CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N Introducción Reducción de orden
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- Ángela Páez Navarrete
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1 APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión dl tipo ( ) La cuación antrior s dic scrita n forma normal cuando tnmos: ( ) 5.. Rducción d ordn Est método consist n rducir l problma d rsolvr una cuación difrncial d sgundo ordn a un problma d rsolvr una o más cuacions difrncials d primr ordn. asos a considrar 5... Ecuacions qu no continn la variabl. Sa la cuación ( )=. Hacindo, s dduc. Por tanto la cuación difrncial dada s transforma n la cuación difrncial d primr ordn f,p,p Rsolvindo sta cuación s obtin p, d dond finalmnt, s tin p d Φ,, 5... Ecuacions qu no contin la variabl. Sa la cuación ( )=. Hacindo, s tin d dp d p d d d dp d La cuación dada s transforma n dp f,p,p d Rsolvindo sta cuación s obtin p, d dond postriormnt s obtin
2 Φ,, 5.. Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn La cuación linal gnral d sgundo ordn pud scribirs n la forma stándar P Q R En la cual P(), Q(), R() son funcions conocidas Torma.D istncia unicidad para l problma dl valor inicial San P, Q, R funcions continuas n un intrvalo I sa valor inicial I. San, dos númros rals cualsquira. El problma dl P Q R,, tin solución única dfinida n I 5.4. Ecuacions difrncials linals homogénas d sgundo ordn La cuación linal gnral d sgundo ordn P Q R s homogéna, si R() =, I P Q Torma. San vrifica, solucions d la cuación linal homogéna n un intrvalo I. Entoncs s. s una solución n I. Para cualquir constant c, c s una solución n I
3 Las rlacions () () s pudn combinar d la forma siguint. Si cuación antrior c c, s una solución para dos constants cualsquira son dos solucions d la Dfinición. Las solucions, númros rals no todos nulos tals qu son linalmnt dpndints n un intrvalo I si istn dos c +c = Si la rlación antrior solamnt s vrifica si c =c = ntoncs, son linalmnt indpndints. Las solucions, forman un sistma fundamntal d solucions si son linalmnt indpndints Torma. Estudio dl wronskiano para la indpndncia linal Sa la cuación homogéna d sgundo ordn ( ) ( ), san, solucions d la cuación difrncial dada n l intrvalo I. S dmustra qu si l Wronskiano d [, ] qu vin dado por l dtrminant W, s distinto d cro, ntoncs, son linalmnt indpndints Torma 4. San, solucions indpndints d: ( ) ( ) n un intrvalo I. S dmustra qu toda solución d la cuación difrncial s d la forma = c +c, sindo c, c constants. La combinación linal: c +c s la solución gnral d la cuación difrncial si, son linalmnt indpndints. Esta solución contin todas las posibls solucions d la cuación difrncial Obtnción d una sgunda solución a partir d una solucion conocida. Sa la cuación linal homogéna d sgundo ordn ( ) ( ) Supongamos qu s conoc una solución d la cuación difrncial. S trata d buscar una sgunda solución linalmnt indpndint d la forma ()= u() ()
4 alculmos, sustituamos n la cuación difrncial, s tin ntoncs P u P Q u u omo P Q. La nuva cuación difrncial srá P u u Hacindo, la cuación difrncial dada s transforma n p P p Ecuación linal d dond obtnmos p. A continuación s calcula u n función d p, con lo cual ()= u() () s una solución d la cuación difrncial original, sindo, linalmnt indpndints a qu u() no s constant. Por tanto, forman un conjunto fundamntal d solucions d la cuación original. La solución gnral s d la forma = c + c 5.5. Ecuacions difrncials d sgundo ordn con coficints constants Esta cuación s d la forma ( ) Supongamos q () =. Esta cuación tin simpr solucions dl tipo ponncial d la forma = r. La sustitución d sta solución n la cuación difrncial nos da r r ar b omo r,, s tin qu. Esta cuación s llama cuación caractrística d la cuación difrncial. Las raícs dan valors d r para los cuals r s una solución d la cuación. Estas raícs son a r a 4b Las raícs pudn sr: Dos raícs rals distintas. Una raíz ral dobl. Raícs compljas conjugadas 4
5 . La cuación caractrística tin dos raícs rals distintas. San r r stas raícs, por tanto r r, son solucions d la cuación difrncial. Estas solucions son linalmnt indpndints n cualquir intrvalo por sr l wronskiano, lugo, forman un conjunto fundamntal d solucions, por tanto la solución gnral d la cuación homogéna s c r c r. La cuación caractrística tin dos raícs rals iguals. En st caso: a -4 b=. Una solución d sta cuación difrncial s: a Para obtnr una sgunda solución buscamos solucions d la forma : ( ) ( ). La solución gnral d la cuación difrncial srá a c c. La cuación caractrística tin dos raícs compljas conjugadas. En st caso: a - 4 b<. San a 4b a m, n. Las raícs son: r = m +i n, r = m i n. La solución gnral d sta cuación difrncial srá: = m ( cos n + sn n ) Ecuación difrncial d Eulr Esta cuación s d la forma, > Para rsolvr sta cuación s hac l cambio t = L, con lo cual la cuación difrncial dada s transforma n la cuación d coficints constants ( ) 5
6 5.7. Ecuacions d sgundo ordn no homogénas Sa la cuación difrncial linal ( ) ( ) ( ) () Torma 5. San, un conjunto fundamntal d solucions d la cuación homogéna sa solución cualsquira d la cuación (). Entoncs toda solución d la cuación () s d la forma p una c c p Por tanto l torma nos dic qu conocmos todas las solucions d la cuación dada, si podmos hallar un conjunto fundamntal d solucions d la cuación homogéna junto con una solución particular cualsquira d la cuación no homogéna La cuación ( ) ( ), s la cuación homogéna asociada d la cuación () La solución c +c la dnotamos por h. La solución cuación difrncial s la solución gnral d la 5.8. Principio d suprposición Sa la cuación difrncial ( ) ( ) ( ) Sindo R() la suma d un numro finito d funcions R()= f ()+f () +.+f n () supongamos qu podmos hallar una solución particular j d cada uno d los problmas ( ) ( ) ( ) S dmustra qu la suma d stas solucions particulars s una solución particular d ( ) ( ) ( ) 6
7 Es dcir s una solución d la cuación difrncial: ( ) ( ) ( ) 5.9. Método d variación d los parámtros Sa la cuación difrncial ( ) ( ) ( ) () P(), Q(), R() son funcions continuas n un intrvalo I. Supongamos qu podmos hallar dos solucions linalmnt indpndints, d la cuación homogéna, l método d variación d los parámtros intnta obtnr una solución particular d la cuación dada n la forma p = u() ()+ v() () S ncsitan dos cuacions para calcular u() v(). Para llo vamos a oprar n la cuación () d la siguint forma p u v u v Por otra part d u v igimos qu dbn satisfacr la cuación u v () Ahora bin p u v uv. Por tanto la cuación P p Q R p p s transforma n v Qu v R() u v u v P u Esta cuación s pud scribir como P Q v P Q u v R u 7
8 omo, son solucions d la cuación homogéna, los términos ntr paréntsis son cro, con lo cual s tin u v R (4) D las cuacions ( 4) s tin u v u v R El dtrminant d los coficints s distinto d cro por sr l wronskiano [, ], al sr, linalmnt indpndints. Por tanto u R W R W v W R W R Postriormnt s calculan u v. Finalmnt s obtin p =u() ()+ v() () 5.. Ecuacions difrncials d ordn n Dfinicions. S dfin l problma dl valor inicial d la cuación difrncial linal d ordn n d la forma ( ) () ( ) n n,,... Sindo a ().a n () funcions continuas n un intrvalo abirto I. Est problma tin solución única n I 5.. Ecuación linal homogéna d ordn n Sa la cuación difrncial linal homogéna d ordn n ( ) () ( ) 8
9 San. n solucions d la cuación homogéna. Entoncs s vrifica. + + n s una solución d la homogéna. c i s una solución para cualquir numro c Pruba dl Wronskiano. San,... n solucions d la cuación difrncial ( ) () n un intrvalo abirto I. Entoncs s vrifica. W()= I o bin W() I.,, n son linalmnt indpndints n I si solo si W( ) para algún n I Torma 6. San,, n solucions linalmnt indpndints d ( ) () n un intrvalo abirto I.Entoncs c + +c n n s la solución gnral d la cuación difrncial homogéna. 5.. Ecuación linal no homogéna d ordn n Sa la cuación linal no homogéna ( ) () ( ) sa p cualquir solución d ( ) () ( ) San, n solucions linalmnt indpndints d la cuación homogéna. ualquir solución d la cuación no homogéna s pud scribir n la forma =c +c +..+c n n + p 9
10 Por tanto s tin = h + p 5.. Ecuación homogéna con coficints constants Sa la cuación difrncial linal d ordn n con coficints constants Supongamos qu = r s una solución d la cuación difrncial, al sustituir n dicha cuación s tin r ( r n +a r n- + +a n- r +a n )= La cuación caractrística adopta la forma. Esta cuación tin n - raícs, para cada raíz r d sta cuación, r s una solución d sta cuación Método d los coficints indtrminados Sa la cuación difrncial no homogéna d coficints constants: ( ) (5) La solución gnral d sta cuación difrncial s h + p. Por tanto ncsitamos obtnr una solución particular p d la cuación (5). Para aplicar l método d los coficints indtrminados la función f() ha d sr una suma algbraica d funcions tipo f i ()= a [P n cos b + Q m () sn b ] Dond a, b R P n (), Q m () son polinomios d grado n m rspctivamnt. Por tanto, para cada una d las funcions f i () s busca una solución particular tal como s indica n la tabla siguint n función d la forma d f i () Forma d f i () Raícs dl polinomio Forma d la solución aractrístico. Particular sindo: k= Ma [m, n] P n () El no s una raíz dl Polinomio caractrístico. P n
11 P n () El s una raíz dl polinomio aractrístico d multiplicidad s s P n () P n () a (a ral) El númro a no s una raíz dl Polinomio caractrístico. a P n () P n () a (a ral) El númro a s raíz dl polinomio aractrístico d multiplicidad s s a P n P n Q m cosb snb Los númros ib no son Raícs dl polinomio caractrístico P Q n m cosb snb a Pn Q m cosb snb i b son raícs dl polinomio aractrístico d multiplicidad s a Pn Q m cosb snb a Pn Q m cosb snb a ib Son raícs dl polinomio aractrístico d multiplicidad s s a P n cosb Qm snb Dond P Q n n A B A B... A... B k k k k Son polinomios d coficints a dtrminar cuo grado k, s l máimo ntr los valors m n. Obsrvación: Est método no s aplicabl a una cuación dl tipo: - = Tang Ejrcicios rsultos. Intgrar la cuación difrncial: L Ecuación difrncial n la qu falta la : ambio: dp d p d d dp d
12 La cuación difrncial s transforma n dp d p L dp p L d L p L d d L d d 4 L. Intgrar la cuación difrncial sn a) Ensaando una solución particular b) Hallando la intgral gnral d la incomplta aplicando l método d variación d los parámtros Solución d la homogéna r r r,r H Para hallar intgral gnral, nsaamos una solución particular d la complta p acos bsn Sustitundo n la cuación difrncial s tin p cos sn Solución gnral d la cuación difrncial cos sn b) Método d variación d los parámtros
13 sn sn sn, sn cos K cos sn K cos K cos K cos sn K cos sn K K K (cos sn ). Intgrar la cuación difrncial 4 4 sn onocindo dos solucions d la incomplta sn, cos Intgral d la incomplta o homogéna sn cos Apliqumos l método d variación d los parámtros sn cos cos sn 4 sn sn sn cos
14 sn K sn cos K Intgral gnral sn K sn cos K cos sn cos 4. Intgrar la cuación difrncial cos a) A través dl método gnral b) onocindo una solución particular d la incomplta a) Solución d la homogéna H Solución particular d la complta, nsao una solución dl tipo p a bsn c dcos Solución gnral d la cuación difrncial b) ()= u () sn cos Sustitundo n la cuación difrncial,, s obtin u u Hacindo u =p, s obtin la cuación difrncial linal cos ua solución s p p cos D dond s obtin p sn cos K 4
15 D dond s obtin d d sn cos K K K sn cos sn cos. 5. Sa la cuación difrncial d coficints variabls S conocn dos solucions particulars d la cuación incomplta, Aplicar l método d variación d las constants para obtnr la intgral gnral d la complta Solución: Sistma n,, qu rsolvmos por ramr, Intgrando obtnmos, d d K K Solución gnral K K K K 6. Intgrar la cuación difrncial 4 hallar una solución particular qu pas por l orign, tal qu la tangnt n l tnga pndint Solución d la homogéna 5
16 Solución particular d la complta, para llo nsaamos una solución dl tipo p a b c Solución gnral d la complta: 6 7 alculmos ahora una solución particular con las condicions dadas () 7 () 6, 9 Solución particular: () Intgrar la cuación difrncial Solución d la homogéna H cos sn Para calcular una intgral particular d la complta, nsaamos una solución dl tipo p a b Solución gnral d la cuación difrncial G cos sn 8. Intgrar la cuación difrncial sn 4 Solución d la homogéna h Solución particular d sn Ensao una solución dl tipo p asn bcos 5 D dond s obtin 4cos sn p Solución particular d 4 6
17 7 Ensao una solución dl tipo: p K D dond obtnmos p Intgral gnral sn ) (4cos 5 9. Intgrar la cuación difrncial d coficints variabls obtnindo prviamnt una solución particular d la incomplta d la forma m. alculmos a continuación una solución particular tal qu para () = ()= Solución: Vamos primramnt la solución d la homogéna Sustitundo,, n la cuación homogéna m m m m m m h Método d variación d los parámtros para calcular la solución particular d la complta ; K 6 6 ; K K 6 6 K Solución gnral
18 K K Intgral particular K K () K K Intgral particular. Intgrar la cuación difrncial cos Solución d la homogéna Solución particular d la complta p a bsn c dcos a,b, c,d Solución gnral sn sn cos cos. Intgrar la cuación difrncial ( ) 8 La cuación difrncial s d Eulr. Hacmos l cambio L(+)=t (+)= t, d dond s obtin (+) = (t) ; (+) = (t) - (t) (+) = (t) b (t)+b (t) b r(r )...(r n ) 8
19 Ecuación caractrística r r r rr r 8 r r 4r 8 Qu s corrspond con la cuación difrncial homogéna (t) (t) 4(t) 8 La cuación difrncial complta srá t (t) (t) 4 (t) 8 t Solución d la homogéna t (t) cost snt Solución particular t K K 5 Solución particular t K K Solución gnral (t) 5 t t t cos t sn t - Dshacindo l cambio t = L (+) () cosl( ) sn L 5 L() L() - L() () ( ) cos L( ) sn L - 5. Rsolvr la cuación difrncial 9 sn Solución d la homogéna 9
20 Solución particular d la complta p a bsn c d - 4 cos a,b,c,d 69 Solución gnral sn 4 69 cos. Rsolvr la cuación difrncial Solución d la homogéna h Solución particular d la complta p a b c Ensaando sta solución s tin p Solución gnral d la complta 4. Rsolvr la cuación difrncial 4 4 cossn Solución d la homogéna Solución particular d la complta, para llo s pon l producto cos sn d la forma siguint: cos sn sn sn
21 Por tanto, p = p + p Para sn nsaamos solucions dl tipo: A sn + B cos, obtniéndos la solución p 5 sn cos Para sn nsaamos solucions dl tipo: A sn + B cos, obtniéndos la solución p 5 sn cos 5 Solución gnral: sn cos sn cos 5. Rsolvr la cuación difrncial snsn Solución d la homogéna Solución particular d la complta, para llo s pon l producto cos sn d la forma siguint: sn sn cos cos Por tanto, p = p + p Para cos nsaamos solucions dl tipo: a cos + b sn Para cos nsaamos solucions dl tipo: a cos + b sn Solución gnral 9 sn cos sn 6 7 cos 6
22 6. Rsolvr la cuación difrncial 4 sn 5 Solución d la homogéna ( cos sn) Solución particular d la complta, para llo s pon l producto cos sn d la forma siguint: sn sn cos cos Solución particular, p = p + p + p Para p nsaamos solucions dl tipo p asn bcos Para p nsaamos solucions dl tipo p k Para p nsaamos solucions dl tipo p k Solución gnral d la cuación difrncial cos sn sn 4 cos 4 5
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