema por u úmero distito de cero, resulta otro sistema equivalete al primero. 3. Si a ua ecuació de u sistema se le suma o resta otra ecuació del mismo sistema, se obtiee otro sistema equivalete al primero. Si al sumar o restar ecuacioes resulta ua ecuació icompatible del tipo 0 k, siedo k 0, el sistema completo tambié lo es. La utilizació cojuta de los criterios 2 y 3 os permitir elimiar icógitas e las ecuacioes y pasar a otros sistemas equivaletes más fáciles de resolver. EJEMPLOS. a) Dado el sistema: x+ y+ z 3 x y+ z 4 x+ y z 2 elimiar ua icógita e dos de las tres ecuacioes. Si sumamos la primera ecuació a la seguda y tercera se obtiee el sistema x+ y+ z 3 2z 7 2y 5 que es equivalete al dado. La resolució del uevo sistema es imediata. b) Dado el sistema x+ y+ z 2 2x+ 3y+ 5z x 5y+ 6z 29 elimiar la icógita x e las dos últimas ecuacioes. E el sistema resultate, elimiar la y e el sistema parcial co dos icógitas y, z formado por las dos últimas ecuacioes. Para elimiar la x e la seguda ecuació se le resta a ésta el doble de la primera, y para elimiarla de la tercera se le resta simplemete la primera. El sistema resultate es: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 39

5 x+ y+ z 2 y+ 3z 7 6y+ 5z 27 Para elimiar y e la tercera ecuació basta sumar a ésta la seguda multiplicada por 6. El sistema fial es: x+ y+ z 2 y+ 3z 7 23z 69 Hemos obteido u sistema triagular que es fácil de resolver. 4. Si e u sistema de ecuacioes lieales, ua ecuació se expresa e fució de otras ecuacioes del sistema, dicha ecuació se puede suprimir y el sistema resultate es equivalete al primero. E el sistema 2x y 3 x+ y 0 5x 4y 9 la tercera ecuació es tres veces la primera meos la seguda, y se dice que la tercera es fució de las dos primeras. Por tato, podemos suprimirla y el sistema que os queda es 2x y 3 x+ y 0 METODO DE REDUCCIÓN O DE GUSS. El método de Gauss para la resolució de sistemas de ecuacioes lieales cosiste e trasformar el sistema dado e otro de forma triagular equivalete. Para coseguir esta triagulació del sistema dado, se aplica los criterios de equivalecia de la siguiete forma:. Se fija ua primera ecuació y se elimia ua icógita de todas las demás meos de la primera. 2. cotiuació se matiee ivariables las dos primeras ecuacioes y se sustituye las demás por las que resulta de elimiar ua seguda icógita. 3. El proceso se cotiua hasta obteer u sistema e forma triagular cuya resolució es cómoda y fácil. EJEMPLO. Resolver el siguiete sistema: x y+ z x+ 2y+ 3z 2 2x+ 3y+ z 0 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 40

6 RESOLUCIÓN Elimiamos la icógita x e la seguda y tercera ecuacioes, sumado a la seguda, la primera y a la tercera, la primera multiplicada por 2. El sistema equivalete que os quedaría sería el siguiete: x y+ z y+ 4z 3 y+ 3z 2 Restado a la tercera ecuació la seguda, obteemos: x y+ z y+ 4z 3 z partir de la tercera ecuació obteemos: z. Sustituyedo este valor e la seguda ecuació y despejado y se obtiee: y Llevado estos valores a la primera ecuació, teemos: x. E cosecuecia, la solució del sistema es: x y z y el sistema sería COMPTIBLE Y DETERMINDO. EJEMPLO 2. Resolver el siguiete sistema: RESOLUCIÓN: 8x+ y+ 4z 9 5x 2y+ 4z 6 x+ y plicado el método de Gauss pasamos este sistema a uo que sea triagular: 8x+ y+ 4z 9 5x 2y+ 4z 6 x+ y Sustituimos: 2ª E 2ª E ª E Dividimos la seguda ecuació por 3, quedádoos: 8x+ y+ 4z 9 x+ y x+ y l haber dos ecuacioes iguales suprimimos ua de ellas 8x+ y+ 4z 9 3x 3y 3 x + y 8x+ y+ 4z 9 x+ y Llegada esta situació damos por termiada la triagulizació del sistema por o teer más ecuacioes para elimiar las icógitas. Como o aparece igua ecuació del tipo 0 k co k 0, el sistema será COMPTIBLE. SISEMS DE ECUCIONES LINELES 4

7 Por otra parte, o os queda igua ecuació fial e la que podamos despejar ua icógita (os queda más icógitas que ecuacioes). Para obteer la solució del sistema hacemos lo siguiete: Si asigamos a la icógita z el valor de u parámetro λ cualquiera y lo pasamos al segudo miembro, podemos cotiuar la resolució del sistema quedado las posibles solucioes e fució de dicho parámetro. 8x+ y 9 4λ x+ y Sustituimos: 2ª E 2ª E ª E 8x+ y 9 4λ 8 4λ x 7 Sustituyedo el valor de x e la otra ecuació, os queda: 8 x 4λ 7 y + 4λ 7 z λ 8x+ y 9 4λ 7x 8+ 4λ Para cada valor que le demos al parámetro, obtedremos ua solució para el sistema, es decir el sistema tiee ifiitas solucioes depediedo de u parámetro. E cosecuecia, podemos decir que es u sistema COMPTIBLE E INDETERMINDO. Si os fijamos e los ejemplos desarrollados ateriormete, podemos observar que lo úico que cambia mediate las trasformacioes elemetales so los coeficietes del sistema. Por tato, podemos itroducir éstos e ua matriz y, e ella, efectuar traformacioes elemetales sobre las filas y, de esta maera, trabajaremos más cómodamete. Veamos cómo quedaría los ejemplos ateriores trabajado co la matriz del sistema: EJEMPLO. Resolver el siguiete sistema: x y+ z x+ 2y+ 3z 2 2x+ 3y+ z 0 RESOLUCIÓN Escribimos la matriz del sistema ampliádola co la columa de térmios idepedietes: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 42

8 Sobre esta matriz vamos a efectuar las misma trasformacioes que ates hicimos co las ecuacioes del sistema, úicamete que ahora trabajaremos co las filas de la matriz: Sustituimos: 2ªF 2ªF+ªF ª F 3ª F + 2 ª F Sustituimos: 3ª F 3ª F 2ª F Ua vez termiada la triagulizació de la matriz, el sistema equivalete sería: x y+ z y+ 4z 3 z que resolveríamos igual que hemos hecho ateriormete. EJEMPLO 2. Resolver el siguiete sistema: 8x+ y+ 4z 9 5x 2y+ 4z 6 x+ y RESOLUCIÓN Escribimos la matriz ampliada del sistema y pasamos a triagulizarla: Sustituimos: 2ª F 2ª F ª F Dividimos la 2ª F por co lo que habríamos termiado la triagulació del sistema, quedádoos: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 43

9 dode operaríamos igual que ates. 8x+ y+ 4z 9 x+ y DISCUSION DE UN SISTEM LINEL POR EL MÉTODO DE GUSS. Cosideremos u sistema geeral de m ecuacioes lieales co icógitas. Mediate el método de Gauss podemos pasar a otro sistema equivalete triagular sobre el que podemos hacer las siguietes cosideracioes: a) Si aparece algua ecuació de la forma 0 K, siedo K 0, el sistema dado es INCOMPTIBLE, es decir, o tiee solució. b) Si o aparece ecuacioes del tipo aterior, el sistema es COMPTIBLE. E este caso podemos distiguir dos situacioes:.-si el úmero de ecuacioes o triviales es igual al úmero de icógitas, el sistema es COMPTIBLE DETERMINDO, es decir, el sistema tiee solució úica. 2.-Si el úmero de ecuacioes o triviales es meor que el úmero de icógitas, el sistema es COMPTIBLE INDETERMINDO es decir, el sistema tiee ifiitas solucioes depediedo de uo o más parámetros. Ejercicios propuestos: Discutir y resolver los siguietes sistemas: x y z 0 2x+ 4y z 4 x+ 3y+ 4z 4 x 2y 3 2x+ y 5z 4 2x+ 3y+ z 4 SISTEMS DE CRMER. x z 7 y+ z 8 x+ 2y+ 3z 9 x 3y+ z 0 2x+ y+ 4z 3 4x 5y+ 6z 3 7x 7y+ z 2x y+ 3z 3 4x y+ 5z 5 x+ z x+ 2y 3z 2 x+ 8y 27z 0 x y z Se dice que u sistema de ecuacioes lieales.x B es u sistema de Cramer si el úmero de ecuacioes es igual al úmero de icógitas y además 0. Ejemplos: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 44

10 .-Comprobar si es de Cramer el sistema: 2x + y + z 7 x + z 4 3x 2y+ z 2 E pricipio, el úmero de ecuacioes coicide co el úmero de icógitas. Nos faltaría por comprobar si el determiate de la matriz de coeficietes es distito de cero: ( 4) y, por tato, el sistema es de Cramer. 2.-Idem el sistema: 2 3 x y 9 0 z 2 El úmero de ecuacioes vuelve a coicidir co el úmero de icógitas y el determiate de la matriz de coeficietes es: Por tato, este sistema o es de Cramer. RESOLUCIÓN DE UN SISTEM DE CRMER. Cosideremos que el sistema.x B sea u sistema de Cramer. Por ser ua matriz regular, tiee iversa y, por tato, X B X B X B Teiedo e cueta la defició de la matriz iversa ( dj ) t y operado, os queda: 2 b b t X B dj B ( ) b 2 x x2 x b + 2 b2 + + b 2 b 22 b2 2 b b + b + + b 2 2 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 45

11 Idetificado térmio a térmio, obteemos: x b + 2 b2 + + b 2 b + 22 b b x2... j b + 2 j b2 + + j b x j... b + 2 b2 + + b x hora bie, podemos observar que el umerador de cada fracció que os da el valor de cada ua de las icógitas es la suma de los productos de los adjutos de los elemetos correspodietes a la columa que os idica el subídice de la icógita por los térmios idepedietes. Esto sería el desarrollo del determiate de la matriz de coeficietes e la que habríamos sustituido la columa correspodiete al subídice de la icógita por la columa formada por los térmios idepedietes. De esta forma, la resolució del sistema de Cramer os quedaría: x b a a a 2 3 b a a a b a a a 2 3 x 2 a b a a 3 a b a a a b a a 3... x a a a b 2, a a a b , 2 a a a b 2, EJEMPLOS: Resolver: π x+ y+ z 6 x y+ z 4 x+ y z 0 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 46

12 Debemos de comprobar, primeramete, que es u sistema de Cramer: el úmero de ecuacioes es igual al úmero de icógitas y el determiate de la matriz de coeficietes es + + ( ) ( ) 4 0 Por tato, es u sistema de Cramer. Para resolverlo utilizamos el método que acabamos de obteer: x y z E cosecuecia, la solució de uestro sistema es: x 2, y, z 3. π x 2y+ 3z 2x+ y 4z 2 3x+ 4y z 3 El úmero de ecuacioes coicide co el úmero de icógitas y el determiate de la matriz de coeficietes es y uestro sistema es de Cramer. Resolvemos calculado, previamete, los determiates correspodietes a cada ua de las icógitas: 2 3 x SISEMS DE ECUCIONES LINELES 47

13 3 y z E cosecuecia, la solució de uestro sistema será: x, y 0, z π Resolver: 2x y+ z 3 2x+ 3y 7z 7 3x+ 2y z 2x 4y+ z 9x y+ 3z 0 5x+ 3y 2z x+ y 5 x+ z 6 y+ z 7 π Determiar los valores de a que hace que el siguiete sistema sea u sistema de Cramer y resolverlo para esos valores: x+ ay+ z a+ ( a+ ) x+ y az 0 2x+ y z a CRITERIO DE COMPTIBILIDD. TEOREM DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. La codició ecesaria y suficiete para que u sistema de ecuacioes lieales tega solució (sea compatible) es que el rago de la matriz de coeficietes sea igual al rago de la matriz que se obtiee ampliado la matriz de coeficietes co la columa formada por los térmios idepedietes. SISTEM COMPTIBLE r() r( * ) siedo: a a2 a a a2 a b a a a a a a b * a a a a a a b DEMOSTRCION: m m2 m m m2 m m.-cosideremos que el sistema sea compatible y supogamos que ss (, s2,, s ) es ua solució del sistema. Utilizado la otació x + 2 x2 + + x B se verificará s + 2 s2 + + s B por lo que la columa B es combiació lieal de las columas, 2,, y, e cosecuecia, r(,,, ) r(,,,, B) * r( ) r( ) 2 2 * 2.-Supogamos ahora que r( ) r( ). Esto sigifica que r(,,, ) r(,,,, B) 2 2 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 48

14 y, por tato, B es combiació lieal de las restates columas; es decir que existe uos úmeros s, s 2,, s tales que s + 2 s2 + + s B E cosecuecia, ss (, s2,, s ) es ua solució del sistema y, etoces, éste será compatible. OBSERVCIONES: Teiedo e cueta la clasificació de los sistemas por el úmero de solucioes y el teorema de Rouché-Fröbeius, llegamos a las siguietes coclusioes: *.-Si r( ) r( ) el sistema es icompatible y o tiee solució. * 2.-Si r( ) r( ) r, teemos dos posibilidades: 2. r (úmero de icógitas), el sistema es compatible y determiado y tiee solució úica. El sistema se resuelve por el método de Cramer. 2.2 r <, el sistema es compatible e idetermiado y tiee ifiitas solucioes, depediedo de r parámetros. Para resolver este tipo de sistemas se procede de la siguiete maera: EJEMPLOS. Sea r el rago de la matriz del sistema que coicide co el de la ampliada por ser el sistema compatible. Se elige r ecuacioes idepedietes (las correspodietes a las filas que os da el rago) y se pasa al segudo miembro las icógitas que o iterviee e el rago, quedado u sistema de r ecuacioes co r icógitas (sistema de Cramer). las icógitas que se pasa al segudo miembro se le asiga los valores de uos parámetros λ, λ2, que puede tomar cualquier valor real. De este modo, todas las icógitas se puede expresar e fució de estos parámetros. 4 Si la solució depede de u sólo parámetro, se dice que el sistema es uiparamétrico. 4 Si la solució depede de dos parámetros, el sistema es biparamétrico..-resolver el sistema x+ 2y+ z 2x+ y+ 2z 2 3x+ 3y+ 3z 3 Podemos observar que la tercera ecuació es suma de las dos primeras, co lo que el sistema queda reducido a x+ 2y+ z 2x+ y+ 2z 2 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 49

15 Las matrices de coeficietes y ampliada correspodietes so: * El r() r( * ) puesto que el meor formado por las dos primeras filas y 2 columas es 0 el sistema es compatible. 2 Como el rago es meor que el úmero de icógitas, el sistema es compatible e idetermiado. La icógita que o iterviee e el meor que os da el rago es la z y, a ésta, le asigamos el valor de u parámetro λ pasádola al segudo miembro. El sistema os queda de la forma: x+ 2y λ 2x+ y 2 2λ que es u sistema de Cramer. Resolviedo: λ 2 2 2λ ( λ) 2( 2 2λ) x 3 + 3λ λ y 2 λ 2 2 2λ ( 2 2λ) 2( λ) E cosecuecia, la solució del sistema será: x λ y 0 z λ y las ifiitas solucioes del sistema depede de u parámetro. 2.-Resolver el sistema x y+ 3z 3x y+ 2z 3 2y+ 7z 0 Las matrices de coeficietes y ampliada del sistema será: * SISEMS DE ECUCIONES LINELES 50

16 Calculamos los ragos de ambas matrices: Rago(): por lo meos r() 2 3 Veamos si puede ser 3: Tomamos u meor de orde tres que coicide co la propia matriz y calculamos su valor Rago ( * ): Por tato, el r() 2. Puesto que al calcular el rago de ya teemos u meor de orde 2 distito de cero, ampliamos al de orde 3. El que coicide co el determiate de la matriz podemos evitarlo ya que sabemos que es ulo; etoces sustituimos la tercera columa por la de los térmios idepedietes: r( * ) 3 E cosecuecia, r() r( * ) el sistema es icompatible y o tiee solució. 3.-Resolver el sistema x 3y+ 5z 24 2x y+ 4z 8 x+ y 9 Las matrices del sistema será: * Estudiamos los ragos de las matrices asociadas al sistema: simple vista podemos observar que el rago de la matriz es, por lo meos, 2 ya que el meor pricipal de orde 2 es distito de cero. Comprobamos el rago 3 calculado el determiate de la matriz de coeficietes: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 5

17 E cosecuecia, el r() 3. El rago de la matriz ampliada tambié sería tres, puesto que o podemos formar e ella meores de orde superior. E cosecuecia, r() r( * ) 3 úmero de icógitas el sistema es compatible y determiado y tiee solució úica. Por tato, es u sistema de Cramer que resolvemos directamete: x y z Etoces: x 7 Ejercicios propuestos: 7 y 2 Discutir y resolver los siguietes sistemas: 5 2 z 5 x y z 0 2x+ 4y z 4 x+ 3y+ 4z 4 x 2y 3 2x+ y 5z 4 2x+ 3y+ z 4 x z 7 y+ z 8 x+ 2y+ 3z 9 x 3y+ z 0 2x+ y+ 4z 3 4x 5y+ 6z 3 7x 7y+ z 2x y+ 3z 3 4x y+ 5z 5 x+ z x+ 2y 3z 2 x+ 8y 27z 0 x y z 2x+ 3y 4z x 2y+ z 0 3x y+ 2z 4 2x+ 5y 9z 7 x+ 2y 4 3x 2y 4 2x+ y 5 x+ 3y x 2y+ 3x 2 2x+ y z 2 3x y+ 2z 4 SISTEMS DEPENDIENTES DE UNO O MS PRÁMETROS SISEMS DE ECUCIONES LINELES 52

18 E determiadas ocasioes alguo de los coeficiete puede ser u parámetro m que toma valores e el cojuto de úmeros reales. Segú los valores que tome dicho parámetro el sistema puede ser compatible o o. La discusió de este tipo de sistemas está e determiar como es el sistema para cada valor del parámetro y podemos hacerla por cualquiera de los métodos de resolució vistos. Veamos algú ejemplo: π Discutir y resolver el sistema: x+ 2y 3 2x y 4x+ my 7 segú los valores del parámetro m. plicado el teorema de Rouché-Fröbeius: Cosideremos las matrices del sistema: m 2 3 * 2 4 m 7 Puesto que la matriz es de dimesió 3 2, su mayor rago podrá ser 2. La matriz * es de dimesió 3 3 y su rago podrá ser 3. Los valores del parámetro "m" para los cuales el * sea distito de cero, hará que el sistema sea icompatible puesto que tedríamos r() 2 y r( * ) 3. Para estudiar los valores que hace * 0, es más cómodo ver cuales lo aula: m m 5m 5 4 m 7 ulamos: 5m 5 0 m 3. Si m 3 r() 2 y r( * ) 3 el sistema será icompatible. Si m 3 r() r( * ) 2 úmero de icógitas el sistema es compatible y determiado. Nos quedamos co las dos primeras ecuacioes que os da el rago 2 y resolvemos el sistema resultate que será de Cramer: x+ 2y 3 2x y SISEMS DE ECUCIONES LINELES 53

19 x y y la solució sería x e y. plicado el método de Gauss, triagulizamos es sistema: x+ 2y 3 Sustituimos: x+ 2y 3 x+ 2y 3 2x y 2ª E 2ª E 2 ª E 5y 5 y 4x+ my 7 3ª E 3ª E 4 ª E ( m 8) y 5 ( m 8) y 5 Discusió: Sustituimos: 3ª E 3ª E ( m 8) 2ª E x+ 2y 3 y 0 y m+ 3 Observado el sistema triagulizado podemos ver que si (-m+3) es distito de cero, teemos ua ecuació del tipo 0 k, co k 0, y, por tato, el sistema sería icompatible. Si m m 3 Sistema icompatible. Si m 3, o aparece igua ecuació del tipo aterior y el sistema es COMPTIBLE; el sistema os queda de la forma: x+ 2y 3 y sistema de dos ecuacioes co dos icógitas que es determiado y la solució úica es x ; y. Ejercicios. E resume: Si m 3 Sistema icompatible Si m 3 Sistema compatible y determiado Solució úica: x ; y π Discutir los siguietes sistemas segú los valores de los parámetros: mx + y + 3z 3 x y z 0 5x 3y 2z 6 3x 2y+ z 4x+ y 2z 2 x+ 5y mz x+ y+ 2z 0 mx + y z m 2 3x+ my+ z m 2 ax + y + z x+ ay+ z x+ y+ az x+ y+ z a ax + y + ( a ) z a x+ ay+ z ( a+ 2) x+ y+ z a ax + ( a ) y + z a ( a+ ) x+ ( a ) z a SISEMS DE ECUCIONES LINELES 54

20 x+ y+ z 2 x+ 2y 3z 8 mx y z x y+ z 2 x+ y z 3 3x+ 4y z 5 x+ y mz 3 2 mx + 2y + ( m + 2) z m 2 2x+ y x+ y 2z 3x+ y+ mz SISTEMS HOMOGÉNEOS. PROPIEDDES MÁS IMPORTNTES. U sistema de ecuacioes lieales se dice que es HOMOGÉNEO si todos sus térmios idepedietes so ulos, es decir, tiee la forma: a x + a2 x2 + a3 x3 + + a x 0 a2 x + a22 x2 + a23 x3 + + a2 x 0 ai x + ai2 x2 + ai3 x3 + + ai x 0 am x + am2 x2 + am3 x3 + + am x 0 E otació matricial os queda X 0 y e forma vectorial x + x + + x PROPIEDDES. Los sistemas lieales homogéeos siempre tiee solució ya que siempre admite la solució ( 0, 0,,0) R llamada SOLUCION TRIVIL o NUL porque es solució de todo sistema homogéeo. De acuerdo co la discusió geeral de sistemas, u sistema homogéeo es siempre compatible, ya que si aplicamos el teorema de Rouché-Fröbeius siempre se verifica * que r( ) r( ) puesto que los térmios idepedietes so todos ulos. Si embargo, se suele cosiderar compatibles, solamete, los sistemas homogéeos que tiee solucioes distitas de la trivial. Segú esto, la discusió de u sistema homogéeo os quedará de la siguiete forma: Si r(), el sistema será icompatible y sólo admite la solució trivial. Si r() <, el sistema será compatible e idetermiado y, por tato, admite ifiitas solucioes distitas de la trivial. Como cosecuecia de esta discusió se deduce que: La codició ecesaria y suficiete para que u sistema de ecuacioes lieales homogéeo tega solució distita de la trivial es que el rago de la matriz de coeficietes sea meor que el úmero de icógitas. SISEMS DE ECUCIONES LINELES 55

21 La codició ecesaria y suficiete para que u sistema lieal homogéeo, de igual úmero de ecuacioes que de icógitas, tega solucioes distitas de la trivial es que el determiate de la matriz de coeficietes sea ulo. Si "s" y "t" so solucioes del sistema homogéeo, etoces "s + t" tambié es solució del mismo sistema. Si "s" es ua solució del sistema homogéeo y k es u úmero real o ulo, etoces "k.s" tambié es solució del sistema homogéeo. Ejemplo. Resolver el siguiete sistema homogéeo x+ y 2z 0 2x y 3z 0 3x 2y z 0 POR GUSS: Triagulizamos el sistema x+ y 2z 0 2x y 3z 0 3x 2y z 0 Sustituimos: 2ª E 2ª E 2 ª E 3ª E 3ª E 3 ª E x+ y 2z 0 3y+ z 0 5y+ 5z 0 Sustituimos: x+ y 2z 0 Sustituimos: 2ª E 5 2ª E 5y+ 5z 0 3ª E 3ª E 2ª E 3ª E 33 ª E 5y+ 5z 0 y simplificamos la 2ª E x+ y 2z 0 3y+ z 0 0z 0 Nos queda 3 ecuacioes o triviales y 3 icógitas el sistema es compatible y determiado y tiee solució úica: x 0 y 0 z 0 POR ROUCHÉ-FRÖBENIUS: Escribimos la matriz de coeficietes del sistema simple vista podemos observar que existe meores de orde dos distitos de cero, por lo que probamos el meor de orde tres: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 56

22 Por tato, el r() 3 úmero de icógitas el sistema es compatible y determiado: sólo teemos la solució trivial: x 0 y 0 z 0 Ejemplo 2. Resolver el siguiete sistema homogéeo: x+ y+ z 0 x+ 2y+ 3z 0 2x+ 3y+ 4z 0 POR GUSS: Triagulizamos el sistema x+ y+ z 0 Sustituimos: x+ y+ z 0 x y z x+ y+ z y+ z ª E 2ª E ª E 2 0 y z x+ y+ z y+ z ª E 3ª E 2 ª E 2 0 Nos queda dos ecuacioes o triviales co tres icógitas el sistema es compatible e idetermiado. Para obteer la solució hacemos z λ (u parámetro real) y os queda: y + 2λ 0 y 2λ x+ y+ λ 0 x 2λ+ λ 0 x λ 0 x λ Por tato, la solució del sistema es x λ y 2 λ dode λ R z λ POR ROUCHÉ-FRÖBENIUS: Matriz del sistema: Rago de la matriz: el meor de orde dos formado por las dos primeras filas y las dos primeras columas es distito de cero, por lo que el rago de por lo meos es dos. Probamos si puede ser tres: r( ) SISEMS DE ECUCIONES LINELES 57

23 E cosecuecia os quedamos co las dos primeras ecuacioes y pasamos la tercera icógita al segudo miembro, quedádoos: que resolvemos por Cramer: x+ y z x y { z } + λ Haciedo λ x+ 2y 3z x+ 2y 3λ x λ 3λ 2 2λ + 3λ λ 2 y λ 3λ 3λ+ λ 2λ Por tato, la solució del sistema será: x λ y 2 λ dode λ R z λ Observacioes sobre el cojuto de solucioes de u sistema lieal homogéeo. (Método de Gauss). Si al triagulizar u sistema lieal homogéeo por el método de Gauss obteemos el mismo úmero de ecuacioes que de icógitas el sistema es imcompatible y sólo tiee la solució trivial. Si el úmero de ecuacioes es ua uidad iferior al de icógitas, el sistema es compatible idetermiado. El cojuto de solucioes depede de u parámetro. Si el úmero de icógitas es y r el úmero de ecuacioes o triviales que os queda, el sistema es compatible e idetermiado y el cojuto de solucioes depede de " r" parámetros. EJERCICIOS 2x 5y+ 3z 0 2x y 0 x+ y z 0 x+ 2y 3z 0 2x y+ 2z 0 3x+ y z 0 2x 4y+ 6z 0 x 7y+ 3z 0 2x 3y+ z 0 x+ y 0 x+ z 0 y+ z 0 2x+ y z 0 x + 3z 0 x+ 2y z 0 2x+ 3y 5z 0 x y+ z+ 2t 0 3x y z 0 4x+ 2y 2z t 0 x+ y z t 0 x+ 2y 3z t 0 2x+ 3y+ 4z+ 5t 0 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 58

24 2x ky+ 4z 0 x+ y+ kz 0 kx y + 3z 0 x+ ky kz 0 2x ( k 2) y 2z 0 kx 2y + z 0 6x+ y 2kz 0 7x 2y 4z 0 4x+ 0y 6z 0 ax + y z 0 x+ y+ az 0 ( a 2) x y+ z 0 ( a+ ) x+ y az 0 3x+ 2y+ 4az 0 x+ ( 2a ) y az 0 x+ ( a+ ) y 0 2x+ y+ 3z 0 x+ ay z 0 Veamos como podemos estudiar la depedecia e idepedecia lieal de u cojuto de vectores basádoos e los sistemas de ecuacioes lieales homogéeos. Sea V u espacio vectorial real de dimesió, B { u u u, 2,, } ua base del mismo y { v, v 2,, v m } u cojuto de m vectores de los que tratamos de estudiar su depedecia lieal. Cosideremos que las coordeadas de los vectores v v v, 2,, m respecto de la base B sea: v ( a, a2,, a ) v2 ( a2, a22,, a2 ) v ( a, a,, a ) m m m2 m Teiedo e cueta las defiicioes de depedecia e idepedecia lieal, si λ v + λ 2 v2 + + λ m vm 0 λ λ 2 λ m 0 etoces los vectores so liealmete idepedietes, y e caso cotrario, si alguo de los λ i es distito de cero, los vectores será liealmete depedietes. Operado co las coordeadas de los vectores, tedremos: λ ( a, a2,, a ) + λ2 ( a2, a22,, a2) + + λ m ( am, am2,, am) ( 00,,, 0) de dode: a λ + a2 λ2 + + am λm 0 a2 λ + a22 λ2 + + am2 λm 0 a λ + a2 λ2 + + am λm 0 que es u sistema de ecuacioes lieales homogéeo de ecuacioes co m icógitas λ, λ2,, λ m. plicado la discusió de sistemas homogéeos, tedremos: a) Si teemos solucioes distita de la trivial ( λ, λ 2,, λ m ) ( 00,,, 0), el rago de la matriz de coeficietes tiee que ser meor que el úmero de icógitas SISEMS DE ECUCIONES LINELES 59

25 y los vectores v, v,, 2 v m a a2 am a a am rago < m a a2 am será liealmete depedietes. b) Si a a2 am a a am rago m a a2 am etoces el sistema homogéeo será icompatible y sólo tedrá la solució trivial, es decir que λ λ 2 λm 0 y, por tato, los vectores v v v, 2,, m será liealmete idepedietes. Volvemos a llegar al mismo resultado del tema de matrices dóde el rago de ua matriz os daba el úmero de vectores liealmete idepedietes: E cosecuecia, para estudiar la depedecia e idepedecia lieal de u cojuto de vectores estudiamos el rago de la matriz formada co las coordeadas de los vectores: Si el rago es meor que el úmero de vectores, éstos será liealmete depedietes. Si el rago es igual al úmero de vectores, éstos so liealmete idepedietes. Ejemplo: Co todo esto simplificamos el proceso visto e el tema de espacios vectoriales. π Estudiar la depedecia e idepedecia lieal de los vectores: 32 ),(,,),(,, 23 4),(,,) 07 Resolució: Formamos la matriz correspodiete co las coordeadas de los vectores y estudiamos su rago: Vemos a simple vista que el meor pricipal de orde dos es distito de cero y, por tato, por lo meos el rago de la matriz es dos. Veamos si puede ser tres: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 60

26 Todos los meores de orde tres que hemos podido formar e la matriz so ulos y, por tato, el rago de la matriz es dos y los vectores so liealmete depedietes. El ser dos el rago de la matriz, sigifica que sólo teemos dos vectores liealmete idepedietes e uestro cojuto: os quedaremos co los vectores que os ha dado el meor de orde dos distito de cero. (,, 32 ),(,,) 23 ELIMINCIÓN DE PRÁMETROS. Sabemos que u subespacio vectorial es u espacio vectorial detro de otro espacio vectorial y como tal podrá teer su sistema geerador, su base, etc. Sea V u espacio vectorial real de dimesió, B { u u u, 2,, } ua base del mismo y W el subespacio vectorial geerado por los vectores v, v 2,, v m cuyas coordeadas respecto de la base B so: v ( a, a2,, a ) v2 ( a2, a22,, a2 ) vm ( am, am2,, am) Cualquier vector xx (, x2,, x ) Wpodrá escribirse como combiació lieal de los vectores del sistema geerador de W de la forma: x λ v + λ 2 v2 + + λ m vm Operado co las coordeadas de los vectores, tedremos: ( x, x,, x ) λ ( a, a,, a ) + λ ( a, a,, a ) + + λ ( a, a,, a ) m m m2 m de dode se obtiee el siguiete sistema de ecuacioes: x a λ + a2 λ2 + + am λm x2 a2 λ + a22 λ2 + + am2 λm x a λ + a2 λ am λm que recibe el ombre de ecuacioes paramétricas del subespacio vectorial W. SISEMS DE ECUCIONES LINELES 6

27 Si e estas ecuacioes fuésemos dado valores a los distitos parámetros, para cada uo de ellos obtedríamos e vector del subespacio W. El problema que se os platea e este mometo es tratar de elimiar los parámetros del sistema aterior. Cosideremos las matrices del sistema: a a2 am a a am a a a 2 m * a a2 am x a2 a22 am2 x2 a a a x 2 m Si el subespacio W es o vacio, habrá algú vector x W, lo que os idicaría que el sistema tedría que ser compatible y, por el teorema de Rouché-Fröbeius, se verificará * que rago( ) rago( ) Si rago( ) r etoces, tiee que existir u meor o ulo de orde r e la matriz Δ r a a a 2 r a2 a22 ar2 0 a a a r 2r rr y todos los de orde superior, r +, será ulos. Para que el sistema sea compatible (tega solució) se tedrá que verificar que el * rago( ) r, lo que podemos coseguir aulado todos los meores de orde r + que se pueda formar añadiedo al meor de orde r distito de cero las sucesivas filas y la columa de las x i : a a x a a x r a a x r rr r a a x, r+ r, r+ r r 0 a a x r rr r a a x r co lo que obteemos u cojuto de r ecuacioes que recibe el ombre de ecuacioes implícitas o cartesiaas del subespacio vectorial W. Desarrollado los determiates ateriores, las ecuacioes puede escribirse de la forma: b x + b2 x2 + + b x 0 b2 x + b22 x2 + + b2 x 0... b r x + b r 2 x2 + + b r x 0,,, Ejemplo: Elimiar los parámetros λ, μ y ν e el sistema de ecuacioes: SISEMS DE ECUCIONES LINELES 62

28 x 2 λ+ μ y 2λ μ z + λ+ μ+ ν t 3 μ ν Dejamos el sistema e fució de las icógitas que so los parámetros: λ+ μ x 2 2λ μ y λ+ μ+ ν z μ ν t 3 y escribimos las matrices del sistema: 0 0 x y * 2 0 z 0 0 t 3 Para que el sistema sea compatible se tedrá que verificar que * rago( ) rago( ), por lo que vamos a estudiar el rago de la matriz : l ser 2 0 por lo meos el rago de será 2, pasado a comprobar si puede ser 3: l ser distito de cero, el rago() 3 y o puede ser mayor puesto que o podemos formar meores de orde superior. E cosecuecia, rago( ) 3 Para que rago ( * ) sea 3, el úico meor de orde cuatro que podemos formar e ella tiee que ser ulo. Por tato: 0 x y 0 z 0 t 3 Desarrollado este determiate, obteemos: 0 x y z 0 t 3 Sustituimos 0 4ª F 4ª F + 3ª F 0 x y z 0 0 z+ t 4 0 SISEMS DE ECUCIONES LINELES 63

29 0 x y 0 0 z z+ t 4 x 2 2 y 0 z+ y 4 Sustituimos: 2ª F 2ª F + ª F x x y x y 2 ( z+ t 4 x y+ 2) 0 z+ t 4 0 z+ t 4 E cosecuecia la ecuació implícita resultate de la elimiació de los parámetros es: x + y z t SISEMS DE ECUCIONES LINELES 64