SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO 01-1 Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Condra la función polinómica f : R R qu vin dada por la prón f ( ) a b c Dtrmina los valors d los parámtros a, b, y c sabindo qu la rcta normal (prpndicular) a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0 s y y qu l punto d inflión tin abscisa = 1. SOLUC: a = - b = 1 c = - Ejrcicio º.- Sa la función dfinida por f ( ) para 0 a) [1 punto] Halla, istn, los puntos d cort d la gráfica d f con los js d coordnadas y dtrmina sus asíntotas. b) [1 punto] Estudia y calcula los intrvalos d monotonía y los trmos rlativos d la función f. c) [0 5 puntos] Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) No hay puntos d cort con los js d coordnadas. AV: = 0 AH: No hay AO: No hay b) Crc: (-ω, -1) U (1, ω) Dcrc: (-1, 0) U (0, 1). MÁXIMO rlativo: (-1, -) mínimo rlativo: (1, ) Ejrcicio º.- (,5 puntos) Qurmos hacr junto a la carrtra un crcado rctangular para unos caballos. Cada mtro dl lado dl crcado qu stá junto a la carrtra custa 100 uros, mintras qu para l rsto dl crcado nos custa a 10 uros l mtro. Si sólo disponmos d 000 uros, cuáls son las dimnons dl prado d ára máima qu podmos crcar? SOLUC: Función a optimiza: ára dl prado A( ) ( 150 ) 150 ndo la longitud d cada lado parallo a la carrtra 1,6 m cada lado parallo a la carrtra y 75 m cada lado prpndicular a lla. Ejrcicio º.- S sab qu la función f : (-1,1) f ( ) R s drivabl n l intrvalo (-1, 1) y stá dfinida por: 1 k a) (0,5 puntos) Dtrmina l valor d la constant k. b) (0,5 puntos) Calcula la función drivada d f. c) (1,5 puntos) Halla las cuacions d las rctas tangnts a la gráfica d f qu son parallas a la rcta d cuación y = SOLUC: a) k = 1 b) f '( ) c) Rcta tangnt a la primra rama: 1 y Rcta tangnt a la sgunda rama 5 y

2 Ejrcicio 5º.- En la figura adjunta puds vr rprsntada part d la gráfica d una función f dfinida n l intrvalo (-, ) qu s métrica rspcto al j d coordnadas (mtría impar): a) (0,5 puntos) Razona cuál db d sr l valor d f(0). b) (1 punto) Complta la gráfica d f. c) (1 punto) Halla la prón d f () SOLUC: a) f(0) = 0 b) c) f '( ) Ejrcicio 6º.- Sa la función f dfinida por f ( ) para > 0 y 1 ln( ) a) [1 punto] Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. b) [1 punto] Estudia los intrvalos d monotonía y los trmos d la función f. c) [0 5 puntos] Calcula la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa =. SOLUC: a) AV: = 1 AH: No hay AO: No hay b) Crc: (, ω) Dcrc: (0, 1) U (1, ). Mínimo rlativo: (, ) c) Rcta tangnt: y Rcta normal Ejrcicio 7º.- (,5 puntos) Condra una función polinómica d trcr grado f : R R qu vrifica qu su gráfica pasa por l punto (-1, 0) y qu tin tangnt paralla al j OX n l punto (0, ). Sabmos también qu l coficint d trcr grado d la función s. Dtrmina la prón analítica d la función. SOLUC: a = - b = 0 c = Ejrcicio 8º.- S condra la función f :(, 1) R dfinida por: f ( ) a b a) (1,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu f s drivabl n todo su dominio. b) (1 punto) Halla la cuación d la rcta tangnt y normal a la gráfica d f n l punto d abscisas = 0. SOLUC: a) a = b = 1 b) Rcta tangnt: y Rcta normal y Ejrcicio 9º.- Condra la función 0 f :, R d la qu s sab qu f(1) = y qu la gráfica d su función drivada s la qu aparc n l guint dibujo:

3 a) (0,5 puntos) Halla la rcta tangnt a la gráfica d la función d f n l punto d abscisa = 1. b) (1 punto) Estudia los intrvalos d monotonía d la función f. En qué punto alcanza la función f su máimo? Razona s un máimo absoluto o rlativo. c) (1 punto) Estudia los intrvalos d concavidad y convidad d f y los puntos d inflión. SOLUC: a) Rcta normal y b) Simpr s crcint n (0, ). Tin un máimo absoluto n (, f()) c) Conva: (0, 1) U (, ) Cóncava: (1, ) Dos puntos d inflión: (1, ) y (, f()) Ejrcicio 10º.- (,5 puntos) S dsa construir un dpóto n forma d prisma rctangular d bas cuadrada n tapadra qu tnga una capacidad d 500 m. Qué dimnons ha d tnr l dpóto para qu su suprfici sa mínima? SOLUC: Función a optimizar: ára d las caras dl prisma A( ) ndo la longitud d cada lado d la bas dl prisma La bas dl prisma db mdir 10 m lado y la altura db sr d 5 m. Ejrcicio 11º. a) ( puntos) Calcula la intgral indfinida sn ( ) d b) (0,5 puntos) Calcula la intgral dfinida 0 sn ( ) d SOLUC: a) 1 sn ( ) d cos( ) sn ( ) cos( ) C b) sn ( ) d 0 Ejrcicio 1º.- (,5 puntos) Calcula la intgral indfinida 1 1 d Sugrncia: s pud hacr l cambio d variablt SOLUC: 1 d ln 1 C 1 Ejrcicio 1º.- (,5 puntos) Un rctángulo stá inscrito n un smicírculo d 5 cm d radio, d forma qu uno d sus lados stá contnido n l diámtro dl smicírculo y l lado opusto tin sus vértics sobr la smicircunfrncia. Calcula las dimnons dl rctángulo sabindo qu s l d mayor prímtro pobl. SOLUC: Función a optimizar: prímtro dl rctángulo P( ) 5 ndo la longitud d la bas dl rctángul. Dimnons dl rctángulo: cm d bas y 1 cm d altura.

4 Ejrcicio 1º.- Condra la función f : (0, ) R dfinida por f ( ) ln d) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). ) (1 punto) Halla las asíntotas d f. f) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) Crc: (0, ) Dcrc: (, ) MÁXIMO rlativo: 1 (, ) (dat cunta qu n ralidad s un máimo absoluto) b) AV: = 0 (sólo por la drcha) AH: y = 0 (sólo n + ) AO: No hay Ejrcicio 15º.- (,5 puntos) S sab qu la función f : R R s una función polinómica d trcr grado, qu su gráfica pasa por l punto (0,), qu tin un punto d inflión n l punto (1,) y qu la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa = 0 s horizontal. Dtrmina la prón d la gráfica d f. SOLUC: f ( ) Ejrcicio 16º.- a) ( puntos) Calcula la intgral indfinida Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t 1 d b) (0,5 puntos) Calcula la intgral dfinida 0 1 d SOLUC: a) d ln 1 C 1 b) d 1 ln( ), ( apro ) Ejrcicio 17º.- (,5 puntos) Sa g : R R la función dfinida por primitiva d g cuya gráfica pasa por l orign d coordnadas. SOLUC: ( 1) d ( 1) ( 1) C ( 1) 1 g ( ) ( 1). Calcula la Ejrcicio 18º.- S condra la función f : R R dfinida por f ( ) ( 1) c) (0,5 puntos) Halla las cuacions d las asíntotas d f. d) (1,5 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f y sus trmos (abscisas dond s localizan y valors qu s obtinn). ) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f SOLUC: a) AV: NO hay AH: y = 0 (sólo n + ) AO: No hay b) Crc: (1,) Dcrc: (-, 1)U(, ) MÁXIMO rlativo: (, )=(, 0,) Mínimo rlativo: (1,0) (dat cunta qu n ralidad s un mínimo absoluto) Ejrcicio 19º.- (,5 puntos) Un alambr d 10 mtros d longitud s divid n dos trozos. Con uno d llos s forma un triángulo quilátro y con l otro un cuadrado. Halla la longitud d dichos trozos para qu la suma d las áras sa mínima.

5 SOLUC: Función a optimiza: suma d las áras dl triángulo y dl cuadrado: A( ) ndo la longitud d cada lado 16 dl triángulo Longitud aproimada d cada trozo d alambr: 5,6 m para formar l triángulo y, m para formar l cuadrado. Ejrcicio 0º.- S condra las funcions f : R f ( ) a b y R y g : R R dfinidas por: g ( ) c. ( 1) S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (-1,) y tinn n s punto la misma rcta tangnt. a) ( puntos) Calcula los valors d a, b y c. b) (0,5 puntos) Halla la cuación d dicha rcta tangnt. SOLUC: a) a = 0 b = 1 c = b) y = - Ejrcicio 1º. a) (1,5 puntos) Calcula la intgral indfinida b) (1 punto) Calcula la intgral indfinida ( ) tg ( ) d 5 d SOLUC: a) d 5 ln 5 ln 5 C 5 b) ( ) tg ( ) d ln cos( ) C Ejrcicio º.- (,5 puntos) Calcula la intgral indfinida 1 d Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t 1 SOLUC: (1 ) 1 d 1 C 1 Ejrcicio º.- (,5 puntos) Tnmos qu fabricar dos chapas cuadradas con dos matrials difrnts. El prcio d cada uno d stos matrials s d y uros por cntímtro cuadrado, rspctivamnt. Admás sabmos qu l prímtro total d las dos chapas tin qu sr d 100 cm. Cómo hmos d lgir los lados d cada cuadrado qurmos qu l cost sa mínimo. SOLUC: Función a optimizar: cost dl matrial utilizado C( ) ndo la longitud década lado d la chapa d uros. Dimnons d las chapas: 15 cm d lado la primra y 10 cm d lado la sgunda. Ejrcicio º.- Condra la función f : R R dfinida por f ( ) ln( +1) a) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). b) (1,5 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión d abscisa ngativa. SOLUC: a) Crc: (0, ) Dcrc: (-,0) mínimo: (0,0) (dat cunta qu n ralidad s un mínimo absoluto) b) y ln 1 Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f : R R sabindo qu tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0 s la rcta y = f()= 1 1 SOLUC:: f ''( ) 1 y qu la rcta

6 Ejrcicio 6º. (,5 puntos) Calcula: 1 d ( )( 1) 1 d SOLUC: ( )( 1) 1 ln 0, 1 6 Ejrcicio 7º.- (,5 puntos) Sa la función f : R R dfinida por: f ) ( ( a) b c Calcula las constants a, b y c, sabindo qu la función f s drivabl n todo su dominio y qu la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa = 1 s paralla a la rcta d cuación y + = 0 SOLUC: a = c = 0 b = Ejrcicio 8º.- Sa f : R R la función dfinida por f ( ) a) (1 punto) En qué punto d la gráfica d f la rcta tangnt a sta pasa por l orign d coordnadas? Halla la cuación d dicha rcta tangnt. b) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto acotado qu stá limitado por la gráfica d f, la rcta tangnt obtnida y l j d ordnadas. y b) 6 A u SOLUC: a) P = (, ) Ejrcicio 9º.- Condra la función dfinida por f ( ) 1 1 g) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). h) (1 punto) Halla las asíntotas d f. i) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) Crc: (-, )U(, ) Dcrc: (-,-1)U(-1,1)U(1, ) mínimo: (, ) b) AV: = -1 y = 1 AH: NO hay AO: y máimo (-,- ) Ejrcicio 0º.- (,5 puntos) En l primr cuadrant rprsntamos un rctángulo d tal manra qu tin un vértic n l orign d coordnadas y l vértic opusto n la parábola y Dtrmina las dimnons dl rctángulo para qu su ára sa máima. SOLUC: Función a optimizar: ára dl rctángulo A( ) ndo la longitud d la bas. Dimnons dl rctángulo: 1 u la bas y u la altura. Ejrcicio 1º.- Sa I d a) (1 punto) Eprsa I hacindo l cambio d variabl b) (1,5 puntos) Calcula l valor d I. t SOLUC: a) I d dt b) I ln C t t

7 Ejrcicio º.- Sa la función f : R R y g : R R las funcions dfinidas mdiant: f ( ) ( ) y g ( ) a) (1,5 puntos) Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. Calcula los puntos d cort ntr ambas gráficas. b) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por ambas gráficas. SOLUC: a) P 1 = (-1, ) y P 1 = (, 8) b) 109 A u 6 Ejrcicio º.- Sa f : (0, ) R la función dfinida por f ( ) Ln( ) ( Ln dnota la función logaritmo npriano). a) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). b) (1 punto) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa SOLUC: a) Crc: 1 (, ) Dcrc: 1 (0, ) mínimo: 1 1 (,- ) b) y ( ) y. Ejrcicio º.- (,5 puntos) S quir construir un dpóto n forma d prisma d bas cuadrada n tapadra qu tnga una capacidad d 500 m. Qué dimnons ha d tnr l dpóto qurmos qu su suprfici sa mínima. SOLUC: Función a optimizar: ára d las caras dl dpóto 000 A( ) ndo la longitud d cada lado d la bas cuadrada. Dimnons dl dpóto: 10 m cada lado d la bas y 5 m la altura. Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f : 0, R tal qu f '' un tangnt horizontal n l punto P 1, 1. SOLUC: f ( ).ln( ) 1 y su gráfica tin R y g : (0, ) R dfinidas por: sn ( ) f ( ) g ( ). ln( ) cos ( ) a) (1,5 puntos) Halla la primitiva d f qu toma l valor 1 cuando = 0. (puds hacr l cambio d variabl t = cos ()). Ejrcicio 6º. Condra las funcions f : (0, ) b) (1,5 puntos) Calcula g ) d (. SOLUC: a) F ( ) b) G ( ) ln( ) C cos ( ) 16

8 Ejrcicio 7º.- (,5 puntos) Sa la función f : R R dfinida por: f ( ) a b c y cuya gráfica stá n la figura d la drcha. Dtrmina los valors d las constants a, b y c. SOLUC: f ( ) (s pobl qu algunos alumnos confundan algunos puntos d la gráfica porqu cran intuirlos, pro solo hay qu utilizar aqullos qu, n ninguna duda, stán rprsntados n la gráfica dada). Ejrcicio 8º.- Sa f : R R la función dfinida por f ( ) a) (0,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = -1/. b) (0,5 puntos) Dibuja l rcinto limitado por la gráfica d la función f, la rcta tangnt obtnida n apartado antrior y l j d ordnadas. c) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto antrior. SOLUC: a) y c) u Ejrcicio 9º.- Condra la función f : R R dfinida por 5 8 f ( ) 1 a) (0,5 puntos) Calcula los puntos d cort d la gráfica d f con los js d coordnadas. b) (0,5 puntos) Halla las asíntotas d f. c) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) Ej : (-8/5, 0) Ej y: (0, 8) b) AV: No hay. AH: y = 0 por ambos lados AO: No hay. c) Intrvalo d crciminto: (-, -1/5) Intrvalos d dcrciminto: (-, -) U (-1/5, ) Punto Máimo: (-1/5, 5/) Punto mínimo: (-, -1) Ejrcicio 0º.- (,5 puntos) D un trrno s dsa vndr un solar rctangular d m dividido n trs parclas iguals como las qu aparcn n l dibujo. Si s quirn vallar las linds d las trs parclas (los bords y las sparacions d las parclas), dtrmina las dimnons dl solar para qu la longitud d la valla utilizada sa mínima. SOLUC: El solar tin 160 m d largo y 80 m d ancho Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Calcula: 10 1 d SOLUC: ln 1 ln C

9 Ejrcicio º.- (,5 puntos) Sa la función : f R R dfinida por f() = a + b + c + d s sab qu: tin un máimo n = -1, su gráfica corta al j OX n l punto d abscisa = -, tin un punto d inflión n = 0 y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = tin d pndint 9. Calcula la prón analítica d la función f. SOLUC: a = 1 b = 0 c = - d = f() = - + Ejrcicio º.- S sab qu las dos gráficas d la figura adjunta corrspondn a la función f ( ) y a su función drivada f '( ) a) (1 punto) Justifica, razonadamnt, cuál d llas corrspond a f() y cuál a su función drivada f (). b) (1,5 puntos) Calcula l ára d la rgión sombrada. SOLUC: a) Tanto f ( ) como f '( ) ( ) 6 1,1879 u por l punto (-,0) b) Ejrcicio º.- Condra la función dfinida por pasan por l orign d coordnadas (0,0), pro sólo f '( ) ( ) pasa 1 f ( ) 0 a) (0,5 puntos) Halla las asíntotas d f. b) (0,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión. d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: = 0; AH: NO hay; AO: y = b) Crc: (-, 1)U(1, ) Dcrc: (-1,0)U(0,1) mínimo: (1,1) máimo (-1,-) c) Conva: (-, 0) Cóncava: (0, ) NO hay PI