ACADEMIA CASTIÑEIRA. Curso: TELEFS Asignatura: Cálculo I MADRID Profesor: Elisa Escobar

Transcripción

1 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar TEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD

2 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar FUNCIONES EALES ÍNDICE Deiició de ució Cotas y etremos de ua sucesió Sucesioes moótoas 3 Límite de ua ució: - Límites laterales - Etesió del cocepto de límite 4 Operacioes co límites 5 Iiitésimos e iiitos: - Iiitésimos equivaletes Aeo Tabla de iiitésimos equivaletes - Orde de u iiitésimos y de u iiito 6 Cotiuidad de ua ució e u puto 7 Discotiuidad de ua ució e u puto: - Tipos: Evitable Ievitable de ª especie o salto iito Ievitable de ª especie o salto iiito 8 Cotiuidad de ua ució e u itervalo 9 Operacioes co ucioes cotiuas 0 Teoremas de cotiuidad: - Teorema de Weierstrass - Coservació del sigo de ucioes cotiuas - Teorema del valor medio - Teorema de Bolzao - Teorema de mootoía y cotiuidad Cotiuidad uiorme Tema Límites y cotiuidad

3 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 3 Tema Límites y cotiuidad TEOÍA LíMITE DE UNA FUNCIÓN Sea ua ució deiida e u etoro reducido del puto a, se deie ite: l a l a ; : /, * * Si eiste límite éste es ÚNICO Límites laterales: - Límite lateral por la derecha: d d a l a l ; : /, * * - Límite lateral por la izquierda: i i a l a l ; : /, * * Etesió del cocepto de límite: M M M ; : /, 0 0 M M M ; : /, 0 0 L L : /, L L : /, K K K K K K : /, K K K K K K : /,

4 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar OPEACIONES CON LÍMITES Dado L y g L a a - Suma: g g L L a a a - Producto: g g L L - Cociete: a a g a a a L a g g L a - Valor Absoluto: L a a ; co g 0; I y L 0 - Logaritmos: log b log b log b L ; dode 0; L 0 ; b>0 a e a a - Epoecial: a e e g - Potecias: a L g L a L a 3 INFINITÉSIMO E INFINITO - Se dice que es u iiitésimo e =a 0 a - Se dice que g es u iiito e =a g a Iiitésimos equivaletes Dados las ucioes y g dos iiitésimos, éstos so equivaletes e =a a g ver Aeo 4 Tema Límites y cotiuidad

5 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar Orde y Parte Pricipal de u iiitésimo o de u iiito: - Orde : La comparació etre dos iiitésimos/iiitos da lugar al ODEN de u iiitésimo/iiito Si se quiere hallar el orde de u iiitésimo/iiito e =a se compara co el iiitésimo -a o co el iiito a ODEN DE UN INIFITÉSIMO EN =a k k 0 a a?, respectivamete, dode es el orde del iiitésimo/iiito Orde PATE PINCIPAL DE UN INIFITÉSIMO EN =a Si L L 0 a a L es u iiitésimo e =a L a a Por tato como: a a L ; co 0 para K 0 a K K a a 0 PATE PINCIPAL para a El segudo sumado es u iiitésimo de mayor orde se desprecia rete a la parte pricipal ODEN DE UN INIFITÉSIMO EN = k 0 k PATE PINCIPAL DE UN INIFITÉSIMO EN = IDEM 5 Tema Límites y cotiuidad

6 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar? Orde ODEN DE UN INIFITO EN =a k k 0 a a? Orde PATE PINCIPAL DE UN INIFITO EN =a Si L L 0 a a L es u iiitésimo e =a L a a Por tato como: a a L ; co 0 para K 0 a K K 0 para a a PATE PINCIPAL a El segudo sumado es u iiito de meor orde se desprecia rete a la parte pricipal ODEN DE UN INIFITO EN = k k 0? Orde PATE PINCIPAL DE UN INIFITO EN = IDEM Todo iiitésimo/iiito es EQUIVALENTE co su parte pricipal Dos iiitésimos/iiitos equivaletes tiee igual parte pricipal 6 Tema Límites y cotiuidad

7 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 4 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea ua ució, se dirá que es cotiua e =a,, a / : a ; a Es decir: a l a Por tato se tiee que cumplir estas 3 codicioes: a eista eista a a a l a a eista 3 a l a 5 DISCONTINUDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO o es cotiua e =a si o veriica algua de las tres codicioes ates idicadas, etoces se dice que e =a es discotiua Tipos de discotiuidad: Evitable: Eiste L pero o cumple: L a ó a a o está deiido e =a Se evita impoiedo que: a a Ievitable: preseta discotiuidad ievitable e =a si a o eiste o es 7 Tema Límites y cotiuidad

8 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar Hay dos tipos: - Ievitable de º especie o salto iito: L a pero a L L salto: L L L - Ievitable de º especie o salto iito: No eiste límite porque alguo o ambos de los límites laterales o eiste 6 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTEVALO Sea ua ució, se dirá que es cotiua e el itervalo I es cotiua e todos los putos del itervalo Puede ser cotiua e: - U itervalo abierto a,b es cotiua a, b - U itervalo cerrado a, b, si se veriica: - Cotiua e a,b 0 ; a, b - Cotiua e a + a a 3- Cotiua e a - b b 0 8 Tema Límites y cotiuidad

9 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 7 OPEACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Dado y g cotiuas e I - Suma: g es cotiua e I - Producto: g es cotiua e I - Cociete: g ; co g 0; a g - Valor Absoluto: es cotiua e I - Potecias: Si >0 I g : es cotiua e I es cotiua e I I - Composició de ucioes: Si g es cotiua e I y es cotiua e J co g I J g es cotiua e I 8 TEOEMAS DE CONTINUIDAD Dado y g cotiuas e I - g es cotiua e I - g es cotiua e I - g a ; co g 0; g I es cotiua e I So cotiuas para las ucioes: Poliómicas Seo y coseo Epoeciales: a ; a 0 3 Si es cotiua e b a, es acotada e a, b 9 Tema Límites y cotiuidad

10 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 4 Si y=g es cotiua e =0 y z=y es cotiua e y=y0 co y g g g cotiua e =0 0 0 Teorema de Weierstrass: Toda ució cotiua e u itervalo cerrado y acotado alcaza e él, al meos ua vez, sus etremos superior e ierior Coservació del sigo de ucioes cotiuas: Si es cotiua e =a y a 0 I a, a / a, a se veriica que tiee el mismo sigo que a Teorema del valor medio: Si es cotiua e b a, y a=a y b=b C A, B c a, b/ c C Teorema del Bolzao: Si es cotiua e a, b Y c a, b/ c 0 Siga Sigb Eiste al meos uo puede eistir más Teorema de mootoía y cotiuidad: F es cotiua e I y estrictamete moótoa creciete o decreciete la ució iversa - es cotiua y estrictamete moótoa e I 0 Tema Límites y cotiuidad

11 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 9 CONTINUIDAD UNIFOME X es uiormemete cotiua Si es uiormemete cotiua e Si es uiormemete cotiua e, /, I : ; a, b Es cotiua e a, b a, b Es cotiua e a, b Tema Límites y cotiuidad

12 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar ANEXO TABLA DE EQUIVALENCIAS DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES Fucioes reales: y = 0 Se ~ L ~ - Tg ~ Log ~ - Arcse ~ Arctg ~ - cos ~ L+ ~ L Log + ~ L a ~ La Arctg ~ e ~ ~ L a0 +a - + +a ~ a0 Logpa0 h ++a ~ h logp + p - ~ p P ~ térmio de meor grado Tema Límites y cotiuidad

13 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar EJECICIOS DEL TEMA FUNCIÓN-LÍMITES-CONTINUIDAD Límites de ucioes Eame Cocepto de límite de ua ució e u puto Aplicado la deiició, demostrar que 4 3 Hallar los límites de las siguietes ucioes: a Eame b Eero 0 c Eame d Eame e Eame se cos tg 3 L X 0 3 arcse arctg cos se g Eame cot g cos tg 0 sec h 3 Tema Límites y cotiuidad

14 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar i Eame 0 cot g 6 cos j Eame 4 EJECICIO POPUESTO Hallar los límites de las siguietes ucioes: a 6 5 b Eame c a L X 0 m arcse d Eame 5 se sea e a a cot g Eame g h cos 0 tg se 0 3 se 3 3 L i j 0 4 tg tg se cos 4 Tema Límites y cotiuidad

15 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar k Eame cos ec cot g 0 cos 0 l se Iiitésimos 5 Eame Cocepto de iiitésimos equivaletes e iiitos 6 Eame Comparar e 0 los siguietes iiitésimos cos, se 7 Idicar el orde de los iiitésimos siguietes: a = , iiitésimo e = b Eame cos se, iiitésimo e =0 Cotiuidad de ucioes 8 Estudiar la cotiuidad de las ucioes siguietes: a Eero 0 Determiar si la ució = b Eame L e = 0 e es cotiua e =0 9 EC-0-03 Estudiar el domiio y aalizar la cotiuidad de la ució l Aalizar la cotiuidad de la ució, Tema Límites y cotiuidad

16 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar EJECICIO POPUESTO Estudiar la cotiuidad de las ucioes siguietes: a Eame 3 e =0 b Eame Estudiar la cotiuidad de la ució c Eame E = 0 e e d Determiar si la ució = es cotiua e =0 e e Eame Estudiar la cotiuidad de tipo e e el puto =0 4 Si hay discotiuidades idicar su 3 5 Eame Aalizar la cotiuidad de la ució, Tema Límites y cotiuidad

17 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar SUCESIONES ÍNDICE Sucesió de úmeros reales Cotas y etremos de ua sucesió Sucesioes moótoas 3 Límite de ua sucesió iiita de úmeros reales - Etesió del cocepto de límite Límite iiito 4 Carácter de ua sucesió 5 Operacioes de límites de sucesioes covergetes Aeo Operacioes de límites iiitos 6 Iiitésimos e iiitos Iiitésimos e iiitos equivaletes Aeo Tabla de iiitésimos equivalete 7 Tema Límites y cotiuidad

18 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar TEOÍA DE SUCESIONES SUCESIÓN DE NÚMEOS EALES Es toda aplicació deiida: : N a Es u cojuto de úmeros reales, repetidos o o, umerables mediate ídices perteecietes al cojuto de N que e geeral sigue ua determiada ley COTAS Y EXTEMOS DE UNA SUCESIÓN SUCESIONES MONÓTONAS COTAS Y EXTEMOS - Cota ierior de - Cota superior de a todo m / N : m a todo M / N : M - Etremo ierior de Es el mayor valor de todas sus cotas ieriores - Etremo superior de Es el meor valor de todas sus cotas superiores SUCESIONES ACOTADAS Y MONÓTONAS - Sucesió acotada superiormete: Ua sucesió se dice que está acotada superiormete algú K / K; N dode K: Cotas superiores - Sucesió acotada ieriormete: Ua sucesió se dice que está acotada ieriormete si: algú k / k; N dode k: Cotas superiores - Sucesió acotada: Ua sucesió se dice que está acotada si lo está superior e ieriormete - Sucesió moótoa creciete: Ua sucesió es moótoa creciete cuado al meos a partir de u determiado valor de e adelate 8 Tema Límites y cotiuidad

19 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar - Sucesió moótoa decreciete: Ua sucesió es moótoa decreciete cuado al meos a partir de u determiado valor de e adelate - Sucesió oscilate: Cuado o es moótoa, es decir, i crece i decrece 3 LÍMITE DE SUCESIÓN INFINITA DE NÚMEOS EALES k, p N / p : a k De eistir límite éste es úico Etesió del cocepto de límite a sucesioes divergetes: k *, p k N / p k : k k *, p k N / p k : Ó k 4 CAÁCTE DE UNA SUCESIÓN Dado el a k CONVEGENTE DIVEGENTE OSCILANTE Toda sucesió iiita, moótoa creciete/decreciete y acotada tiee límite, siedo éste el etremo superior/ierior si es creciete/decreciete Toda sucesió creciete y acotada superiormete es CONVEGENTE Toda sucesió decreciete y acotada ieriormete es CONVEGENTE 9 Tema Límites y cotiuidad

20 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar 5 OPEACIONES DE LÍMITES DE SUCESIONES CONVEGENTES Dado k y y k - Suma: y k k - Producto: y k k - Cociete: y k k ; co y 0 y k 0 - Valor Absoluto: k - Logaritmos: log a log a log a k; dode 0 ; k 0 ; a>0 e - Epoecial: e e y - Potecias: k y k k 6 INFINITÉSIMOS E INFINITOS - Se dice que es u iiitésimo 0 Dados las sucesioes ver Aeo e - Se dice que es u iiito Dados las sucesioes e y dos iiitésimos, éstos so equivaletes y a b : log c! y dos iiitos, éstos so equivaletes y ; co a>0; b>0 y c> 0 Tema Límites y cotiuidad

21 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar ANEXO TABLA DE EQUIVALENCIAS DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES 0 se ~ l ~ tg ~ arcse ~ arctg ~ cos ~ l log ~ ~ a0 +a - + +a ~ a0 Logp h ++a ~ h logp a ~ l a e ~ p ~ p P ~ térmio de meor grado Tema Límites y cotiuidad

22 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar ANEXO OPEACIONES CON LÍMITES INFINITOS Suma: L L L L Idetermiacioes: ; Producto: * L * L * L * L * * * Idetermiacioes: 0 * ; * 0 Cociete: Cociete: k 0 0 k 0 0 k 0 0 k 0 0 Idetermiacioes: ; 0 0 y 0 0, 0,, todas ellas Idetermiacioes Tema Límites y cotiuidad

23 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar EJECICIOS DEL TEMA SUCESIONES Eame Deiir el cocepto de carácter de ua sucesió 3 Eame Deiició de límite de sucesió 4 Dada la sucesióa co a= 3 4, se pide: a Es acotada? Determiar el supremo, el íimo, el máimo y el míimo Es moótoa? b Demostrar que su límite es 3 c A partir de qué térmio de la sucesió, la dierecia etre los térmios de la misma y el límite, e valor absoluto, es meor que 0,5? 5 Dada la sucesióa co a= 3 4, se pide: a Comprobar si es acotada y moótoa, y demostrar que su límite es /3 b A partir de qué térmio de la sucesió, la dierecia etre los térmios de la misma y el límite, e valor absoluto, es meor que 0,00? 6 EJECICIO POPUESTO Calcular el límite de las siguietes sucesioes: a b 3 4 c EC 0-03 Para qué valores de a y b se veriica: 3 4 a b 3 d Tema Límites y cotiuidad

24 Curso:03-04 Carrera: Grados Mias-Eergía TELEFS Asigatura: Cálculo I 8040 MADID Proesor: Elisa Escobar e Eame 5 3 Julio g Eame a Eero 0 se a cos tg L se cos cos 4 h Eame cos 3 i j tg tg 3 3 tg 4 Tema Límites y cotiuidad