Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral:

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL UNIDAD VI Eistn muchos campos dl conociminto n qu istn aplicacions d la intgral. Por la naturalza d st concpto, pud aplicars tanto n Gomtría, n Física, n Economía incluso n Biología. Por sólo citar algunos jmplos, a continuación s mncionan las aplicacions más conocidas d la intgral:. Hallar l ára d rgions planas.. Obtnr los volúmns d sólidos d rvolución.. Calcular volúmns d sólidos con sccions conocidas.. Dtrminar la longitud d arco d una curva.. Eaminar l comportaminto alatorio d variabls continuas (función d dnsidad probabilidad).. Conocr l valor promdio d una función. 7. Hallar momntos (furzas qu jrcn cirtas masa con rspcto a un punto) cntros d masa o cntroid (l punto n qu un objto s quilibra horizontalmnt).. Encontrar la prsión jrcida por un fluido. 9. Calcular l trabajo ralizado d movr un objto d un punto a otro.. Obtnr vlocidads aclracions d móvils.. Conocr l suprávit dl consumidor (cantidad d dinro ahorrado por los consumidors, al comprar un artículo a un prcio dado).. Dtrminar l flujo sanguíno (volumn d sangr qu pasa por una scción transvrsal por unidad d timpo) d una prsona su gasto cardiaco (volumn d sangr bombado por l corazón por unidad d timpo. A continuación s profundiza n las primras dos aplicacions nlistadas. VI. CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS Para calcular un ára plana, s fctúa la siguint mtodología:. S trazan las curvas qu limitan l ára qu s dsa conocr.. S idntifican los puntos n los qu s cortan las curvas.. S dtrmina la zona d la qu ha qu calcular l ára.. S dcid qu variabl convin intgrar. S procd a intgrar bajo los límits ncontrados. Ejmplos. Hallar l ára limitada por las siguints condicions: ) Curva, l j por las rctas

2 A d 7. u ) El j, la curva por las rctas ( ) ( 9 9) A 9. u, l j por las rctas ) Curva 7

3 Por situars dbajo dl j d intgración ( ), db afctars todo por un signo ngativo. ( ) ( ) ( ) d A ( ) ( ). 7 u ) Curva l j La curva corta al j n, ( ) ( ) d d A ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] u

4 ) Hallar l ára comprndida ntr la parábola la rcta Dspjando d la cuación d la rcta: ( ), P (, ), P (,) sustitundo n la cuación d la parábola:, rsolvindo la cuación: ( )( ), Ára pdida Ára bajo la rcta - Ára bajo la parábola: A 7 [( ) ( ) ] [ ( ) ] 9 u ) Hallar l ára comprndida ntr las parábolas Igualando las cuacions para obtnr los puntos d intrscción: factorizando: ( ) ( ) ( ) los puntos d intrscción son: P (,), (,) P Ára pdida Ára bajo la parábola - Ára bajo la parábola :

5 d ( ) d ( ) A u ( ) ( ) ( ). VI. VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Si una función s gira con rspcto a un j dl plano s gnra un volumn conocido como sólido d rvolución al j s l llama j d rvolución. Gráficamnt, sto s: En gnral, una función pud girars librmnt, por lo qu la forma dl sólido qu s gnra dpnd, tanto d la naturalza d la función, como dl j d rvolución. En las siguints gráficas s aprcia como s forman sólidos d rvolución conocidos, si s giran funcions mu lmntals:

6 Un volumn dl sólido d rvolución s conforma d la suma infinita d franjas unitarias d volumn si s gnra hacindo girar a una función ( ) f alrddor dl j, s pud calcular por mdio d: V b π [ f ( ) ] a d dond a b rprsntan las rctas qu lo limitan, s dcir, son los trmos.

7 Ejmplos. Calcular l volumn dl sólido d rvolución gnrado al hacr girar las siguints funcions con los límits marcados l j d rvolución dado., l j las rctas ) V π π π π [ ] d π d 9.7 u π ), l j las rctas V [ ] d π d π π π. u π 7

8 , l j las rctas ) V π π π π π. u ), l j las rctas V π π π π π π. u

9 VI. ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS VI.. ORDEN, GRADO Y SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una cuación qu contin drivadas o difrncials s llama cuación difrncial. Ejmplos. d d d d d F m d ) 7 ) ) (sgunda l d Nwton) El ordn d una cuación difrncial s igual al d la drivada d más alto ordn qu aparc n la cuación. Ejmplos. d d d d ) (cuación difrncial d sgundo ordn) ) (cuación difrncial d cuarto ordn) El grado d una cuación difrncial s l ponnt maor d la drivada d maor ordn d la cuación. Ejmplos. d d ) ( ) 7 9 d d ) 9 d d d ) d (cuación difrncial d trcr ordn sgundo grado) (cuación difrncial d quinto ordn primr grado) (cuación difrncial d cuarto ordn trcr grado) Una solución d una cuación difrncial s aqulla qu satisfac a la cuación, por jmplo, si s tin: d d d d sustitundo n la cuación:, una solución s: ( ) ( ), sto s: 9

10 VI.. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN) Dpndindo dl tipo d cuación difrncial, convin aplicar un método d rsolución particular. Por su sncillz, los más utilizados son l d la obtnción d raícs dl polinomio l d sparación d variabls. En l primr caso, sul utilizars l oprador D n lugar d la drivada, a fin d qu cada raíz polinomio formado, tnga la forma ai C i, dond i variabls, s fctúa a fin d facilitar su intgración. Ejmplos. Rsolvr las siguints cuacions difrncials: d ) D D ( D ) C comprobación: C d C C sustitundo: C C d ) ( D ) D D C comprobación: C d C C sustitundo: C C d d ) a i dl C son constants. Por su part, la sparación d ( D D ) ( D )( D 7) D, D 7 7 C C

11 d d ) ( D D ) ( D )( D ) D, D C C ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) si s sparan las variabls s tin: d d, intgrando: ln ln, lvando a la : ln ln ln ln ) d ( ) d ( ) sparando las variabls: d d, intgrando: tan ln tan ln tan, lvando a la : tan