LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
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- Alberto Márquez Moya
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1 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c. S l tid c. Por jmplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u scuci d úmros cd vz más próimos. Escribimos. c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c, pro mors qu c. S l tid c por l izquird. Por jmplo, l scuci: ;,;,8;,9;,99; Está ormd por úmros mors qu y cd vz más próimos. Escribimos. c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c, pro myors qu c. S l tid c por l drch. Por jmplo, l scuci: ;,;,;,;,; Escribirmos. Si c, tocs tom vlors vribls. Como coscuci l ució tmbié tom vlors vribls. El comportmito d cudo c, s prs sí: límit d cudo tid c por l izquird c c culquir vlor, por grd qu s. Cudo c, tom vlors cd vz más grds, llgdo suprr,9,99 c Cudo c, tom vlors cd vz más gtivos.,9, L Cudo c, tom vlors cd vz más próimos l úmro L. c,9,99,8,98
2 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. límit d cudo tid c por l drch c El sigiicdo s similr l dl y los comportmitos qu pud drs so idéticos los qu hmos visto pr c. c límit d cudo tid c c Es l comportmito d l ució cudo s proim c, si importr si s por l drch o por l izquird. Si L, dcimos qu L. c c Aálogmt, cudo los dos límits ltrls so + ó -. Si los dos límits ltrls o tom l mismo vlor, s dic qu o ist l. c c LÍMITES EN EL INFINITO Pr prsr qu tom vlors cd vz más grds, pomos +. S l tid más iiito. Por jmplo, si tom los vlors,,,,, dcimos qu +. límit d cudo tid más-iiito Cudo +, los vlors d crc cd vz más. Cudo +, los vlors d so cd vz más gtivos. L Cudo +, los vlors d so cd vz más próimos u úmro L.,87,9987, o ist Cudo +, los vlors d i crc i dcrc idiidmt, i s crc cd vz más igú úmro. Ls ucios trigoométrics prst st comportmito.
3 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. límit d cudo tid mos-iiito El sigiicdo s similr l dl qu hmos visto pr +. y los comportmitos qu pud drs so idéticos los LÍMITES: CASOS POSIBLES Límits iiitos cudo tid u úmro iito : Límits iitos l iiito: L L
4 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. Límits iiitos l iiito: OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES S y g dos ucios tls qu ist vlor rl o, tocs: y g y c u úmro rl, pud sr u PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES g g Sum Adició Opust g g Dirci g g Producto Multiplicció g g c g c g c c g Ivrs Cocit Producto por u úmro g g Costt Multiplicció por u úmro Compust Composició g Idtidd Potci Potcició
5 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. Ests rlcios so cirts simpr qu tg stido ls oprcios diids co úmros rls o ls diids l ñdir los lmtos + y -. E cso cotrrio o s posibl obtr l límit dl primr mimbro prtir d los límits dl sgudo. Cudo sto ocurr s dic qu l cálculo dl límit o stá dtrmido o s idtrmido. Est prsió, o sigiic qu l límit o ist o o s pud dtrmir, sio qu l plicció dirct d los torms tl y como stá ucidos s imposibl. Los csos d idtrmició so los siguits: Rciols k/, /,, -, / Epocils,, Si l clculr u límit s prst lguo d stos csos, covi trsormr l prsió d l ució otr quivlt l qu sí pud plicrs los torms d los límits. CÁLCULO DE LÍMITES A trvés d ls corrspodits gráics, rsult ácil comprdr los límits más scillos: FUNCIÓN CONSTANTE: =K FUNCIÓN IDENTIDAD: = K K ; K K ; K K ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL, є N, ; ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO, - є Z, co ; ; co ; ; ;
6 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. FUNCIÓN EXPONENCIAL, >,, >, < < ; ; ; ; FUNCIÓN LOGARÍTMICA log, > log, >, log, < < log log co ; log ; log log log co ; log ; log Cálculo d límits d u ució u puto. El límit d u costt, culquir puto, s ll mism: k k. El límit d u ució poliómic, =P, cudo, coicid co P. P P 8. El límit d u cocit d poliomios, =P/Q, cudo, coicid P/Q si P y Q. P P Q Q
7 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.7. Idtrmició L idtrmició / d ucios rciols dsprc dscompoido ctors l umrdor y l domidor y simpliicdo. b L idtrmició / d ucios co rdicls dsprc multiplicdo y dividido l ució por l prsió rdicl cojugd.. Idtrmició k/ El cso k/, k, o sul tomrs como idtrmido y qu l límit, si ist, s simpr + ó -. S clcul los límits ltrls; si so iguls, l ució ti límit + ó -; cso cotrrio o ist l límit. límit l ist No K. L idtrmició - d ucios rciols dsprc ctudo l oprció y rducido l dirci u úic prsió. 7. L idtrmició s rsulv trsormádols ls d tipo /. Ejmplos: 7 9 it l ist No K lím
8 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.8 Cálculo d límits l iiito. El límit d u poliomio cudo s ó - sgú qu l sigo dl coicit dl térmio d myor grdo s positivo o gtivo. Ejmplos: b c d 8 o ist Ejrcicios: d g b h c. Idtrmició L idtrmició dsprc dividido umrdor y domidor por l myor potci d. Podmos dr l siguit rgl pr hllr límits + d ucios rciols: P Q b m P Q b si si si gr do gr do gr do d d d P P P gr do gr do gr do d d d Q Q Q Tmbié podmos rsolvrlos tomdo úicmt los térmios d myor grdo tto dl umrdor como dl domidor. b m b m
9 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.9 Ejmplos 7. L idtrmició - L idtrmició - d ucios co rdicls dsprc multiplicdo y dividido l ució por l prsió rdicl cojugd. b L idtrmició - d ucios rciols dsprc ctudo l oprció y rducido l dirci u úic prsió.. L idtrmició s rsulv trsormádol u dl tipo.. Límits cudo - S clculrá l límit cudo d l prsió qu rsult d cmbir por l ució. Ejmplos:
10 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. El úmro S. Cuál s l límit d st ució cudo? Clculrmos lguos térmios: X,,78,79,7887,7889 Auqu cd térmio clculdo s myor qu los triors, l crcimito s t lto qu s rzobl psr qu s covrgt. Su límit s u úmro irrciol y s l ombr co l ltr : =,788 L prsió dl prétsis tid y l pot tid. Es dcir: Utilizdo st límit, podmos rsolvr idtrmicios d l orm: si y g, tocs: g, d l siguit mr: Fórmul obtid por l procdimito trior: Si y g, tocs: g g, tto si s u úmro rl como si s.
11 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. EJERCICIOS PROPUESTOS 8.- Clcul los siguits límits: SOLUCIONES: - / - -/ /9 / + 7 ¼ 8 9 LÍMITES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Clcul los siguits límits: º cos º tg s cos º s º cos s cos s cos s tg tg
12 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. ASÍNTOTAS Si, R, l rct =, s u sítot vrticl. Pr dtrmir si tid más o mos iiiito, =, hbrí qu clculr los límits ltrls y sí dtrmimos l posició d l curv rspcto l sítot. E ls ucios rciols s busc los vlors d qu so rícs dl domidor. Si b, br, l rct y = b s u sítot horizotl. Cálculo d sítots oblicus: Por sr u sítot oblícu tdrá por cució y = m +, dod m idic l pdit d l rct y l ordd l orig. m y m,. Los vlors d m y s obti clculdo los siguits límits: m y m Pr studir l posició d l gráic rspcto d ls sítots oblicus y horizotls clculmos los límits cudo d l dirci tr l ució y l sítot. Si l rsultdo s positivo, l ució stá cim d l sítot, y si s gtivo, stá dbjo. Si u ució ti u sítot horizotl, tocs o ti sítot oblicu. Ejmplos: L sítot vrticl d l ució s l rct =
13 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. L sítot horizotl d l ució s l rct y Posició d l gráic rspcto d l sítot: L gráic stá dbjo L gráic stá cim L sítot oblicu d l ució 8 s l rct y = m 8 Posició d l gráic rspcto d l sítot: 8 L gráic stá dbjo 8 L gráic stá cim Obsrvcios práctics crc d ls sítots horizotls y vrticls: - Ls ucios poliómics ti rms iiits, pro o ti sítots horizotls y tmpoco vrticls. - Ls rccios lgbrics ti sítot horizotl si l umrdor y l domidor ti l mismo grdo. E s cso, s l mism sítot por l izquird qu por l drch. - Ls rccios lgbrics ti tts sítots vrticls como rícs tg l domidor, slvo qu l umrdor tg lgu d ss rícs; tl cso covi, prvimt, simpliicr l rcció. - Ls prsios co rdicls pud tr dos sítots horizotls. - E grl, ls sítots vrticls so propis d prsios qu «s hc iiits» pr vlors iitos d.
14 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cotiuidd d u ució u puto: L id ituitiv d cotiuidd implic u vrició suv d l ució, si sltos bruscos qu romp l gráic d l mism. U ució y = s cotiu u puto = si s cumpl ls trs codicios siguits: L ució stá diid = ; s dcir, ist. b Eist l límit d l ució =. c Los dos vlors triors coicid, s dcir,. Si u ució o s cotiu u puto =, s dic qu s discotiu dicho puto. Algus rzos por ls qu u ució pud sr discotiu u puto so ls siguits: L cotiuidd o discotiuidd d u ució u puto ig str diid l ució él. Por jmplo, l ució = / o s cotiu o discotiu = y qu o stá diid. Si mbrgo, vmos hblr d discotiuidd s puto. Si os rstrigimos los vlors qu tom u ució l drch dl puto = o l izquird, s hbl d cotiuidd por l drch o cotiuidd por l izquird. Discotiuidds U ució ti u discotiuidd vitbl u puto cudo ist límit él y o coicid co l vlor d l ució l mismo o o stá diid. El vlor qu dbrímos dr l ució dicho puto pr qu ur cotiu él, s llm vrddro vlor d l ució l mismo. U ució ti u discotiuidd ivitbl u puto cudo ist los límits ltrls él y so distitos. El vlor s llm slto d l ució s puto, y pud sr iito, si s u úmro rl, o iiito. Ejmplos: si Qué sucd =? si
15 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. b = ; lugo l ució stá diid =. c Los dos vlors triors o coicid. ; lugo ist. Por tto, l ució ti u discotiuidd vitbl =. Pr qu l ució ur cotiu =, dbrí sr =. Podmos rdiir l ució ddo l ució l vlor =. Qué vlor dbmos dr l ució = pr qu s cotiu? L ució o stá diid =. Vmos cuál s l límit d l ució = : dbrí sr =. Pr qu l ució ur cotiu =, Cosidrmos l ució sigo d diid por: si sig si si Qué sucd =? sig y sig. Los límits ltrls o coicid. Lugo l ució ti u discotiuidd ivitbl l puto = d slto. Fucios cotius U ució s cotiu u itrvlo cudo lo s todos y cd uo d los putos dl itrvlo. S dic qu u ució s cotiu cudo lo s todos y cd uo d los putos d su domiio d diició. Ls oprcios co ucios cotius = d como rsultdo otr ució cotiu él, simpr qu tg stido l oprció. Etocs: tods ls ucios lmtls poliómics, rciols, pocils y trigoométrics so cotius todos los putos dod stá diids. Ls ucios diids trozos srá cotius si los putos d uió lo so, y cd ució s cotiu su trozo corrspodit.
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