El punto (a, b) es un punto de la recta 2x + y = 8. Por tanto, 2a + b = 8; es decir, b = 8 2a.
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- María Dolores Ávila Saavedra
- hace 5 años
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1 5 Dntro dl triángulo limitado por los js OX y OY y la rcta + y 8, s S inscrib un rctángulo d vértics (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Dtrmina l punto (a, b) al qu corrspond l rctángulo d ára máima. 8 b + y 8 (a, b) El punto (a, b) s un punto d la rcta + y 8. Por tanto, a + b 8; s dcir, b 8 a. Como l rctángulo stá inscrito n l triángulo, a (0, ). El ára dl rctángulo s: Ára a b a (8 a) 8a a, a (0, ) a Tnmos qu maimizar la función: A(a) 8a a, a (0, ) A'(a) 8 a 0 a b (En a hay un máimo, pus A'(a) > 0 a la izquirda d st valor y A'(a) < 0 a su drcha). Por tanto, l punto s (, ). 5 Calcula, utilizando la rgla d L Hôpital, los siguints its, qu son dl S 0 tipo ( 0 ) : a) + ln ( sn b) + ) c) 0 0 cos a d) b arctg ) f) 0 0 sn 0 ln ( + ) g) ln (cos ) h) i) sn j) ( sn ) 0 a) b) ln ( + ) + + sn c) cos Hallamos los its latrals: cos sn cos sn cos ; + sn sn cos cos () Unidad 0. Aplicacions d la drivada 7
2 a d) b a ln a b ln b a ln a ln b ln b 6 arctg ( + ) + ( + ) ) sn cos sn cos f) sn cos sn cos sn sn cos + sn sn 0 cos sn cos tg g) ln (cos ) 9( + tg 9 ) ln ( + ) + h) 0 ( + ) i) cos () cos () sn () sn 6 6 sn sn sn cos cos sn + cos sn cos + cos sn j) ( ) 0 55 Calcula los siguints its: a) cos ln (tg ) b) (cos + sn ) / (π/) 0 c) (tg ) cos d) ( + ) / π/ 0 ) ( + ) / + f) ln ( ) + g) ( sn ) cotg h) ( ) tg Unidad 0. Aplicacions d la drivada 8
3 a) cos ln (tg ) (0 + ) ( ) + tg tg + tg cos ( + tg ) sn tg tg cos cos cos ( + ) 0 0 tg ln (tg ) cos + + b) (cos + sn ) /. Tomamos logaritmos: ln (cos + sn ) / ln (cos + sn ) sn + cos cos + sn Por tanto: (cos + sn ) / c) (tg ) cos. Tomamos logaritmos: (*) 0 ln (tg ) cos cos ln (tg ) (*) (vr apartado a)) Por tanto: (tg ) cos 0 d) ( + ) /. Tomamos logaritmos: ln ( + ) / ln ( + ) + + Por tanto: ( + ) / ) ( + ) /. Tomamos logaritmos: ln ( + ) / ln ( + ) 0 + Por tanto: ( + ) / 0 f) ln ( ) ln ( + ) ln ( + ) ln [ ( + ) ] ln + Unidad 0. Aplicacions d la drivada 9
4 g) ( sn ) cotg ( sn ) /tg. Tomamos logaritmos: cos ln ( sn ) /tg ln ( sn ) sn tg ( + tg ) Por tanto: ( sn ) cotg / h) ( ) tg. Tomamos logaritmos: ln ( ) tg tg ln ( ) Por tanto: ( ) tg 0 sn ( ln ) [tg ( ln )] cos ln sn sn cos 0 cos sn sn 56 Halla los siguints its: S tg 8 a) b) c) cos + cos 0 π/ sc a) cos sn 0 tg 8 cos b) sc + 0 sn sn cos c) cos + sn + cos + Página 0 57 Calcula los siguints its: tg a) ( ) b) ( ) 0 sn π/ cos (/π) c) ( ) Unidad 0. Aplicacions d la drivada 50
5 a) ( ) sn 0 0 cos + cos sn b) ( ) sn cos tg (/π) sn sn cos sn + cos (/π) tg cos (cos )( (/π)) /π cos + tg sn cos sn ( (/π)) + cos ( /π) /π 0 Hallamos los its latrals: f (), f () + ( sindo f () ). + ( )( ) ( )( ) c) ( ) cos tg (/π) ( ) + ( ) ( ) Calcula: a) ( / + / ) b) ( / + / ) a) ( / + / ). Tomamos logaritmos: ln ( / + / ) ln ( / + / ) (0 + ) / ( / ) + / ( / ) ln ( / + / ) / + / / / / + / (*) / + / + / / + ( (*) Dividimos numrador y dnominador ntr / ). Por tanto: ( / + / ) b) ( / + / ). Tomamos logaritmos: ln ( / + / ) ln ( / + / ) (0 ) Unidad 0. Aplicacions d la drivada 5
6 ln ( / + / ) / + (*) + / / / / + / + / ( (*) Dividimos numrador y dnominador ntr / ). Por tanto: ( / + / ) CUESTIONES TEÓRICAS 59 La gráfica adjunta corrspond a la función drivada, f', d una función f. a) Estudia l crciminto y dcrciminto d f y di si tin máimo o mínimo. f'() b) Estudia la concavidad y convidad d f. Tin punto d inflión? a) Signo d la drivada: f ' < 0 f ' > 0 f '( ) 0 Por tanto, la función f s dcrcint n (, ) s crcint n (, + ) tin un mínimo n. b) Como f'() s una rcta con pndint, ntoncs f''() > 0. Por tanto, f s una función cóncava. No tin puntos d inflión. 60 Encuntra una función f cuya gráfica no sa una rcta y n la qu istan infinitos puntos n los qu la rcta tangnt a la gráfica d f sa y. f () cos Vamos qu la rcta tangnt a f () n los puntos d la forma πk, con k Z, s y. f (πk) cos (πk) f'() sn f'(πk) sn (πk) 0 La rcta tangnt s: y Unidad 0. Aplicacions d la drivada 5
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