MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Transcripción

1 MTEMÁTICS II PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD DE OVIEDO.- NÁLISIS ª PRTE.- Cálclo Intgral.- MODELO DE PRUEB Dada la parábola, s corta por la rcta d cación ; n los pntos d intrscción s trazan las tangnts a la parábola. S pid hallar l ára dl rcinto limitado por la parábola las tangnts. Jstifica las rspstas. La parábola podmos dibjarla sncillamnt, sin más q scribirla d la forma:. Esta parábola, s igal q la parábola, pro tnindo n cnta q los js stán cambiados o dicho d otra forma, la parábola stá tmbada: abr hacia la drcha. Nstra parábola, pasará, como s vidnt, por los pntos,,,-. S gráfica, s la q pd vrs n la figra. Para vr dónd s cortan la parábola la rcta, basta Rsolvr l sistma: cas solcions son:, Q Es dcir, q la parábola la rcta s,, cortan n los pntos:,,-. -, P M Encontrmos ahora las tangnts a la parábola, n cada no d sos dos pntos. Nstra parábola,-, stá n ralidad compsta por la gráfica d dos fncions q s pgan n l orign. Esas dos fncions son: q corrspondn a las dos ramas, la d arriba la d abajo. Encontrmos ahora la tangnt n cada no d los dos pntos pdidos: Tangnt a n l pnto,: - m - pro como bin sabmos, la pndint S trata por tanto d la rcta: s dcir, Tangnt a n l pnto,-: m - lo mismo q ants, la pndint d ' "m", s la drivada d la fnción n l pnto: m S trata por tanto d la rcta: s dcir, Las dos rctas, pdn vrs dibjadas n la figra. Cortan al j d abscisas n l pnto -, como la sitación s simétrica, l ára q q nos pidn, srá:. ' la rcta "m", s la drivada d la fnción n l pnto m d [nota: Lgo l ára bscada, srá s l ára dl triánglo PQM]

2 .- JUNIO 99 Hallar l ára dl rcinto limitado por la parábola d cación, l j d ordnadas la tangnt a la parábola, paralla a la rcta - 8. Razona la rspsta. La parábola, parcida a la stdiada n l jrcicio antrior, dbmos rprsntarla dspjando s como, pro cambiando los js. S trata d na parábola tmbada, q abr hacia la drcha bastant abirta vr dibjo. En qé pnto d la parábola srá la rcta tangnt paralla P a la rcta -8? M sncillo: n l pnto n l q las dos rctas, tngan la misma pndint. hora bin, como la pndint d la rcta -8 s m/ rcrda q la pndint d na rcta vin dada por l coficint d la "" cando dspjamos "", s trata d ncontrar l pnto n l q la pndint d la tangnt a la parábola, s dcir, la drivada, valga /. Como sa pndint s positiva, stamos n la rama positiva d. S trata por tanto d vr n qé pnto, M O Q la drivada d la fnción o lo q s igal : val actamnt /. ' ; por tanto, S trata dl pnto d abscisa, por lo q la ordnada db valr:. El pnto bscado s P,. La tangnt n s pnto, srá la rcta: pd vrs n la figra El ára bscada, q s ncirra ntr la rcta q acabamos d ncontrar, l j d ordnadas la parábola, s, como pd vrs n la figra, la difrncia ntr l ára dl trapcio MOPQ l ára ncrrada por la parábola ntr las rctas. Sin más q rcordar q l ára d n trapcio s igal a la sma d ss bass por la altra dividido por dos, q l ára ncrrada por la parábola ntr sas dos rctas s la intgral dfinida ntr cro catro d la fnción q dtrmina la parábola, s dcir d, conclimos q: d.- SEPTIEMBRE 99 Hallar los coficints d la cación a b c d para q la crva corrspondint prsnt n l pnto, na inflión con tangnt paralla al j OX, pasando dicha crva por l orign d coordnadas. Calclar l ára dl rcinto limitado por la crva la rcta q n l orign con l pnto d inflión. Razona las rspstas. ' a b c Hallmos las drivadas primra sgnda d sa fnción: ' ' a b Impongamos ahora las condicions dl problma no olvidmos q con cada condición, obtndrmos na cación q si tnmos catro incógnitas a, b, c, d, ncsitamos catro cacions. Para q pas por l orign,, dbmos sstitir n la cación, d Para q tnga inflión n, la drivada sgnda db anlars n s pnto ab Para q tnga tangnt horizontal n, la drivada primra db anlars n dicho pnto abc Para q pas por l pnto,, Dbmos sstitir n la cación, 8abcd

3 Psto q d, s trata d rsolvr l sistma: a b a b c 8a b c cas solcions a 8 son : b c La fnción pdida, s por tanto:. 8 Calclmos ahora l ára dl rcinto limitado por la crva corrspondint a la gráfica d la fnción q acabamos d ncontrar, la rcta q n l orign con l pnto d inflión. La fnción q ncontramos n l apartado antrior, s na cúbica q únicamnt corta al j d abscisas n l pnto, a q al hacr n la cación, sólo ncontramos la raíz ral. Por otra part, la drivada pimra sólo s anla n, Q, q como a sabmos no s máimo ni mínimo, sino n pnto d inflión con tangnt horizontal, lgo no ha máimos ni mínimos. La gráfica, s la q pd vrs n la figra, l ára pdida srá: P d,, 8 Nota: la fracción. Corrspond al ára dl triánglo OPQ..- JUNIO 99 Hallar l ára dl rcinto limitado por los js d coordnadas, la rcta la crva d cación. Razona la rspsta. La gráfica d la fnción s la rama sprior d na parábola. En ralidad s la rama sprior d la parábola, pro trasladada dos nidads a la drcha. M P, No olvids q la gráfica d, s la rama sprior d la parábola, q como a vimos n jrcicios antriors, s como pro cambiando los js, Para vr dónd s cortan la gráfica d la fnción q nos dan O, Q, la rcta, rsolvmos l sistma S cortan por tanto, n l pnto P,. La sitación, s la q pd vrs n la figra l ára pdida, s obtin sin más q qitarl al ára dl rctánglo OMPQ, l ára ncrrada por la crva ntr los pntos d abscisas. Nota :R crda q d d

4 .- SEPTIEMBRE 99 Hallar l ára dl rcinto limitado por l j OX la crva d cación: f. Razona la rspsta. Vamos n primr lgar cómo s aproimadamnt la gráfica d la fnción q nos dan, para tnr na ida d cál s l rcinto dl q dbmos hallar l ára. La fnción f n l intrvalo [, ], stará solamnt dfinida cando s dcir, Corta al j d abscisas cando o bin ± Lgo los pntos d cort con l j d abscisas son:,,,. Para vr dónd tin máimos o mínimos, igalamos la primra drivada a cro: ' ' ± Llvando sos dos valors a la fnción, rslta q los dos posibls máimos o mínimos, stan n los pntos:,,9,, MXIMO,,9,, MÍNIMO Como admás la fnción s impar, s gráfica srá simétrica con rspcto al orign d coordnadas más o mnos, tndrá l aspcto qq pd vrs n la figra. El ára bscada, srá por tanto: Y como d d d.- JUNIO 99 i Dfinir primitiva d na fnción ii Calclar la primitiva d la fnción f tg tg, q pas por l pnto,. Razona la rspsta. i Vr n los apnts d toría la dfinición d primitiva d na fnción. ii Encontrmos n primr lgar todas las primitivas d "f" s dcir, calclmos s intgral indfinida lgo, lijamos d ntr todas llas la q pas por l pnto,. f d d d d d L L k tg tg tg tg tg cos Todas las primitivas d "f", srán fncions d la forma tg L L cos k dond "k" s, como bin sabmos, na constant. Dtrminmos sa constant, obligando a q la fnción primitiva pas por n pnto,. Es dcir, tg L L cos k k L Obsrva q tg, L cos como s positivo, L L.

5 Obsrva también, lo important q s ponr l valor absolto n la primitiva tg d L cos porq n caso contrario, no podríamos scribir L cos, psto q cos no tin sntido hablar dl logaritmo d númros ngativos. En conscncia, para trminar, como a conocmos l valor d "k", la fnción q nos pid l problma srá: tg L L cos L 7.- SEPTIEMBRE 99 Hallar l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la fnción ln f, l j d abscisas las rctas. Razona la rspsta. Vamos n primr lgar qé aspcto tin la gráfica d la fnción, para así sabr cómo s l rcinto dl q dbmos calclar l ára. En primr lgar, digamos q Dom f R, a q la fnción logaritmo sólo stá dfinida n los númros rals positivos. Vamos dónd corta sa fnción a los js: L a l j OX: L. Corta al j OX n l pnto,. b l j OY no lo corta, psto q cando, la fnción no stá dfinida Para ncontrar los máimos los mínimos, acdamos a la primra sgnda drivadas: L L L f f ' f ' ' f ' L L. L Como f ' ' <, podmos conclir q la fnción no tin mínimos tin n máimo n l pnto, / s dcir, aproimadamnt,7,,7. Los pntos d inflión son irrlvants para lo q prtndmos n st jrcicio, así q pasmos a ncontrar las asíntotas. a Vrticals: En, l dnominador s anla como l nmrador q s L tind sgún L sabmos a, podmos conclir q lim. Por tanto, la rcta s na asíntota vrtical. L b Horizontals: lim lim lim hmos aplicado la Rgla d L'Hôpital Habrá ps asíntota horizontal, srá la rcta. La gráfica d la fnción, srá la q pd vrs n la figra. hora a podmos vr l rcinto dl q nos / habla l problma, calclar s ára "". L d L d L l d Pro como d L k [ L ] [ L ] Téngas n cnta q L L, q L

6 8.- JUNIO 997 Hallar l ára dl rcinto limitado por l j OX la gráfica d la fnción f. Jstifica la rspsta. Vamos cómo s aproimadamnt la fnción q nos dan. Esta dfinida cando. Es dcir, n l intrvalo [-,]. Es na fnción par, a q al cambiar l signo d la variabl, la fnción no varía; por tanto, srá na fnción simétrica con rspcto al j d ordnadas. Para dibjar s gráfica, bastará fijarnos n lo q hac a la drcha dl j OY, porq a la izqirda s actamnt igal. Tndrá máimos o mínimos cando s anl la primra drivada: f f ' f ' ± Habrá por tanto máimo n l pnto,. proimadamnt,,7,,. Y como la fnción s par, también habrá máimo n l -,7,,. Y como la fnción s par, también habrá máimo n l -,7,,. Nota : La fnción drivada f ', pd a primra vista parcr q s anla n, pro n ralidad no stá dfinida n s pnto, a q para s valor s anlan tanto nmrador como dnominador n la prsión d f '. Nota : Sabmos q ha máimo n, sin ncsidad d calclar la drivada sgnda, porq n los pntos crcanos, a la drcha d, por jmplo,8, la drivada primra s ngativa s dcir, la fnción s dcrcint a la izqirda, por jmplo n, s positiva la fnción s crcint. El aspcto d la fnción pd vrs n la figra por tanto, l ára q bscamos srá: hora bin, d. d d d Y n conscncia: d 9.- SEPTIEMBRE 997 Hallar l ára dl rcinto limitado por l j d abscisas, la crva d cación la tangnt a dicha crva n l pnto d la misma, d abscisa. Razonar la rspsta. Nos stán pidindo l ára dl rcinto "" d la figra. B, En primr lgar, vamos a ncontrar la cación d la rcta tangnt a la crva n - -, B,

7 l pnto d abscisa, s dcir, n l pnto,. Para llo, únicamnt ncsitamos la pndint, q como bin sabmos, vndrá dada por la drivada d la fnción n l pnto. f f ' f '. La cación d la rcta tangnt bscada srá: s dcir, -. Esa rcta, corta al j d abscisas n l pnto -, podmos vrla dibjada n la figra. El problma nos pid ncontrar l ára dl rcinto, q n la figra vin indicado por "". hora bin, l ára d s rcinto, pd calclars qitándol al ára dl triánglo BC, l ára corrspondint al rcinto bas altra 8. Como l ára dl triánglo BC s: 8 El ára q nos pidn, srá: 8 -. Calclmos ps l ára : d Para calclar sa intgral dfinida, hallmos primro la intgral indfinida: d. Hagamos l cambio: d t t dt d, para q nos qd na intgral inmdiata: dt t t t dt / t t tanto, d. 8 Para finalizar, l ára pdida, srá: 8.- JUNIO 998 a a dshacindo Halla l valor d a para q d. Jstifica la rspsta. En primr lgar, vamos a vr cómo s la fnción. l cambio Por - -a - a - Nos pidn l valor q db d tomar "a", para q l ára dl rcinto d la figra sa d. Calclamos l ára d la mitad drcha dl rcinto no olvidmos por tanto, q l valor d"a" db sr positivo lo mltiplicamos por dos. Esa mitad drcha, stá formada por dos triánglos rctánglos a isóscls cos cattos midn rspctivamnt a-. Por tanto, como db valr, bastará rsolvr la cación: a a a a a a a [ a, a - ]. El sgndo valor s ngativo, lgo lo dsprciamos. Por tanto, la solción srá: a,7. 7

8 .- SEPTIEMBRE 998 Calcla l ára dl rcinto limitado por l j d abscisas, la crva d cación En primr lgar, vamos cómo s aproimadamnt la gráfica d la fnción. Está dfinida sólo cando, q s l dominio d dfinición d la fnción. Corta al j d abscisas n los pntos,,, psto q las solcions d la cación son:. Para vr si ha máimos o mínimos, drivamos: ' ' '. La primra drivada, s anla cando -, s dcir, para /. Como n s caso la sgnda drivada s positiva, ha n mínimo n l pnto,,,,8. Y no ncsitamos nada más para sabr q la gráfica d la fnción, s aproimadamnt la q pd vrs n la figra. Parar calclar l ára q nos pidn, dbmos intgrar ntr cro no tnr n cnta q sa intgral dará n rsltado ngativo, por lo cal db tomars n valor absolto: hora bin: Por tanto,.- JUNIO 999 Sa d d d d 8 d d α d Calcla l valor d α para l q las tangnts a la crva n los pntos d abscisa d valor absolto no, pasn por l orign d coordnadas. Halla l ára dl rcinto limitado por la crva las dos tangnts. Digamos para mpzar, q la crva s la parábola, pro sbida α nidads n l caso d q α sa positivo. Los pntos d los q nos habla l problma, son los pntos d abscisa -, s dcir, los pntos P Q P, α Q-, α. Encontrmos la cación d las rctas tangnts a la crva n sos pntos; para llo, lo único q ncsitamos calclar son ss pndints: ' ' ' α - O M

9 Por tanto, la pndint d r tangnt n l pnto P s la pndint d s tangnt n Q, -. Las cacions d stas dos rctas srán: r α r α s dcir, s α s α Ls Obligamos a pasar por l orign s dcir, hacmos, con lo q obtnmos q α. Para α, las tangnts n los pntos d abscisa -, pasan por l orign. hora calclmos l ára dl rcinto q nos pidn: l rcinto limitado por la gráfica d la fnción, q como α, srá las rctas tangnts n los pntos d abscisa -, q n st caso, son los pntos, -,. Por sr simétrico l rcinto, srá l dobl dl ára dl rcinto q pd vrs n la figra. Calclmos ps l ára dl rcinto, mltiplicando por dos trminamos. Ára d -, dond s l ára dl rcinto limitado por la crva ntr las rctas s l ára dl triánglo OQM. ; Por tanto : Por consigint, l ára dl rcinto q nos pidn s d.- SEPTIEMBRE 999 Sa Halla l ára limitada por la crva, la rcta tangnt n l pnto dond la fnción tin n trmo la tangnt a la crva con pndint. La crva s na parábola para rprsntarla aproimadamnt, nos basta con ncontrar l trmo n st caso mínimo los pntos n los q corta a los js. Para vr dónd corta al j OX, rsolvmos:. Como s na cación q no tin solcions, la crva no corta al j d abscisas. l j OY, lo corta n l pnto,. Para calclar l trmo, drivamos: ', igalamos a cro: -. Como la drivada sgnda s positiva, podmos conclir q tin mínimo n l pnto N-, M N T R s Q P - r Por otra part, para vr n qé pnto la tangnt a la crva tin pndint, basta con igalar a la primra drivada:. S trata por tanto dl pnto M, la rcta "r", tangnt n s pnto, tin sta cación: r s dcir,. Calclmos por fin l ára dl rcinto q nos pidn. Es rcinto, q n la figra hmos llamado, stá limitado por la rcta "r", ca cación acabamos d calclar, por la rcta "s" tangnt a la crva n s mínimo ca cación s, la crva. S ára srá: - - Dond s l ára dl rcinto limitado por la crva las rctas vrticals -. s l ára dl rctánglo NRQP. Y s l ára dl triánglo MTR. El ara dl rctánglo NRQP, s vidntmnt: Para calclar l ára dl triánglo MTR, ncsitamos la abscisa dl pnto T, q s dond s cortan r las rctas:. Rsolvindo l sistma, obtnmos q s trata dl pnto, s Por tanto, la bas dl triánglo mdirá: la altra,

10 9 7 sí ps, El ára ncrrada por la crva las rctas -, srá d 7 9 El ára pdida, srá por tanto.- JUNIO Calcla l ára d la rgión limitada por la gráfica d la parábola d cación l sgmnto cos trmos son los pntos P, - Q,. En primr lgar, dbmos darnos cnta d q la parábola q pd vrs n la figra, stá formada por la nión d las gráficas d las fncions na por ncima la otra por dbajo dl j d abscisas. Calclmos ahora la cación d la rcta q pasa por los pntos P Q, para sabr cál s la fnción q tin como gráfica sa rcta. Como l vctor dirctor d la rcta s PQ r,, la cación srá: s dcir, -. El pnto M, q ncsitarmos para nstros cálclos, s l pnto n l q l sgmnto PQ corta al j d abscisas; s obtin rsolvindo l sistma Y por tanto ss coordnadas son: M,. El ára q nos pidn, s la sma d las áras d los rcintos,,. * d Es dcir, l ára dtrminada por la fnción, los js la rcta, mnos l ára dl triánglo MNQ. Tnindo n cnta q:. d d / * d Es dcir, l ára dtrminada por la fnción, l j d abscisas la rcta. Si prfrimos no liarnos con l valor absolto, psto q l ára s la misma n la part sprior infrior dl j, a q la parábola s simétrica, podmos hacr: * S trata dl triánglo MPB d 7 9 Por tanto, l ára bscada srá:, Q B M N P

11 7.- SEPTIEMBRE. Sa la fnción a Encntra na primitiva para f. b Calcla f d f a f d d d d d d d arctg C Por tanto, na primitiva d f srá la fnción g arctg. b f d f d d [ arctg] [ ] En aplicamos las propidads linals d la intgral dfinida 8.- JUNIO. Sa la fnción f. a Encontrar na fnción primitiva d f. b Calclar l ára ncrrada ntr f l j d abscisas para [,] a d d L k b La fnción f corta al j d abscisas únicamnt n, lgo n l intrvalo [, ] la fnción stá simpr por ncima dl j. Por tanto, l ára pdida s obtndrá d forma sncilla: [ L ] L L L L, d SEPTIEMBRE. Sa la fnción a Calclar na primitiva. b Dtrminar f d f a Para ncontrar na primitiva d f, procdrmos por parts dos vcs con l fin d consgir q dsaparzca. En primr lgar, hacindo: d d. ; d dv d d ; La sgnda intgral, también la hacmos por parts llamando: ; d dv d d ; v d d Llvando st rsltado a, obtnmos na primitiva d la fnción f: d d b f d d [ ], 7 v.

12 .- JUNIO a Dibjar l rcinto limitado por las crvas b Calclar l ára dl rcinto antrior.,,. Llammos al ára q nos pidn. Podmos dividirla n dos parts para hacr los cálclos: na part, ntr vamos a llamarl otra ntr a la q llamarmos. d d d d 9.- SEPTIEMBRE L > Dada la fnción f a Calcla l mínimo d dicha fnción b Calcla l ára d la rgión limitada por la gráfica d dicha fnción l j OX dsd hasta a, sindo a la abscisa dl mínimo ncontrado. 9 a Esa fnción sólo stá dfinida n los númros positivos n l cro f. Es contina drivabl n todo s dominio, salvo n l cro. En la fnción no pd sr contina ni drivabl, psto q no tin sntido hablar dl límit por la izqirda a q a la izqirda dl cro, la fnción no stá dfinida. Para calclar l mínimo q nos pidn, procdmos como simpr: drivamos igalamos la drivada a cro; lgo sstitimos los valors q anlan la drivada primra n la drivada sgnda, los q la hagan positiva son mínimos. f L f ' L f ' L f '' f ' L L,7 f '' > s trata d n mínimo. El mínimo stará n l pnto P, f, L,,7,,7. b La gráfica d la fnción q nos dan, s la q pd vrs n la figra. hora s trata d ncontrar l ára d la rgión limitada por sa crva l j OX, ntr los pntos. Como sa rgión stá por dbajo dl j d abscisas, tomarmos valor absolto al hacr la intgral, porq sta saldrá ngativa n ára nnca pd sr ngativa. Llammos al ára q nos pidn. L d Para hallar l valor d sa intgral dfinida, harmos primro la intgral indfinida por parts.

13 L d d L L L L d d d L C dv d v Por tanto l ára pdida srá: L d L,. JUNIO Calcla: a El pnto C d la figra, pnto d cort d la parábola p: l j d abscisas. b El pnto D la cación d la rcta r paralla a r. c El ára sombrada, limitada por la parábola p las rctas r, r, r r. a nq no hac falta, stá bin q spamos q la gráfica d la fnción, s la parábola, pro boca abajo con l vértic dsplazado dos nidads a la drcha catro hacia arriba. Para ncontrar los pntos d cort d sa parábola con l j d abscisas, hacmos rsolvmos la cación: ± Los pntos d cort son: l orign d coordnadas, C,. r r b La rcta r, pasa por los pntos, -, por tanto, s pndint s m D Psto q r s paralla a r, tndrá la misma pndint como pasa por l pnto -,, s cación s: r. Para ncontrar l pnto D, basta cortar la rcta r con l j d ordnadas s dcir, hacr n la cación d r, con lo q s obtin q -. El pnto D, s l, -. c El rcinto dl q dbmos calclar l ára, stá formado por trs triánglos isóscls igals, cos cattos midn catro nidads cada no, l rcinto limitado por la parábola. El ára d cada triánglo rctánglo s d 8. Como son trs, El ára dl rcinto limitado por la parábola, s calcla intgrando:, n total. [ ] d d d Por tanto, l ára total dl rcinto q nos pidn srá:,7. SEPTIEMBRE Sa la crva dscrita por la fnción f para valors d >. Calcla: a La rcta tangnt a la gráfica n l pnto P d la crva d abscisa. b El pnto d cort ntr sa rcta tangnt la asíntota horizontal a la crva. c El ára ncrrada por la crva, l j d abscisas las rctas d cacions r, r, p C

14 a El pnto d abscisa, s l pnto P, 7. La rcta t, tangnt a la gráfica n s pnto, tndrá por cación: t 7 m Como bin sabmos, la pndint m, s la drivada d la fnción n s pnto. f ' f ' Por tanto, la cación d la tangnt q nos pidn s: t 7 O si s prfir, t c Tnindo n cnta q lim, la fnción f tin na asíntota horizontal q s la rcta. Para ncontrar l pnto d cort d la asíntota con la tangnt dl apartado antrior, rsolvmos l sistma dtrminado por ss cacions: El pnto d cort s Q, d La sitación gráfica dl ára dl rcinto q nos pidn, s la q podmos vr n la figra. d Para hacr l cálclo d sa intgral dfinida, hallmos primro la intgral indfinida: d. S trata d la intgral d na fnción racional n la q nmrador dnominador tinn l mismo grado. Podmos dividir, obtnmos q: Por tanto: d d d d d d L C El ára q nos pidn srá: d Rcrda q L. [ L ] 8 L L L,7.- JUNIO si < Sa la fnción f a a si a Dtrmina los valors d a q hacn contina la fnción n. b Dtrmina los valors d a q hacn drivabl la fnción n. c Con a, calcla l ára d la rgión limitada por la gráfica d la fnción l j d abscisas cando varía ntr -. a Para q la fnción sa contina n l pnto, los límits latrals n s pnto han d coincidir. lim f lim [ ] f s contina n para calqir valor d a. lim f lim [ a a] a a

15 b Para q f sa drivabl n, las drivadas latrals n s pnto han d coincidir. ' ' f [ ] [ ] ' ' f [ a a] [ a ] a f s drivabl n si sólo si: a a si < c Cando a, la fnción s d la forma: f si la izqirda dl cro, s trata d la parábola, dsplazada dos nidads a la izqirda catro hacia abajo. Corta al j OX, cando sólo considramos la solción q sta a la izqirda dl cro. la drcha dl cro, s la parábola, q abr hacia abajo, dsplazada dos nidads a la drcha catro hacia arriba. Corta al j OX, cando sólo considramos la solción maor q cro. La sitación gráfica s la d la figra, l ára d la rgión q nos pidn, srá: - [ ] d [ ] d [ ] d d JUNIO. Sa, sn f cos Calcla: a S dominio d dfinición. Ss máimos mínimos n l intrvalo [, ]. b f d a Esa fnción stará dfinida simpr q l dnominador no s anl. cos cos. Como l cosno d n ánglo nnca pd sr maor q, sa cación no tin solción por tanto, Dom f R. Para hallar los posibls máimos mínimos, vamos a la primra drivada n qé pntos s anla: cos cos sn sn cos cos sn cos f ' cos cos cos Rcrda q sn cos sn cos. Tnindo ahora n cnta q na fracción s anla si sólo si s anla l nmrador, / f ' cos cos En l int rvalo [, ] / Para vr cál s l máimo o l mínimo, acdimos a la drivada sgnda: sn cos cos sn cos sn cos sn cos f '' cos cos sn sn cos cos

16 f ' / < f '' / ' > Habrá máimo n l pnto / M, /, / / Y mínimo n l pnto / N, /, / / b nts d hacr la intgral dfinida q nos pidn, ncontrmos na primitiva d f. sn La intgral indfinida d s na intgral d tipo logaritmo npriano, psto q como cos s vidnt, la drivada dl dnominador s prcisamnt l nmrador. Por tanto: sn d L cos C cos / sn / d [ L cos ] L cos / L cos cos.- SEPTIEMBRE / L L / L L / L, Sa la fnción con valors rals f s considra la raíz positiva. Calcla: a La rcta tangnt a la gráfica d la fnción f n l pnto,. b f d c El ára ncrrada por la crva, l j d abscisas las rctas -. a D la rcta q nos pidn, conocmos n pnto por l q pasa, también podmos conocr s pndint, q como sabmos, s la drivada d la fnción f n l pnto d abscisa. f f ' f ' La cación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l pnto,, srá: b Para hallar la intgral dfinida q nos pidn, ncontrmos ants na primitiva d f. dt t t t t f d d t t dt t dt C dt Hacmos l cambio t d dt d Dshacmos l cambio hcho antriormnt. plicamos ahora la Rgla d Barrow conclimos: f d c En l apartado antrior, vimos q la intgral dfinida d la fnción f n l intrvalo [,] ra cro. Eso no qir dcir q l ára d la rgión dl plano limitada por la gráfica d la fnción, l j d abscisas las rctas - vaa a sr cro.

17 Obsrva q s na fnción impar f- f por tanto, simétrica con rspcto al orign d coordnadas; q corta al j d abscisas n los pntos, -, q son las solcions d la cación. S gráfica, s más o mnos como pds vr n la figra por tanto, l ára q nos pidn, srá: f d d 8,87 Obsrva q como las áras d la rgions ntr - ntr son igals, pro na stá por ncima otra por dbajo dl j d abscisas, al hallar la intgral dfinida ntr -, ha d darnos ncsariamnt cro psto q la intgral dfinida s l ára orintada, s dcir, afctada por n signo más o mnos, sgún sté la rgión por ncima o por dbajo dl j d abscisas. 7. JUNIO. Sa la fnción f. Calcla: a Las asíntotas d la fnción. b f d a Vamos n primr lgar las asíntotas d la fnción. Por tratars d na fnción racional, pd habr asíntotas vrticals para aqllos valors d 7 q anln l dnominador:. Vamos cál s l límit d la fnción n sos pntos, para así sabr si ha o no asíntota vrtical. lim f la rcta s na asíntota vrtical. lim f lim lim f f lim ± Como ± la rcta - s otra asíntota vrtical., la fnción no tin asíntotas horizontals. Si hbira asíntota oblica, sría na rcta d la forma m n, dond m n s calclan así: f m lim lim. n lim[ f m] lim lim ± La asíntota oblica srá la rcta. b Psto q la fnción s impar, s dcir q f- - f por tanto simétrica con rspcto al orign, s vidnt q la intgral q nos pidn s cro: d. D todos modos, hagamos como q no lo sabmos. d d d d L d L L L como cabía sprar. Dividindo ntr obtnmos como cocint rsto - - C

18 8. SEPTIEMBRE La crva la rcta q pasa por los pntos, B, limitan n rcinto finito plano. a Traza n sqma gráfico d dicho rcinto. b halla s ára. a Dibjmos la parábola. Para vr dónd tin l vértic, calclamos l mínimo: ' El vértic stá n l pnto, ' Corts con los js. Con OX: Corta al j OX n l pnto, q s prcisamnt l mínimo. Con l j OY: Corta al j OY n l pnto,. Psto q la parábola pasa por los pntos, B, q son los q dtrminan la rcta q nos da l problma, la sitación gráfica s la q pd vrs n la figra d la página antrior. b El ára, dl rcinto plano q limitan la rcta la parábola, pd hallars rstando al ára dl triánglo BC, l ára dl rcinto R limitado por la parábola, l j OX la rcta vrtical. 8 d d C C d JUNIO 7 Dada la fnción f a b cos c dtrmina las constants a, b, c d manra q simltánamnt : S gráfica pas por l pnto, La rcta tangnt n s pnto, sa paralla a la rcta. S vrifiq q f d f a bcos c f ' a bcos bsn Para hallar las trs incógnitas q nos pidn, hmos d imponr las trs condicions q l problma nos dic q tin d cmplir la fnción f. f c f ' b rcrda q la rcta tin pndint a a cos d a sn cos a 8 a 8 a a cos d a d cos d d sn cos d d La intgral cos d la hacmos por parts, llamando: dv cos d v cos d sn,, R C B,

19 9 - D D D sn snd sn d cos cos. SEPTIEMBRE 7 Sa la fnción f a S gráfica dtrmina con l j d abscisas n rcinto limitado D. Calcla s ára. b La gráfica d la fnción g divid D n trs parts, D D D. Haz n dibjo d los trs rcintos. c Calcla l ára dl rcinto D q contin al pnto,. a La fnción f s la parábola f sbida na nidad. Vamos dónd corta al j d abscisas: El ára dl rcinto D dl q nos habla l problma, s dobl dl ára dl rcinto. d D b Podmos vr l dibjo d los trs rcintos n la figra adjnta. c Para hallar l ára dl rcinto D ncsitamos conocr los pntos n los q s cortan las dos parábolas. Para llo, rsolvmos l sistma dtrminado por ss dos cacions: / / Por tanto, si llamamos D al ára dl rcinto D [ ],9 d d D. JUNIO 8. S considra la fnción f a Halla ss asíntotas, máimos mínimos. b Rprsnta gráficamnt la fnción. c Hala l ára dlimitada por la fnción l j OX, para. a síntotas vrticals no ha, porq s na fnción racional l dnominador no s anla. Tampoco ha asíntotas oblicas, porq obviamnt lim f. Sin mbargo, sí tin asíntota horizontal, la rcta, psto q lim lim f f. Vamos a halar los máimos mínimos: '' ' f f f

20 f ' Como f '' <, ha máimon M, Como f '' >, ha mínimo n N, b La gráfica d la fnción pds vrla n la figra c El ára q nos pidn, s la sma d las áras. Como l ára d sas dos rgions s igal, psto q la fnción s impar, * d L L L, 9 -. SEPTIEMBRE 8 S dispon d na chapa d acro q pd rprsntars por la rgión dl plano dtrminada por la parábola la rcta. a Rprsnta gráficamnt la chapa, halla s ára. b Dtrmina las dimnsions dl rctánglo d ára máima q s pd obtnr a partir d dicha chaparon la condición d q no d los lados stá n la rcta. a La chapa s la rgión, q n la figra, pd vrs ntr la parábola la rcta. Para hallar s ára, ncsitamos conocr los pntos P Q n los q rcta parábola s cortan. Y para llo, rsolvmos l sistma dtrminado por ss dos cacions:. El ára q nos pidn, s la sma d las áras d las rgions El ára d sas dos rgions s la misma psto q s trata d na fnción par, por tanto simétrica con rspcto al j OX. Por tanto: [ ] d d, 9 b Est apartado stá rslto n los problmas d la PU corrspondints a Límits, Continidad, Drivadas aplicacions.. SEPTIEMBRE 8 S considra la fnción f a Halla los máimos, mínimos pntos d inflión., sboza la gráfica d d la fnción, calcla l ára comprndida ntr lla l j. b Para [ ] a f f ' f '' Como f '' >, ha máimon M, Máimos mínimos: f ' Como f '' <, ha mínimo n N, P - Q

21 Pntos d inflión f '' Los pntos d inflión son:, B,,7,,7,,7,, C b Para dibjar la fnción n l intrvalo [,] vamos a vr n qé pnto mpiza, n cál acaba, tngamos n cnta q por l mdio ha, sgún vimos n l antrior apartado, n mínimo n pnto d inflión. 7 f f,8. P Q La fnción, n s intrvalo, mpiza n l pnto P, acaba n l pnto N B Q,,8. Entr sos dos pntos, stán l mínimo N,, l pnto d inflión B,7,,7. La fnción s la q pds vr n la figra l ára dl rcinto, s obtin intgrando: * L d L L 8, 7 * d d d d L. JUNIO 9. 7 Esboza La gráfica d la fnción halla l ára d la rgión dl plano dtrminada por dicha parábola la rcta q pasa por los pntos,, V 7 La parábola abra hacia abajo. S vértic, ', s l pnto, Corta al j d abscisas n los pntos: B 8,9 7 8,9 7 l j d ordnadas lo corta n l pnto, La rcta q pasa los pntos,, tin como cación: Ncsitamos conocr los pntos n los q s cortan la rcta la parábola, para llo, rsolvmos l sistma: S cortan n los pntos, B, El ára q nos pidn srá:

22 P O 7, 8 7 d d. SEPTIEMBRE 9 Rprsnta gráficamnt las parábolas. Halla l ára q ncirran. La gráfica d la primra parábola, ± rslta d nir las gráficas d las fncions ;. La sgnda, s la gráfica d la fnción Ncsitamos conocr los pntos n los q las dos crvas s cortan, para llo dbmos rsolvr l sistma: Las dos parábolas s cortan n los pntos,, El ára d la rgión q nos pidn s:, d. JUNIO a Rslv por parts la sigint intgral: d ln b D todas las primitivas d la fnción ln f halla la q pasa por l pnto,. NOT: ln dnota l logaritmo npriano d a Llammos d v d dv d L K L d L d L d L b Todas las primitivas d L f son así: K L F Dbmos ncontrar la q cmpla q F 9 K K F. La primitiva bscada s: 9 L F 7. JUNIO Rslv por cambio d variabl d K L t L t t L t t L dt t t dt t dt t t d d d Hacmos l cambio dt d t

23 t t t dt dt dt dt dt dt t L t t t t t t Dshacmos l cambio: t 8. JUNIO La gráfica d la parábola 8 la rcta ncirran n rcinto plano. a Dibja aproimadamnt dicho rcinto. b Calcla s ára. a El rcinto s l q pds vr n la figra. Está dtrminado por la gráfica d las fncions 8 8 q jntas dtrminan la parábola 8 la rcta vrtical. b El ára dl rcinto s l dobl dl ára d la part d arriba: JUNIO 8 d 8 d 8 d 8 La gráfica d la crva f las rctas ncirran n rcinto plano. a Dibja aproimadamnt dicho rcinto. b Calcla s ára. Como podmos vr n l gráfico, l ára q nos pidn s: [ L ] L, d 8 P Q 8 8. SEPTIEMBRE S considra la parábola a Halla la cación d las tangnts a s gráfica n los pntos d cort con l j OX. b Dibja n sqma dl rcinto limitado por la gráfica d la parábola las rctas halladas antriormnt. c Halla l ára d s rcinto. a Hallmos los pntos d cort con l j OX: ; Vamos ahora cál s la cación d las rctas tangnts t t a sa parábola n los pntos P, Q, f f ' f ' ; f ' t t Las rctas tangnts q nos pidn son: t t b Vamos n qé pnto s cortan las dos rctas, para podr dibjar bin l sqma q nos pidn. 8 8 Es dcir, q sas dos rctas s cortan n l pnto M, 8 c El rcinto s simétrico, así q hallamos l ára dl trozo d la izqirda mltiplicamos por dos. Llammos al ára dl rcinto q nos pidn al ára d. 9 [ ] d d 9 ' Por tanto: ' 8

24 si <. SEPTIEMBRE S considra la fnción f k si a Dtrmina l valor d k para q la fnción sa contina n l intrvalo [, ] b Sponindo q k, halla la cación d la rcta tangnt n l pnto d abscisa. c Sponindo q k, halla l ára q la gráfica d la fnción dtrmina con l j OX, para [, ] a La fnción s, a la izqirda dl na fnción linal, a la drcha na ponncial; por tanto, s contina para calqir valor q tom la variabl, salvo qizás para. Si qrmos q n s pnto sa contina, dbmos asgrarnos d q los límits latrals son igals: lim f lim f lim lim k k k k k ± b Si k, f si < si si f ' < f f ' si > Por tanto, la cación d la rcta tangnt n l pnto d abscisa, srá: t c La gráfica d la fnción s la q pds vr n la figra. Obsrva q solo la dibjamos n l intrvalo [, ]. Para hallar l ára, dividimos l rcinto n trs trozos:,. Llammos al ára q nos pidn,, a las ára rspctivas d los rcintos,. d [ ] d d d C,9.. SEPTIEMBRE Rslv por parts co d cos d cos sn 9 cos sn d cosd cos cos d sn d Por parts, llamando: dv d v dv d sn d cos d Por parts, llamando: dv d v dv d Hmos llgado por tanto, al sigint rsltado: cos d cos sn 9 cosd cos d cos sn - sn cosd cos d cos. SEPTIEMBRE La crva la rcta limitan n rcinto finito n l plano. a Dibja n sqma d dicho rcinto. b Halla s ára. sn

25 a Vamos n primr lgar dónd s cortan la parábola la rcta, rsolvindo l sistma q dtrminan ss cacions: 7 Eso significa q s cortan n los pntos P, Q, 7. El sqma dl rcinto pds vrlo n la figra. b El ára, dl rcinto q nos pidn, srá: [ ] d - - B 7 Q 8 d si <. JUNIO. Sa f : R R la fnción dfinida por: f m n si < si a Calcla m n para q f sa contina n todo s dominio. b Para sos valors hallados, calcla l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f la rcta a Los únicos pntos n los q f pd sr contina son:. Impongamos las condicions q han d cmplirs para q sa contina n sos dos pntos. lim f lim f lim lim m n n lim f lim m n lim f lim m m b El rcinto s l q pds vr n la figra, l ára s: B B. JUNIO. d ; B si Sa f : R R la fnción dfinida por: f si > a Dibja s gráfica b Halla l ára dl rcinto comprndido ntr la gráfica d la fnción antrior l j OX. a La gráfica s la q pd vrs n la figra. b El ára dl rcinto s B. ; ; B d 8 Por tanto, l ára q nos pidn srá: 8 P B P. JUNIO. La crva la rcta limitan n rcinto finito n l plano. a Dibja n sqma dl rcinto. b Calcla s ára. - - O a La rcta s la diagonal dl primr cadrant. Para dibjar la gráfica d, tnmos n cnta lo sigint: Q -

26 Pntos n los q corta al j OX: ; ; Máimos mínimos: ' ; '' Ma, Min, ' ' Pnto dinf :, La fnción s impar: f- -f. b Para hallar l ára dl rcinto limitado por las dos gráficas, lo primro q ncsitamos sabr son los pntos d cort, para llo rsolvmos l sistma: c ; ; S cortan n los pntos: O, P, Q-, - Como las dos fncions son impars l rcinto s simétrico, l ára q nos pidns l dobl d na d las dos parts: [ ] d [ ] d JUNIO. La parábola la rcta limitan n rcinto finito n l plano. a Dibja n sqma dl rcinto. b Calcla s ára. a La gráfica d la parábola vin dtrminada por la nión d las gráficas d stas dos fncions: Con la rcta, dtrminan l rcinto q pds vr n la figra. b El ára d dicho rcinto, s l dobl dl ára dl rcinto B sñalado. B d 8 8 / d /. / B 8. JULIO a Halla la fnción f sabindo q s drivada s f ' q f. b Dmstra q f tin n trmo rlativo n n pnto dl j d abscisas, razona si s máimo o mínimo. a f ' f d d C d d Hacmos sa intgral por parts: dv d v d Para calclar C, imponmos la condición q nos dan: f C C Por tanto, la fnción q nos pidn s la sigint: f b nalicmos la primra drivada q nos proporciona l nnciado la sgnda, para ncontrar s trmo. f ' f '' f ' Psto q f >, s trata d n mínimo. Y como f -. La fnción tin n mínimo n P, q s n pnto dl j d abscisas.

27 9. JULIO. Las gráficas d la crva a a Dibja s rcinto. b Calcla s ára. d la parábola Vamos n primr lgar, los pntos d cort d las dos crvas. Rsolvmos l sistma: ; ; ncirran n rcinto plano. S cortan n los pntos O, P, 8 Q-, - Por otra part, la parábola, corta al j d abscisas n, -,. Y tin l vértic n P-, -. El rcinto, s l q pds vr n la figra. - O P b El ára q nos pidn, la hallarmos dl sigint modo: Q [ ] 8 d d. JULIO. Rslv, sando parts: arctg d. Nota: arctg arco tangnt d d arctg d Hacindo 9 s obtin: dv d v d 8 arctg d arctg d arctg d arctg L C d. JUNIO. Calcla d Para hallar la intgral dfinida vamos primro a ncontrar na primitiva d d s na intgral racional, n la q l dnominador tin dos raícs rals simpls: ; B B Dscomponmos la fracción: B ; B d / / d d Por tanto: d L L L Y conclimos: d L L L L L L plicamos las propidads d los logaritmos. Est paso s útil para dar la solción simplificada, pro pds prscindir d él. 7 L L L L L. 8 7

28 . JUNIO Halla l ára d la zona dl plano limitada por las rctas,, la gráfica d la crva Ln El ára q nos pidn s la dl rcinto d la figra. L d Hagamos n primr lgar la intgral indfinida: L d L L d Procdmos por parts: dv d v L L d L d L L d Volvmos a hacr sa sgnda intgral por parts: d L d d L d L L d L dv d v Llvando st rsltado a conclimos: L d L L L L Por tanto, l ára q nos pidn srá: L d L [ L ],78. JUNIO Calcla d hacindo l cambio t dt / / dt dt d dt L t t t t t t L L L hacmos l cambio d variabl: t d dt El dnominador tin dos raícs rals simpls, q son -. Dscomponmos la fracción: B t B t t B t ; B t t t t t Una vz rslta la intgral, dshacmos l cambio q hicimos antriormnt. plicamos las propidads d los logaritmos para dar n rsltado más compacto. Est paso t lo pds saltar.. JUNIO. Calcla cos / Para hallar la intgral dfinida cos d d L t, dbmos primro ncontrar na primitiva d la fnción cos : cos d d co d Hagamos cada na d sas dos intgrals por sparado. 8

29 a d d b cos d sn sn d sn cos d d Procdmos por parts: dv cos d v cos d sn Llvamos stos rsltados a : cos d sn cos hora aplicamos la rgla d Barrow, trminamos: / / cos d sn cos,. JULIO Las crvas, la rcta limitan n rcinto finito n l plano. a Dibja n sqma dl rcinto. b Calcla s ára. La sitación s la d la figra. Las dos crvas s cortan n l pnto, q s la solción dl sistma: El ára dl rcinto q nos pidn s: d [ ],8 d d d. JULIO S considra la crva d cación a Calcla la cación d la rcta tangnt a la gráfica d sa crva n l orign. b Dibja n sqma dl rcinto limitado por la gráfica d la crva la rcta hallada. c Calcla l ára d s rcinto. a f f ' f ' Por tanto, n l orign, la pndint d la rcta tangnt s m f ' Y la cación d la rcta pdida: s dcir, b Para dibjar aproimadamnt la gráfica d la fnción vamos n par d cosas. En qé pntos corta sa fnción a los js: solción dobl Corta n los pntos,, f ' ; n sos pntos pd habr algún trmo. f '' > Ha mínimo n l pnto M, f '' f '' < Ha máimo n l pnto P, 7 hora dbmos avrigar n qé pntos s cortan la gráfica d la fnción la tangnt n l orign, q son los límits dl rcinto q nos pidn. 9

30 s cortan n O, B, El sqma dl rcinto q nos pidn s l q pds vr n la figra. c El ára dl rcinto q nos pidn s : [ ] d d, P O / 7. JULIO La drivada d na fnción f s f ' 9 a Calcla los intrvalos d crciminto dcrciminto los máimos mínimos d f. b Dtrmin la fnción f sabindo q f a El crciminto d na fnción lo stdiamos n l signo d s primra drivada. f ' 9 f ' { ; ; } M B Signo d f Crciminto d f - - dcrcint n,, Tin n máimo n l pnto d abscisa dos mínimos n los pntos d abscisa - 9 f ' f 9 8 d 8 9 f C f 8 8. JULIO La gráfica d la parábola divid al cadrado d vértics,, B,, C, D, n dos rcintos planos. a Dibja la gráfica d la fnción los rcintos. b Calcla l ára d cada no d llos. D a La gráfica pds vrla n la figra. C b La parábola divid al cadrado n dos rcintos: l primro s P l sgndo los dos trozos Q R. P Llamarmos con la misma ltra al ára d los rcintos R corrspondints. La fnción s crcint n los intrvalos -,-, b C d Q P Q 8 Q R Q B

31 9. JUNIO Sa la fnción f : R R dfinida por: f si si > a Haz n dibjo aproimado d la gráfica d f. b Calcla l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la fnción f, l j d abscisas la rcta. a La gráfica d la fnción s la q pds vr n la figra. b El ára q nos pidn s la dl rcinto sombrado: d - -. JUNIO. Sa la parábola a Halla la cación d la tangnt a la gráfica d sa crva n l pnto d abscisa. b Haz n dibjo aproimado dl rcinto limitado por la gráfica d la parábola, l j OY la rcta tangnt hallada antriormnt. c Calcla l ára dl rcinto antrior. a f f ' Tnmos q hallar la rcta tangnt t n l pnto P, S pndint srá m f '. Y s cación: t o bin : b El rcinto q nos mandan dibjar, s l sombrado d la figra. La Parábola tin l vértic n V,,,,7 corta al j OY n, c El ára dl rcinto s: [ ] d 9 d JUNIO Dada la fnción 9 f a cos, bsca l valor dl númro ral a sabindo q f d. Hacmos n primr lgar la intgral indfinida a cos d, por parts: a d d dv cos d v cos d sn acos d a sn snd a sn cos Imponmos ahora la condición q nos da l jrcicio para l cálclo d a: acos d / Por tanto: acos d a a / [ a sn cos ] a / - t P,

32 . JUNIO. S considran las crvas f g a Encntra ss pntos d intrscción. b Rprsnta l rcinto limitado q ncirran ntr llas. c Encntra l ára dl rcinto limitado por las dos crvas. a Para ncontrar ss pntos d intrscción, rsolvmos l sistma dtrminado por las cacions d ambas: - Las crvas s cortan n los pntos P, - Q -, M, b El rcinto, s l q pds vr n la figra. c El ára d s rcinto, srá la sma d las áras d los dos trozos [ ] 8 8 [ ] d d. JULIO. Calcla d 8 d 7, 8 sn sn d Hacmos primro la intgral indfinida: sn sn d sn d sn d cos cos sn C sn d sn d cos C sn d co cos d cos sn C d d Por parts: dv snd v snd cos hora aplicamos la Rgla d Barrow, hallamos l rsltado d la intgral dfinida: sn sn d cos cos sn cos cos sn cos cos sn Est jrcicio no nos sitúa n ningún contto. El rsltado no s n ára, ni n trabajo, ni calqir otra magnitd. Es sncillamnt n númro.. JULIO. Las gráficas d las fncions f sn g limitan n rcinto finito n l plano. a Dibja n sqma dl rcinto. b Calcla s ára.

33 a El rcinto, s l q pds vr n la figra d la página antrior. b Los pntos d cort d las gráficas d las dos fncions son los pntos d abscisas. Por tanto, l ára dl rcinto sombrado srá:, cos cos cos d sn C d C d sn d sn cos. JULIO. Sa > si L si f a Dibja l rcinto acotado comprndido ntr la gráfica d f la rcta. b Calcla l ára dl rcinto antrior.8 a La gráfica s la d la figra. b Los pntos n los q s cortan las gráficas d las trs fncions: L ; ; s hallan rsolvindo los sistmas q s obtinn tomándolas d dos n dos: La solción no nos sirv, porq n s pnto la fnción f dl nnciado no s. L L Los pntos d cort son,,. Y l ára q nos pidn: [ ] d L d,8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L d L d d d d Hacmos por parts: v d dv d d L L d L d L L d Por tanto: L L Ld d d L