1.- a) Hallar a y b para que la siguiente función sea continua en x = 1:

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María Luz Sevilla Olivares
hace 5 años
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1 .- a) Hallar a y b para qu la siguit fució sa cotiua = : b L( ) < f = a = > L b) Para sos valors d a y b, studiar la drivabilidad d f =. Solució: a) f s cotiua l puto = lim f = f() E st caso f () = a lim f = lim b L( ) = b L(5) LH lim f = b L(5) = b = lim f = lim lim = lim = L(5) L Por lo tato f s cotiua = a = y b =. L(5) L( ) < L(5) b) Para stos valors, f = =, s drivabl = f (). > L Esto s: L( ( )) () L(5) L(5 ) L(5) LH f f f = lim = lim = lim = L(5) LH 5 = lim = L(5) 5 L(5) f f L( ) f = lim = lim = lim L( ) () L L LH LH lim lim = = lim = Como f ( ) f ( ) / f () f o s drivabl =. Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

2 .- Dada la fució f =, allar l poliomio d Maclauri d grado y la prsió dl rsto d Lagrag corrspodit. Utilizar s rsultado para obtr l valor aproimado d, acotado l rror comtido dica aproimació. Solució: S plata la siguit aproimació poliómica: f ( θ ) f = P R = f() f () co < θ < (*)! f = f() = f = f () = f = f ( θ ) = / / ( ) ( θ ) Es dcir: = = / / ( θ)! 8( θ) Etocs, f() = P () = = y l rror qu s comt al acr sta aproimació: (*) / / Error = R () = 8( θ) = 8( θ) < 8.- Dada la fució f = : a) Hallar su domiio d dfiició. b) Calcular sus asítotas. c) Dtrmiar los putos d cort co los js coordados. d) Estudiar su crcimito-dcrcimito. ) Estudiar su cocavidad-covidad. f) Co la iformació obtida los apartados atriors, rprstar d mara aproimada la gráfica d dica fució. Solució: a) D = { } b) lim f = = = lim f y ± lim f = = = = asítota vrtical (por la izquirda) = = = asítota orizotal o ay asítota oblicua. Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

3 c) f = > D No corta l j OX. Si = f() = = corta l j OY (,). d) f = > ( ) D f crcit D ( ) ) f = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) =. (, ) f > f cócava (, /) f > f cócava ( /, ) f < f cova f =, s puto d iflió. Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

4 L.- Dada la fució f = : a) Calcular sus asítotas. b) Estudiar crcimito, dcrcimito y trmos rlativos. c) Aalizar cocavidad, covidad y putos d iflió. d) Dibujar d forma aproimada la fució. Solució: L > L y f = =. L < f ( ) = f, por lo tato s simétrica rspcto al j OY. a) D = { } lim f = = asítota vrtical. lim f = y = asítota orizotal. No ay asítota oblicua. ± b) Por sr la fució simétrica s ará l studio l itrvalo (, ). / L, crcit / f f > f = = = > /, f < f dcrcit Es dcir, máimo rlativo. / 5/6 5 6 L, 5/6 f f c) > f = = = > 5/6, f < f Es dcir, d) 5/6, 5 6 5/ puto d iflió. Y 5 6 5/ 5/6 X Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

5 5.- La curva y = f ti a la rcta y = como asítota oblicua ( > ). f Calcular la asítota orizotal d la curva y = ( > ). Solució: f lim = () y = por sr asítota oblicua. Etocs: lim f = () () f f f lim A LA lim L lim lim f = = = = () = lim f A y = = = s asítota orizotal. [ ] 6.- Sa la fució si a si < < f =. si b Calcular l valor d los parámtros a y b para qu f sa cotiua. Solució: < f s cotiua (por sr poliomio). (,) f s cotiua (valor absoluto). > f s cotiua b b. E = : f () = lim f = lim ( ) = f s cotiua a = a=±. lim f = lim a = a = a E = : 8 f () = b 8 lim f = lim = b b (baldi a= ) = lim = lim f = lim a (baldi a=) = lim = f s cotiua 8 = b = 6 b 8 = b = b Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla 5

6 Etocs, si a = y b = 6, o a = y Obsrvació: ) Para los valors b = 6 y b = f s cotiua. b =, b > f s cotiua tambié sos putos. ) Para los valors obtidos d los parámtros a y b, la rprstació aalítica d la fució cotiua f sría ua d las siguits: Si a = y b = 6, Si a = y b =, si si si < si < < f = = si < < si 6 si 6 si si si < < si < < f = = si si 7.- a) Hallar l dsarrollo sri d potcias d la fució idicado dód s válido. b) Calcular, si drivar, f (). f = arctg Solució: (*) ( ) / f = = = = = = 8 = = = (,) Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla 6

7 (*) Suma d sri gométrica, r = covrgt Es itgrabl l itrvalo [ ], (,) : = = < (,). π f f() = (,) f = (,) E l puto = f. E l puto = : f y s cotiua. π π cod. covrgt suma cotiua = = = π f =, = ( ] b) El dsarrollo sris d potcias obtido s la sri d Taylor d la fució f. f Esto s, l coficit d s ) (), por lo tato: ( )! ) f () =! ( ) Etocs, si = : f ()! = f () = =! 8.- Dada la fució f = : a) Hallar su domiio d dfiició. b) Calcular las asítotas. c) Aalizar l crcimito-dcrcimito. d) Rprstar aproimadamt. Solució: a) D = { } b) lim f = y lim f = = asítota vrtical cuado ±. lim f = y lim f = y = asítota orizotal cuado. Por lo qu o ay asítota oblicua cuado, pro pud istir cuado : f lim = asítota oblicua., f = = = = (,), f < f dcrcit (,), f < f dcrcit c) Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla 7

8 (, ), f > f crcit Por lo tato l puto, ay u míimo rlativo. d) Y X 9.- Sa la fució f = si L. Estudiar la cotiuidad (idicado si = l tipo d discotiuidad), drivabilidad y difrciabilidad d la fució f los putos = y =. Solució: Cotiuidad:: E = : f lim f = lim = = L lim f = lim = = L( ) Salto ifiito, discotiuidad ivitabl. E = : f () = Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla 8

9 lim f = lim = = L( ) lim f = lim = = L Es cotiua. Drivabilidad: E = como o s cotiua o s drivabl. E = : (*) f( ) f() f = lim lim = = L( ) (*) f( ) f() f = lim = lim = L( ) No s drivabl. Difrciabilidad:: E = y = al o sr drivabl o s difrciabl. ( LH ) / / lim = lim = lim = lim = L L / (*) ( LH ) / / lim = lim = lim = lim = L L / f =, idicado.- a) Hallar l dsarrollo sri d potcias d / l itrvalo abirto dod s válido. b) Calcular, si drivar, f () y f (). Solució: a) Dsarrollamos la fució mdiat l biomio d Nwto: / / / f = ( ) = ( ) = / <, = = b) El dsarrollo obtido s la sri d Taylor corrspodit a f, s dcir ) f (), por lo tato: =! / f () Si = : = f () = =! Y como todos los térmios dl dsarrollo so potcias pars d f () =. Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla 9

10 .- Hallar l dsarrollo sri d potcias d f L( ) s válido. Solució: =, idicado dód (*) = = f = L f = = = = (*) Suma d ua sri gométrica d razó r =. Covrgt, por tato, / r = < (, ) Lugo, f = (, ) = Y s itgrabl [, ], (, ) = : f f() =, ( ) = f = L, ( ) Si f cotiua =± L covrgt suma cotiua = Lugo, f = L, ( ) =.- Dada la fució f =, ( ) a) Rprstarla aproimadamt, aalizado prviamt su domiio, asítotas y crcimito-dcrcimito. b) Dsarrollar f sri d potcias, idicado l campo d covrgcia. c) Calcular la suma d la sri. = Solució: a) D = { } Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

11 lim f = = asítota vrtical lim f = y = asítota orizotal. Lugo o ay asítota oblicua. ± < f > f crcit f = D f f dcrcit > < y 5 b) D dos modos: - - b.) Sa (*) g = = (,) = (*) Suma d ua sri gométrica d razó r =, covrgt, por tato, / r = < Y s drivabl (,) : g = = f = = (,) ( ) = = Si = f Si = f o s covrgt = Etocs f = = ( ) (,) = b.) f (*) = = ( ) = (,) = (*) Dsarrollo dl biomio d Nwto. Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

12 Nota: (,) = = = = c) = f = = (**) = 8 (**) Como mos visto l apartado b), f = = (,) ( ) = Javir Bilbao; Olatz García; Migul Rodríguz; Cocpció Varla

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