9 Aplicaciones de las derivadas

Transcripción

1 9 Aplicacions d las drivadas Página 69 Optimización B A P' Q' O Q T P Página 71 r a) y' = 0 x = 0 8 Punto ( 0 0) x = 1 8 Punto ( 1 1) En (0 0) hay un punto d inflxión. En (1 1) hay un máximo rlativo. b) y' = 0 x = 1 8 Punto ( 1 0) x = 8 Punto ( 1) x = 8 Punto ( 0) Hay un mínimo rlativo n ( 0) un máximo rlativo n ( 1) y un mínimo rlativo n ( 1 0). Página 75 1 Los puntos (0 5) y c 11 m son puntos d inflxión. 7 1 a) Rcta tangnt n (0 0): y = 8x Rcta tangnt n (1 ): y = 9x + 1 Rcta tangnt n ( 150): y = 11x b) Rcta tangnt n ( ): y = 5 x Rcta tangnt n ( 7): y = x c) No tin solución. d) y = x. Página 7 1 Si f (x) s dcrcint n x 0 ntoncs xist un ntorno d x 0 E = (x 0 a x 0 + a) tal qu si x E x x 0 ntoncs: fx () fx ( 0) < 0 x x Por tanto si f (x) s drivabl n x 0 s tin qu: f ' (x 0 ) = lm í x" x0 0 fx () fx ( 0) 0 x x a) f s crcint n ( 1) y n ( + ). b) f s dcrcint n ( 1 ). Página 7 x ( x 6) 1 y' = ( x ) x = 0 y' = 0 x = 6 En x = 0 hay un punto d inflxión. En x = 6 hay un mínimo rlativo. 0 Es cóncava n ( 0) c + m ya qu f ''(x) > 0. Es convxa n l intrvalo c0 m ya qu f ''(x) < 0. El punto ( ) s un punto d inflxión. La función s convxa n ( ) pus f ''(x) < 0. La función s cóncava n ( + ) pus f ''(x) > 0. Página 77 1 El númro buscado s x = 5. Los cattos midn 5 cm cada uno. El ára máxima s d 15 cm. El cuadrado d lado El cilindro tndrá radio 1 dm y altura d Página 79 1 y = sn x s drivabl (y por tanto continua) n todo Á. Admás f (0) = f (π) = 0. Cumpl la tsis n: x = π b =. Cumpl la tsis n (0 ). f (x) s drivabl n x = 1 y por tanto n l intrvalo ( 05; ) f ( 05) = 1 = f () Cumpl la tsis dl torma d Roll n x =. La drivada solo s anula n x = 1 y n x = 1. Supongamos qu f (x) tin dos raícs n [ 1 1] san c 1 y c. Por l torma d Roll como f (c 1 ) = f (c ) = 0 xistiría un c (c 1 c ) tal qu f '(c) = 0. Pro f '(x) solo s anula n x = 1 y n x = 1 hmos llgado a una contradicción. 70

2 Página 81 5 f (x) s continua n l intrvalo [ 6] y drivabl n ( 6). La tsis s cumpl n c = 9. 6 Cuando a = 0 y b = la función s continua n [ ] y drivabl n ( ). x = La tsis s cumpl n c =. 8 S cumpl la tsis n c = Página Por las hipótsis xist un ntorno E = (x 0 δ x 0 + δ) n dond f ' s ngativa. San x 1 y x dos puntos dl ntorno tals qu x 1 < x. f cumpl las hipótsis dl torma dl valor mdio n [x 1 x ] por tanto c (x 1 x ) tal qu: f( x) f( x1) = f '(c) < 0 f (x x x ) f (x 1 ) < 0 1 Es dcir f s dcrcint n x 0. f (x ) < f (x 1 ) '( ) '( ) '( ) f ''(x 0 ) = lm f x 0+ h f x 0 lm f x 0 + h í = í < 0 h80 h h80 h Si h < 0 ntoncs: f ' (x 0 + h) > 0 f s crcint a la izquirda d x 0 (1) Si h > 0 ntoncs: f ' (x 0 + h) < 0 f s crcint a la drcha d x 0 () Por (1) y () f prsnta un máximo n x 0 ya qu s crcint a la izquirda d x 0 y dcrcint a su drcha. Página 8 1 a) c = 5 (1 ) b) c = 1 (0 1) Hazlo tú. Los puntos d tangncia stán n la curva y son d la forma (a a a + ). x = f ( ) = 1 x = f () = Hazlo tú. y = 1 1 (x ) 9 Si P c 1 m; Q c0 m y R (6 0). El punto mdio dl sgmnto QR s: f p = c 1 m = P Por tanto P divid al sgmnto n dos parts iguals. Página 88 Hazlo tú. a) Es crcint n ( ) y ( + ). Es dcrcint n ( ); ( 0); (0 ) y ( ). b) Es crcint n (1 + ) y dcrcint n ( 5). Página 89 6 Hazlo tú. v = 78 km/h 7 Hazlo tú. El radio crc a una vlocidad d 8 mm/s. Página 90 8 Hazlo tú. El punto ( 1 ) s un máximo rlativo. 9 Hazlo tú. Los valors buscados son b = 1 y d =. Página 91 c) c = π bπ πl d) c = 6 Página 87 1 Hazlo tú. y = x 1908 (1 ) ln 11 Hazlo tú. r = π 1 Hazlo tú. h = 6 cm π La vla s un triángulo rctángulo isóscls cuyos cattos midn 71

3 Página 9 1 y = x + y = x No tin puntos d inflxión. La función s cóncava n ( 1) y (1 + ). Es convxa n ( 1 1). Alcanza l máximo absoluto n (1 1) y l mínimo absoluto n ( ln 7 ). El dominio d f (x) s Á y s continua n [1 ]. La función s drivabl n (1 ). Por l torma dl valor mdio xist un punto c (1 ) tal qu: f ' (c ) = 5 a) a = 1 f( ) f( 1) = 9 1 = 1 b) (0 0) s un mínimo rlativo. (11 ) s un máximo rlativo. Página 9 1 a) y = x π b) y = c) Rcta tangnt n ( 5) y = x + 7 Rcta tangnt n ( ) y = x + 1 d) y = 1 Rcta tangnt n (0 0): y = x Rcta tangnt n ( ): y x + 8 a) y = 1 b) y = 5 6 bx πl 6 c) En bπ + πk 1l con k Z la tangnt s: y = 1 En c π + πk 1m con k Z la tangnt s: y = 1 El punto s 1 o. La rcta tangnt n s punto srá: y = x 5 a) y = (x ) b) y = + 11(x + 1) 6 y = 71 1 cx 1 m x = f ( ) = ; x = f () = 1 8 Los puntos d tangncia son d la forma a a a o. a = f '( ) = ; a = f '() = a) y = 9 b) y = c) y = ( ) 10 a) Hay un mínimo n ( 0) y un máximo n (1 ). El punto ( ) s un punto d inflxión. b) Hay un mínimo n c Hay un punto d inflxión n (0 0) y otro n c 6 81 c) Hay un mínimo n c 7 16 Hay un punto d inflxión n (0 0) y otro n (1 1). d) Hay un mínimo n (0 0). No hay puntos d inflxión. ) Hay un máximo n (0 1). Hay un punto d inflxión n o y otro n o. f) Hay un mínimo n (0 1). Hay un punto d inflxión n c 1 11 a) Es crcint n ( 0) c0 m ( + ). Es dcrcint n c m ( ). Máximo n c 9 Mínimo n c 1 b) Es crcint n ( 1) ( 1 0). Es dcrcint n (0 1) (1 + ). Tin un máximo n (0 1). c) Es crcint n ( ) ( + ). Es dcrcint n ( 1) ( 1 1) (1 ). Máximo n o. Mínimo n o. Tin un punto d inflxión n (0 0). d) Es crcint n (1 ) ( ). Es dcrcint n ( 1) ( + ). Máximo n ( 9). Mínimo n (1 1). ) Es crcint n todo su dominio. f ) Es crcint n (0 ). Es dcrcint n ( 0) ( ) ( + ). Máximo n ( ). 7

4 1 a) Es convxa n ( 0) y cóncava n (0 + ). Tin un punto d inflxión n (0 ). b) Es cóncava n ( 1) (1 + ) y convxa n ( 1 1). Puntos d inflxión n ( 1 5) y otro n (1 5). c) Es cóncava. No tin puntos d inflxión. d) Es convxa n ( ) y cóncava n ( + ). Tin un punto d inflxión n c ) Es convxa n ( 1) y cóncava n ( 1 + ). No tin puntos d inflxión. f) Es convxa n ( 1 + ). 1 a) No hay ni un máximo ni un mínimo. Hay un punto d inflxión n (1 1). b) Mínimo n (1 ). Es cóncava n todo su dominio. c) Máximo n (1 ). Es convxa n todo su dominio. d) Punto d inflxión n (1 ). 1 a) El punto ( ) s un mínimo rlativo. b) El punto ( 1 1 ) s un mínimo rlativo. c) Los puntos d π + kπ n son máximos rlativos. Los puntos d 7π + kπ n son mínimos rlativos. d) El punto (0 0) s un máximo rlativo. 15 Ambas funcions son continuas y drivabls salvo quizás n los puntos dond s sparan los trozos porqu stán dfinidas por intrvalos mdiant funcions polinómicas. a) f (x) s drivabl n x = 1. g (x) s drivabl n x =. b) f (x) tin un mínimo rlativo n ( 1 ). g (x) tin un mínimo rlativo n c La función no tin ni máximos ni mínimos rlativos. Es convxa n l intrvalo ( 0) y cóncava n (0 + ). El punto (0 0) s un punto d inflxión porqu cambia d convxa a cóncava. Página 9 17 a =. El punto c 1 m s un mínimo rlativo. 18 a = ; b = 19 a = b = c = 1 0 a = b = c = 1 1 a = 1 b = c = 0 d = a= 1 b= c = d = 5 6 a = 1 b = 1 a = 6 b = 10 c = 1 5 a = b = c = 0 6 a = b = 7 c = 1. Hay un punto d inflxión n x = 1. 8 a) Si a = y b = 1 s continua y drivabl n Á. b) Estudiando l signo d la primra drivada n las proximidads d x = 1 obtnmos qu l punto (1 0) s un mínimo rlativo. 9 Es dcrcint n ( 1) y crcint n (1 + ). 0 x = 5 y = Rcta tangnt: y = (x + 5) x = y = Rcta tangnt: y = + (x ) 1 Solucions: y = 1 (x 1) y = x + x (x ) x= y= + * x= + y= Es crcint n ( 1) (1 + ). Es dcrcint n ( ) ( 1 1). Máximo n ( 1 ). Mínimo n ( 0) y n (1 0). Son los puntos dond f no s drivabl. 5 Máximo rlativo n (0 ). Mínimo rlativo n ( 0) y ( 0). 6 Los puntos son ( 0) y ( ). 7 α = 5 8 Los puntos buscados son ( 5) y ( 5). 9 a) La solución s l punto c1 15 b) y = 1 + 6(x + ) 0 a = / y = 1 + (x + ) 7

5 Página 95 1 a = 1 b = a) m = 5 n = p = 1 b) El xtrmo rlativo s un máximo. c) En x = 5 hay un mínimo rlativo. Y X 1 5 a) El mínimo rlativo s (0 1). b) El mínimo rlativo s ncsariamnt un mínimo absoluto porqu la función simpr dcrc a su izquirda y simpr crc a su drcha. 55 La distancia máxima s alcanza n ( 5 0) y (5 0). La distancia mínima s alcanza n ( 0) y ( 0). 56 a) Si llamamos x al ángulo qu forman las mancillas la altura dl triángulo sobr la mancilla mayor s a = sn x. El ára dl triángulo s A(x) = 6 snx = 1 sn x con x (0 π) para qu s puda construir l mismo. b) Las mancillas dbn sr prpndiculars para qu l ára sa máxima y ésta s d 1 cm. a) a = b = 1 b) No tin puntos singulars. En l punto ( 1 0) s alcanza la mínima distancia. 5 Hay un crciminto d 0 parts por millón a los años. 6 a) En t = hay un máximo rlativo. b) lm ( t t) l m t í + t = í + t = 0 x 8+ x 8+ t Est rsultado nos indica qu a partir dl instant la vlocidad d la partícula disminuy tndindo a parars cuando l timpo aumnta. 7 La cantidad mínima s alcanza a las horas y s aproximadamnt d 89 litros. 8 a) Es dcrcint n c 1 m y crcint n c 1 + f (x) s cóncava n Á. b) Es crcint n ( 0) y dcrcint n (0 + ). Como la sgunda drivada s positiva s cóncava n ( 0) y n (0 + ). 9 Su mínimo absoluto s l punto ( ln 5 5) y su máximo absoluto s l punto ( ln 10). 50 R = Los lados d la cartulina mdirán 0 cm y 10 c 5 La suma mínima s 8 y por tanto no pud sr mnor qu cm /s 57 Como V (r) s una función crcint su máximo s alcanza n r = y = 1 + ln + 1 (x ) Página a) A(x) = 60x 5x Dominio = (0 1) 6 b) El máximo d la función A(x) s alcanza n x = 6. El ára s d 0 cm. 60 El nvas db tnr la bas cuadrada d lado cm y 5 cm d altura. 61 El punto buscado s ncuntra a m d la bas situado sobr la altura. 6 El punto dl sulo db situars a 1 m dl post d 1 m (y a 18 m dl post d 18 m). 6 y = x + 6 m/s 65 La bas dl triángulo mid cm y la altura 6 c 66 c = 6 67 Hay dos puntos: x 0 = 5 1 y x 1 = f (x) s continua n [ 0] y drivabl n ( 0). Como f (x) cumpl las hipótsis dl torma dl valor mdio n [ 0] xist algún punto c ( 0) tal qu f '(c) = 1. Hay dos solucions: c 1 = 1/ y c =. 7

6 69 No xist ningún c tal qu f (x) cumpla las hipótsis dl torma d Roll n [0 c]. 70 f (x) no s drivabl n l intrvalo (0 π); y no podmos aplicar l torma d Roll. 71 f (5) = 7 a = b = 19. La tsis s cumpl n c = 9. 7 f (x) no s drivabl n l intrvalo ( 1 1); y no podmos aplicar l torma d Roll. 7 No s posibl si la función s drivabl. 75 a = b = 5 c = 1. La tsis s cumpl n x =. Página Por l torma d Roll xist un valor a (1 ) tal qu f ' (a) = a) V b) F c) V d) F ) V f) F g) V h) F 78 El máximo s alcanza n x = r. La distancia d C a la curda qu s la altura dl triángulo s: h = r + r = r. 79 d (t ) = 81 5t t d' (1) = 157 m/s 80 tg α(t ) = arc tg α'(t ) = t 00 9t 100t Autovaluación 1 x = π + k π con k Z. f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 1 Es crcint n los intrvalos ( 1) y ( + ). Es dcrcint n l intrvalo (1 ). f s convxa s ( ) y cóncava n ( + ). La función s crcint n : 0 π l c π πf y dcrcint n cπ π Máximo n bπ π/ l y mínimo n c π / π a) f s convxa n (0 / ). f s cóncava n ( / + ). Punto d inflxión: c / b) y = / (x / ) 5 a = 1 b = c = 0 d = 6 o 7 Radio = 6 cm Altura = = 6 cm 8 f no cumpl las hipótsis dl torma d Roll; por tanto no podmos asgurar qu xista un c ( ) tal qu f ' (c) = 0. m 75