lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2

Transcripción

1 Autovaluación Página 8 Calcula los siguints límits: a) lm í c m b) lm í ccotg m c) lm í sn d) lm í ( ) / 8 ln 8 8 ln ( cos ) 8 a) lm í 8 c ln ln H ( / ) lm í ( )ln 8 ln m lm í 8 H lm í / 8 b) lm í 8 dcotg d cos sn n lm í 8 n lm í cos sn H lm í8 sn H 8 sn sn cos H lm í 8 sn cos cos sn c) lm í sn H lm í8 cos H lm í8 sn 8 ln ( cos ) tg cos d) Tomamos logaritmos: lm í < ln ( ) F lm í 8 8 ln( ) Por tanto: lm í ( ) / 8 H lm í 8 a) Dada la siguint función: b f () a si si > halla los parámtros a b para qu sa drivabl n todo Á. b) Rprséntala. a) La función stá dfinida por intrvalos mdiant funcions polinómicas. Por tanto, para qu sa drivabl n Á, solo s ncsario comprobar su drivabilidad ( continuidad) n. lm í f () 8 lm í ( b) b 8 b a garantiza la continuidad a qu lm í ( a ) a 8 lm í f () f () 8 f ' () si < 8 f' ( ) a ; b a si > 8 f' ( ) a La función s f () si d n si > b) La primra part s un polinomio d trcr grado qu tin una rama infinita cuando. lm í d n 8

2 Puntos singulars:, En f ' < f ' > f ' < ha un mínimo rlativo n ha un máimo rlativo. La sgunda part s un polinomio d sgundo grado, con coficint principal ngativo. X Dada la función: f () a ln a) Halla l valor d a para qu f sa continua n Á. b) Calcula f ' () dond sa posibl. c) Halla f () d. a) lm í f () 8 lm í 8 lm í 8 ( ) ( a ln ) a si si > Tnmos qu a, a qu: lm í ( ln ) lm í ln H 8 lm í / 8 / 8 / lm í () 8 Cuando a s cumpl qu lm í f () f () la función s continua n. La continuidad 8 n los dmás númros rals stá asgurada por la dfinición d las dos ramas qu la forman. ( ) si < b) f '() ln si > No ist f '( ), lugo no s drivabl n. c) f () d G () d d Intgramos por parts: u 8 du d dv d 8 v

3 G () d I Volvmos a intgrar por parts para calcular I : u 8 du d dv d 8 v I d d G () ( ) ( ) f () d G( ) G( ) a) Estudia l crciminto d la siguint función: f () b) Dmustra qu la cuación tin una única solución ral localiza un intrvalo d longitud qu la contnga. c) Rprséntala. a) f '() Calculamos los puntos singulars: f '() No tin solución Como f '() > para cada, la función s crcint n Á. b) Considrmos la función n l intrvalo [, ]: f () s continua n Á, n particular, n l intrvalo antrior. f (), f () Por l torma d Bolzano, ist un valor c (, ) tal qu f (c). Esta s la solución ral d la cuación. Admás, s la única posibl dbido a qu la función s crcint n Á. c) La función corta al j vrtical n l punto (, ). f '' () f '' () En ha un punto d inflión porqu pasa d conva a cóncava., d n d n d n 8 Tnindo n cunta lo antrior, su gráfica s: X

4 . Rpr- Estudia las asíntotas los máimos mínimos d la función d cuación snta su gráfica. Asíntotas: No tin asíntota vrtical. Horizontal: lm í s asíntota horizontal cuando. 8 lm í 8 No tin asíntota oblicua: m Máimos mínimos: ' lm í 8 lm í 8 7 ; ' 7 Estudiamos l signo d ' : ' < ' > ' <, f ( ) 9, f b l / Máimo, 9 o (;,) Mínimo, / o (,;,) Rprsntación: X Considra la función f (). a) Dtrmina sus asíntotas studia la posición d la curva con rspcto a llas. b) Calcula sus trmos rlativos. c) Rprséntala gráficamnt. a) f () si < si > El dominio d dfinición s Á {}. Asíntotas vrticals: lm í a qu s un cocint d númros positivos. 8 La rcta s la asíntota vrtical. Asíntotas horizontals no tin.

5 Asíntotas oblicuas: Si >, La rcta s la asíntota oblicua cuando. f () > La función quda por ncima d la asíntota. Si >, La rcta s la asíntota oblicua cuando. f () > La función quda por ncima d la asíntota. b) f ' () ( ) si < ( ) si > f ' () 8, ( nosunpunto n l dominio dsta rama) 8 ( tampoco stá n l dominio),, (, ) s un mínimo rlativo., (, ) s un mínimo rlativo. f ' < f ' > f ' < f ' > c) X 7 Dada la función f () a b a para a, calcula a b para qu la gráfica d f pas por l punto (, ) tnga una asíntota oblicua d pndint. Rprsnta la función para los valors d a b obtnidos. f pasa por (, ) f () a b a La pndint d la asíntota oblicua s: m lm f () í 8 lm í a b 8 a a a a b 8 b Por tanto, f ()

6 Corts con los js: Ej X: f () Ej : f (), La rcta s la asíntota vrtical d la función. La asíntota oblicua s la rcta. Puntos singulars: ( ) f '() ( ) f '() 8 8 En ha un mínimo rlativo. 8 En ha un máimo rlativo. 8 o 8, 8 8, 8 8 f ' < f ' > f ' < f ' > 8 o 8, 8 X 8 Sa f () a b c d. Halla los valors d a, b, c d sabindo qu f () tin un trmo local n l punto d abscisa, qu l punto (, ) s un punto d inflión qu la pndint d la rcta tangnt n dicho punto s. Rprséntala. f () tin un trmo local n f ' () El punto (, ) s un punto d inflión f ( ) f ''( ) La pndint d la tangnt n s f '() f () a b c d f '() a b c

7 f '' () a b f ' () c f () a b d f '' () a b f ' () a b a b a b 8 a, b d d La función s f () Para rprsntar la función solo ncsitamos los corts con los js los puntos singulars. Corts con l j X: f (),, Con l j : f () Puntos singulars: f '() f '(), f ' > f ' < f ' > El punto (, ) s un máimo rlativo. El punto (, ) s un mínimo rlativo. X 9 En una circunfrncia d cntro O radio cm, s traza un diámtro AB una curda CD prpndicular a s diámtro. A qué distancia dl cntro O db star sa curda para qu la difrncia ntr las áras d los triángulos ADC BCD sa máima? Considrmos l dibujo: A C D O B 7

8 El ára dl triángulo suprior s: El ára dl triángulo infrior s: La difrncia d las áras s: ( ) ( ) ( ) ( ) f () ( ) ( ) con < < f '() f '() S pud vr fácilmnt, studiando l signo d la drivada primra, qu n l valor obtnido ha un máimo rlativo. La distancia dl orign a la qu db star la curda s d cm. Calcula a b para qu s puda aplicar l torma d Roll a la función: f () a b si si < n l intrvalo [, ]. En qué punto s cumplirá l torma? f db sr continua n. Por llo: lm í 8 lm í 8 a b a b a b f db sr drivabl n : f '() a b < < a b Rsolvmos st sistma d dos cuacions: a b a, b a b / f () ; f () f cumpl las hipótsis dl torma d Roll. Est dic qu si f s una función continua n [a, b ], drivabl n (a, b ) tal qu f (a) f (b), ist un c (a, b ) tal qu f '(c). Buscamos l punto dond s cumpl l torma: f () < f ' () 8 < En, s vrifica qu f ' d n. 8

9 Dada la función f () : a) Pruba qu ist algún α (, ) tal qu f ' (α). b) Podmos asgurar qu ist un β (, ) tal qu f (β)? c) Escrib la cuación d la rcta tangnt a f n l punto d abscisa. a) Calculamos primro la drivada d g () tomando logaritmos. ln g () ln 8 g' () g () f ' () (ln ) ln ln g' () (ln ) La función f ' () s continua cuando >. En particular, lo s n l intrvalo [, ]. f ' () ln < f ' () > Aplicando l torma d Bolzano a f ' () dducimos qu ist α (, ) tal qu f ' (α). b) La función s continua n l intrvalo [, ]. f () f () Aplicando l torma d los valors intrmdios (d Darbou), la función toma todos los valors comprndidos ntr. Lugo ist β (, ) tal qu f (β). c), f (), f ' () La rcta tangnt s ( ). Justifica si s pud aplicar l torma dl valor mdio a la función f () n l intrvalo [, ], n caso afirmativo, calcula los puntos dond s cumpl l torma. f () f ' () si si < si < 8 f' ( ) f '( ) f '( ) si > 8 f' ( ) Por todo lo antrior, la función s continua drivabl n Á. Por tanto, cumpl las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. f ( ) f ( ) Lugo ist c (, ) tal qu f '(c). ( ) 8 8 Son los valors dond s cumpl l torma. Calcula l valor d a > para qu l valor dl ára d la rgión dtrminada por la parábola f () a l j d abscisas, coincida con la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d f () n a. La pndint d la rcta tangnt n a s: f '() f '(a) a La parábola corta al j d abscisas n a n a. Por la simtría rspcto dl j, l ára s: a A ( a ) d a 9 G a a a 9

10 Como la pndint l ára son iguals: a a 8 a a ( nosunpunto qu cumpla a> ) a ( tampocosunpunto válido) Lugo a. Calcula las siguints intgrals: a) sn cos d sn b) d c) cos d sn a) sncos d ln ( sn ) k, porqu D [ sn ] sn cos sn b) d d d d d arc sn k c) I cos d cos sn d sn sn Hacmos l cambio d variabl u cos du sn d du sn d I u du du du u u u du u o I Dscomponmos n fraccions simpls: A B 8, u u u A B I du du ln u u u u k Sustituimos n I : I u I u ln u u k cos ln( cos ) ln ( cos ) k Sa f la función dfinida por la prsión: f () para ( ) sa F () la primitiva d f () cua gráfica pasa por l punto P (, ln ). a) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F () n l punto P. b) Dtrmina la función F (). a) Como F '() f () ( ) F '() f () La cuación d la rcta tangnt s: ln ( )

11 b) F () d ( ) Dscomponmos n fraccions simpls: A B C ( ) 8 A, B, C Por tanto, F () d ln ln k o F () ln ln k ln 8 k ln La función s: F () ln ln ( ) ln Calcula l ára limitada por la curva la rcta. Hallamos las abscisas d los puntos d cort:,, Calculamos la función difrncia h () G () ( ) d G (), G (), G () ( ) d G( ) G( ) Ára 8 u ( ) d G( ) G( ) 7 Halla l ára dl rcinto limitado por los js X la siguint función: f () Calculamos los puntos d cort con l j X : f () El problma consist n calcular l ára comprndida ntr l j X la función dsd hasta. G () d G () d d d d ln ( ) arc tg o ln ( ) ln π d arc tg G Ára ln π u