APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA: ASIGNATURA: Matemática II -

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS INSTRUCCIONES 1. Lln todos los datos n ltra imprnta.. Espr q l profsor d la ordn d comnzar la prba.. La cidadosamnt cada na d las prgntas ants d contstar. 4. Dbrá formlar calqir prgnta drant los primros 10 mintos dl xamn, q tnga rlación con la prba q s stá aplicando, n voz alta para bnficio dl grpo. 5. Ustd tndrá para rspondr n timpo comprndido ntr las y las horas. 6. Absténgas d consltar a ss compañros, ya q sto s na falta grav stablcida n l Artíclo 45 Nmral 10 dl Rglamnto Disciplinario d la UNEFA. 7. Cid s rdacción y ortografía. APELLIDOS Y NOMBRES: C.I.: NOTA: DEPARTAMENTO: Ingniría d ptrólo SEMESTRE: III- SECCIÓN: F FECHA 18/06/010 PRUEBA: Vrsión 01 (pondración 15%) ASIGNATURA: Matmática II - NOMBRE DEL DOCENTE: Lcdo. Elizr Montoya Dtrmin si la intgral impropia s convrgnt o divrgnt, y si s convrgnt valúla. (4 ptos C/U ) 1.A) x +.A).A) 4.A) 5.A) 9 ( x + ) cos x d. 1 1 ( x ) /

2 Solción: 1) x + 9 Primr método: (1º ) Para rsolvr sta intgral impropia, s bno rcordar por tablas d rcrrncia la intgral indfinida d: d 1 1.tan = + C + a a a (º) Ahora bin, tnmos q: t t 1 1 x 1 1 t 1 1 = lim = lim tan lim tan tan = ( x + 9 t ) ( x + 9 t ) t 1 1 t π 1 π π = lim tan lim tan ( 1) tan.. t = = t 4 1 π π π π π = = = a Sgndo Método: A través d la técnica d sstitción trigonométrica: Por razons trigonomtricas sabmos q: x tanθ = x = tanθ (1) Al difrnciar x con rspcto a θ, dθ = sc θdθ () lgo, al sstitir ( 1) n la xprsión: x ( tanθ ) + = + = tan θ + = (tan θ + 1) = 9.sc θ ( ) D sta manra qdaria la intgral así: sc θ dθ 1 1 = x + = 9.sc θ dθ = θ + C x 1 x como : tanθ = θ = tan 1 1 x tan = + C x + q corrspond a la forma gnral d: d 1 1.tan = + C + a a a D aqí rptimos l paso dl primr método

3 ) ( x + ) 1 4 Rpasmos la nidad 1, calclmos la intgral indfinida d ( 4x + ) Usmos l método d intgración por sstitción o cambio d variabl: = 4x d = 4 d = d C C C ( 4x ) 4 = 4 = + = + = (4x + ) d = 4 Evalmos ahora la intgral impropia indicada. t t 1 = lim = lim = t 4(4 x + ) t ( 4x ) ( 4x ) 1 1 ) = lim + lim = + = 0 + = a t 4(4t ) t + 4(4(1) + ) cos x Nvamnt rpasmos la nidad 1, al calclar intgral indfinida cos x Usando la técnica d intgración por parts, ya q xist l prodcto d fncions, na xponncial y otra trigonométrica, y la rgla nmotécnica para considrar qin s ( I-L-A-T-E) cos x =. v vd = cos x d = snx dv v c = = + cos x = cos x sin x ( 1)

4 nvamnt intgramos por parts = sin x d = cos x dv = v = + c sin x sin x = sin x + c os x + C () Sstitimos () n ( 1), y transponmos pasando al primr mimbro términos smjants: cos x = cos x sin x + cos x + C cos x = cos x + sin x cos x + C cos x + cos x = cos x + sin x + C cos x = (sin x cos x) + C (sacamos factor común ) (sin x cos x) + C (sin x cos x) cos x = = + C (dividindo por ) (sin x cos x) cos x = + C Ahora podmos valar la intgral impropia, t t ( sin x cos x) cos x = lim cos x lim t = t ( sin cos ) ( sin 0 cos 0) t t t = lim lim t t sin( ) cos( ) 1(0 1) 1 1 = = 0 + =

5 d 4) 1 Rtomamos concptos d la nidad 1, Usarmos sstitción o cambio d variabls. w = d d w w = dw = dw = + C = + C d dw = D sta manra: t d d t 1 = lim = lim = ( lim ( )) + ( lim ( )) = t t t t = ( ( )) + = + = ) 1 ( x ) / 1º) Intgrando por sstitción, hacindo = x+ y d =; 1/ d / 1/ = = d = + C = / / ( x ) + C ( x ) 1/ º) Podmos vr q para x= la fnción a intgrar no sta dfinida, ya q la división por cro no sta dtrminada. Nos acrcarmos a trs por la izqirda sando valors my crcanos a trs (, ) ε 1/ ε 1/ 1/ = lim lim ( x ) 0 / / 1 + ( x ) ε 0 1 = + = = = ( x ) ε 0 1 Otra forma d dnotarlo sria: lim lim ( ) 0 ( x ) ( x ) 1 1/ 1/ 1/ = x / / 1 x 1 = = = = x

6 1 Vamos las graficas d la fnción y = / ( x ) =convrg a 1 ( x ) /