REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
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- Sebastián Silva Toro
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1 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con los js coordnados: Los puntos d cort con l j OX s obtinn rsolvindo () =. El punto d cort con l j OY s obtin hacindo =, (simpr qu = prtnzca al dominio d dinición).. Signo d la unción, cuando s ()> y cuando ()<. S ha d tnr n cunta los puntos d discontinuidad y los puntos d cort d con l j OX.. Simtrías d la unción: Si s par o simétrica rspcto dl j OY s (- ) = () Si s impar o simétrica rspcto dl orign O s (- ) = - ().. Asíntotas: Vrticals: son las rctas = a, tals qu a. Los límits latrals n = c nos inorman d la posición d la curva rspcto d la asínto- ta. La curva no pud cortar a una asíntota vrtical. Horizontals: son las rctas y = b, tals qu b. La curva pud cortar a la asíntota horizontal. Como máimo pud habr dos asíntotas horizontals una a y otra a. Oblicuas: s una rcta d la orma y m n, dond: m y m n Como máimo pud habr dos asíntotas oblicuas, una a y otra a. La curva pud cortar a la asíntota oblicua. Si n uno d los sntidos, o, hay asíntota horizontal, ntoncs, n s mismo sntido no pud habr asíntota oblicua, pro pud qu si n l otro. Las uncions racionals tinn asíntota oblicua cuando l grado dl numrador s una unidad mayor qu l grado dl dnominador.. Crciminto-Dcrcimito: Signo d la drivada primra. Los posibls trmos rlativos s ncuntran n los puntos qu anulan la drivada primra. El studio dl signo d la drivada t ayudará a ncontrar los intrvalos d crciminto, dcrciminto, máimos y mínimos. Los intrvalos dond la drivada primra s: s crcint s dcrcint 7. Concavidad convidad y puntos d inlión. Los posibls puntos d inlión s ncuntran ntr los puntos qu anulan a la sgunda drivada. El studio dl signo d la sgunda drivada nos ayudará a ncontrar los intrvalos d concavidad, convidad y puntos d inlión: s cóncava s conva
2 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio R D Dom. Continuidad D C. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX,, El punto d cort con l j OY,. Signo d la unción,,,,,. Simtrías d la unción: ) ( ) ( No prsnta simtrías.. Asíntotas: Vrticals: s una AV Horizontals: no hay AH Oblicuas: s una rcta d la orma n m y, dond: n m m La rcta y = s asíntota oblicua.
3 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos signo signo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,, Ma, Min, 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. 9,,,,,9, signo signo los intrvalos d concavidad-convidad son:,, Puntos d in lión no hay puntos d in lión Los
4 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio Dom R. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX El punto d cort con l j OY. Signo d la unción,,,,. Simtrías d la unción:, No prsnta simtrías.. Asíntotas:, ( ) ( ) Vrticals: s una AV Horizontals: no hay AH Oblicuas: s una rcta d la orma y m n, dond: m m La rcta y = s asíntota oblicua. n
5 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. signo signo Puntos críticos Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,,,, Ma, Min, 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. signo signo,, Puntos d in lión no hay puntos d in lión Ejrcicio: R-
6 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo prsntar la unción. Dominio D Dom R,,,,,. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX no corta al j OX El punto d cort con l j OY,. Signo d la unción,,,. Simtrías d la unción: ( ) No prsnta simtrías. ( ). Asíntotas: Vrticals: s una AV s una AV Horizontals: y s una AH, sto s, l j OX Oblicuas: s una rcta d la orma y m n n ést caso no tin. 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra.
7 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Puntos críticos signo signo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,,,, Ma, 9 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. Puntos d in lión no hay puntos d inlión signo signo,,, Ejrcicio: Rpr- 7
8 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo sntar la unción. Dominio D Dom R,,,,,. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX, El punto d cort con l j OY,. Signo d la unción,,,,,,. Simtrías d la unción: Es impar o simétrica rspcto dl orign O.. Asíntotas: Vrticals: s una AV s una AV Horizontals: y s una AH, sto s, l j OX Oblicuas: s una rcta d la orma y m n n ést caso no tin. 8
9 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos no hay puntos críticos signo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,,, 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. signo signo,,,,,, Puntos d inlión 9
10 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Ejrcicio: Rprsntar la unción Dom R,,. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX. Dominio El punto d cort con l j OY no ist. Signo d la unción,,,,,,. Simtrías d la unción:,,. Asíntotas: no corta al j OY s impar o simétrica rspcto l orign O. Vrticals: s una AV Horizontals: no hay AH Oblicuas: s una rcta d la orma y m n, dond: : m La rcta y = s asíntota oblicua. m n 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos
11 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo no hay puntos críticos signo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,, 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. Puntos d in lión no hay puntos d inlión signo,, Ejrcicio: Rprsntar la unción Dom R,,,. Dominio
12 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX El punto d cort con l j OY. Signo d la unción,,,,,,. Simtrías d la unción:,. Asíntotas: Vrticals: Horizontals: no hay AH Oblicuas: s una rcta d la orma y m n, dond: : m n La rcta y = s asíntota oblicua. 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. s impar o simétrica rspcto l orign O. s una AV s una AV m
13 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Puntos críticos signo signo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,,,,,,,,,, M,, m,, 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. in Puntos d lión signo signo signo,,,,,, Ejrcicio: Rprsntar la unción Dominio Dom R,,
14 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Continuidad CD Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX El punto d cort con l j OY Signo d la unción,,, Simtrías d la unción: Asíntotas:, no prsnta simtría n Vrticals: s una AV Horizontals: no hay AH Oblicuas: s una rcta d la orma y m n, dond: m : m La rcta y = + s asíntota oblicua. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos
15 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,, m,,,, 7 signo signo signo Concavidad convidad y puntos d inlión.,,, Puntos d inlión n = hay un punto d inlión Rprsntar la unción Ejrcicio:
16 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Dominio Para qu sté bin dinido l tin qu sr. Para qu l cocint sté bin dinido, l dnominador no db anulars: Dom D,, Por lo qu l dominio d dinición s: Continuidad CD Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX : D El punto d cort con l j OY: Nocorta al j OX. D No corta al j OY Signo d la unción,, Simtrías d la unción: como tin qu sr No prsnta simtrías. - No ist ntoncs Asíntotas: Vrticals: ( candidatas = a sindo a un punto qu anula al dnominador, n st caso sría = ) s una AV Horizontals: studiamos l límit cuando
17 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Lugo No hay AH Oblicua: s una rcta d la orma y m n, dond: m m Lugo No hay asíntota oblicua. Estudimos l Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son: signo signo,, Para hay un mínimo Min,, Concavidad convidad y puntos d inlión. Puntos d in lión Los intrvalos d concavidad-convidad son: 7
18 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo,,, Puntod inlión para,,, Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio Para qu sté bin dinido l dnominador no db anulars: Por tanto D R. Continuidad CD. Corts con los js: R. Los puntos d cort con l j OX : El punto d cort con l j OY:,. (),. 8
19 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo. Signo d la unción,,. Simtrías d la unción: No prsntasimtría. Asíntotas: Vrticals: No tin pus CD Horizontals: Estudiamos l límit cuando y cuando Estudiamos l límit cuando t t t t t t t t No hay asíntota horizontal a izquirda, sto s, cuando Oblicua: s una rcta d la orma y m n, dond: m Lugo No hay asíntota oblicua. 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son: 9
20 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo,,, Para Para hay un mínimo Min hay un mínimo Ma,,,8 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. 8 Puntos d in lión 8,,8 Los intrvalos d concavidad-convidad son: 8,,8,8,,,, Puntod inlión Puntod inlión para,8 para,,,,78,8,,8
21 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Ejrcicio: Rprsntar la unción 9. Dominio Para qu sté bin dinido l dnominador no db anulars: 9. Por tanto R D. Continuidad D C. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX :,, 9 El punto d cort con l j OY: 9, 9 (). Signo d la unción,,,,,. Simtrías d la unción: No prsntasimtría 9 9. Asíntotas: Vrticals: candidata = AV? 9 Horizontals: Estudiamos l límit cuando cuando y 9
22 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Oblicua: s una rcta d la orma n m y, dond: 9 9 m Lugo No hay asíntota oblicua. 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. 7 9 Puntos críticos Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,, 7 hay un mínimo 7,, 7 7, Min Para 8. Concavidad convidad y puntos d inlión., in lión d Puntos Los intrvalos d concavidad-convidad son:
23 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo,,,,, Puntod inlión para,,,, 8 Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio Para qu la raíz cuadrada sté bin dinido l radicando db sr. D,, Por tanto. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX : El punto d cort con l j OY: D () no ist, no corta al j OY. Signo d la unción D. Simtrías d la unción:,, Simétrica rspctoal j OY
24 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo. Asíntotas: Vrticals: No tin Horizontals: Estudiamos l límit cuando (como s par) No hay AH Oblicua: s una rcta d la orma n m y, dond: n m n m La asíntota oblicua s d cuación y Como la unción s simétrica rspcto al j OY, la otra asíntota srá d cuación y 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos hay No D S tin qu D ) ( 8. Concavidad convidad y puntos d inlión.
25 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio Para qu sté bin dinido l dnominador no db anulars: D Para qu la raíz cuadrada ista l radicando db sr D,,. Continuidad CD. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX : El punto d cort con l j OY: (),,. Signo d la unción D
26 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo. Simtrías d la unción: No prsnta simtría. Asíntotas: Vrticals: candidata =? AV a drcha Horizontals: Estudiamos l límit cuando y cuando Estudiamos también l 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos no hay,
27 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 7 Ejrcicio: Calcular l siguint límit Ejrcicio: Rprsntar la unción. Dominio Para qu sté bin dinido l tin qu sr. Por lo qu l dominio d dinición s:, D Dom. Continuidad D C. Corts con los js: Los puntos d cort con l j OX:., j OX Nocorta al D El punto d cort con l j OY: j OY No corta al D. Signo d la unción,,. Simtrías d la unción: No prsnta simtrías.. Asíntotas: Vrticals:
28 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 8 Lugo = No s una asíntota a drcha. Horizontals: studiamos l límit cuando Lugo No hay AH Oblicua: s una rcta d la orma n m y, dond: como no hay horizontal y n y qudaría n m y m Lugo No hay asíntota oblicua. 7. Puntos críticos y signo d la drivada primra. Puntos críticos Los intrvalos d crciminto-dcrciminto son:,8, hay un mínimo,, Min Para 8. Concavidad convidad y puntos d inlión. in lión d Puntos Los intrvalos d concavidad-convidad son:
29 Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo 9,, para Puntod inlión,,,
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