IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Colisiones Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A y B (-1 1) 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t A B t (1 5 putos) Para a, resuelva la ecuació matricial X A B Solució 1 a Sea las matrices A y B (-1 1) 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t A B t 1 a B A (-1 1) 0 1 (-1 -a+1), teemos -1 (B A)t -a+1 A B t 1 a 0 1 (-1 1 a 1)t a-1 1 Igualado miembro a miembro ambas epresioes teemos: -1 a-1, de dode a 0 -a+1 1, de dode a 0, por tato a 0 para que se verifique (B A) t A B t Para a, resuelva la ecuació matricial X A B 1 Para a, teemos A 0 1 Como det(a) A , eiste la matriz iversa A -1 (1/ A ) Adj(A t ) A t ; 1 - Adj(At ) 0 1, luego A -1 (1/ A ) Adj(A t 1 - ) (1/1) Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la epresió (I B), dode B A F1 - F (C I ) por tato A Multiplicado la epresió X A B por la derecha por la matriz iversa A -1, teemos X A A -1 B A -1 X I B A -1 X B A -1 La matriz pedida es X B A (-1 1) (-1 3) 0 1 EJERCICIO (A) Sea la fució f() (1 puto) Estudie la mootoía de f y halle los etremos relativos que posea (0 75 putos) Estudie su curvatura y calcule su puto de ifleió c) (0 75 putos) Represete la gráfica de la fució f Solució Sea la fució f() Estudie la mootoía de f y halle los etremos relativos que posea Mootoía Estudio de la primera derivada f () f() ; f () f () 0, teemos ( - 1), de dode 1 (doble) será el posible etremo relativo de f Como f (0) 3(0) (0) > 0, f() es estrictamete creciete ( ր ) e (-,1) 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Como f () 3() () > 0, f() es estrictamete creciete ( ր ) e (1,+ ) Por tato f es estrictamete creciete e R y o tiee i máimos i míimos relativos Estudie su curvatura y calcule su puto de ifleió Curvatura Estudio de la seguda derivada f () f() ; f () ; f () - f () 0, teemos - 0, de dode 1, que será el posible puto de ifleió f (0) (0) - - < 0, teemos que f() es cócava ( ) e (-,1) f () () - > 0, teemos que g() es covea ( ) e (1,+ ) Por defiició e 1 hay u puto de ifleió, que vale f(1) (1) 3 3(1) + 3(1) 1 c) Represete la gráfica de la fució f Teiedo e cueta el apartado ( y (, calculamos los putos de corte de f co los ejes, y vemos su comportamieto e Cortes: Para 0, puto (0,f(0)) (0,0) f() 0, ( ), de dode 0 y ± - 3, que o tiee solucioes reales, luego el úico puto de corte es (0,0) Le damos u par de valores a izquierda y derecha del 0 Para -1, f(1) (-1) 3 3(-1) + 3(-1) -7, puto (-1,-7) Para, f() () 3 3() + 3(), puto (,) Como ->- ( ) ->- ( 3 ) (- ) 3 -, e -, f vale - Como ->+ ( ) ->+ ( 3 ) (+ ) 3 +, e +, f vale + U esbozo de la gráfica es: -(-3) ± 3-4(3) EJERCICIO 3 (A) El 5% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (1 5 putos) Los dos sea o fumadores (1 5 putos) Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal Solució El 5% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: Los dos sea o fumadores Llamemos F, Fo y F C, a los sucesos siguietes, fuma, "fuma ocasioalmete" y "o fuma",

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua respectivamete Vemos que los sucesos so idepedietes Me pide p(dos o fumadores) p(f C F C ) p(f C ) p(f C ) Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal Me pide p(o fumador y fumador ocasioal) p(f C Fo) p(f C ) p(fo) EJERCICIO 4 (A) Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 1 de ellos so icorrectos (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 5%, para la proporció de balaces icorrectos (1 puto) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del %, el error de la estimació o sea superior a 0 0? Solució Sabemos que para la proporció poblacioal p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ, sigue ua N( p ɵ, ), y geeralmete escribimos ɵ p N( ɵ p, ) o ɵ p N( ɵ p, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció es: IC(p) p ˆ - z ˆ /,p + z / (a, dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Tambié sabemos que la proporció es ɵ p (a + /, el error máimo de la estimació es E z /, para el itervalo de la proporció Pero la amplitud del itervalo es b a z / E, de dode (z ˆ ˆ ˆ ˆ 1- α/ ) p q (z 1- α/ ) p q E (b /, por tato el tamaño míimo de la muestra es E (b Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 1 de ellos so icorrectos Obtega u itervalo de cofiaza, al 5%, para la proporció de balaces icorrectos Datos del problema: 00, ɵ p 1 00, ˆq 1 - pɵ , ivel de cofiaza 5% α, de dode α 0 05, es decir α/ 0 05/ 0 05 p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 75 viee, y que correspode a z 1-α/ 1, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: IC(p) p ˆ - z ˆ /,p + z / - 1' 00 00, + 1' (0 053; ) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del %, el error de la estimació o sea superior a 0 0? 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Datos del problema: ɵ p 1 181, ˆq, error E 0 0, ivel de cofiaza % α, de dode α 0 01, es decir α/ 0 01/ p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 5 o viee, las más próimas so 0 4 y 0 51 que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ ( )/ ˆ ˆ E p(1 p) ˆ ˆ (' 575) (z 1- α/ ) p q z /, teemos , por tato el tamaño E (0'0) míimo de balaces que hay que seleccioar es 14 OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 puto) Represete la regió del plao determiada por las siguietes iecuacioes: + 5y 15; + y ; 5 7y 4; 0 (1 puto) Halle los vértices de la regió aterior (0 5 putos) E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(,y) - - y + 3 y dode lo alcaza Solució y c) Dadas las iecuacioes: + 5y 15; + y ; 5 7y 4; 0, represete el recito que ita y calcule sus vértices Halle los vértices de la regió aterior E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(,y) - - -y + 3 y dode lo alcaza Las desigualdades + 5y 15; + y ; 5 7y 4; 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, + 5y 15; + y ; 5 7y 4; 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -/5 + 3; y - + ; y 5/7 - ; 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos 0 e y 5/7-, teemos y - y el vértice es A(0,-) y 5/7- e y - +, teemos 5/ , es decir 7 e y -1, y el vértice es B(-1,7) y -+ e y -/5+3, teemos -+ -/ , de dode 5 e y 1, y el vértice es C(5,1) 0 e y -/5+3, teemos y 3, y el vértice es D(0,3) Vemos que la regió factible es el polígoo coeo itado por los vértices del recito so: A(0,-), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3) Veamos el míimo de fució F(,y) - - y + 3 e el recito aterior, así como el puto dode lo alcaza El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió covea acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua evaluamos F e los putos ateriores A(0,-), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3) E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue F(0,) -(0) - (-) ; F(-1,7) -(-1) - (7) + 3 -; F(5,1) -(5) - (1) + 3 -; F(0,3) -(0) - (-3) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució f e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(-1,7) y C(5,1) por tato se alcaza e todo el segmeto BC EJERCICIO (B) ( + 1) si 1 Sea la fució f() 4 si > 1 (1 5 putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio (0 5 putos) termie sus asítotas, e caso de que eista c) (0 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa Solució ( + 1) si 1 Sea la fució f() 4 si > 1 Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio La fució ( + 1) es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e el itervalo (-,1) La fució 4 es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {0} (úmero que aula el deomiador), e particular e el itervalo (1,+ ) Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e 1 f() es cotiua e 1 si f(1) f(1) f() f() f() ( + 1) si 1 4 f() es derivable e 1 si f () ( + 1) () 4; f() f() 4, como so iguales f es cotiua e 1, es decir f es cotiua e R ( + 1) si < 1 ; teemos f () -4 si > 1 si > 1 f () ( + 1) () 4; f (), estamos viedo la cotiuidad de la derivada - 4 f () es derivable e 1, luego f es derivable e R {1} termie sus asítotas, e caso de que eista - 0 (1) -4, como so iguales teemos que f o La rama ( + 1) es ua fució poliómica, que sabemos o tiee asítotas La rama de 4/ es u trozo hipérbola, que tiee ua asítota vertical e 0 (úmero que aula el deomiador, pero o está e su domiio) porque 0/ 0/0 - -, y ua asítota horizotal e y 0 e +, porque + 0 4/ 4/(+ ) 0 +, y f está por ecima de la asítota Auque o lo pide u esbozo de la gráfica de f es: 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua c) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa El puto está e la rama f() 4/ La recta tagete e es y f() f () ( ) f() 4/, teemos f() 4/ f () -4/, teemos f () -4/() -1 A recta tagete pedida es y (-1) ( ), de dode y EJERCICIO 3 (B) Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos Se elige, al azar, u visitate del museo: (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? (1 puto) Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Solució Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos Se elige, al azar, u visitate del museo: Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? Llamamos A y B a los sucesos ser adaluz y ser adulto l problema teemos: El 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces p(a) 80% 0 8, El 55% so adaluces y adultos p(a B) 55% 0 55 El 17% de los visitates o so adaluces y adultos p(a C B) 17% 0 17 ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) 1 - p(b C ); p(b) p(a B C ) p(a) - p(a B) Me pide p(o sea adulto) p(b C ) p(a B C ) p(a) - p(a B), teemos 0 17 p(b A C ) p(b) - p(a B) p(b) 0 55, por tato p(b) , por tato p(b C ) 1 - p(b) Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Me pide p(si es adulto, sea adaluz) p(a/b) ( ) Luego p(a/b) p A B 0 55/ p(b) EJERCICIO 4 (B) (1 5 putos) termie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede etraer del cojuto {,,1} y calcule la variaza de las medias muestrales (1 puto) Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir?

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Solució termie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede etraer del cojuto {,,1} y calcule la variaza de las medias muestrales Supogo que el muestreo es co reemplazamieto Hay muestra co reemplazamieto de tamaño Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue i i i i i ( i ) N La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: k i 1 N i i 81 4 La desviació variaza de la distribució muestral de medias es: σ X ( ) i i 75 N - - () 3 Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N,, N k, y si 1,,, k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra 1 +, ++ k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,, k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N,, N k, es decir 1 k N1 N Nk N 1 E uestro caso N , teemos , teemos , teemos , teemos , luego hay 8 uidades de A 8, luego hay 3 uidades de B 4, luego hay 5 uidades de C 4, luego hay 4 uidades de D 7