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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la matriz A = 0 m-6 m (1 puto) Calcule los valores de m para que dicha matriz tega iversa. (2 putos) Haciedo m = 4, resuelva la ecuació matricial X A = ( 1 1). Solució Sea la matriz A = 0 m-6 m Calcule los valores de m para que dicha matriz tega iversa. Sabemos que la matriz a tiee iversa i det(a) = A 0. Calculamos el determiate de la matriz A, desarrollado por el adjuto de la tercera fila A = 0 m-6 m = (m+1)( + m - 6) - 2(6-0) + 0 = (m+1)(m - ) 12 = m 2-2m = m 2-2m Igualado a cero teemos m 2 -(-2)± m - 15 = 0, de dode m = 2 Por tato si m 5 y m -, A 0 y existe la matriz iversa A -1. Haciedo m = 4, resuelva la ecuació matricial X A = ( 1 1). = 2±8 2, luego m = 5 y m = Teemos la matriz A = 0-2, y hemos visto e el apartado ( que existe A -1. Por tato multiplicado por la derecha la expresió X A = ( 1 1) por A -1, teemos X A A -1 = ( 1 1) A -1 X I = ( 1 1) A -1, luego la matriz pedida es X = ( 1 1) A -1. Calculamos A -1 = 1/( A ) Adj(A t ) A = (4) 2 2(4) 15 = -7; A t = 1-2 2, Adj(A t ) =, por tato A -1 = (1/-7) Luego X = ( 1 1) A -1 = ( 1 1) (-1/7) = (-1/7) ( 1 1) = (-1/7) (7 0-7) = (-1 0 1) EJERCICIO 2_A Calcule las fucioes derivadas de las siguietes: 5x e (0 75 putos) f(x) =. (0 75 putos) g(x) = 4x.L(x +1). x - 1 c) (0 75 putos) h(x) = (x 2 1) (x + 2x ). d) (0 75 putos) p(x) = x+2 x-2. Solució Calcule las fucioes derivadas de las siguietes: 5x e f(x) = x - 1. g(x) = 4x L(x +1). c) h(x) = (x2 1) (x + 2x ). d) p(x) = x+2 x-2. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. ( f(x)+g(x)) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); f(x) = g(x) / f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ; 2 (g(x)) germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); (a x ) = a x.l(; ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) 5x 5x 5x 2 5x 2 e f(x) = x - 1 ; e (5) (x - 1) e (x ) e (5x - x - 5) f'(x) = = 2 2 (x - 1) (x - 1) g(x) = 4x L(x +1); g (x) = 4 L(x + 1) + (4x) x + 1 = 4 L(x + 1) + 12x x + 1 c) h(x) = (x 2 1) (x + 2x ); h (x) = (2x) (x + 2x) + (x 2 1) (x 2 + 2). d) p(x) = x+2 x-2 ; d) p (x) = 1 (x-2) - (x+2) 1-4 =. 2 2 (x-2) (x-2) EJERCICIO _A Parte I El partido A y el partido B cocurre a uas eleccioes e u muicipio dode el 55% de los votates so mujeres. Se sabe que el 40% de los hombres vota al partido A y el 50% al B. El 60% de las mujeres vota al partido A y el 20% al B. El resto de electores o vota. (1 puto) Halle la probabilidad de que ua persoa, elegida al azar, o vote. (1 puto) Sabiedo que ua persoa, elegida al azar, ha votado al partido A, halle la probabilidad de que sea mujer. Solució El partido A y el partido B cocurre a uas eleccioes e u muicipio dode el 55% de los votates so mujeres. Se sabe que el 40% de los hombres vota al partido A y el 50% al B. El 60% de las mujeres vota al partido A y el 20% al B. El resto de electores o vota. Halle la probabilidad de que ua persoa, elegida al azar, o vote. Llamemos M, H, A, B y No, a los sucesos siguietes, ser mujer, ser hombre, "vote partido A", vote partido B y "o vote", respectivamete. Datos del problema p(m) = 55% = 0 55; p(a/h) = 40% = 0 4; p(b/h) = 50% = 0 5; p(a/m) = 60% = 0 6; p(b/m) = 20% = 0 2. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Usado el Teorema de la Probabilidad total p(no vote) = p(no) = p(m).p(no/m) + p(h).p(no/h) = = Sabiedo que ua persoa, elegida al azar, ha votado al partido A, halle la probabilidad de que sea mujer. Aplicado el teorema de Bayes y el Teorema de la Probabilidad Total, teemos: p(m A) p(m) p(a/m) p(m/a) = = = (0 55) (0 6)/( (0 55) (0 6) + (0 45) (0 4) ) p(a) p(m) p(a/m) + p(h) p(a/h) = 0 /0 51 = 11/ EJERCICIO _A Parte II Los resultados de u test de sesibilidad musical realizado a los alumos de u Coservatorio se distribuye segú ua ley Normal de media 65 y desviació típica 18. (0 75 putos) Cuál es la distribució de la media muestral para muestras de tamaño 25? (1 25 putos) Para muestras aleatorias de tamaño 100, halle la probabilidad de que su putuació media germa.jss@gmail.com 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua esté compredida etre 6 y 67 putos. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,1), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ / Los resultados de u test de sesibilidad musical realizado a los alumos de u Coservatorio se distribuye segú ua ley Normal de media 65 y desviació típica 18. Cuál es la distribució de la media muestral para muestras de tamaño 25? Datos del problema: Distribució de la població X N(µ;) = N(65; 18); µ = 65; = 18; = La distribució de las medias muestrales es X N(µ ; ) = N(65 ; 25 ) = N(65; 6). Para muestras aleatorias de tamaño 100, halle la probabilidad de que su putuació media esté compredida etre 6 y 67 putos. 18 Datos del problema: Distribució de las medias muestrales es X N(µ ; ) = N(65 ; 100 ) = N(65;1 8). Me está pidiedo la probabilidad p(6 X 67) Luego p(6 X 67) = {tipificamos} = p( Z ) p(-1 11 Z 1 11) = 1'8 1'8 = p(z 1 11) - p(z -1 11) = p(z 1 11) (1 - p(z 1 11) ) = 2 p(z 1 11) 1 = {Mirado e la tabla} = = = 0 7. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B ( putos) Ua fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 00 coches. La empresa dispoe de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y sabe que la producció de cada muñeca ecesita horas de trabajo y reporta u beeficio de 10 euros, mietras que la de cada coche ecesita 6 horas de trabajo y reporta u beeficio de 15 euros. Calcule el úmero de muñecas y de coches que ha de fabricarse para que el beeficio global de la producció sea máximo y obtega dicho beeficio. Solució Ua fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 00 coches. La empresa dispoe de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y sabe que la producció de cada muñeca ecesita horas de trabajo y reporta u beeficio de 10 euros, mietras que la de cada coche ecesita 6 horas de trabajo y reporta u beeficio de 15 euros. Calcule el úmero de muñecas y de coches que ha de fabricarse para que el beeficio global de la producció sea máximo y obtega dicho beeficio. x = Número de muñecas. y = Número de coches teledirigidos. Fució Objetivo F(x,y) = 10x + 15y. (Beeficio muñeca 10 y beeficio coche 15 y ). Restriccioes: Dispoe de 1800 horas, cada muñeca ecesita horas y cada coche ecesita 6 horas: x + 6y 1800 La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 00 coches: x 200, y 00. germa.jss@gmail.com

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Se fabricará algua muñeca y algú coche: x 0, y 0 Las desigualdades x + 6y 1800; x 200, y 00, x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, x + 6y = 1800; x = 200, y = 00, x = 0, y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 00; x = 200, y = 00, x = 0, y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y = 0 y x = 200, teemos el puto de corte es B(200,0) De x = 200 e y = -x+00, teemos y = 200 y el puto de corte es C(200,200). De y = -x+00 y x = 0, teemos el puto de corte es D(0,00) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(0,0), B(200,0), C(200,200) y D(0,00). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 10x + 15y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores : A(0,0), B(200,0), C(200,200) y D(0,00). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 10(0) + 15(0) = 0; F(200,0) = 10(200) + 15(0) = 2000; F(200,200) = 10(200) + 15(200) = 5000; F(0,1600) = 10(0) + 15(00) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 5000 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(200,200), es decir el máximo igreso es de 5000 y se alcaza fabricado 200 muñecas y 200 coches. EJERCICIO 2_B (1 5 putos) Sea la fució f(x) = a/x + bx 2. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tega u extremo relativo e el puto (1,). (1 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = x Lx e el puto de abscisa 1. Solució Sea la fució f(x) = a/x + bx 2. Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tega u extremo relativo e el puto (1,). Como f tiee e el puto (1,) u extremo (aula la 1ª derivad, teemos que f(1)= (por puto) y f (1)= 0 (por extremo). f(x) = a/x + bx 2 ; f (x) = -a/x 2 + 2bx. De f(1) = a/(1) + b(1) 2 = a + b =. De f (1) = 0 -a/(1) 2 + 2b(1) = 0 -a + 2b = 0, de dode a = 2b. Etrado e la aterior teemos: a + b = 2b + b = b =, de dode b = 1 y a = 2. Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = x Lx e el puto de abscisa 1. germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua La recta tagete a g e x = 1 es y g(1) = g (1) (x - 1). g(x) = x Lx; g (x) = Lx + x (1/x) = Lx + 1 g(1) = 1 L1 = 0 y g (1) = L1 + 1 = = 1, y la recta tagete pedida es y - (0) = 1 (x - 1) = x - 1, es decir y = x - 1. EJERCICIO _B Parte I E ua ciudad, el 60% de los iños usa zapatillas deportivas, el 50% usa ropa deportiva y el 20% usa ambas predas. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que u iño, elegido al azar, o use igua de las dos predas? (1 puto) Si u iño usa zapatillas deportivas, cuál es la probabilidad de que o use ropa deportiva? Solució E ua ciudad, el 60% de los iños usa zapatillas deportivas, el 50% usa ropa deportiva y el 20% usa ambas predas. Cuál es la probabilidad de que u iño, elegido al azar, o use igua de las dos predas? Llamamos A y B a los sucesos usa zapatillas y usa ropa deportiva. Del problema teemos: p(a) = 60% = 0 6, p(b) = 50% = 0 5, p(ambas) = p(a B) = 20% = 0 2 ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(o use igu = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = = 1 - p(a B) = = 0 1. p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 9 Si u iño usa zapatillas deportivas, cuál es la probabilidad de que o use ropa deportiva? C pb ( A ) ( ) Me pide p(b C p(a) - p B A /A) = = = ( )/(0 6) = 2/ p(a) p(a) EJERCICIO _B Parte II El peso eto de las bolsas de almedras de ua determiada marca es ua variable aleatoria Normal co media µ, descoocida, y variaza 2 = 50 4 g 2. Se sabe que 5 bolsas, elegidas al azar, ha dado u peso total de 8652 g. (1 5 putos) Calcule u itervalo, co u ivel de cofiaza del 90%, para µ. (0 5 putos) A partir de qué ivel de cofiaza, el correspodiete itervalo para µ cotiee el valor 250 g? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, 2 2 z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. El peso eto de las bolsas de almedras de ua determiada marca es ua variable aleatoria Normal co media µ, descoocida, y variaza 2 = 50 4 g 2. Se sabe que 5 bolsas, elegidas al azar, ha dado u peso total de 8652 g. Calcule u itervalo, co u ivel de cofiaza del 90%, para µ. Datos del problema: 2 = 50 4; = (50 4) 7 099; = 5, x = 8652/5 = 247 2, ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = 0 10, es decir α = 0 10 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α = ( ) = 1 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = 7'099 7'099 = 247'2-1'645,247'2 + 1'645 ( , ). 5 5 A partir de qué ivel de cofiaza, el correspodiete itervalo para µ cotiee el valor 250 g? Datos del problema: Me da el extremo superior del itervalo = b = 250 = x+ z1 α, = 7 099, = 5. Teemos que 250 = x+ z1 α = z 1-α , es decir z 5 1-α = ( ) y mirado e las tablas vemos que p(z 2 ) = 1 - α = , por lo tato teemos que α = ( ) 2 = , luego el ivel de cofiaza pedido es = 1 - α = = = = 98 02%. germa.jss@gmail.com 6