Formas bilineales y cuadráticas. Ley de inercia de las formas cuadráticas

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1 TEMA 46 Formas bilieales y cuadráticas. Ley de iercia de las formas cuadráticas E la primera secció se cofiere estructura de K-espacio vectorial al cojuto formado por las aplicacioes bilieales del producto de dos K-espacios vectoriales E y F e otro G, y se prueba que es isomorfo al espacio de aplicacioes lieales de E e el espacio de aplicacioes lieales de F e G. A partir de este puto todo se hace e dimesió fiita y para formas bilieales, esto es, F = E y G = K. Se defie la matriz de ua forma bilieal respecto de ua base dada, lo que se emplea para dotar co ua estructura de R-espacio vectorial ormado al espacio de las formas bilieales sobre R, y se itroduce la relació de cogruecia de matrices. E la secció seguda se prueba la diagoalizabilidad de toda forma bilieal simétrica, y se demuestra que el rago clasifica por cogruecia las matrices simétricas co coeficietes complejos. Por último, e la secció tercera se demuestra la Ley de iercia de Sylvester, lo que coduce a clasificar por cogruecia las matrices simétricas co coeficietes reales a través de su rago y su sigatura. 1. Geeralidades sobre aplicacioes bilieales Defiicioes y Observacioes 1.1 (Aplicacioes bilieales) (1) Sea K u cuerpo y E,F y G tres K-espacios vectoriales. Ua aplicació f : E F G se dice bilieal si para cada (a, b) E F las aplicacioes so lieales. f(a, ) :F G, y f(a, y) y f(,b):e G, x f(x, b), (2) E el cojuto Bil(E,F; G) formado por las aplicacioes bilieales de E F e G se defie la suma y el producto por escalares puto a puto, es decir, dadas aplicacioes bilieales f,g Bil(E,F; G) yλ K las aplicacioes f + g : E F G, (x, y) f(x, y)+g(x, y) y λf : E F G, (x, y) λf(x, y) so bilieales. Estas dos operacioes satisface las codicioes de , luego dota a Bil(E,F; G) de estructura de K-espacio vectorial. 217

2 218 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS (3) Recordemos que e dotamos de estructura de K-espacio vectorial al cojuto L(F, G) formado por las aplicacioes lieales de E e F, dode las operacioes tambié se defie puto a puto: dadas f,g L(F, G) yλ K, f + g : E F, x f(x)+g(x) y λf : E F, x λf(x). (4) Los K-espacios vectoriales Bil(E,F; G) y L(E,L(F, G)) so isomorfos, vía Ψ:L(E,L(F, G)) Bil(E,F; G), f Ψ(f) = f, dode f(u, v) =f(u)(v) para cada (u, v) E F. Para ver que Ψ es u isomorfismo hay que hacer alguas comprobacioes. Veamos, para empezar, que Ψ está bie defiida, es decir, que f es bilieal para cada aplicació lieal f : E L(F, G). E efecto, fijados a E y b F hemos de probar que las aplicacioes f(a, ) :F G y f(,b):e G so lieales. Dados λ, µ K y u, v F se tiee, por ser f(a) lieal, f(a, )(λu + µv) = f(a, λu + µv) =f(a)(λu + µv) =λf(a)(u)+µf(a)(v) = λ f(a, u)+µ f(a, v) =λ f(a, )(u)+µ f(a, )(v), lo que prueba la liealidad de f(a, ). Además, dados u, v E, y por ser f lieal, f(,b)(λu + µv) = f(λu + µv, b) =f(λu + µv)(b) =(λf(u)+µf(v))(b) = λf(u)(b)+µf(v)(b) =λ f(u, b)+µ f(v, b) = λ f(,b)(u)+µ f(,b)(v), lo que prueba la liealidad de f(,b). Veamos ahora que Ψ es lieal, es decir, que dados λ K y f,g L(E,L(F, G)) se cumple que Ψ(λf + µg) =λ f + µg. Esto se comprueba haciedo actuar ambos miembros sobre u par cualquiera (u, v) E F. Se tiee etoces Ψ(λf + µg)(u, v) =((λf + µg)(u))(v) =(λf(u)+µg(u))(v) = λf(u)(v)+µg(u)(v) =λ f(u, v)+µg(u, v) =(λ f + µg)(u, v). La iyectividad de Ψ es imediata, pues si f L(E,L(F, G)) es o ula existe u E tal que f(u) o es la aplicació ula, esto es, existe v F tal que f(u)(v) = 0, o sea, f(u, v) = 0, por lo que tampoco f es ula. Por último, para probar que Ψ es sobreyectiva tomamos h Bil(E,F; G) y se comprueba que la aplicació f : E L(F, G), u f(u), dode f(u) :F G, v h(u, v), es lieal y Ψ(f) = f = h. (5) E el caso particular e que E = F y G = K se abrevia Bil(E) =Bil(E,E; K), y la observació aterior dice que este espacio es isomorfo a L(E,E ), dode E = L(E,K) es el espacio dual de E. Los elemetos de Bil(E) se llama formas bilieales sobre E.

3 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS 219 (6) Si E,F y G tiee dimesió fiita etoces, puesto que los isomorfismos preserva la dimesió, , se desprede de (4) y que Bil(E,F; G) tiee dimesió fiita y dim(bil(e,f; G)) = dim(l(e,l(f, G))) =dim(e)dim(l(f, G)) = dim(e)dim(f )dim(g). E particular, si E tiee dimesió fiita, etoces dim(bil(e)) = 2. (7) Dado u K-espacio vectorial E y ua aplicació q : E K, sedicequeq es ua forma cuadrática sobre E si existe ua forma bilieal f : E E K tal que q(u) =f(u, u) para cada u E. Se deota q = q f,ysedicequeq f es la forma cuadrática iducida por f. Defiició y Proposició 1.2 (Matriz de ua forma bilieal) Sea E u K-espacio vectorial de tipo fiito, B = {u 1,...,u } ua base de E y f Bil(E) ua forma bilieal. Etoces, existe ua úica matriz M M (K) tal que para cualesquiera u, v E se tiee f(u, v) =xmy t, dode x =(x 1,...,x )ey =(y 1,...,y ) so las coordeadas de u y v respecto de la base B. SedicequeM = M f (B) eslamatriz de f respecto de B. Demostració. E efecto, deotemos e k =(0,...,0, (k) 1, 0,...,0) para cada 1 k. Como las coordeadas respecto de B de u i y u j so e i y e j, respectivamete, si existe tal matriz M =(m ij ) ecesariamete ha de cumplir que f(u i,u j )=e i Me t j = m ij, loque demuestra la uicidad. E cuato a la existecia, ya hemos averiguado quié es M y sólo falta comprobar que, por la liealidad de f(,v) y la de cada f(u i, ), se tiee f(u, v) =f(,v)(u) =f(,v) x i u i = x i f(u i,v)= x i f(u i, )(v) = x i f(u i, ) y j u j = j=1 x i j=1 y j f(u i, )(u j )= x i y j f(u i,u j )=xmy t. Corolario 1.3 Sea E u K-espacio vectorial de tipo fiito y B = {u 1,...,u } ua de sus bases. La aplicació ϕ :Bil(E) M (K), f M f (B) es u isomorfismo de K-espacios vectoriales. Demostració. Probar la liealidad de ϕ equivale a comprobar que para cada λ, µ K y cada f,g Bil(E) setiee M λf+µg (B) =λm f (B)+µM g (B). i,j=1

4 220 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS Esto se desprede de la uicidad e la Proposició aterior pues, co aquellas otacioes, x λm f (B)+µM g (B) y t = λxm f (B)y t + µxm g (B)y t = λf(u, v)+µg(u, v) =(λf + µg)(u, v) =xm λf+µg (B)y t. Además, como la dimesió de ambos espacios e 2, para demostrar que ϕ es isomorfismo es suficiete comprobar, por , que es iyectiva. Pero si M f (B) es la matriz ula etoces, para cada par de vectores u, v E cuyas coordeadas respecto de B deotamos x e y respectivamete, resulta f(u, v) =xm f (B)y t = 0, luego f = 0. Defiició y Observació 1.4 Por su iterés e el estudio de la diferecial seguda de ua fució de clase C 2 defiida e u abierto de R, que se requiere e el desarrollo del Tema 29, itroducimos aquí ua estructura de R-espacio vectorial ormado e el R- espacio vectorial Bil(R ). Como todas las ormas de u R-espacio vectorial de dimesió fiita so equivaletes, es decir, defie e él la misma topología, o importa cuál estemos cosiderado, pero debemos fijar ua. Vamos a cosiderar ua muy atural, auque o es la más empleada. Si E = {e 1,...,e } es la base estádar de R y para cada forma bilieal f Bil(R ) deotamos f ij = f(e i,e j ), cosideramos el isomorfismo Bil(R ) M (R) R 2,f M f (E) =(f ij ), que hemos presetado e , y se defie la orma de f como f = i,j=1 f 2 ij. Nótese que esta es la orma euclídea de R 2 M (R), cuado idetificamos cada matriz cuadrada de orde co la 2 -upla que resulta de colocar cada fila a cotiuació de la aterior. Es útil la siguiete desigualdad: f(u, v) 2 f u v para cada u, v R, (1.1) dode u y v deota la orma euclídea de u y v, respectivamete. E efecto, si u = (x 1,...,x )yv = (y 1,...,y )setieef(u, v) = i,j=1 f ijx i y j y, además, cada x i x e y j y, luego f(u, v) = f ij x i y j i,j=1 f ij x i y j f i,j=1 x i y j i,j=1 = f x i y j 2 f x y. j=1 Proposició 1.5 (Cambio de base) Sea E u K-espacio vectorial de tipo fiito y B y B dos bases de E. Deotamos C = C(B, B) la matriz de cambio de base, cuyas columas

5 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS 221 so las coordeadas respecto de la base B de los vectores de B. Etoces, para cada forma bilieal f Bil(E) se tiee M f (B )=C t M f (B)C. (1.2) Demostració. Sea u, v E y deotemos x e y sus coordeadas respecto de B y x e y sus coordeadas respecto de B. Se deduce de que x t = Cx t e y t = Cy t, y resulta: f(u, v) =xm f (B)y t =(x C t )M f (B)(Cy t )=x (C t M f (B)C)y t. Por la uicidad e , M f (B )=C t M f (B)C. Defiicioes y Observacioes 1.6 (Cogruecia) (1) La Proposició aterior coduce a itroducir la oció de cogruecia de matrices cuadradas. Se dice que dos matrices M,N M (K) so cogruetes, y se deota M N, si existe ua matriz C M (K) co determiate o ulo tal que N = C t MC. Así, como la matriz de cambio de base tiee determiate o ulo, la Proposició aterior dice que las matrices de ua misma forma bilieal respecto de bases distitas so cogruetes. (2) Si dos matrices so cogruetes tiee el mismo rago. E efecto, para ello es suficiete probar que si M,C M (K) ydet(c) = 0, etoces rg(m) =rg(mc)=rg(cm). Ahora bie, si deotamos f : K K y g : K K los edomorfismos cuyas matrices respecto de la base estádar so M y C, respectivamete, se tiee, e virtud de y , y puesto que g(k )=K ya que g es isomorfismo pues det(g) =det(c) = 0, rg(mc)=rg(m f g (E)) = dim(f(g(k )) = dim(f(k )) = rg(m f (E)) = rg(m). Por otro lado, aplicado lo que acabamos de probar y que el rago de ua matriz coicide co el de su traspuesta, lo que se sigue imediatamete del Teorema del rago , resulta, puesto que det(c t )=det(c) = 0 segú se prueba e , rg(cm)=rg((cm) t )=rg(m t C t )=rg(m t )=rg(m). (3) Si E es u espacio de tipo fiito, se defie el rago de f Bil(E) como el rago de su matriz M f (B) respecto de ua cualquiera de las bases B de E. (4) Supogamos que K = R es el cuerpo de los úmeros reales y que M,N M (R) so matrices cogruetes. Del apartado aterior se deduce que det(m) = 0 si y sólo si det(n) = 0. Además, si det(m) = 0, los determiates de M yden tiee el mismo sigo. E efecto, sea C M (K) tal que det(c) = 0yN = C t MC. Ya hemos recordado que se prueba e que det(c t )=det(c), luego e virtud de (1), det(n) =det(c t )det(m)det(c) =det(c) 2 det(m).

6 222 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS (5) La relació ser cogruetes e M (K) es de equivalecia. Es claro que esta relació es reflexiva, y tambié es simétrica, pues si N = C t MC para cierta matriz C M (K) cuyo determiate es o ulo, tambié es o ulo el determiate de P = C 1 y M =(C t ) 1 NC 1 =(C 1 ) t NC 1 = P t MP. Por último, la relació es trasitiva, pues si C, Q M (K) co det(c) = 0= det(q) y M 1 = C t MC y M 2 = Q t M 1 Q, etoces M y M 2 so cogruetes, ya que M 2 = Q t M 1 Q = Q t (C t MC)Q =(Q t C t )M(CQ)=(CQ) t M(CQ)=P t MP, dode P = CQ M (K) y, por (1), det(p )=det(c)det(q) = 0. (6) Ecotrar criterios eficietes que permita decidir si dos matrices cuadradas cualesquiera so cogruetes, siedo K u cuerpo arbitrario, es u problema muy difícil. Por eso e lo que sigue supodremos que K = R o K = C y que las matrices ivolucradas so simétricas. Se dice que ua forma bilieal f Bil(E) essimétrica si f(u, v) =f(v, u) para cualquier par de vectores u, v E, y esto equivale a que su matriz M f (B) respecto de cualquier base B = {u 1,...,u } de E sea simétrica. E efecto, si f es simétrica, e particular f(u i,u j )=f(u j,u i ), luego M f (B) es simétrica. Recíprocamete, si sucede esto último y u, v E so vectores cuyas coordeadas respecto de B deotamos x =(x 1,...,x )e y =(y 1,...,y ), resulta que f(u, v) =xm f (B)y t =(xm f (B)y t ) t = ym f (B) t x t = ym f (B)x t = f(v, u). 2. Diagoalizació de formas bilieales simétricas A lo largo de toda la secció fijamos u cuerpo K de característica distita de 2, es decir, e el cuerpo K se cumple que = 0, u K-espacio vectorial E y ua forma bilieal simétrica f : E E K. Dados a 1,...,a K deotamos diag (a 1,...,a )la matriz diagoal de orde cuyo coeficiete de la fila i-ésima y la columa i-ésima es a i. Deotamos E = {e 1,...,e } la base estádar de K. Defiicioes y Proposició 2.1 (1) Se dice que dos vectores u, v E so cojugados (respecto de f) sif(u, v) = 0. (2) Para cada subespacio vectorial V de E el subespacio cojugado de V (respecto de f) es el cojuto V = {u E : f(u, v) =0 v V }, que es u subespacio vectorial de E. (3) Se dice que u vector u E es isótropo si f(u, u) = 0. Si u o es isótropo se dice que es aisótropo. Si u E es aisótropo, y E es u espacio de tipo fiito, la dimesió del subespacio cojugado de la recta vectorial L[u] es dim(e) 1.

7 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS 223 (4) Si f o es la forma ula existe algú vector aisótropo u E respecto de f. Demostració. (2) Este apartado se deduce de , pues V es itersecció de subespacios vectoriales de E. DehechoV = v V ker f(,v), y por el úcleo de ua aplicació lieal es subespacio vectorial. (3) U vector v E perteece al cojugado V de V = L[u] si y sólo si f(u, v) = 0, pues esta codició implica que f(λu, v) =λf(u, v) = 0 para cada λ K. Por tato V =kerf(u, ). Ahora bie, f(u, ) :E K es ua forma lieal o ula, pues f(u, u) = 0. Por tato ker f(u, ) = E, luego dim(ker f(u, )) dim(e) 1. Por otro lado, por , dim(ker f(u, )) = dim(e) dim(im f(u, )) dim(e) dim(k) =dim(e) 1, luego, fialmete, dim(v )=dim(kerf(u, )) = dim(e) 1. (4) Como f o es ula existe u, v E tales que f(u, v) = 0. Además, por ser f simétrica, f(u + v, u + v) =f(u, u)+f(v, v)+2f(u, v), es decir f(u + v, u + v) f(u, u) f(v, v) =2f(u, v) = 0, luego alguo de los tres escalares f(u + v, u + v), f(u, u) yf(v, v) es o ulo, o lo que es igual, alguo de los tres vectores u, v y u + v es aisótropo. Proposició 2.2 (Diagoalizació de las formas bilieales simétricas.) Dado u espacio vectorial de tipo fiito E, etoces existe ua base B de E tal que la matriz M f (B) de f respecto de B es diagoal. Demostració. Si f es ula, ada hay que decir, pues su matriz respecto de cualquier base es la matriz ula. Supoemos pues que f o es ula y razoamos por iducció sobre =dim(e). Si = 1, cualquier base de E os vale, pues las matrices cuadradas de orde 1 so todas simétricas. Supoemos el resultado probado para espacios de dimesió 1ylo probamos para espacios de dimesió. Como f es o ula existe, por (4) u vector aisótropo u E. SeaV el subespacio cojugado de L[u]. Por (3) dim(v )= 1, luego aplicado la hipótesis de iducció a la forma bilieal g = f V V : V V K existe ua base B = {u 1,...,u 1 } de V tal que M g (B ) es diagoal. Comprobemos que ua base de E es B = {u 1,...,u 1,u = u}. Para ello basta probar que los vectores de B so liealmete idepedietes y, como los de B lo so, es suficiete probar que u/ L[B ]=V. E caso cotrario existe λ 1,...,λ 1 K tales que u = λ 1 u λ 1 u 1, y así f(u, u) =f(u, λ 1 u λ 1 u 1 )=λ 1 f(u, u 1 )+ + λ 1 f(u, u 1 )=0,

8 224 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS lo que cotradice que u es u vector aisótropo. Además, como f(u, u i ) = 0 para cada 1 i 1, se tiee Mg (B M f (B) = ) 0, 0 f(u, u) que es ua matriz diagoal. Corolario 2.3 Si K = C es el cuerpo de los úmeros complejos y el espacio E es de tipo Ir 0 fiito, existe ua base B de E tal que M f (B) =,dodei 0 0 r M r (C) es la matriz idetidad de orde r =rg(f). Demostració. Por existe ua base B = {u 1,...,u } de E tal que M f (B )= diag (a 1,...,a ) para ciertos escalares a i C. El rago r de f es el úmero de a i s o ulos, y reordeado los vectores de la base B podemos supoer que a i =0si1 i r y a i = 0 para cada r +1 i. Empleado deducimos que para cada 1 i r existe b i C \{0} tal que b 2 i = a i. Defiimos vectores ω 1,...,ω E como sigue: ui /b ω i = i si 1 i r si r +1 i u i Estos vectores so proporcioales a los de B, luego B = {ω 1,...,ω } es base de E, y f(ω i,ω i )=f(u i /b i,u i /b i )=f(u i,u i )/b 2 i = a i /b 2 i = 1 para cada 1 i r, Ir 0 y f(ω i,ω j ) = 0 tato si i = j como si r +1 i = j. Así, M f (B) =. 0 0 Corolario 2.4 Dos matrices simétricas M,N M (C) so cogruetes si y sólo si rg(m) =rg(n). Demostració. Ya hemos probado e que si dos matrices so cogruetes tiee el mismo rago. Recíprocamete, supogamos que M y N so matrices simétricas co el mismo rago r, y cosideremos las formas bilieales f : C C C, (x, y) xmy t y g : C C C, (x, y) xny t. Se deduce de que M f (E) =M y M g (E) =N. Por otro lado, si r =rg(m) =rg(n) existe, por , bases B y B de C tales que Ir 0 M f (B) = = M 0 0 g (B ). Ahora, por (1), M = M f (E) M f (B) =M g (B ) M g (E) =N, luego M N por ser trasitiva la relació ser cogruetes.

9 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS 225 Observació 2.5 El símbolo M N empleado para expresar que M y N so cogruetes es equívoco, si o se idica el cuerpo K al que perteece los coeficietes de la matriz C M (K) tal que N = C t MC. Cosideremos por ejemplo las matrices M = y N = Ambas tiee rago 2, luego e virtud de so cogruetes como matrices e M 2 (C). Si embargo o so cogruetes como matrices e M 2 (R), es decir, o existe igua matriz C M 2 (R) co determiate o ulo tal que N = C t MC, ya que los determiates det(m) =1ydet(N) = 1 tiee sigos distitos, y ya hemos señalado e que los sigos de los determiates de dos matrices cogruetes e M (R) coicide.. 3. Ley de iercia de Sylvester Defiició y Proposició 3.1 (Ley de iercia de Sylvester) Sea E u R-espacio vectorial de dimesió fiita y f : E E R ua forma bilieal simétrica. Etoces, (1) Existe u etero 0 s r =rg(f) yuabaseb de E tal que M f (B) = diag(1, s)...,1, 1, r s)..., 1, 0, r)...,0) (3.1) (2) Si B es otra base de E tal que M f (B ) = diag(1,...,1, t) 1, r t)..., 1, 0, r)...,0), etoces s = t. Se dice que s =sig(f) eslasigatura de f. Demostració. (1) Se deduce de que existe ua base B = {u 1,...,u } de E tal que M f (B ) = diag(a 1,...,a ) para ciertos úmeros reales a i R. Elúmerodea i s o ulos es r =rg(f) =rg(m f (B ) y, reordeado los vectores de B si es preciso, podemos supoer que a i > 0si1 i s, mietras que a i < 0 para s +1 i r y a i = 0 para r +1 i. E virtud de existe úmeros reales positivos b 1,...,b r R tales que a i = b 2 i para 1 i s y a i = b 2 i para s +1 i r. Los vectores B = {ω 1,...,ω } defiidos por ui /b ω i = i si 1 i s si r +1 i u i costituye ua base de E, pues so proporcioales a los de B. Además, mietras que f(ω i,ω i )=f(u i /b i,u i /b i )=f(u i,u i )/b 2 i = a i /b 2 i = 1 para cada 1 i s, f(ω i,ω i )=f(u i /b i,u i /b i )=f(u i,u i )/b 2 i = a i /b 2 i = 1 para cada s +1 i r.

10 226 TEMA 46. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS Además f(ω i,ω j ) = 0 tato si i = j como si r +1 i = j, luego se cumple (3.1). (2) Demostraremos que s t. Hecho esto hemos termiado, pues itercambiado los papeles de las bases B y B se deduce que t s, luego t = s. Escribimos B = {ω 1,...,ω } y B = {v 1,...,v } y supoemos, por reducció al absurdo, que s>t. Cosideramos los subespacios vectoriales W = L[ω 1,...,ω s ] y V = L[v t+1,...,v ] del espacio E. Por las Fórmulas de la Grassma , dim(v W )=dim(v )+dim(w ) dim(v + W ) dim(v )+dim(w ) dim(e) =( t)+s = s t 1, luego existe u vector o ulo u = s c iω i y u = j=t+1 d jv j para ciertos úmeros reales c 1,...,c s,d t+1,...,d. Etoces, s s r f(u, u) =f c i ω i = c 2 i > 0 y f(u, u) =f d j ω j = d 2 j 0, y esto es ua cotradicció. j=t+1 j=t+1 Defiició y Proposició 3.2 (1) Para cada matriz simétrica M M (R) cosideramos la forma bilieal f M : R R R, (x, y) xmy t, y se llama sigatura de M, y se deota sig(m), a la sigatura de f M. (2) Las matrices simétricas M,N M (R) so cogruetes si y sólo si rg(m) =rg(n) y sig(m) =sig(n). Demostració. (2) Sabemos desde que si M N etoces rg(m) =rg(n). Además, si C M (R) tiee determiate o ulo y N = C t MC, existe ua base B de R tal que C = C(B, E), por lo que N = C(B, E) t M fm (E)C(B, E) =M fm (B), y se deduce de la Ley de iercia que sig(n) =sig(f M )=sig(m). Supogamos, recíprocamete que M y N tiee el mismo rago, que deotamos r, y la misma sigatura, que deotamos s. Por tato, existe bases B 1 y B 2 de R tales que E cosecuecia, M fm (B 1 ) = diag(1, s)...,1, 1, r s)..., 1, 0, r)...,0) = M fn (B 2 ). M = M fm (E) M fm (B 1 )=M fn (B 2 ) M fn (E) =N, y por ser trasitiva la relació ser cogruetes se cocluye que M N.