1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas

Transcripción

1 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Introducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions actas.7 Factor Intgrant.8 Estabilidad dinámica dl quilibrio.9 Aplicacions Objtivos. S prsigu qu l studiant: Encuntr solucions gnrals /o particulars d Ecuacions Difrncials d primr ordn Dtrmin Estabilidad dinámica cuantitativa /o cualitativamnt Rsulva problmas d aplicacions conómicas

2 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. INTRODUIÓN En cirtas ocasions rsolvr un problma pud conducir a plantar una cuación qu contin drivadas. Por jmplo, suponga qu ntoncs d ; la razón d cambio rlativa d, dspjando tnmos 0 rprsnta una cuación difrncial. sría. Esta última prsión.. Dfinición d Ecuación Difrncial Una cuación qu contin drivadas d una o más variabls dpndints con rspcto a una o más variabls indpndints s dnomina Ecuación Difrncial. Ejmplo 0 dond f Si la función dsconocida dpnd d una sola variabl, como s l caso dl jmplo antrior, s la llama Ecuación Difrncial Ordinaria. Si la función dsconocida dpnd d más d una variabl s llama Ecuación Difrncial Parcial o n Drivadas Parcials. Ejmplo z z z dond z f, Aquí nos ddicarmos sólo al studio d las Ecuacions Difrncials Ordinarias... Ordn d una cuación difrncial El ordn d una Ecuación difrncial stá dado por la más alta drivada prsnt n la cuación: Ejmplos d d. 0 Una Ecuación Difrncial Ordinaria d primr ordn

3 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Sgundo Ordn d d d. d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria d uarto Ordn.. Grado d una cuación difrncial El grado d una Ecuación difrncial stá dado por l ponnt ntro positivo d la más alta drivada prsnt n la cuación. Ejmplos. 5 Una Ecuación Difrncial Ordinaria d sgundo ordn primr grado 0. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Primr ordn sgundo grado.. Ecuacions Linals Una Ecuación Difrncial s linal si lo s n todas sus drivadas también n su variabl dpndint. Ejmplos d. 0 d d d. 0 d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria Linal d primr ordn Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Linal d Sgundo Ordn omo jmplos d Ecuacions Difrncials no linals, tnmos: Ejmplos. 5.. d d 0. cos 5.

4 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Usualmnt una Ecuación Difrncial Linal Ordinaria s pud rprsntar n forma polinómica d la siguint manra: n n [ a ] [ a ] [ a ] g n n 0..5 Solución d una Ecuación Difrncial S dic qu una función f dfinida n un intrvalo I, s solución d una cuación difrncial n l intrvalo I, si sustituida n la cuación difrncial s obtin una proposición vrdadra; s dcir, s convirt n una idntidad. Ejmplo Dtrminar si la función f 6 s solución d la cuación 0. SOLUIÓN: D 6 s obtin Rmplazando rsulta: 6 / 0 / Por tanto, la función si s solución d la Ecuación Difrncial.. EUAIONES DIFERENIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una Ecuación Difrncial linal d primr ordn s pud prsar d la siguint forma: [ p ] g Bin, ahora rminmos su solución. p d Multiplicando a ambos mimbros d la cuación por la función, tnmos:

5 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn p d [ p ] p d p d p d p g p d g Obsrv qu l mimbro d la izquirda rprsnta l difrncial dl p d producto d la función buscada con la función, s dcir: d p d Intgrando mimbro a mimbro: d p d p d p d p d p d g g d g d Finalmnt, s obtin p d llamarmos Solución Gnral. p d g d. La cual Ejmplo Encontrar la solución gnral para SOLUIÓN: Para st caso tnmos: p g alculando primro, Lugo utilizando la formula p d d p d d o lo qu s lo mismo:. Solución Gnral p d g d, rsulta: Ejmplo Encontrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Para st caso tnmos: p g sn 5

6 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Primramnt Lugo: p d d ln. sn sn cos c cos c Ejmplo Encontrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Dividindo para " ", tnmos: sn sn sn Entoncs: p g Por lo tanto: d ln ln sn d sn d La intgral qu rsulta s la ncuntra mplando la técnica d intgración por Parts. u du d Hacindo dv sn d v sn d cos cos sn rsulta: sn d cos cos d Por lo tanto: [ cos sn ] s la solución gnral.. Torma Si las funcions p g son continuas n un intrvalo a, b qu contin l punto 0, ntoncs ist una función única f qu satisfac a la cuación 6

7 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn difrncial p g, para a, b qu cumpl la condición inicial 0 0 Ejmplo Encontrar la solución particular SOLUIÓN: Dividimos para " ": si Entoncs: p g Por lo tanto: p d d ln ln d SOLUIÓN GENERAL [ ] on la condición s obtin: Finalmnt SOLUIÓN PARTIULAR Ejmplo 5 Encontrar la solución particular ; 0 SOLUIÓN: Aquí tnmos qu p g p d d Entoncs: Rmplazando rsolvindo rsulta: d d La intgral qu rsulta s la ncuntra intgrando Por Parts. u du d Hacindo dv d v rsulta: d 7

8 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d d Por lo tanto: [ ] s la SOLUIÓN GENERAL. Emplando la condición inicial 0, ncontramos [ ] Finalmnt [ ] s la SOLUIÓN PARTIULAR. Ejmplo 6 Encontrar la solución particular 0 0 ; g para a b g 0 g SOLUIÓN: a Si g, ntoncs: d d 0 0 0, b Si 0 g, ntoncs: ; 0 0 d d 8

9 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo 7 Encontrar la solución d SOLUIÓN: La cuación dada NO ES LINEAL con rspcto a " " d d d d d d Pro s linal con rspcto a " ", ntoncs: [ ] d d d Sgundo Método: Hacindo cambio d variabl rsulta: d d d d d d La última s una cuación linal, por lo tanto: [ ] d d d Finalmnt, rgrsando la variabl: [ ] 9

10 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propusto. Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Difrncials Linals:. ' 9. '. d 0. ' d d. d. sn, d d d. d., 0 d d d 5. ' d. d d 6. d 5. ' 7. ', 0 cuando 6. ' 8. '. d.. EUAIONES DE BERNOULLI Eistn Ecuacions Difrncials qu no son linals pro s pudn transformar n Linals. Una d stas s la dnominada Ecuación d Brnoulli. Una Ecuación d Brnoulli tin la forma n 0 n. Para ncontrar su solución, s sigun los siguints pasos: PASO : Dividir para n. n p n n p g n n n g n p g dond PASO : ambiar d variabl: v n Admás, drivando la nuva variabl con rspcto a obtin:, s 0

11 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv n d dv n d d d n n n dv d n n n d d d d dv d Al ralizar las sustitucions ncsarias simplificando rsulta: n n n p dv n d dv d n n g p v g p v g La última cuación s linal con rspcto a la nuva variabl v, Paso : Encontrar v. Paso : Encontrar, mplando l cambio d variabl utilizado. Ejmplo Encontrar la solución gnral d SOLUIÓN: PASO : Dividindo para Ecuación d Brnoulli Dividindo para PASO : Aquí l cambio d variabl sría: d d dv d v Rmplazando n, ntoncs s obtin: dv d o también d d

12 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv v d dv v d PASO : Encontrar v. La última cuación s linal con rspcto a v, por tanto podmos ncontrarla d la manra dscrita antriormnt. v v 5 PASO : Encontrar omo v ntoncs Y al dspjar, s obtin: 5 d c ln 5 ln d c 5 c 5 ± ± c c 5 c 5 6 d Ejmplo Encontrar la solución gnral d SOLUIÓN: Paso : Primro la llvamos a la forma d Brnoulli Dividindo para, s obtin: Paso : El cambio d variabl sría: v. Drivando s obtin: dv d d d d dv Dspjando s obtin: d d

13 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Rmplazando s obtin: v d dv v d dv Paso : Encontrando v d v d Intgrando por parts: v v 9 9 Paso. Encontrando omo ntoncs v Ejmplo Encontrar la solución gnral d 0 d d SOLUIÓN: Paso : Primro tratmos d llvarla a la forma d Brnoulli 0 0 d d d d No s posibl así tal como stá. ambiando d variabl s tin: 0 d d Ahora l damos la forma d Brnoulli. 0 0 d d d d Dividindo para, s obtin: Paso : cambio d variabl v.

14 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Drivando s obtin: d d d dv Dspjando s obtin: d dv d d Rmplazando s obtin: v d dv v d dv v d dv Paso : Encontrando v v v d v d v d ln ln Paso. Encontrando omo v ntoncs v - ± Finalmnt, rgrsando a la variabl original: ±

15 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propusto. Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Brnoulli: d., d ln d d. ' 0. d d 0.. EUAIONES SEPARABLES Son Ecuacions Difrncials, linals o no linals, qu s pudn prsar d la forma: M d N d 0 Entoncs, l método d solución srá intgrando, ambos mimbros. Ejmplo Encontrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: Dspjando para obtnr d un lado d la cuación función d dl otro lado función d, lugo intgrando. Rsulta: d d d d d d Ejmplo Encontrar la solución particular d ; SOLUIÓN: Dspjando para obtnr d un lado d la cuación función d dl otro lado función d, lugo intgrando. Rsulta: 5

16 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Emplando la condición Inicial d d d d d d 0, ncontramos, s dcir: 0 Entoncs la solución particular sría: Eistn cuacions difrnciabl qu con un cambio d variabl s convirt n sparabl. Ejmplo Encontrar la solución particular d tg SOLUIÓN: La cuación dada no s linal tampoco s sparabl dircta, pro hacindo l cambio d variabl u s podrá sparar las variabls. d d Drivando la prsión d la nuva variabl s obtin: Entoncs du d u -. Rmplazando rsolvindo, rsulta: tg u - tg u u tg u du tg u d du sc u d La última cuación s sparabl, rsolvindo tnmos: d d 6

17 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn du sc u d du d sc u cos udu [ cosu] du sn u u Y rgrsando d variabl, quda: sn d SOLUIÓN GENERAL Ejrcicio Propusto. Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Sparabls: d. 5. ' d d d d d d 0 d d d 8. 5, d. d d 9., 0 d d., d 0. tg d d 0 '' ', 0 5, ' EUAIONES HOMOGÉNEAS Si una Ecuación Difrncial pud sr prsada d la forma f, s la dnomina Ecuación Difrncial Homogéna. Para ncontrar su solución s raliza l cambio d variabl v, para convrtirla n una cuación dond s puda sparar sus variabls. d Para obtnr s hac lo siguint: d Dspjando tnmos: v Drivando con rspcto a " ", s obtin: d dv v d d dv v d 7

18 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Encontrar la solución gnral d SOLUIÓN: omo s una cuación homogéna hacmos l cambio d variabl v d dond dv v. d Rmplazando, rsolvindo rsulta: dv v v d v dv v v d v dv v v v d v dv v v v d v dv v v d v v d dv v v En la última cuación stán sparadas sus variabls podmos procdr a intgrar cada mimbro: v d dv v v ln v v ln Finalmnt, dbmos rmplazar v ln ln SOLUIÓN GENERAL Ejmplo d Encontrar la solución gnral d ; d SOLUIÓN: dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v d Rmplazando, rsolvindo rsulta: d d dv v v v d dv v d 8

19 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn En la última cuación s pudn sparar las variabls. dv d v dv v d ln v ln Rgrsando d variabl: ln Emplando la condición inicial 0 0 rsulta Finalmnt: ln SOLUIÓN PARTIULAR ln Ejmplo cos d Encontrar la solución gnral d ; π d SOLUIÓN: cos d d d cos d dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v. d dv v v cos v d Rmplazando, rsolvindo rsulta: dv cos v d Sparando variabls: cos v Emplando la condición inicial dada: dv d tg v ln tg ln π tg ln Finalmnt: tg ln SOLUIÓN PARTIULAR 9

20 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propusto. Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Homogénas:. ' 5. d d 0. d d 0 d d. d d 0 d d 7., 0. d d EUAIONES EXATAS f f Sa la función z f,. Su difrncial total s df d d Si f, ntoncs df, dc f f d d 0 Suponga ahora qu s tin una cuación difrncial d la forma: M, d N, d 0 qu rprsnt la difrncial total d una función dsconocida z f,. Entoncs l asunto sría ncontrar la función dsconocida..6. TEOREMA DE EXATITUD Una cuación difrncial M, d N, d 0 M N s acta si sólo si Ejmplo d cos Encontrar la solución gnral d d sn SOLUIÓN: En st caso la forma difrncial d la cuación s: cos d sn d 0 M, Vamos si qu s acta N, 0

21 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn N M cos cos omo las drivadas cruzadas son iguals, por tanto la cuación difrncial si s acta procdmos a ncontrar la función solución. Sn Sn d d N f d d M f sn,, sn cos,, Ejmplo Encontrar la solución gnral d: 0 d d SOLUIÓN: La forma difrncial d la cuación s: 0 d d Vamos si qu s acta 6 6 acta s Si N M Encontrando la función potncial tnmos: f f f f,, Emplando la condición inicial para ncontrar, rsulta: - Por tanto la solución particular sría:

22 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propusto.5 Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Difrncials Eactas: d., d 6 d 0 d d d 0; d. 7. ' 0 d cos 8. '. d d 0 sn d. 9. ' d 6..7 FATOR INTEGRANTE M N En la cuación difrncial M, d N, d 0, si a vcs s posibl transformarla n acta si s la multiplica por una función R, ; s dcir: R, [ M, d N, d] 0 RMd RNd 0 Suponga qu R R ntoncs RM RN M R N NR R N R N N R N R M R 0 M R 0 La última prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo tanto R 0 N M d N R M N d N N M d N d

23 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Encontrar la solución gnral d: SOLUIÓN: Hallmos R d d d M d d d d R d ln M N d N d 0 N d ln por Multiplicando la cuación d d 0 rsolvindo, rsulta: d En st caso alculando f,, rsulta: f, f, Por tanto la solución gnral sría: d d 0 si s acta. d d d R d 0 Si no ist R R, suponga ahora qu R R ntoncs:

24 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 0 0 R N M M R N R M R MR N R M R R M RN RM La última prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo tanto d M N M d N M M R d R 0 Ejmplo Encontrar la solución gnral d 0 d d SOLUIÓN: 0 N M d d no s acta Hallmos R d d N M N R No s función, por tanto no ist. Encontrmos, ahora R ln ln R d d d M N M Multiplicando la cuación 0 d d por R rsulta: 0 N M d d a s acta s pud ncontrar, f d f d f,, Por tanto la solución Gnral sría: c

25 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propusto.6 Encuntr la solución d las siguints Ecuacions Difrncials:. d d 0 d, d. d d..8 Estabilidad dinámica dl quilibrio S trata ahora d stablcr l comportaminto d una tractoria intrtmporal t. Dtrminar qu ocurr con t cuando ha t. transcurrido mucho timpo si lím t Para sto istn dos métodos: ANÁLISIS UANTITATIVO. Suponga qu s conoc la rgla d corrspondncia t. Entoncs, t ist s dirá qu t s DINÁMIAMENTE ESTABLE, s dcir s stabiliza o convrg a un valor finito, al cual dnotarmos como s l llamará l nivl d quilibrio intrtmporal. aso contrario, s dcir si lím t s dirá qu la tractoria d t s DINÁMIAMENTE t INESTABLE o también t divrg dl nivl d quilibrio ANÁLISIS UALITATIVO. d Suponga qu s tin una cuación difrncial d la forma f Entoncs s posibl rminar si t s dinámicamnt stabl o no, sin ncsidad d ncontrar la rgla d corrspondncia d t. Esto s logra analizando l gráfico vs, l cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE. uando > 0 positiva ntoncs s crcint; por tanto, arriba dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d izquirda a drcha. Y cuando < 0 ngativa ntoncs s dcrcint; por tanto, dbajo dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d drcha a izquirda. Una vz hcho sto, s concluirá si t s acrca o s alja dl nivl d quilibrio qu ocurr cuando 0. 5

26 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Analizar la stabilidad dinámica d SOLUIÓN: d ANALISIS UANTITATIVO t ; Obsrv qu la cuación difrncial dada s linal obtnr su solución d manra rápida. t 7 t t 7 t 7 [ ] onsidrando la condición inicial, rsulta: Entoncs: t t 7 t 8 7 n la cuación difrncial 7 Tomando límit al infinito tnmos: lím t lím 7 Por tanto, s conclu qu Admás, al graficar t t t 7 t t no s stabl dinámicamnt. t 7 s obsrva st comportaminto. por tanto s factibl Not qu cuando ha transcurrido mucho timpo la tractoria s alja divrg dl nivl d quilibrio 7 ANALISIS UALITATIVO. Graficando la curva d fas, tnmos: 6

27 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Por tanto la tractoria para t no s stabl dinámicamnt. Ejmplo Analizar la stabilidad dinámica d t n la cuación difrncial d ; 0 5 SOLUIÓN: Ahora mpcmos con l análisis cualitativo para lugo ir al análisis cuantitativo. ANÁLISIS UALITATIVO. El diagrama d fas para la cuación dada sría: Por tanto s obsrva qu t s stabl dinámicamnt qu tind a stabilizars n 8 Not qu la stabilidad no dpnd d la condición inicial POR QUÉ? ANÁLISIS UANTITATIVO. Obtnindo la solución para, rsulta: 7

28 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn t t t t t t 8 t onsidrando la condición inicial tnmos: Por tanto: t t t Tomando límit al infinito tnmos: lím t lím Por tanto, s conclu qu Admás, al graficar t t t s dinámicamnt stabl. t t 8 7 s obsrva st comportaminto. Ejmplo Analizar la stabilidad dinámica d t n la cuación difrncial d 6 ; 0 SOLUIÓN: Aquí lo más factibl s ralizar un análisis cualitativo. Por qué? El gráfico d la curva d fas sría: Por tanto, t no s stabl dinámicamnt. 8

29 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicios Propustos.7 Dibujar la curva d fas rminar si t. d. d 5. d. d 9 5. d 9 ; 0 d ; 7. d s stabl dinámicamnt o no..9 Aplicacions d las Ecuacions difrncials d primr ordn Algunas situacions problémicas conllva a plantar cuacions difrncials para llgar a su solución. Ejmplo URVA APRENDIZAJE La razón a la qu las prsonas on hablar acrca d un nuvo aumnto n los impustos prdials s proporcional al númro d prsonas n l país qu no ha oído hablar al rspcto. a Plant la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encuntr la solución gnral d la cuación difrncial plantada. c Grafiqu la solución gnral obtnida analic la stabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : antidad d prsonas qu han oído hablar sobr l aumnto B : Población Total B Q : antidad d prsonas qu no han oído hablar sobr l aumnto k : onstant d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: k B Q dq b La cuación kq kb s linal, por tanto su solución sría: Q t kt kb k Q t kt kt kb k Q t B kt 9

30 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn c la gráfica d la curva aprndizaj sría: S obsrva qu cuando ha transcurrido mucho timpo Q convrg a B. Ejmplo URVA LOGISTIA. El ritmo a qu s propaga un rumor n un país s conjuntamnt proporcional a la cantidad d prsonas qu s han ntrado dl rumor al númro d prsonas qu no s han ntrado dl rumor. a Plant la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encuntr la solución gnral d la cuación difrncial plantada. c Grafiqu la solución gnral obtnida analic la stabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : antidad d prsonas ntradas dl rumor B : Población Total B Q : antidad d prsonas qu no s han ntrado dl rumor k : onstant d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: kq B Q dq b La cuación kbq kq s d la forma d Brnoulli, por tanto su solución sría: Dividindo para Q : Q Q Q Q kbq Q kbq kq Q k du Hacindo cambio d variabl u Q ntoncs Q Q rsulta: d u kbu k Encontrando u kbu k ut tnmos: 0

31 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn u t kb kbt kbt k kbt k kbt kb kbt u t B kb k Encontrando Qt tnmos: ut B Q B B Q B kbt kbt kbt B Qt B kbt c Su gráfica sría: B B Obsrv qu Q B, por tanto s convrgnt kb B 0

32 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo DINAMIA DE MERADO. Suponga qu l prcio pt d rminado artículo varía d modo qu su razón d cambio con rspcto al timpo s proporcional a la scasz D S dond D 8 p S p son las funcions d dmanda ofrta. a Si l prcio s $ 5 cuando t 0 $ cuando t, hall pt. b Dtrmin lo qu ocurr con pt a largo plazo. SOLUIÓN: dp. a La cuación dl modlo s: k D S Rmplazando tnmos: dp k D S p k 8 p p k Ahora hallando pt omo p 0 [ p ] 6 p p kp 6k p t kt kt k 6k k p t 5 ntoncs: 5 6k kt kt 6k kt k k0 p0 como p ntoncs: k p 6k 6k 6k ln 6k ln 6k ln k 0.8 Por tanto: 0.8 t 0.5t p t Y su gráfica sría:

33 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn b A largo plazo sría cuando ha transcurrido mucho timpo, s dcir: 0.5t lím p t lím t t pt s stabiliza n l prcio d quilibrio p Ejrcicios Propustos.8. El númro d prsonas implicadas n cirto scándalo gubrnamntal aumnta a un ritmo conjuntamnt proporcional al númro d prsonas a implicadas al númro d prsonas rlacionadas con l caso qu aún no han sido implicadas. Suponga qu 7 prsonas furon implicadas cuando un priódico hizo público l scándalo por primra vz, qu 9 prsonas más rsultaron implicadas n los mss siguints otras n los mss postriors. uántas prsonas aproimadamnt staban involucradas n l scándalo?. El ritmo a qu s propaga una pidmia n una comunidad s conjuntamnt proporcional al númro d rsidnts qu han sido infctados al númro d rsidnts propnsos a la nfrmdad qu no ha sido infctado. Eprs l númro d rsidnts qu han sido infctados como una función dl timpo n smanas, si la comunidad tin 000 rsidnts propnsos a la nfrmdad, si 500 rsidnts tnían la nfrmdad inicialmnt si 855 rsidnts habían sido infctados hacia finals d la primra smana.. Suponga qu n l Ecuador, l ritmo al qu s propaga la noticia dl aumnto dl prcio d la gasolina s conjuntamnt proporcional al númro d prsonas qu s ntran dl aumnto al númro d prsonas qu no s han ntrado todavía. Si actualmnt l 5% d los habitants sab la noticia una smana más tard l 5% s han ntrado d dicha noticia: a FORMULE una cuación difrncial para rminar la cantidad d prsonas qu s ntran d la noticia dl aumnto dl prcio d la gasolina n cualquir timpo. b RESUELVA la cuación difrncial para ncontrar la cantidad d prsonas qu s ntran d la noticia n función dl timpo. c Qué porcntaj d prsonas s habrán ntrado d la noticia,, 5 smanas más tard?. Suponga qu l prcio pt d rminado artículo varía d modo qu su razón d cambio dp s proporcional a la scasz D - S dond: D 7 p S p son las funcions d dmanda ofrta dl artículo. a Si l prcio s d $6 cuanto t0 $ cuando t. Hall pt. b Dmustr qu cuando t crc sin límit pt s aproima al prcio d quilibrio. 5. La ofrta la dmanda d cirto bin stán dadas n mils d unidads, rspctivamnt, por: D 0 p t 5p' t, S 60 p t p' t. En t0 l prcio dl bin s d 5 unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado. a Encontrar l prcio n cualquir timpo postrior obtnr su gráfico. b Dtrmin si ha stabilidad d prcio l prcio d quilibrio.

34 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 6. La ofrta la dmanda d un bin stán dadas n mils d unidads, rspctivamnt por: D 0 p t p' t, S 60 5 p t p' t. En t0 l prcio dl bin s d 0 unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encuntr l prcio n cualquir timpo postrior obtnr su gráfico. b Dtrmin si ha stabilidad d prcio l prcio d quilibrio si ist. 7. Para protgr sus ganancias, un productor dcid qu la tasa a la cual incrmntará los prcios dbría sr numéricamnt igual a vcs su invntario. Asumindo qu la ofrta la dmanda stán dadas n términos dl prcio p por: S 80 p, D 50 p qu p0 n t0, ncuntr l prcio n cualquir timpo. 8. La ofrta la dmanda d un bin stán dadas n mils d unidads, rspctivamnt por: D 0 8 p t p' t, t S 6p t 0p' t. En t0 l prcio dl bin s d unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encuntr l prcio n cualquir timpo postrior obtnr su gráfico. b Dtrmin si ha stabilidad d prcio l prcio d quilibrio si ist. 9. En cirta zona dl país l prcio dl pollo n la actualidad s $ por kilogramo, s stima qu dntro d t smanas l prcio crcrá a una razón d t cntavos por smana. uánto costará l pollo dntro d 8 smanas? 0. irto pozo ptrolífro qu produc 600 barrils d ptrólo crudo al ms s scará n años. En la actualidad, l prcio dl ptrólo crudo s $ por barril s spra qu aumnt a una razón constant d 8 cntavos mnsuals por barril. Si l ptrólo s vnd tan pronto como s tra dl sulo, cuál srá l INGRESO FUTURO TOTAL obtnido dl pozo?. El valor d rvnta d cirta maquinaria industrial dcrc a un ritmo proporcional a la difrncia ntr su valor actual su valor rsidual d $ La maquinaria s compró nuva por $ 0000 valía $ 0000 dspués d años. uánto valdrá la maquinaria cuando tnga 8 años?. Una prsona tin una fortuna invrtida, qu aumnta a una tasa proporcional al cuadrado d su capital actual. Si tnía $ millón hac un año, ahora tin $ millons. uánto tndrá dntro d sis mss?. Supongamos qu un fabricant calcula qu un nuvo oprario producirá A objtos l primr día d trabajo qu cuando va adquirindo princia, producirá los objtos más rápidamnt hasta qu produzca un máimo d M objtos por día. Sa Q t la cantidad d artículos producidos l día t para t >, suponga qu l ritmo d producción s proporcional a M - Q t. a Obtnga una fórmula para Q t. b Suponindo qu M 0, Q 5 Q 8, stim l númro d objtos producidos n l vigésimo día.

35 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Misclános. Encuntr la Solución d las siguints Ecuacions Difrncials. d d ; 0 d. 0 d. d d 0 ; dk t. K 5K 5. d sn d 0 d d d d 0 8. d d 0 9. d d ln d cos. 0. d d. d sn d 0 5. d d sc π ; π sn tg d d d d d d 0 9. d d 0 d 0. ; d. d cot sn cos d. 0. d d d d d d sn 6. ' d d d d 0 ; d d 9. ; 0 0. d d 0. Suponga qu una prsona invirt n un banco una fortuna qu aumnta a una tasa proporcional a la cantidad d dinro actualizada. Si tnía $000 hac un año ahora tin $00. a Dtrmin la cuación difrncial qu modl l problma. b Rsuélvala rmin cuanto timpo tin qu pasar para qu la cantidad qu tnía hac un año s quintupliqu.. La dmanda la ofrta d un cirto bin stán dadas n mils d unidads D 8 p p S 0 p p. Suponindo qu la tasa d cambio dl prcio s igual a vcs su cdnt S-D, qu inicialmnt l prcio dl bin s d $0, rmin la tractoria tmporal d pt stablzca si s dinámicamnt stabl o no.. La ofrta la dmanda d un bin stán dadas por las cuacions: S a p t a p t a D b p t b p t b a Encuntr l prcio n cualquir timpo considrando l quilibrio d mrcado. b Establzca qu condicions dbrán cumplir los coficints para qu puda istir una stabilidad dinámica d quilibrio n su solución. c Si a ; a ; a 0; b ; b ; b 8, ncuntr l prcio n cualquir timpo l prcio d stabilidad si ist. 5

36 ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 5. irto ngocio aumnta su valor a una razón proporcional a la raíz cuadrada d su valor actual. Si st ngocio valía $ millón hac un año n la actualidad val $. millons. Dtrmin: a La cuación difrncial para l modlo. b cuándo valdrá $ millons? 6. El PIB d cirto país aumnta n forma proporcional a su propia cantidad. Su tasa d proporcionalidad fu 6.% durant l año pasado. Si continua aumntando a sa tasa. a Modl la cuación difrncial dl problma. b Rsuélvala rmin n cuantos años l PIB s duplicará. c Grafiqu la tractoria. 7. La tasa d crciminto dl volumn d vntas V a mdida qu dcrc l prcio p, s dirctamnt proporcional al volumn d vntas invrsamnt al prcio mnos una constant A. Hall la rlación ntr dicho volumn d vntas l prcio, si V V o, cuando p p o. 6