Tasa de Fallo y Variables Aleatorias sin Memoria

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1 Tasa de Fallo y Variables Aleatorias si Memoria M.A. Fiol Departamet de Matemàtica Aplicada IV Uiversitat Politècica de Cataluya fiol@mat.upc.es webpage: www-ma4.upc.es/~fiol Abstract Se estudia la llamada tasa de fallo de ua variable aleatoria, discreta o cotiua, y su relació co el cocepto de variable aleatoria si memoria. 1 Tiempo de espera codicioado Sea T ua variable aleatoria discreta o cotiua positiva co fució de distribució F T t para todo t. Por ejemplo, supogamos ue T represeta el istate e el ue falla u sistema o la duració de ua llamada telefóica ue se ha iiciado e t caso cotiuo; o el úmero veces uidades de tiempo ue hay ue lazar ua moeda hasta ue aparezca cara caso discreto. Por ello, T recibe ormalmete el ombre de tiempo de espera waitig time [2]. Supoiedo primero ue dicha variable aleatoria es cotiua, calculemos su fució de desidad codicioada f T T>t t, a partir del cálculo de la correspodiete fució de distribució usado la fórmula de la probabilidad codicioada 1 : F T T>t t P T t T>t P T t, T > t. P T >t Si t t, el umerador aterior es cero y, por tato, F T T>t t. E caso cotrario, t>t, se obtiee F T T>t t P t <T t P T >t F T t F T t 1 F T t t >t. 1 1 Recordar ue, dados dos sucesos A, B co P B >, la probabilidad de A codicioada a B se defie como P A B : P A B/P B. Derivado, obteemos la correspodiete fució de desidad, f T T>t t 2 Tasa de fallo f T t 1 F T t f T t f T t dt t 2 t >t. 3 Volviedo al ejemplo del sistema ue fucioa desde t, supogamos ue e u istate dado, digamos t, se observa y resulta ue está fucioado. Deseamos etoces teer ua medida de la probabilidad de ue el sistema falle e u peueño itervalo de observació t, t + t]. Es decir, iteresa coocer la probabilidad codicioada P t <T t+ t T>t. Esta medida os la da la llamada tasa de fallo codicioada βt ue,para t, viee a represetar la costate de proporcioalidad ue idica como aumeta la probabilidad aterior e fució de la duració de la observació t. E otras palabras, si t, βt t : P t <T t + t T>t 4 o, de forma euivalete, βt : lim t P T t + t T>t. 5 t Nótese ue, por defiició, el cociete aterior o es más ue la fució de desidad codicioada evaluada e t. Más precisamete, usado el teorema del valor medio para itegrales co ξ t, t + t, 1 t+ t βt lim f t t T T>t τ dτ t lim f T T>tξ f T T>t t +. 6 t 1

2 Si embargo, hay ue hacer otar ue, auue βt represete ua probabilidad por uidad de la variable, o se trata de ua fució de probabilidad, como se verá a cotiuació. Para deducir como está relacioadas βt y la fució f T t si codicioar, podemos desarrollar 5 o, a la vista de 6, usar directamete 2 y 3: βt F T t 1 F T t 7 f T t t f T τ dτ. 8 Itegrado ambos miembros de 7 etre y t, obteemos t βτ dτ l[1 F T t], 9 de dode 1 F T t e t βτ dτ y, por tato, las fucioes de distribució y de desidad de T para t> so, respectivamete, F T t 1 e t βτ dτ, 1 f T t F T t βte t βτ dτ. 11 A partir de la igualdad 9, otar ue, cuado t, F T 1 y, por tato, βτ dτ, lo ue idica ue βt o es ua fució de desidad, como cometábamos ateriormete. Recíprocamete, a partir de ua fució βt oegativa cuya itegral cumpla lo aterior, podemos cosiderar la variable aleatoria T co fucioes de distribució y de desidad dadas por e 1 y 11, respectivamete [1]. 3 Variable aleatoria expoecial U caso especialmete iteresate es cuado la tasa de fallo es costate, digamos βt λ; valor ue debe ser obviamete positivo λ>. E este caso, 1 y 11 da F T t 1 e λt t>, 12 f T t λe λt t>. 13 ue correspode a las fucioes de distribució y de desidad de ua variable aleatoria expoecial de parámetro λ. Recíprocamete, si T es expoecial co parámetro λ, 8 permite iferir ue la tasa de fallo es costate βt λ. Además, para dicha variable aleatoria, 1 y 3 permite calcular sus fucioes de distribució y de desidad codicioadas ue resulta ser: Es decir, F T T>t t e λt e λt e λt 1 e λt t f T T>t t λe λt t t >t, t >t. F T T>t t F T t t, 14 f T T>t t f T t t. 15 Por tato, la fucioes de distribució y desidad codicioadas resultar ser las correspodietes fucioes origiales desplazadas u valor t. Por ello, se dice ue la variable aleatoria expoecial o tiee memoria. La misma coclusió puede iferirse a partir del hecho de ue la probabilidad P t <T t + dt T > t o, euivaletemete, la tasa de fallo βt o depede de t. Recíprocamete, se demuestra ue si ua variable aleatoria T cotiua o egativa tiee ua fució de distribució ue cumple 14 para todo t, etoces T es expoecial. E efecto, a partir de 6 y 15 deducimos ue, para todo t t >, la tasa de fallo de T es costate: βt f T T>t t f T +, y, por tato, T es expoecial de parámetro λ : f T +. Como resume de esta secció, hemos demostrado el siguiete resultado: Proposicio 3.1 Sea T ua variable aleatoria cotiua y positiva. Eteces las siguietes afirmacioes so euivaletes: a T tieetasadefallocostateβt λ. b T es expoecial de parámetro λ. c T o tiee memoria: f T T>τ t f T t τ para todo τ. 2

3 4 Variable aleatoria geométrica Coceptos y resultados similares a los ateriores se puede obteer para ua variable aleatoria discreta positiva, ue sólo toma valores e los múltiplos de ua uidad de tiempo; por ejemplo, para t 1, 2, 3,... Nos limitaremos auí alcasomás iteresate de ausecia de memoria. Así, ispirádoos e los resultados de la proposició aterior, sea T ua variable aleatoria discreta, co fució de probabilidad P T k o ula e k 1, 2, 3,... y tasa de fallo costate. Es decir, para ua cierta costate λ, 1, se cumple: a P T k X >k 1 P T k T k λ. Nos iteresa etoces hallar b El valor de P T 1 y la fució de probabilidad P T k parak 1. c La fució de probabilidad codicioada P T T>k k e fució de P T k. Co respecto al puto b, teemos primero ue, para k 1, la codició a da P T 1 P T 1 T 1 λ. Por otra parte, para k>1, λ P T k T k P T k 1 P T k 1 P T k P T k de dode se obtiee la ecuació de recurrecia k 1 P T k λ 1 P T κ κ ue, cosiderada para los valores k y k 1, coduce alaigualdad k 1 k 2 P T k+λ P T κ λ P T k 1 + λ P T κ, κ κ Simplificado y aplicado recurretemete la primera igualdad obteida, P T k 1 λp T k 1 1 λ 2 P T k 2 1 λ k 1 P T 1 1 λ k 1 λ k >. Por tato, T es ua variable aleatoria geométrica co parámetros p : λ y : 1 λ. Desarrollemos ahora el puto c: De maera aáloga al caso cotiuo Secció 3, P T T>k k P T k T k P T k, T k P T k dode, si k < k, el umerador aterior es cero y P T T k k, mietras ue, si k k, obteemos P T T k k P T k P T k k 1 p κk κ 1 k 1 k 1 /1 k k p P T k k. Por tato, al igual ue co la expoecial, decimos ue la variable aleatoria geométrica o tiee memoria. 5 De la distribució geométrica a la expoecial y viceversa La variable aleatoria expoecial puede razoarse a partir de ua variable aleatoria geométrica mediate el siguiete proceso al límite. Sea T ua variable aleatoria geométrica co p : λ t, dode λ es ua cierta costate positiva y t represeta ua catidad muy peuea, t. Supogamos tambié ue T toma valores e k t, k 1, 2, 3,... co probabilidad P T k t p k 1 λ t1 λ t k k 1. Para obteer valores o triviales, debemos supoer tambié ue k de maera ue k t tiede a ua catidad fiita, digamos t. Etoces, 1 t P T k t f T t : λ lim 1 λt k k k λe λt ue correspode a la fució de desidad de ua variable aleatoria expoecial. Siguiedo el camio iverso, podemos obteer ua variable aleatoria geométrica X a partir de ua expoecial T de parámetro λ, cosiderado la fució de probabilidad P X k :P k 1 <T k, k 1, 2,... 3

4 cuyo cálculo, usado 12, da P X k F T k F T k 1 e λk 1 e λk e λk 1 1 e λ. Por tato, tal como preveíamos, X es ua variable aleatoria geométrica co p : 1 e λ y : e λ. 6 Mometos Por defiició, el mometo m ;X de orde 1 de ua variable aleatoria expoecial X se calcula mediate la itegral I :EX Itegrado por partes co u x, dv λe λx dx, se obtiee la recurrecia x λe λx dx. du x 1 v e λx I [ x e λx] + x 1 e λx dx I 1 1. λ Por tato, como I 1, resulta ue m ;X I! λ. E particular, la media, variaza y desviació típica de X resulta ser: m 1;X EX 1 λ, σ 2 X m 2;X m 2 1;X 1 λ 2, σ X 1 λ. E el caso discreto, co X ua variable aleatoria geométrica co parámetros p,, se obtiee resultados aálogos. Así, siguiedo la aalogía co el caso cotiuo, podemos hallar primero ua fórmula de recurrecia para la suma mometo m de orde S :EX k p k 1 k1 Ispirádoos e el caso cotiuo, sumamos por partes 2 co u k, u k k k, vk k 1 p k + k 1, vk k ; se obtiee la recurrecia S [ k k] 1 k k 1 1 k S p 1 1 [ ] S 1 S 2 + ±1. p 1 2 Por ejemplo, a partir de S 1, obteemos S1 1 p, S2 1 p [2S2 1] 1 [ ] 2 p p 1 +1 p 2, S3 1 p [3S2 3S1 + 1] p 3. Por tato, la media, variaza y desviació típica de X so ahora: m 1;X EX 1 p, σx 2 m 2;X m 2 1;X p 2, σ X p. 2 E el caso discreto la suma por partes se basa e la siguiete igualdad similar a la fórmula de la derivada de u producto uvk : ukvk uk 1vk 1 ukvk ukvk 1 + ukvk 1 uk 1vk 1 uk vk+vk 1 uk de dode, cuado sumamos etre los valores k a y k b, se obtiee b b uk vk [ukvk] b a 1 vk 1 uk. a a 4

5 Alterativamete, podemos llegar tambié al mismo resultado mediate u simple desarrollo de la suma iicial: S 1 1 k +1 1 p k 1 k p k 1 k 1 k 1 k +1 k +1 p k 1 1 k +1 p k k 1 S de dode S 1 1 S p 1 1 S 1 ue coduce a la misma recurrecia obteida e 16. Esto sugiere ue, e el caso cotiuo, ua maipulació similar debe coducir a la recurrecia 16. E efecto, se puede comprueba ue I lim x + ɛ ɛ λe λx dx ɛ I 1. λ Refereces [1] A. Papoulis, Probability, Radom Variables ad Stochastic Processes 2d editio, McGraw- Hill, New York, [2] G.R. Grimmet ad D.R. Stirzaker, Probability ad Radom Processes, Oxford Uiv. Press, New York,