x. Determina las asíntotas de la gráfica de f.

Transcripción

1 Slctividad CCNN 008 ax +x si x. [ANDA] [SEP-A] Considra la función f: dfinida por: f(x) = x -bx-4 si x > a) Halla a y b sabindo qu f s drivabl n. b) Dtrmina la rcta tangnt y la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa x =.. [ANDA] [SEP-B] D ntr todas las rctas dl plano qu pasan por l punto (,), ncuntra aqulla qu forma con las parts positivas d los js coordnados un triángulo d ára máxima. Halla l ára d dicho triángulo.. [ANDA] [JUN-A] Sa f la función dfinida, para x 0, por f(x) = x x. Dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. 4. [ANDA] [JUN-B] D ntr todos los rctángulos d prímtro 8 cm, dtrmina las dimnsions dl qu tin diagonal d mnor longitud. 5. [ARAG] [SEP] Sa f(x) = x x+. a) Estudiar su dominio, los intrvalos d crciminto y dcrciminto y sus asíntotas. b) Calcular lim x + x f(x+)-f(x). 6. [ARAG] [SEP] Una mprsa ha dcidido mjorar su sguridad instalando 9 alarmas. Un spcialista n l tma sñala qu, dada la structura d la mprsa, sólo pud optar por alarmas d dos tipos, A o B; admás, afirma qu la sguridad d la mprsa s pud xprsar como la décima part dl producto ntr l númro d alarmas dl tipo A instaladas y l cuadrado dl númro d alarmas instaladas dl tipo B. Estudiar cuántas alarmas d cada tipo dbn instalar n la mprsa para maximizar la sguridad. 7. [ARAG] [JUN] Encontrar l valor d k para l cual la función f(x) = función continua. 6-x/ si x < x s continua. Estudiar si su drivada s una +kx si x 8. [ASTU] [SEP] Calcul los límits: a) lim x x 4 b) lim x - x - 9. [ASTU] [JUN] S dispon d 00 m d tla mtálica y s dsa vallar un rcinto formado porun rctángulo y dos smicírculos, como indica la figura. Dtrmin las dimnsions d x y paraqu l ára ncrrada sa máxima. 0. [ASTU] [JUN] S considra la función f(x) = x- si x < x - si x a) Dtrmin su dominio d dfinición, studi su continuidad y hall las asíntotas. b) Esboc la gráfica d la función. c) Hall los puntos dond la rcta tangnt s paralla a la rcta x+4y = 0.. [C-LE] [SEP-A] Hallar, d ntr todos los puntos d la parábola d cuación y = x -, los qu s ncuntran a distancia mínima dl punto A -,-.. [C-LE] [SEP-A] Estudiar la continuidad d la función f(x) = -cosx si x 0 x 0 si x = 0. [C-LE] [SEP-B] Sa f(x) = -x+lnx, con x (0,+ ), a) Dtrminar los intrvalos d crciminto y dcrciminto, los xtrmos rlativos, los intrvalos d concavidad y convxidad y las asíntotas d f. Esbozar la gráfica d f. b) Probar qu xist un punto c tal qu f(c) = 0., Página d 5

2 Slctividad CCNN 008 ax --ax 4. [C-LE] [SEP-B] Calcular los valors dl númro ral a sabindo qu lim = 8. x sn (x) 5. [C-LE] [JUN-A] Calcular lim x +x 6. [C-LE] [JUN-A] Dtrminar l valor d a para qu la rcta tangnt a la función f(x) = x +ax n l punto x = 0 sa prpndicular a la rcta y+x = [C-LE] [JUN-B] Calcular las asíntotas d f(x) = (x-) 4x + 8. [C-MA] [SEP] Dadas las funcions f(x) = ln -x y g(x) = ln +x, s pid: a) Dtrmina l dominio d cada una d llas. b) Estudia si dichas funcions tinn puntos d inflxión. 9. [C-MA] [SEP] Dtrmina los valors d los parámtros a,b para qu la función f(x) = ax +bx -x tnga un xtrmo rlativo n l punto d abscisa x = y admás pas por l punto,-. Halla la cuación d la rcta tangnt a f(x) n l punto d abscisa x = [C-MA] [JUN] Calcular los siguints límits: x -8x +7x x a) lim b) lim x -x x +cos(x) cos(x). [C-MA] [JUN] Dfinición d punto d inflxión d una función. Calcula l valor d los parámtros a,b para qu la función f(x) = x -a x +bx tnga un punto d inflxión n x = 0 y un mínimo rlativo n x =.. [CANA] [SEP] Dada la función f(x) = -x - -x, s pid: i) Hallar las coordnadas d sus máximos y mínimos rlativos. ii) Calcular, si xist, la cuación d la asíntota horizontal.. [CANA] [SEP] Halla los valors d a, b y c d forma qu la función f(x) sa continua n l intrvalo [,], drivabl n l intrvalo (,) y, tal qu, f() = f(): f(x) = ax+bx si x < 0 c+ x+ si 0 x. x 4. [CANA] [JUN] Para la función dada por: f(x) = + x+ -x+ si x > sn(x-) si x. Encontrar los valors d, y qu hacn qu f(x) sa continua, y admita primra y sgunda drivada n x =. 5. [CANA] [JUN] Dada la función f(x) = ax +bx +cx+d, dtrminar los valors d a, b, c y d para qu s cumplan las siguints condicions: º) Qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto (0,) sa paralla a la rcta y+ = 0. º) Qu la rcta x-y = 0 sa tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa x =. 6. [CANA] [JUN] Calcular l valor d a para qu la rgión plana ncrrada ntr la parábola y = x y la rcta y = a sa l dobl dl ára d la rgión limitada por dicha parábola y la rcta y =. 7. [CANA] [JUN] Considérs l rcinto limitado por la curva y = x y la rcta y =. D ntr los rctángulos situados como l d la figura, dtrminar l qu tin ára máxima. Página d 5

3 Slctividad CCNN [CATA] [SEP] Dadas las funcions f(x) = x - -x y g(x) = x + -x : a) Comprub qu g(x) - f(x) =. b) Comprub también qu f'(x) = g(x) y g'(x) = f(x). c) Comprub qu f(x+y) = f(x) g(y) + f(y) g(x). f(x) d) Calcul lim dividindo por x l numrador y dnominador. Con un procdiminto similar (pro no igual), ncuntr l x + g(x) f(x) lim x - g(x). 9. [CATA] [SEP] Considr la función f(x) = ax +x+b (a,b ). Encuntr los valors d a y b qu hacn qu la rcta y = x+ sa tangnt a la gráfica d f cuando x =. 0. [CATA] [JUN] Considr una función cuya rprsntación gráfica n l intrvalo (-,) s la d la drcha. a) Dtrmin las abscisas d sus puntos xtrmos (máximos y mínimos) rlativos. b) Estudi l crciminto y dcrciminto d la función n l intrvalo (-,). c) Haga un sbozo d la gráfica d la drivada d sta función. d) Sabindo qu la función s d la forma f(x) = ax 4 +bx +c, ncuntr d qué función s trata. - ln x +. [ETR] [SEP-A] a) Calcula l siguint límit: lim x b) Indica, razonadamnt, l valor qu db tomar a para qu la siguint función sa continua: f(x) = Nota: ln dnota logaritmo npriano.. a si x = 0 ln x + si x 0. x. [ETR] [SEP-B] Halla los puntos d la curva d cuación y = x x + dond la rcta tangnt s paralla a la rcta y+x = 0.. [ETR] [JUN-B] Calcula l siguint límit: lim 4. [MADR] [JUN-A] Estudiar los siguints límits: (a) lim x -x. x + 4 x +5 x (b) lim x + x +6 x x - 5. [MADR] [JUN-A] Obtnr los máximos y mínimos rlativos, y los puntos d inflxión d la función: f(x) = x ln(x) sindo ln(x) l logaritmo npriano d x. x - 6. [MURC] [SEP] Dada la función f(x) = x, s pid: 4-x i) Dominio y cort con l j. ii) Asíntotas vrticals (calculando los límits latrals). iii) Asíntotas horizontals y oblicuas. iv) Intrvalos d crciminto y d dcrciminto. Extrmos. v) Rprsntación gráfica aproximada. 7. [MURC] [SEP] S quir construir una caja (sin tapadra) d bas cuadrada y con un volumn d 50 cm. Calcul las dimnsions d la bas y la altura d la caja para qu su suprfici sa mínima. 8. [MURC] [JUN] Dada la función f(x) = - x, s pid: x -4 i) Dominio y cort con l j. Página d 5

4 Slctividad CCNN 008 ii) Asíntotas vrticals (calculando los límits latrals). iii) Asíntotas horizontals y oblicuas. iv) Intrvalos d crciminto y d dcrciminto. Extrmos. v) Rprsntación gráfica aproximada. 9. [MURC] [JUN-B] En un triángulo isoscls d bas cm (corrspondint al lado dsigual) y altura 0 cm, s inscrib un rctángulo d forma qu uno d sus lados stá sobr la bas dl triángulo y dos d sus vértics sobr los lados dsiguals dl triángulo. Calcular las dimnsions (bas y altura) dl rctángulo para qu su ára sa máxima. 40. [RIOJ] [SEP] Sa f(x) = x -x. Calculad su dominio, sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, y sus puntos d inflxión. Calculad lim f(x) y lim f(x). Dibujad una gráfica d la función qu rflj los datos obtnidos. x + x - 4. [RIOJ] [JUN] Dada la función f(x) = x- hallad su dominio, sus asíntotas, sus intrvalos d crciminto, sus máximos y sus +x, mínimos. Hacd una rprsntación gráfica d la función qu rflj los datos obtnidos. 4. [RIOJ] [JUN] Considramos la función f(x) = arctgx - x. Calculad su dominio, sus intrvalos d crciminto, sus máximos y sus mínimos.. Calculad f(0) y lim f(x) y lim f(x). x + x - Dibujad una gráfica d la función qu rflj los datos obtnidos. 4. [VALE] [SEP] Un movil s muv con vlocidad constant d m/s, n l primr cuadrant, sobr la rcta x =, partindo dl punto M = (,0) situado a m dl orign. S pid obtnr razonadamnt: a) Las coordnadas dl punto M(t) dond stá situado l móvil dspués d t sgundos. b) La función m(t) igual a la pndint d la rcta qu pasa por l punto O=(0,0) y por l punto M(t). c) La drivada d la función m(t). 44. [VALE] [SEP] En un trrno con forma d smicírculo d radio 50 mtros, s dibuja un rctángulo qu tin dos vértics sobr la smicircunfrncia dl prímtro dl trrno. Los otros dos vértics dl rctángulo stán sobr l sgmnto rctilíno d dicho prímtro y distan x mtros. Obtnr razonadamnt: a) El ára dl rctángulo n función d x. b) El valor d x para l qu s máxima l ára dl rctángulo. 45. [VALE] [JUN] S considra la función ral f(x) = x -4. Obtnr, xplicando l procso d cálculo: a) La gráfica d la curva y = f(x). b) Los valors d x para los qu stá dfinida la función ral g(x) = ln f(x). c) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función g(x), razonando si tin, o no, máximo absoluto. 46. [VALE] [JUN] Una mprsa dcid lanzar una campaña d propaganda d uno d sus productos ditando un txto qu ocupa 8 cm n hojas rctangulars imprsas a una cara, con márgns suprior infrior d cm y latrals d cm. S pid calcular, razonadamnt, las dimnsions d la hoja para las qu l consumo d papl sa mínimo. 47. [VALE] [JUN] Una vntana tin forma d trapcio rctangular. La bas mnor mid 0 cm y l lado oblicuo mid 40 cm. Hallar, razonadamnt, l ángulo qu db formar l lado oblicuo con la bas mayor para qu l ára d la vntana sa máxima. Calcular st ára. Nota: Un trapcio rctangular s un cuadrilátro con dos lados parallos y n l qu uno d los otros dos lados s prpndicular a stos dos lados parallos. Solucions. a) -, 5 b) y = x- ; y = - 4 x+. y = x+4 ; 4. x = 0; y = x+ 4. cuadrado d lado cm 5. a) Dfinida y crcint n -{}. As: x = -; y = b) 6. d A y 6 d B 7. (a) (b) discontinua n l. 8. a) b) 9. 8 m, 8 m. 0. a) D: -{}, cont: -{} As. x = ; y = 0 b) - - c) -. Página 4 d 5

5 Slctividad CCNN 008-4,-.. a) crc: (0,); concava: (0,+ ); a.h. x = y = 8. a) f: (-,); g: b) f: no; g: 9., - ; y = -x 0. a) -7 b)., -. i) max: (0,); min: -, -,, - cuadrado d lado 8. d), - 9., 0. a), 0, b) Crcint n (-,) (0,) c) - 4. (a) + (b) 0 5. max: ; min: ; p.i: ii) y =., 8, - 4., -, , -0, 0, (x,y) = (.), un 6. i) -{4}; (0,0) ii) x=4 iii) y = -x-4 iv) crc: (0,4) (4,8); min: 0; max: 8 v) altura:,97 cm 8. i) -{,} ; (-,0), (4,0) ii) x = ; x = iii) y = iv) crcint n v) 5 ; lim f(x) = - ; lim x - f(x) = 0 ; x dom: ; asin: y = 0; crc: (-,); min: -; max: ; d) f(x) = -x4 8 +x -. a) 0 b) 0. (,0), , bas: 7,94 cm; 9. bas: 6; altura: D: ; crc: (-,) ; p.i: 0, dom: ; crc: (-,); min: -; max: ; f(0) = 0; lim: 4. a) M(,t) b) m(t) = t c) 44. a) x 00-x b) a) - -4 b) (-,) (,+ ) c) Crcint n (,+ ). Sin máx. absoluto 46. 5cm x 0 cm º Página 5 d 5